角动量算符的本征值方程[精华]

角动量算符的本征值方程
在量子力学中，我们知道，角动量算符x L ∧，y L ∧，z L ∧
满足本征值
方程:
()
(
)()
,1,1,,
,x lm l m l m L Y ∧
+-=
+θφθφθφ， (1)
()
()
()
,1,1,, ,y lm l m l m L Y ∧
+-=+θφθφθφ,
(2)
()(),,z lm lm L Y mY ∧
=θφθφ. （3）
或取ˆˆˆx y
L L iL ±=±,则
()
()1ˆ,,lm
lm L Y ±±θϕ=θϕ, （4）
而
()()()2ˆ,1,lm lm
L Y l l Y θϕ=+θϕ 这一节, 我们将从SO(3)群的不可约表示出发，来导出这些关系. 由§5.3节(7)式知
()()()()''
12
1
2
ˆ(),, (,, 1, , )
l
l lm m m
lm m l
P R f D R f m m l l l '=-='=--+∑ ξξξξ, (5)
其中()12,lm f ξξ取形式
()
12,l m l m
lm f +-ξξ=
其性质与球谐函数()φθ,lm Y 相同，这里不妨将其取作球谐函数，这样（5）式变为：
()
()'ˆ()(,)(,)l
l lm
lm m m m l
P R Y D R Y ''=-=∑θφθφ (6)
首先考虑绕x 轴转角为0∆η→的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符
()0
ˆˆˆ1x
i L x
x
P R e i L ∆η→-∆η=-∆η （7）
由于绕x 轴转动η∆角，可视为欧勒角为2
π
α-=，ηβ∆=，2
π
γ=
的转动，这样由§5.4节(2)式知：
()
()
()()()()()()()∑+='+-'-'--+'-'+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-m l k k
l m m k m m k m l k m l k m l m l m l m l D 0!!!!!!!!12,,2
πηπ ()
m m i
k
m m k
m m l e
-'+-'-'-+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
∆-⎪
⎭⎫
⎝
⎛∆2
2222sin 2cos π
ηη
亦即
()
()
()
()0
22
1 2l m
k l m m x k m m k
i
m m D R e
+'='-+π
'-∆η→-⨯
∆η⎛⎫
- ⎪
⎝⎭∑ (8)
在0→∆η时，展开式只保留η∆的零级与一级项， 则有：
20m m k '-+= 或 21m m k '-+=. (9)
(1) 当02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-时，由于 0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），故0=k 或m m =', 而
()
()1l
mm x D R = (10)
(2)当+21m m k '-=, 或12+-=-'k m m 时，由于01≥+-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0, 1k =.
当0=k 时， 1=-'m m ，或1+='m m ，则由(8)式知：
()
()
1!2)
2
l m m x i D R i +∆η⎫
=
-⎪
⎝
⎭∆η
- (11)
当1=k 时，1-=-'m m ，即1-='m m ，则由（8）式得
(
)
()
1!
2 )2
l m m x D R i i -∆η⎫=⎪
⎝⎭
∆η
=-
(12)
将（7）、（10）、（11）及（12）式代入（6）式得
()(
)11ˆ(1),,)(,)
2(,)]
x lm lm lm lm i i L Y Y +-∆η-∆ηθϕ=θϕ-θφ+θφ
由此得
()
()
()
,1,1ˆ,,,x lm
l m l m L Y +-θϕ=θϕ+θϕ （13）
与(1)式完全一致.
再考虑饶y 轴转角为0→∆η的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：
()0
ˆˆˆ1y i L y y
P R e i L ∆η→-∆η=-∆η （14）
该转动的三个欧勒角分别为0=α，ηβ∆=，0=γ，将其代入§5.4节（2）式得
()
()()
=0
2220,,01 cos sin 22l m
k
l m m k l m m k
m m k
D +'''+---+∆η=-∆η∆η⎛
⎫⎛
⎫- ⎪
⎪
⎝
⎭⎝
⎭∑ 在0→∆η时，
()
()()()()()()()()()∑+-''⎪
⎭⎫ ⎝⎛∆-+-'-'--+'-'+-+-=∆k k m m k
l m m k m m k m l k m l k m l m l m l m l D 22!!!!!!!!10,,0ηη （15）
在展开式中，只保留η∆的零级与一级项，则有
20
m m k '-+= 或 21
m m k '-+=.
