泰勒公式
泰勒定理和泰勒公式
泰勒定理和泰勒公式
泰勒定理（Taylor's theorem）是一个数学定理，描述了一个实数或复数函数在某个点附近的函数值与它在该点处的函数值及各阶导数之间的关系。
泰勒公式（Taylor series）是泰勒定理的一个特例，表达了一个实数或复数函数在某个点附近的函数值为无限次可导函数在该点处的函数值及各阶导数的线性组合。
泰勒公式的一般形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(x)表示要近似的函数，f(a)表示函数在某个点a处的函数值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示函数在点a处的一阶、二阶、三阶导数，(x-a)表示自变量和点a之间的差值，n!表示n的阶乘。
公式右侧的无穷级数表示了函数在点a处的各阶导数对函数值的贡献。
泰勒公式在数学和工程中广泛应用，能够以多项式逼近复杂函数，帮助简化计算和分析。
泰勒展开常用公式
泰勒展开常用公式摘要：1.泰勒展开的定义和背景2.泰勒展开常用公式3.泰勒展开的应用领域4.总结正文：泰勒展开是微积分学中一种重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
泰勒展开，又称泰勒公式，是由英国数学家布鲁克·泰勒在17 世纪提出的。
泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，通过它，我们可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的多项式之和，从而简化问题。
泰勒展开常用公式如下：对于一个函数f(x)，在点x=a 的泰勒展开公式为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! + ...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + R_n(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等表示函数f 在点a 的各阶导数值；n! 表示n 的阶乘；R_n(x) 是余项，表示多项式逼近的误差。
泰勒展开的应用领域非常广泛，主要包括以下几个方面：1.近似计算：通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数近似为多项式，从而简化计算过程。
例如，在数值分析中，泰勒展开可以用于插值和逼近问题。
2.分析函数性质：泰勒展开可以揭示函数的某些性质，如奇偶性、单调性、极值等。
这些性质对于研究函数的内在规律具有重要意义。
3.求解微分方程：泰勒展开可以用于求解一些微分方程，例如常微分方程和偏微分方程。
通过对函数进行泰勒展开，可以将微分方程转化为关于多项式的代数方程，从而求解。
4.构建概率分布：在概率论中，泰勒展开可以用于构建一些常见的概率分布，如正态分布、指数分布等。
通过对概率密度函数进行泰勒展开，可以得到这些概率分布的参数。
总之，泰勒展开作为一种重要的数学工具，在理论研究和实际应用中具有广泛的应用价值。
泰勒公式
一、泰勒公式
x − sin x lim x→0 x3
x − f ( x) x − ( x + x3 + x5 ) lim = lim 3 x →0 x →0 x x3
在 3.1 节微分中， 已知
若 f ( x ) 在 x 0 可导，有
(1)
f ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
(a )
x (4)
= a x (ln a ) 4
a (ln a ) 4 r4 ( x ) = x 4!
ξ
4
(ξ 在 0 与 x 之间)
(2) 注意求哪一点处的泰勒公式．
例如求 e 在 x = 1 处带皮亚诺型余项的 n 阶泰勒公式．
x
e = e⋅e
x
x −1
1 1 2 n n = e 1 + ( x − 1) + ( x − 1) + " + ( x − 1) + o ( x − 1) 2! n!
f
(k )
( x) =
( −1)
k −1
( k − 1)!
k
(1 + x )
f
(k )
(0) = ( −1)
k −1
( k − 1)!
