泰勒公式

第七节 泰勒(Taylor)公式
一、问题的提出 二、泰勒(Taylor)中值定理 三、简单的应用
一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f(x)在 x=x0 处的 一次近似式
f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) ( x)
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
2. 余项估计
令 R ( x) f ( x) P ( x)(称为余项) , 则有
n
n
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
(x x0 )n1
Rn (x
(x) Rn (x0 x0 )n1 0
cos x 1 x2 x4 o( x4 ) 2! 4!
e x2 2cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o( x4 ) 2! 4!
原式
lim
x0
7 12
x4
o( x4
x
4
)
7 12
思考题
利用泰勒公式求极限
ex sin x x(1 x)
lim
x0
x3
思 e x 1 x x2 x3 o( x3 )
k0 k!
n
证明：令 G(t) f (x)
f (k) (t) (x t)n , H (t) (x t)n1.
k0 k!
则 G' (t) f (n1) (t) (x t)n , H ' (t) (n 1)( x t)n. n!
n
证明：令 G(t) f (x)
f (k) (t) (x t)n , H (t) (x t)n1.
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
M
n 1!
(
x
x0
)
n1
lim
x x0
(
Rn x
(x) x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ]. 称为皮亚诺型余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
麦克劳林(Maclaurin)公式
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( (n) x )
n
0
得
ak
1 k!
f
(k) ( x0 )
(k 0,1,2,, n)
代入Pn ( x)中得
Pn( x)
f ( x0 )
பைடு நூலகம்
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
y x
y sin x o
y x x3 3!
y x
o
y x x3 x5 3! 5!
y sin x
y x x3 3!
y x x3 x5 x7 3! 5! 7!
o
y x
y sin x
y x x3 x5 3! 5!
y x x3 3!
y x x3 x5 x7 x9 x11 3! 5! 7! 9! 11!
o
y sin x
2) 间接展开法：
例3
写出函数
f
(x)
1 x
在
x0
1的
n
阶泰勒公式.
例4 写出函数 f ( x) x ln(1 x)的 n 阶麦克劳林公式.
2、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式可计算极限.
例5
计算
e x2 lim
x0
2cos x 3. x4
解 e x2 1 x2 1 x4 o( x4 ) 2!
下式称为f ( x)在 x0处关于( x x0 ) 的 n 阶泰勒公式.
f
(x)
n k0
f
(k)( x0 ) ( x k!
x0 )k
Rn( x)
Rn( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
( 在 x0 与 x 之间)
称为拉格朗日型余项.
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
f (k) (t) (x t)n , H (t) (x t)n1.
k0 k!
则 G' (t) f (n1) (t) (x t)n , H ' (t) (n 1)( x t)n. n!
注意到 G(x) 0, H (x) 0. 所以
G(x0 ) G(x) G(x0 ) H (x0 ) H (x) H (x0 )
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )
例如, 当| x |很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
（如下图）
y ex
y ex
y x
y 1 x
o
y ln(1 x) o
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x 在(a,b)内时, f (x) 可以表示为( x x0 ) 的一
个n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
近似值，使误差小于 0.01 .
四、应用三阶泰勒公式求3 30 的近似值，并估计误差.
五、利用泰勒公式求极限：
x2
1、lim cos x e 2 ； x0 sin4 x
2、lim[ x x 2 ln(1 1 )].
x
x
练习题答案
一、 1 [1 ( x 1) ( x 1)2 ( x 1)n ] x
由柯西中值定理，存在介于x与x0之间，使得
G(x0 ) H (x0 )
G' ( ) H ' ( )
f (n1) ( ) (x )n
n!
(n 1)(x )n
n
证明：令 G(t) f (x)
f (k) (t) (x t)n , H (t) (x t)n1.
k0 k!
则 G' (t) f (n1) (t) (x t)n , H ' (t) (n 1)( x t)n. n!
2、能利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式计算极限.