(1) 当02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-时，由于0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0=k 或m m ='，则
()
() 1.l
mm y D R = （16）
（2）当12=-'+m m k ，或12+-=-'k m m 时，由于01≥+-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故10==k k 或.
当0=k 时， 1+='m m ，与上面同样的讨论知
()1()2l m m
y D
R +∆η⎫
=-⎪⎭
（17）
当1=k 时，1-='m m . 与上面同样的讨论知
()
1()l m m y D R -=
（18）
将（14）、（16）、（17）及（18）式代入（6）式得
(
)(
)()
,1,1ˆ,,,y lm
l m l m L Y +-θϕ=θϕ+θϕ （19）
与(2)式一致.
最后考虑饶z 轴转角为0→∆η的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：
()0
ˆˆ
ˆ1z
i L z z P R e
i L ∆η→-∆η=-∆η .
（20）
该转动的三个欧勒角分别为0=α，0=β，ηγ∆=. 将其代入§5.4节（2）
式得
()
()()
20,0,1.
k
l m m k im m m k
D e '-+-∆η'∆η=-∑
要使上式不等于零，02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-. 另外,
0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0=k 或m m ='.
又0→∆η时，
ηη∆-≈∆-im e im 1，因此
()
()1l
mm z D R im =-∆η. （21）
将（20）与（21）式代入（6）式得
()()φθφθ,,ˆ,m
l lm z mY Y L = （22）
与（3）式一致.
这样，由SO （3）群的不可约表示，ˆˆˆx y z
L L L 、及的本征值方程很自然地得到.
由（7）、（14）与（20）式知，绕单位矢量n
、转角为0∆η→的
无穷小转动算符为：
()ˆ
,1n P R i n L ∆η=-∆η⋅ （23）
令m α
η=∆，其中m 为一无限大的整数，α为一有限量，
则
ˆ,1n i n L P R m m αα⋅⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
对于有限转角为α的转动，可以看成是转角为m
α
η=∆的m 次连续转动
而成，所以
()()ˆˆ,lim ,lim 1exp m
m n n m m i n L P R P R i n L m m →∞→∞⎛⎫αα⋅⎛⎫α==-=-α⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . (24)
这就是沿任意方向n 转角为α的转动算符，若假设n
的角坐标为()φθ,，
则
()
3
1231
ˆˆˆˆsin cos sin sin cos i i i n L L L L L =α⋅=αθϕ+θϕ+θ=α∑
其中
φθααcos sin 1=，φθααsin sin 2=，θααcos 3=. （25）
这样
()()31ˆˆ,exp exp n i i i P R i n L i L =⎛⎫
α=-α⋅=-α
⎪⎝⎭
∑ （26）
由此可见，（25）式定义的321,,ααα为正则参数，这一点与三个欧拉角
γβα,,是不同的，我们知道γβα,,不是正则参数.
§5.7 SO(3)群表示直积的分解
SO(3)群的两个不可约表示的直积仍然是SO(3)群的表示. 由§2.9节的讨论知，两个不可约表示的直积一般不再是可约的，它们可按克莱布什-戈登分解方式展开为一系列不可约表示的直和，即
()()12()()()()l
l
l l l
D R D R a D R ⊕⊗=∑ （1）
其中l α为不可约表示()()l D R 出现的次数，下面我们就来确定这种分解形式.
1. SO(3)群表示的特征标
在讨论SO(3)群表示的特征标之前，我们首先来证明下面的结论：
绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类.
证：设()αζR 代表绕过o 点的ζo 轴、转角为α的转动，如图1示.
图1
为简单起见，设ζo 轴在yoz 平面上，上述转动可通过下述步骤进行：
（1） 绕ox 轴转-θ角，故ζo 与oz 轴重合，记该转动为
()1
()x x R R --θ=θ.
（2） 绕oz 轴转α角，记该转动为()αz R .
（3） 再将ζo 绕x 轴转θ角回到原处，该转动为()x R θ.
这样
()()()()1
x z x R R R R -ζα=θαθ （2）
根据类的定义，上式中()αζR 与()αz R 属同一类，由于这里z 轴的选取是任意的，因此我们得到结论：绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类. 所以它们具有相同的特征标. 这样，只要我们知道通过原点o 某一转轴转动某一角度不可约表示的特征标，也就知道了绕通过任意转轴转动相同角度的不可约表示的特征标.