ln(1 + x ) = x −
1 2 1 3 n n −1 1 n x + x − " + ( −1) x + o( x ) n 2 3
( 5)
f ( x ) = (1 + x )µ
或 f ( x) ≈ P( x)
数学分析泰勒公式
数学分析泰勒公式泰勒公式是数学分析中的重要定理之一，它描述了一个函数在特定点附近的局部行为。
泰勒公式的内容非常丰富，有多个版本，包括泰勒级数展开、拉格朗日余项等等。
本文将主要介绍泰勒公式的一般形式及其应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，在(a,b)内存在一点c，那么对于(a,b)内的任意x，都存在一个介于x和c之间的点ξ，使得f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中f'(c)表示f(x)在点c处的一阶导数，f''(c)表示f(x)在点c处的二阶导数，依此类推，f⁽ⁿ⁾(c)表示f(x)在点c处的n阶导数。
R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是泰勒公式的余项，用于估计f(x)与泰勒级数展开之间的误差。
其具体形式为：R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(x-c)ⁿ⁺¹/(n+1)!*f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)其中ξ位于x和c之间。
泰勒公式的一般形式给出了一个函数在特定点附近的局部近似表示。
当x靠近c的时候，余项R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)往往趋近于0，这意味着f(x)可以很好地由前面几项和来近似表示。
特别地，当n较大时，泰勒公式给出了一个无穷级数展开，称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开形式如下：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+...通常将f(x)在c处展开的泰勒级数称为f(x)的泰勒级数展开式，并记作：f(x)=Σf⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!泰勒级数展开具有很好的性质，例如，它可以用于计算函数在特定点的值、求函数在特定点附近的最值、近似求解方程等等。
例如，对于常见的指数函数、三角函数、对数函数等，它们可以通过泰勒级数展开来进行计算和近似。
taylor公式(泰勒公式)通俗+本质详解
泰勒公式，也称为泰勒展开式，是微积分中非常重要的定理之一。
它是以17世纪英国数学家布饶·泰勒（Brook Taylor）的名字命名的，用于将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
泰勒公式可以说是微积分中的瑰宝，它不仅在数学领域有着重要的应用，而且在物理、工程等其他领域也有着广泛的应用。
让我们来深入了解泰勒公式的本质。
泰勒公式的本质是利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
具体来说，对于一个光滑的函数f(x)，在点a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中f'(a)、f''(a)等分别表示函数f(x)在点a处的一阶、二阶导数等。
这意味着，通过泰勒公式，我们可以用函数在某一点的导数来逼近函数在该点附近的取值。
泰勒公式的通俗理解可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们要计算sin(x)在x=0处的近似值，我们可以利用泰勒公式展开sin(x)：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...如果我们只取前面几项，就可以得到sin(x)在x=0处的近似值。
这就是泰勒公式在实际问题中的应用，通过泰勒公式，我们可以用多项式函数来近似表示复杂的函数，从而简化计算和分析。
对于泰勒公式的书写方式，我个人建议采用序号标注的方式，如下所示：1. 泰勒公式的本质是利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
2. 泰勒公式可以通过一个多项式来近似表示一个光滑的函数。
3. 通过泰勒公式，我们可以用函数在某一点的导数来逼近函数在该点附近的取值。
我想共享一下我的个人观点和理解。
泰勒公式的重要性不仅在于它可以简化复杂函数的计算和分析，还在于它揭示了光滑函数在某一点附近的局部性质。
泰勒展开的公式
泰勒展开的公式摘要：1.泰勒公式的定义2.泰勒公式的用途3.泰勒公式的证明方法4.泰勒公式的实际应用正文：1.泰勒公式的定义泰勒公式，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学公式。
泰勒公式可以将一个可微函数在某一点附近的值表示为该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。
具体来说，设函数f(x) 在点a 附近可微，则泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数f(x) 在点a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。
2.泰勒公式的用途泰勒公式在数学和实际应用中有着广泛的用途，主要包括以下几点：（1）求函数的近似值：通过泰勒公式，可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）证明其他数学定理：泰勒公式可以作为证明其他数学定理的工具，例如证明函数的凹凸性、极限等。
（3）数值计算：在数值计算中，泰勒公式可以用于求解微分方程、插值和逼近等问题。
3.泰勒公式的证明方法泰勒公式的证明方法有多种，其中较为常见的是利用洛必达法则进行证明。
具体证明过程较为繁琐，这里不再赘述。
4.泰勒公式的实际应用泰勒公式在实际应用中有很多例子，下面举一个简单的例子来说明。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在点x=π/2 附近的值。
首先，我们知道sin(x) 在x=π/2 处的值为1，其次，我们可以求出sin(x) 在x=π/2 处的一阶导数为cos(π/2)=0，二阶导数为-sin(π/2)=-1，以此类推。
泰勒公式大全
泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。
本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。
2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。
这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。
比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。
2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。
通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。
3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。
10个最常见的泰勒级数展开公式commontaylorseries
10个最常见的泰勒级数展开公式commontaylorseries 泰勒级数展开公式是数学中常用的一种方法，用于将一个函数表示为无限项的多项式。
它在微积分、数值计算和物理学等领域中都有广泛的应用。
下面将介绍10个最常见的泰勒级数展开公式。