练习题
一、当 x0
1时，求函数 f ( x)
1 的n x
阶泰勒公式
.
二、求函数 f ( x) xe x 的n 阶麦格劳林公式 .
三、验证0 x 1 时，按公式e x 1 x x 2 x 3 计算
2
26
e x 的近似值，可产生的误差小于 0.01，并求 e 的
2! 4! 6!
(2n)!
ln(1 x) x x2 x3 (1)n1 xn o( xn )
23
n
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
(1 x)a 1 ax a(a 1) x2 2!
a(a 1)(a n 1) xn o( xn ) n!
y x y sin x
f
( x0 2!
)(x
x0
)2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中 Rn( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0 )n1
(在 x0 与 x 之间).
Pn( x)
n k0
f
(k)( x0 ) ( x k!
x0 )k
称为 f ( x) 在 x0处关于( x x0 )的 n 阶泰勒多项式.
f (n1) ( )
(n 1)!
五、1、 1 . 12
2、1 . 2
分析：即证 存在介于x与x0之间，使得
f (x) f (x0 )
f (x0 )(x x0 ) (x x0 )n1
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
n
证明：令 G(t) f (x)
f (k) (t) (x t)n , H (t) (x t)n1.
3
例 2 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n) ( x) e x , f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1
注意到 f (n1) (x) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
1.Pn和Rn的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
y f (x)
x
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
一次近似的不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计.
问题: 寻找函数 Pn (x) ,使得 f (x) Pn (x)
误差 Rn (x) f (x) Pn (x) 可估计
设函数 f ( x)在含有 x0的开区间(a, b)内具有直到 (n 1)阶导数, P( x)为多项式函数 Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n 误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
k0 k!
则 G' (t) f (n1) (t) (x t)n , H ' (t) (n 1)( x t)n. n!
注意到 G(x) 0, H (x) 0. 所以 G(x0 ) G(x) G(x0 ) H (x0 ) H (x) H (x0 )
n
证明：令 G(t) f (x)
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
(0 1)
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
o( xn )
三、简单的应用
1、求函数的展开式 1) 直接展开法： 例1 写出函数 f ( x) cos x 在 x 处的三阶泰勒公式.
(n 1) !
( 在 x0 与n 之间)
R (x) f (x) P (x)
n
n
( 在 x0 与x 之间)
P(n1)( x) n
0, Rn(n1) (x)
f
(n1) (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间)
二、泰勒(Taylor)中值定理
考
2! 3!
题 sin x x x3 o( x3 )
解
3!
答
lim x0
ex
sin
x x(1 x3
x)
lim
x0
lim
1 x
x3 2!
x2 2!
x3 3!
o( x3 )
x
x3 o(x3) 3!
1
x3
x3 3!
o( x3 )
x(1
x)
x0
x3
6
四、小结
1、常用函数的麦克劳林公式 课本132页 能求出函数的 n 阶麦克劳林公式与泰勒公式.
(
1)
n1
[1
(x
1)n1 ( x 1)]n
2
(0,1).
二、 xe x x x 2 x 3 x n
2!
(n 1)!
1 (n 1 x)ex x n1 , (0 1).
(n 1)! 三、 e 1.645.
四、3 30 3.10724, R3 1.88 105 .
2!
n! (n 1)!
或 ex 1 x x2 xn o(xn ) (0 1).
2!
n!
常用函数的麦克劳林公式 课本132页
sin x x x3 x5 (1)n x2n1 o( x2n1 )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x 2 x4 x6 (1)n x 2n o( x 2n )
注意到 G(x) 0, H (x) 0. 所以
G(x0 ) G(x) G(x0 ) H (x0 ) H (x) H (x0 )
由柯西中值定理，存在介于x与x0之间，使得
G(x0 ) H (x0 )
G' ( ) H ' ( )
f (n1) ( ) (x )n
n!
(n 1)(x )n
)
(n
Rn (1) 1)(1
x0
)n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 1)2(n x0 )
) 0
Rn(n1) ( )