由§5.3节(10)式我们知道，绕z 轴转动φ角的不可约表示为：
()()0,0,l im m m m m D e -φ
''φ=δ （3）
这样由上面的讨论知，SU （2）群的绕通过原点o 任意轴转过φ角的不可约表示的特征标为：
()
2120
1 1i l l
l
im il ik il l i m l k e k l m e e e e e +φ
-φ-φφ-φφ
=-=-=-χ==-∑∑
11222
2
1sin 2sin 2
i l i l i
i l e
e e
e
⎛⎫⎛⎫-+φ+φ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭φφ-⎛⎫+φ ⎪-⎝⎭=
=
φ- 2. SO(3)群表示的直积的分解
为了求得(1)式中直积分解的系数，我们来求表示的直积
()()12()()l
l
D R D R ⊗的特征标.
1212121
2
1211
22
()()
()()
()() ()() l l l l l l l l im im m l m l D R D R D R D R e
e -φ
-φ
=-=-⎡⎤χ=χ⊗⎣⎦⎡⎤⎡⎤=χχ⎣⎦⎣⎦
=χχ=
∑∑
()1
2
12122
max
min 12 l l i m m m l m l l l
im l l m l
e
m m m e -+φ
=-=--φ
==-=
=+∑∑
∑
∑
其中
21min l l l -= 21max l l l +=，而l
im l m l
e -φ
=-χ=
∑
故
12
1212
()
()
()()l l l l l
l l l D R D R +=-⎡⎤χ⊗=χ⎣⎦∑
而由（1）式知：
12()()
()()l l l l l
D R D R a ⎡⎤χ⊗=χ⎣⎦∑
比较以上两式知，
1=l a , 当 121212, 1, , l l l l l l l =++-- ,
0=l a , 其它情况.
这个结果表明，在表示的直积()()1
2
()()l l D R D R ⊗中，不可约表示()()
l D R （121212, 1, , l l l l l l l =++-- ）仅出现一次，即表示的直积有如下分解
()()()
()
121
21
2121()()()()()l
l
l l l l l l
D R D R D R D R D R ++--⊗=⊕⊕⊕
亦即
()
()
()12
1212
()()(). (4)
l l l l l
l l l D R D R D R +⊕
=+⊗=
∑
如
13
1()()()(1)
2
2
2
()()()()D R D R D R D R ⊗=⊕.
()()()()()
12321()()()()()D R D R D R D R D R ⊗=⊕⊕.
§5.8 角动量的耦合与C-G 函数
角动量的耦合是物理学中的一个重要问题，本节将利用前面得到的转动群的不可约表示来讨论角动量的耦合, 求得耦合系数，即C-G 系数.
由前面的讨论我们可以看出，球谐函数()φθ,lm Y 按SO(3)群的不可
约表示()()l
D R 变换，在一般情况下，考虑到变量r ，函数
()()(),l m l l m
r R r Y ψ=θφ也应按SO(3)群的不可约表示()()l
D R 变换，亦即
()()()
()()ˆj
j
jm
m m jm m j
P R r D R r '''=-ψ=ψ∑
(1)
其中, , 1, , m m j j j '=--+ 共12+j 个取值. 这里按习惯将角动量量子数用符号j 表示，这里的()jm r ψ是2ˆj 与z j ˆ的本征函数，
即
()()()()()2ˆ1ˆjm jm z jm jm j r j j r j r m r ⎧ψ=+ψ⎪⎨ψ=ψ⎪⎩ （2）
考虑两个粒子系统，如核外的两个电子，每个电子均在各向同性的中心场中运动，其波函数分别为()11
1j m r ψ与()2
2
2j m r ψ，它们分别按
SO(3)群的不可约表示()()l D R 变换，即
()()()()
()()1
111111
1111
111
1ˆj j j m j m m m j m m j r P R r D R r '''=-'ψ=ψ=ψ∑
（3）
其中 11111, , 1, , m m j j j '=--+ .
()()()()()()2
222222
2222
222
2ˆj j
j m j m m m j m m j r P R r D R r '''=-'ψ=ψ=ψ∑
（4）
其中22222, , 1, , m m j j j '=--+ .