1.正弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \sin(x) = x - \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} - \frac{{x^7}}{{7!}} + \cdots \]2.余弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \cos(x) = 1 - \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^4}}{{4!}} - \frac{{x^6}}{{6!}} + \cdots \]3.指数函数的泰勒级数展开公式：\[ \exp(x) = 1 + x + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^3}}{{3!}} + \cdots \]4.自然对数函数的泰勒级数展开公式：\[ \ln(1+x) = x - \frac{{x^2}}{{2}} + \frac{{x^3}}{{3}} -\frac{{x^4}}{{4}} + \cdots \]5.正切函数的泰勒级数展开公式：\[ \tan(x) = x + \frac{{x^3}}{{3}} + \frac{{2x^5}}{{15}} + \frac{{17x^7}}{{315}} + \cdots \]6.反正弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \arcsin(x) = x + \frac{{x^3}}{{6}} + \frac{{3x^5}}{{40}} + \frac{{5x^7}}{{112}} + \cdots \]7.反余弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \arccos(x) = \frac{{\pi}}{{2}} - \arcsin(x) =\frac{{\pi}}{{2}} - \left( x + \frac{{x^3}}{{6}} +\frac{{3x^5}}{{40}} + \frac{{5x^7}}{{112}} + \cdots \right) \]8.反正切函数的泰勒级数展开公式：\[ \arctan(x) = x - \frac{{x^3}}{{3}} + \frac{{x^5}}{{5}} - \frac{{x^7}}{{7}} + \cdots \]9.双曲正弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \sinh(x) = x + \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} + \frac{{x^7}}{{7!}} + \cdots \]10.双曲余弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \cosh(x) = 1 + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^4}}{{4!}} + \frac{{x^6}}{{6!}} + \cdots \]这些是最常见的泰勒级数展开公式，它们在数学和科学领域中都有广泛的应用。
基本的泰勒公式
基本的泰勒公式
泰勒公式是一种在数学领域非常重要的工具，它能够将一个复杂的函数近似表示为一系列项的和。
泰勒公式在很多领域都有广泛的应用，例如数值分析、工程设计、科学研究等。
泰勒公式的基本形式可以表示为：f(x) = b +
Σ(h_n(x)*x^n)，其中f(x)是要近似表达的函数，b是泰勒公式的截断点，Σ代表求和运算，h_n(x)是f(x)在n阶导数上的值，x是自变量。
这个公式表明，通过将函数展开为一系列项的和，我们可以得到一个近似表达。
在实际应用中，泰勒公式有多种表现形式和应用场景。
例如，在数值分析中，我们可以通过泰勒级数来近似求解微分方程，或者对复杂函数进行插值和逼近。
在工程设计领域，泰勒公式可以用来分析零件的应力分布，或者对复杂曲面进行近似建模。
在科学研究领域，泰勒公式也可以用来近似表达一些复杂的物理现象。
总之，泰勒公式是一种非常重要的数学工具，它能够帮助我们更好地理解和处理一些复杂的问题。
通过使用泰勒公式，我们可以得到更加精确和可靠的近似表达，从而更好地解决实际问题。
泰勒公式
泰勒公式泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。
显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。
至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n .接下来就要求误差的具体表达式了。
泰勒公式表达式
泰勒公式表达式
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)。
高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) 。
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 。
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]。
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tan θ=sinθ·secθ。
相关信息：
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例，拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函数，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。
17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。
直到1712年，英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，
称为麦克劳林级数。
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒展开公式1. e^x的泰勒展开公式：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + + x^n/n! +其中，n!表示n的阶乘。
2. sinx的泰勒展开公式：sinx = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1)! +其中，n为正整数。
3. cosx的泰勒展开公式：cosx = 1 x^2/2! + x^4/4! x^6/6! + + (1)^n x^(2n)/(2n)! +其中，n为正整数。
4. ln(1+x)的泰勒展开公式：ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + + (1)^(n1) x^n/n +其中，n为正整数。
5. (1+x)^a的泰勒展开公式：(1+x)^a = 1 + ax + a(a1)x^2/2! + a(a1)(a2)x^3/3! + +a(a1)(a2)(an+1)x^n/n! +其中，n为正整数，a为实数。
6. 1/(1x)的泰勒展开公式：1/(1x) = 1 + x + x^2 + x^3 + + x^n +其中，n为正整数。
7. sqrt(1+x)的泰勒展开公式：sqrt(1+x) = 1 + 1/2x 1/8x^2 + 1/16x^3 + (1)^(n1) (2n3)!! x^n/(2n)!! +其中，n为正整数，!!表示双阶乘。
8. arctanx的泰勒展开公式：arctanx = x x^3/3 + x^5/5 x^7/7 + + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1) +其中，n为正整数。
9. 1/sqrt(1x^2)的泰勒展开公式：1/sqrt(1x^2) = 1 + 1/2x^2 + 3/8x^4 + 5/16x^6 + +(2n1)/2^n x^(2n) +其中，n为正整数。