而
()()()()()111111112111111111ˆ1ˆ
j m j m z j m j m j r j j r j r m r ⎧ψ=+ψ⎪⎨
ψ=ψ⎪
⎩,
()()()()()
222222222222222222ˆ1ˆj m j m z j m j m j r j j r j r m r ⎧ψ=+ψ⎪⎨ψ=ψ⎪⎩.
两个电子组成的耦合系统的波函数为：
()()()11
2
2
11
2
2
, 1212,j m j m j m j m r r r r ψ=ψψ （5）
在()3SO R ∈的转动变换下，有
()()
()()
()()()()
()()
1122112212111122221
2
, 121212ˆ, j m j m j m j m j j m m j m m m j m m m P R r r r r D R r D R r ''''''ψ''=ψψ=ψψ∑∑
()()()()()()1211222
21222
12, j j j m j m m m m m m m D R D R r r ''''''
⎡⎤=
⊗ψψ⎣⎦∑ （6）
因此，耦合系统的波函数1122, 12(, )j m j m r r ψ按SO(3)群表示的直积()()12()()j
j
D R D R ⊗变换，
而由§5.7节的讨论知，直积()()12()()j
j
D R D R ⊗是可约的，因此1122, 12(, )j m j m r r ψ不是按SO(3)群的不可约表示变换，因此1122, 12(, )j m j m r r ψ不是总角动量2ˆj 与z j ˆ的本征函数.
下面我们来讨论一下，如何由()11
1j m r ψ与()2
2
2j m r ψ来构成总角动
量2ˆj 与z j ˆ的本征函数.
由§5.7节(4)式知，表示的直积可约化成准对角矩阵，
121212()(1)
()()()()()j j j j j j D R D R N R D R --+-⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝⎭ 1020(7)
其中10与20代表零矩阵元. 这样
()()
()
121212
, =, 1, j j m jm j j m m N R D R j j j j j j j j ''''=δ'--++ ， （8）
这表明存在矩阵C ，使得
()()()()()C R N C R D R D j j 1
21-=⊗ （9）
因为()R N 与()()()()R D R D j j 2
1
⊗都是幺正的，所以C 应为幺正矩阵，即
+C C -=. 而(9)式的矩阵元可以写成：
()()()
()()()()121
1221,21212
12, , , j
j
m m m m j j
j j
m m j m j m jm jm m m m m j j
D R D R C N R C ''+''''''''=∑∑
(
)
()()12121222*()
, , (8)
j j j j j jm m m m m jm m m m m
j
C D R C '''''∑∑式 （10）
这里的()
1212, j j jm m m C 是jm 行，21m m 列矩阵，其中
121212, 1, , j j j j j j j =--++ ，
1111, 1, , m j j j =--+ ，
2222, 1, , m j j j =--+ .
利用变换矩阵C 可将()()121221++j j 个线性无关的波函数
1122, 12(, )
j m j m r r ψ线性组合成另一组()()121221++j j 个线性无关的函数：
()
1212112212
12,,12(, )(, )j j
jm m m jm
j m j m m m r r C r r +ψ=ψ∑ （11）
利用C 变换矩阵的幺正性，即
()()
121212121122+,,j j
j j
m m jm jm m m m m m m jm
C C ''''=δδ∑
可得(11)式的逆变换为：
()12112212,12, 12(, )(, )j j
j m j m jm m m jm jm
r r C r r ψ=ψ∑ （12）
不难证明由(11)式表示的函数12(, )jm r r ψ按SO(3)群的不可约表
示()()j
D R 变换，因为
()()()1212112212
12
,, 12ˆ(, )ˆ (, )jm j j
m m jm j m j m m m P R r r C P R r r +ψ=ψ∑
()()()()()1212121122
1
212121
2, , 12, , (6)
(, )j j j j m m jm j m j m m m m m m m m m C D R D R r r +''''''⎡⎤⊗ψ⎣⎦
∑
式
()()()()()()1212121
212121
21212,, ,, 12 (12)
(, )
j j j j m m jm
m m m m j m m m m m j j
j m m m j m C D R D R C r r +''''''''''''⎡⎤⊗⨯
⎣⎦
ψ∑∑
式
()()()(){}
1212, (, )
j j j m j m jm
j m C D R D R C r r +''''''
⎡⎤=⊗ψ⎣⎦∑
()12()12 (9)
(, )
(8) ()(, )
j m jm
j m j m j m m jm m N
R r r D R r r '''''''''
ψψ∑∑式式 可见12(, )jm r r ψ按不可约表示()()R D j 变换，因此按（11）式组合得到的12(, )jm r r ψ是总角动量2ˆj 与z j ˆ
的本征函数.