10. 1/(1+x^2)的泰勒展开公式：1/(1+x^2) = 1 x^2 + x^4 x^6 + + (1)^n x^(2n) +其中，n为正整数。
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是数学中的一个重要概念，它可以用来表示函数在某一点的光滑性质。
通过泰勒公式，我们可以将一个复杂的函数表示为一个无穷级数的形式，这对于分析函数在某一点的性质和行为非常有帮助。
在本文中，我们将为您详细介绍泰勒公式的展开式，并给出一些常见函数的泰勒展开式的具体表达。
泰勒公式是一个非常重要的数学工具，它可以用来近似表示函数在某一点的取值。
泰勒公式的一般形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(x) \) 是要表示的函数，\( a \) 是展开点，\( f'(a) \) 是函数在点 \( a \) 处的一阶导数，\( f''(a) \) 是函数在点 \( a \) 处的二阶导数，以此类推。
通过泰勒公式，我们可以将函数 \( f(x) \) 在点 \( a \) 处展开为一个无穷级数的形式，这对于研究函数在该点的性质和行为非常有帮助。
接下来，我们将给出一些常见函数的泰勒展开式的具体表达。
1. 指数函数的泰勒展开式：指数函数 \( e^x \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ e^x = e^a + e^a(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \frac{e^a}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]2. 三角函数的泰勒展开式：正弦函数 \( \sin(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \sin(x) = \sin(a) + \cos(a)(x-a) \frac{\sin(a)}{2!}(x-a)^2 \frac{\cos(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots \]余弦函数 \( \cos(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \cos(x) = \cos(a) \sin(a)(x-a) \frac{\cos(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{\sin(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]通过以上的例子，我们可以看到泰勒展开式的具体表达形式。
常见泰勒公式展开式
常见泰勒公式展开式泰勒公式是数学中一个非常重要的概念，用于将一个函数在其中一点的邻域展开成无穷级数的形式。
它是由苏格兰数学家布鲁克·泰勒于18世纪提出并发展起来的，被广泛应用于数学、物理、工程等科学领域。
泰勒公式的一般形式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)是待展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示函数f(x)在点a处的一阶、二阶、三阶...导数。
泰勒公式的展开式可以有多个不同形式，根据被展开函数的性质和所需要的精度选择不同的展开。
1.一阶泰勒展开式（线性近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)这是最简单的展开形式，适用于在展开点附近做小幅度的近似计算。
一阶泰勒展开式将函数以直线近似表示。
2.二阶泰勒展开式（二次近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2二阶泰勒展开式考虑了函数的二阶导数，可以提供更精确的近似计算。
3.麦克劳林展开（多项式近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...麦克劳林展开是泰勒展开的一种特殊形式，用于将函数展开成无穷级数的形式。
它假设被展开函数在展开点附近的各阶导数都存在。
麦克劳林展开常用于求解初等函数的近似表达式。
4.泰勒级数：有时，麦克劳林展开可以表示为泰勒级数的形式：f(x) = ∑(n=0 to ∞) [fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!]其中，fⁿ(a)表示函数f(x)的n阶导数在点a处的值。
【泰勒展开】常见泰勒公式大全
【泰勒展开】常见泰勒公式大全几个常见的泰勒公式(x\rightarrow0) ：sinx = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\qquad \quad arccosx=? [1]tanx = x +\frac{x^3}{3}+o(x^3)\qquad \qquad \quad \ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)另外\begin{align} &对于 (1+x)^{\alpha}=1+\alphax+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\&\text{当}\alpha =\frac{1}{2}\text{，则}\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o\left( x^2 \right) \\ &\text{当}\alpha =\frac{1}{3}\text{，则}\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+o\left( x^2 \right) \end{align}习题中常见(x \rightarrow 0) ：\begin{align} tanx - sinx &= \frac{1}{2}x^3+o(x^3)\\ x - sinx &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ arcsinx - x &=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ tanx - x &=\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ x-arctanx&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{align}即有\begin{align*} tanx - sinx &\sim \frac{1}{2}x^3\\ x - sinx &\sim \frac{1}{6}x^3\\ arcsinx - x &\sim\frac{1}{6}x^3\\ tanx - x &\sim \frac{1}{3}x^3\\ x-arctanx &\sim\frac{1}{3}x^3 \end{align*}还可以得到(x\rightarrow0) ：\begin{align} x-\ln \left( 1+x \right) \,&\sim\frac{x^2}{2} \\ e^x-1-x\,&\sim \frac{x^2}{2} \\ 1-\cos ^ax\ &\sim \frac{ax^2}{2} \\ f\left( x \right)^{g\left( x \right)}-1 &\sim g\left( x \right)\left[ f\left( x \right) -1 \right] \qquad \left( 当f\left( x \right) \rightarrow 1\text{且}f\left( x\right) ^{g\left( x \right)}\rightarrow 1 \right)\end{align}注：上述四结论来自：有时还会用到\left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}{x^2}+o\left( x^2 \right) [2]一般地\begin{align} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!