(11)式中由1122, 12(, )j m j m r r ψ到12( )jm r r ψ的变换系数()
1212, j j m m jm
C +称为克莱布什-戈登(Clibushi-Gordan)系数或维格纳(Wigner)系数或矢量耦合系数，简称为C-G 函数，通常取该系数为实数，所以
()12121212()
, ,1122==j j j j m m jm jm m m C C j m j m jm + （13）
下面我们来求C-G 系数的具体形式.
设z R 为绕z 轴转角为α的旋转，由§5.3节(10)式知
()()αδim m m m m z j e R D -''= （14）
用()z
R P ˆ作用于(11)两端，得
()()()1212112212
12, , 12ˆˆ(, )(, )j j z jm m m jm z j m j m m m P R r r C P R r r +ψ=ψ∑ （15）
由于
()()()1212
12
ˆ(, )(, ) (14) (, )
j z jm m m z jm m im jm P R r r D R r r e r r '''
-αψ=ψψ∑式
又由(6)式知：
()()()()()()1122121122221222
, 1212, ˆ()(, ) z j m j m j j z z j m j m m m m m m m P R r r D R D R r r ''''''ψ⎡⎤=
⊗ψψ⎣⎦∑ 而
121212121
122121122()()()()
, ()[()()]()() (14)
j j j j z z m m m m m m z m m z i m m m m m m D R D R D R D R e ''''-+α
''⊗=δδ式
这样
1211221122(), 12
, 12ˆ()(, )=(, )i m m z j m j m j m j m P R r r e r r -+αψψ 故(15)式变为
()()121212112212
12,12(, )(, )j j
i m m im jm m m jm j m j m m m e r r C e
r r +-+α
-αψ=ψ∑ （16）
再利用（11）式得
()
1212112212
12,, 12(, )=(, )
j j
im im jm m m jm j m j m m m e r r e C r r +-α-αψψ∑
由于1122,12(, )j m j m r r ψ线性无关，所以
21m m m +=. （17）
这样
()()2121212121,,,m m m j j m m j j j m m jm C C +=δ
（18）
将其代人(10)式，得
()()()
()()()()12121212112
21
212121212
(),,,j j j j j j
j j
j m m m m j m m m m m m j m m j j j D R D R C D R C +''''''++=-=
∑ （19）
由§4.4节(10)式知：两不可约表示的矩阵元满足正交性
()()()()()12112
2*,,,,,j
j
m m m m G
D D W d d d ''αβγαβγαβγαβγ=⎰
12
1212
1
(,,)m m m m j j j W d d d l ''αβγαβγ
δδδ⎰
（20）
三个欧勒角的变化范围分别为：
0()2, 0.≤αγ≤π≤β≤π 权重因子(,,)sin W αβγ=β，所以
2
(,,)8W d d d αβγαβγ=π⎰
（21）
1j l 为表示的维数，对于表示()()R D j 1，1211+=j l j .
用()1
212*()
,j m m m m D R ''++乘（19）式两边并对欧勒角加权积分，利用正交关系(20)得
()()()()()121
1221212*()
,21,,,,,,sin 8j j j m m m m m m m m D D D d d d ''''++αβγαβγαβγβαβγπ
⎰ ()()
12121
212, , 121j j j j j m m j m m C C j ''=+ （22）
为了确定()
1212
, j j j m m C ，在上式中令11j m ='，22j m -='，并由§5.4节（2）（3）与（4）式知：
1212121212121212*(),12121212222[()()](,,)
(1)11
(cos )(sin ) 22
j j j m m k
k
j m m j j k j j m m k i j j m m D e -+++-+----+-α++γαβγ=-⨯β-β∑(22)
()
111
111111()(,,)11 (cos )(sin )22
j j m i j m m j j m D
e -α+γ
+-αβγ=
β-β （24）
()
()
22
222
222222()(,,)111 (cos )(sin )22
j m j j m i j m j m j m D e
+---α+γ-+αβγ=-β-β （25）
将（23）（24）（25）三式代人（22）式并注意()()
()112211, 11j m k
--=-=,
得:
()()()()()()()()()()1
2
12121212122111122222!2!!!!!18!!!!j j j m m j m m j j j j j j j m j m j m j m ⎡⎤
++--+--+⨯⎢⎥π+-+-⎣⎦
()
()()()22
121212121
1!!!!
k j m R
k j m m k j j j k j j m m k ++-⨯
++--+----+∑211122+2222211(cos )(sin )sin 22
j j m k j m k
d d d +--+βββαβγ⎰ ()()
12121212
, , 121
j j j j j j j j m m C C j -=+ （26）
利用积分
()222111!!
(cos )(sin )sin 8221!a b a b d d d a b βββαβγ=π
++⎰ 则
()()()211122222222211112111cos sin sin 822+!!
1!
j j m k j m k
d d d j j m k j m k j j j ++--+⎛⎫⎛⎫βββαβγ
⎪ ⎪π⎝⎭
⎝⎭
+--+=+++⎰
代入（26）式得:
()()()()()()()()()()()121
2
12121212121111222221
1!
2!2!!!!!!!!!j j j j j j j m m j m m j j j j j j j m j m j m j m +⨯
+++⎡⎤
++--+--+⨯
⎢⎥+-+-⎣⎦
()
()()()()()22
211112121212!!
1!!!!
k j m k
j j m k j m k k j m m k j j j k j j m m k ++++--+-++--+----+∑
()()
12121212, , j j
j j
j j j j m m C C -= (27)
在上式中再令11j m =，22j m -=，得:
()
()()()()()
()()()()12112
2
12121212121221!1!
!! 1!!!j j j j j k
k
j j j j c j j j j j j j j j k k j j j k j j j k -++-=
⨯
+++-+++--+---+-∑
再利用恒等式
()()()()()()()()()!
!!
2!2!!!!!121211*********j j j j j j j j k j j j k j j j k k j j j j j j k
k
-+-+=-+---+-+++--∑
这样
()()()()()1212
12
()
12, 1212212!2!1!!j j j j j j j j C
j j j j j j -⎡⎤+=⎢⎥++-+-⎣⎦
(28)
代入(27) 式得
()
()()()()()()()()()()()12121
2
1212121212,1211112222!!!!!21=1!!!!!j j j m m j j j j j j j j j j m m j m m j C j j j j m j m j m j m ⎡⎤
+--++-++--+⨯
⎢⎥++++-+-⎣⎦
()
()()()()()22
211112121212+!!
1!!!!
k j m k
j j m k j m k k j m m k j j j k j j m m k +++--+-++--+----+∑
将其代入(18)式, 最后得C-G 系数为:
()
()()()()()()()()()()()1212
1
2
121212,1211112222!!!!!211!!!!!j j jm m m j j j j j j j j j j m j m j C j j j j m j m j m j m ⎡⎤+--++-+-+=⨯⎢⎥++++-+-⎣
⎦
()
()()()()()22
21111212+!!
1!!!!
k j m k
j j m k j m k k j m k j j j k j j m k +++--+-+--+---+∑. (29)
表1与表2分别给出了112
12, j jm m m C
⎛⎫ ⎪⎝⎭与()
1
12
1, j jm m m C 的C-G 系数.
表1 112
12, j jm m m C
⎛⎫ ⎪⎝⎭系数
表2 ()
1
12
1, j jm m m C 系数
例如112
12, j jm m m C
⎛⎫
⎪⎝⎭, 112j j =+, 2
12=m .
1111
12111222
j j m m C
⎛⎫
⎪⎝⎭++，
()()()1
2
111111111111111111111111111!!!!!222222222222=1111111!!!!!222222j j j j j
j j m j m j j
j j m j m ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+
-++--++++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⨯
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+++++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
()
()11
111
11111111!!221111111!!!!