} x^{n}+\cdots \\ \ sinx&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{x^{3}}{3 !} +\frac{x^{5}}{5!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}+\cdots\\ \ cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !}x^{2 n}=1-\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{4}}{4!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}+\cdots \\ \ ln(1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}+\cdots, x \in(-1,1] \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \frac{1}{1+x} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} = 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots, x\in(-1,1) \\ (1+x)^{\alpha} &= 1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n} = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \arctan x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2\pi+1} = x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots, x \in[-1,1] \\ \end{align}{\LARGE \begin{align} \arcsin x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(2 n!)x^{2n+1}}{4^{n}(n !)^{2}(2n+1)} = x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40}x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152}x^{2}+\cdots+\frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)}x^{2 n+1}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \tan x &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2 n) !} x^{2n-1} = x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+\frac{1382}{155925} x^{11}+\frac{21844}{6081075} x^{13}+\frac{929569}{} x^{15}+\cdots ,x \in(-1,1) \\ \sec x &= \sum_{\pi = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n} x^{2 n}}{(2 n) !} = 1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}+\cdots, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\ \csc x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2\left(2^{2\mathrm{n}-1}-1\right) B_{2n}}{(2 n) !} x^{2 x-1} =\frac{1}{x}+\frac{1}{6} x+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120} x^{5}+\frac{127}{604800}x^{7}+\frac{73}{3421440} x^{2}+\frac{1414477}{}x^{11}+\cdots, x \in(0, \pi)\\ \cot x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2 n) !}x^{2 n-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{3} x-\frac{1}{45}x^{3}-\frac{2}{945} x^{5}-\cdots, x \in(0, \pi)\end{align}}相关链接：1.^利用arccosx = pi/2 - arcsinx即可得出。
常用十个泰勒展开公式
泰勒公式bai是将一个在x=x0处具有n阶导数的函du数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近zhi函数的方法。
若函数f（x）在包含daox0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。
余项
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1），p为任意正实数。
（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） [2]
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式：。
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cos x 1 x2 x4 o( x4 ) 2! 4!
e x2 2cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o( x4 ) 2! 4!
原式
lim
x0
7 12
x4
o( x4
x
4
)
7 12
思考题
利用泰勒公式求极限
ex sin x x(1 x)
lim
x0
x3
思 e x 1 x x2 x3 o( x3 )
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( (n) x )
n
0
得
ak
1 k!
f
(k) ( x0 )
(k 0,1,2,, n)
代入Pn ( x)中得
Pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x 在(a,b)内时, f (x) 可以表示为( x x0 ) 的一
个n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
k0 k!
则 G' (t) f (n1) (t) (x t)n , H ' (t) (n 1)( x t)n. n!
注意到 G(x) 0, H (x) 0. 所以 G(x0 ) G(x) G(x0 ) H (x0 ) H (x) H (x0 )
n
证明：令 G(t) f (x)
注意到 G(x) 0, H (x) 0. 所以
G(x0 ) G(x) G(x0 ) H (x0 ) H (x) H (x0 )
由柯西中值定理，存在介于x与x0之间，使得
G(x0 ) H (x0 )
G' ( ) H ' ( )
f (n1) ( ) (x )n
n!