222222k k
j m k j m k k j m k j j k j m k +⎛⎫+++--+ ⎪⎝⎭
-⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-+----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
∑()()()()()()()()()()()()()()()1
2
1111111111111111111111111112!1!0!1!!2222!!!1!0!1!!!1! 0!1!1!1!1!0!!!j j m j m j j j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m ⎡⎤++-+=⨯
⎢⎥++-⎣⎦
⎡⎤
++-+-+-+⎢⎥++--+-⎣⎦
()()12
11111111121j m j m j m j ⎛⎫++=--+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭=
=
再例如 ()
1
12
,1, j jm m m C , 11+=j j , 12=m .
()1111,111, 1j j m m C ++
()()()()()()()()()1
21111111111111111111!11!11!11!11!23111!!!2!0!j j j j j j j m j m j j j j m j m ⎡⎤++-+-++--++++--+=⨯
⎢⎥+++++-⎢⎥⎣⎦
()
()()()()()111111111111!!
1!11!11!11!
k
k
j m k j m k k j m k j j k j m k +++--+-+++-+-+-----∑()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1
2111111111111111111111111111111111112!2!0!2!!2323!!!2!0!2!!1!1!!2! 0!2!2!2!1!1!1!1!2!0!!!j j m j m j j j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m ⎡⎤++-+=⨯
⎢⎥++-⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
++-++-++-+-+⎢⎥
++--++--+-⎢⎥⎣⎦
()()()()()()1
2
111111111111111111(1)(2)(21)(22)11 112122j m j m j j j m j m j m j m j m j m ⎛⎫++++=⨯
⎪++⎝⎭⎡⎤
-----+-+-+-+⎢⎥
⎣⎦
()()()()2
1
111122121⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++++=j j m j m j C-G 系数有下列性质
()()()
()()1
2
1
2
12
12
21
12
1
2
21
, , , 11j j j j j j j j j j j j jm m m j m m m jm m m C C C +-+----=-=-
()()
1
1
12211
2
, 221121j m j j
j m
m m
j C j ---⎛⎫
+=- ⎪
+⎝⎭
（30）
例如：
()
()()()()()22
12122111()
, 01212!!
1!!!!
k j m j j j m m m k
j j m k j m k C C k j m k j j j k j j m k +----+--++=----+--++∑ (31)
其中：
()()()()()()()()()()()2
1
22221111212121210!!!!!112!!!!!⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-+-+++++-+-++--+=m j m j m j m j j j j j m j m j j j j j j j j j j C 与求和无关，且在12, , m m m 变号情况下，其值不变.
令12j j j k k '-+-=，则12k j j j k '=-+-, (31)式求和项变为：
()
()()()()()122211211212!!
1!!!!
j j j m k k j m k j j m k j j j k k j j m k j m k '
-+--'
''-+++--''''-+---++-∑
而
()()
()()
122122221
222
241111j j j m k j j j j j m k j j j
k j m '
'
'-+----+---+-++-=-=--
这样
()
()
1222
1212(), 011j j j
k j m j j j m m m k
C C +-++---=--⨯∑
()()()()()21111212!!
!!!!
j j m k j m k k j m k j j j k j j m k ++--++--+---+
()()
1
2
12
1
2
,=1j j j j j jm m m C +--.
其它性质亦可用同样方法予以证明.
例1：现在我们利用两波函数的耦合公式
()121212112212112212
12
()
12, 12, 12()()()()()j j
j j jm m m jm
j m j m jm m m j m j m m m m m r r C r r C r r +ψ=
ψψ=ψψ∑∑
（32）
及表1所给的C-G 函数来讨论两电子的合成自旋波函数，为此采用惯用的符号
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=01α, ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=10β (33)
分别代表自旋向上⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=21z S 与自旋向下⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-=21z S 的自旋波函数，用m
j ,代表合成的自旋波函数.
由于电子的自旋为2
1
21==j j ，则合成的总自旋为1, 0j =. 当1=j 时，1, 0, 1m =-. 当0=j 时，0=m . 考虑到21m m m +=，则由表1可得
12
1122, jm m m C
⎛⎫ ⎪⎝⎭系数，如表3示.
表3 12
1122, jm m m C ⎛⎫ ⎪⎝⎭函数
这样由（32）、（33）两式及上表可得：
()()
()()()()[]()()⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧=-+==211,12121210,1211,1ββαββααα ()()()()[]21212
10,0αββα-=
以上合成波函数在量子力学中我们早就熟悉.