(n 1)(x )n
五、1、 1 . 12
2、1 . 2
分析：即证 存在介于x与x0之间，使得
f (x) f (x0 )
f (x0 )(x x0 ) (x x0 )n1
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
n
证明：令 G(t) f (x)
f (k) (t) (x t)n , H (t) (x t)n1.
下式称为f ( x)在 x0处关于( x x0 ) 的 n 阶泰勒公式.
f
(x)
n k0
f
(k)( x0 ) ( x k!
x0 )k
Rn( x)
Rn( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
( 在 x0 与 x 之间)
称为拉格朗日型余项.
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
2!
n! (n 1)!
或 ex 1 x x2 xn o(xn ) (0 1).
2!
n!
常用函数的麦克劳林公式 课本132页
sin x x x3 x5 (1)n x2n1 o( x2n1 )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x 2 x4 x6 (1)n x 2n o( x 2n )
2! 4! 6!
(2n)!
ln(1 x) x x2 x3 (1)n1 xn o( xn )
23
n
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
(1 x)a 1 ax a(a 1) x2 2!
a(a 1)(a n 1) xn o( xn ) n!
y x y sin x
1.Pn和Rn的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
y f (x)
x
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
f
( x0 2!
)(x
x0
)2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中 Rn( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0 )n1
(在 x0 与 x 之间).
Pn( x)
n k0
f
(k)( x0 ) ( x k!
x0 )k
称为 f ( x) 在 x0处关于( x x0 )的 n 阶泰勒多项式.
考
2! 3!
题 sin x x x3 o( x3 )
解
3!
答
lim x0
ex
sin
x x(1 x3
x)
lim
x0
lim
1 x
x3 2!
x2 2!
x3 3!
o( x3 )
x
x3 o(x3) 3!
1
x3
x3 3!
o( x3 )
x(1
x)
x0
x3
6
四、小结
1、常用函数的麦克劳林公式 课本132页 能求出函数的 n 阶麦克劳林公式与泰勒公式.
第七节 泰勒(Taylor)公式
一、问题的提出 二、泰勒(Taylor)中值定理 三、简单的应用
一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f(x)在 x=x0 处的 一次近似式
f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) ( x)
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
k0 k!
n
证明：令 G(t) f (x)
f (k) (t) (x t)n , H (t) (x t)n1.
k0 k!
则 G' (t) f (n1) (t) (x t)n , H ' (t) (n 1)( x t)n. n!
n
证明：令 G(t) f (x)
f (k) (t) (x t)n , H (t) (x t)n1.
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
(0 1)
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
o( xn )
三、简单的应用
1、求函数的展开式 1) 直接展开法： 例1 写出函数 f ( x) cos x 在 x 处的三阶泰勒公式.
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
2. 余项估计
令 R ( x) f ( x) P ( x)(称为余项) , 则有
n
n
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
(x x0 )n1
Rn (x
(x) Rn (x0 x0 )n1 0
)
(n
Rn (1) 1)(1
x0
)n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 1)2(n x0 )
) 0
Rn(n1) ( )
o
y sin x
2) 间接展开法：
例3
写出函数
f
(x)
1 x
在
x0
1的
n
阶泰勒公式.
例4 写出函数 f ( x) x ln(1 x)的 n 阶麦克劳林公式.
2、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式可计算极限.
例5
计算
e x2 lim
x0
2cos x 3. x4
解 e x2 1 x2 1 x4 o( x4 ) 2!
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
M
n 1!
(
x
x0
)
n1
lim
x x0
(
Rn x
(x) x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ]. 称为皮亚诺型余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
麦克劳林(Maclaurin)公式
(
1)
n1
[1
(x
1)n1 ( x 1)]n
2
(0,1).
二、 xe x x x 2 x 3 x n
2!
(n 1)!
1 (n 1 x)ex x n1 , (0 1).
(n 1)! 三、 e 1.645.
四、3 30 3.10724, R3 1.88 105 .
f (n1) ( )
(n 1)!
(n 1) !
( 在 x0 与n 之间)
R (x) f (x) P (x)
n
n
( 在 x0 与x 之间)
P(n1)( x) n
0, Rn(n1) (x)