§ 5.9 张量算符
1.算符的变换
我们先看一下坐标转动时，算符的变换规则.
设有算符()r F ˆ，作用在波函数()r ψ后可得到另一波函数()r φ，即
()()()r r r F φψ=ˆ
（1）
设在坐标转动R 下的算符为()R P ˆ，用()R P
ˆ作用在上式两边得： ()()()()()r R P
r r F R P φψˆˆˆ= 求：
()()()()()()()r R P
r R P R P r F R P φψˆˆˆˆˆ1=- 令
()()()()R P r F R P r F
1ˆˆˆˆ-=' （2）
且注意到：
()()()
r R r R P 1ˆ-=φφ ()()()
r R r R P 1ˆ-=ψψ
则上式变为：
()()(
)
r
R r R r F 11ˆ--='φψ
(3)
又由（1）式知：
()()()
r
R r R r F 11ˆ--='φψ
(4)
因此：
()()()()()r R F R P r F R P r F
11ˆˆˆˆˆ--==' (5)
2. 矢量算符
如果算符F ˆ有三个分量i
F ˆ()3,2,1=i ，在坐标转动变换下，它按如下规则变换
()()F R R P F R P F
ˆˆˆˆˆ11--==' (6)
或
()()∑∑==='--j
j
ji j
j ij i i F R F R R P F R P F ˆˆˆˆˆˆ11()3,2,1,=j i
(7)
则该F
ˆ为矢量算符.
例1.算符i
i
x e ∂∂
=∇
是矢量算符（3,2,1=i ）分别对应于x ，y ，z ）是矢量算符.
因为此时i
i
x F ∂∂
=ˆ，在坐标经R 变换后，
Rr
r ='或∑='j
j ij i x R x
（
8
）
而
()()r F R r F x R x x x x j j ji i j j ji j
j i j i '=⇒'∂∂='∂∂∂'∂=∂∂∑∑∑ˆˆ)8(式 （9）
又由算符变换性质（5）知
()()()()()()()()r F R P r F R P r R F R P r R F R P i
i ˆˆˆˆˆˆˆˆ1111='⇒='---- （10）
（9）+（10）得
()()()()()r F R R P r F R P r F j j
ji i i ˆˆˆˆˆ1∑=='-
因此按矢量算符的定义（6）或（7）知，i
i
x e ∂∂
=∇
是矢量算符.
3.二阶张量算符
如果算符F ˆ有9个分量ij F ˆ()3,2,1,=j i ，而且ij
F ˆ的变换性质为：
()()()()kl
kl
lj ki k
kl l
jk ik ij ij F R R F R R R P r F R P r F ˆˆˆˆˆˆ111∑∑∑==='--- （11）
则称F
ˆ为二阶张量算符.
由于()klij lj ki R R R R ⊗=，所以ij
F ˆ是按直积R R ⊗变换的.
4. 高阶张量算符
如
个指数
n ijk F ˆ的变换性质为：
()()∑'''''''''-=
k j i k j i k k j j i
i ijk F R R R
R P F R P ˆˆˆˆ1 （12）
则称
k j i F '''ˆ为n 阶张量算符，n 是F ˆ下脚标的数目，显然矢量算符可以看成是一阶张量算符.
5.不可约张量算符
设有算符()l m
T ˆl l l m ,,1, +--=，共有12+l 个分量，它们在坐标转动R 下，按下式变换
()
()()
()()()()l m l
l
m l
m
m l m
l m T R D R P T R P T '
-='-∑=='ˆˆˆˆˆ1
（13）
也就是说，()l m T ˆ的12+l 个分量按SO （3）群的不可约表示()()R D l 变换，则称()l m
T ˆ为l -阶不可约张量算符.
当0=l 时，即为零阶不可约张量算符，它只有一个分量()00
ˆT ，称为标量算符，其表示矩阵()10=D ，即标量算符在坐标转动下不变.
当1=l 时，即为1阶不可约张量算符，它有三个分量，其变换关系为：
()()
()()()()
11
1
1ˆˆˆˆm l
l
m m
m m
T R D R P T R P '
-='-∑=
()1,0,1,-='m m
（14）
前面我们曾介绍过矢量算符满足变换关系
()()()()
r F R R P r F R P j j
ji i ˆˆˆˆ1∑=-
()3,2,1,=j i
（15）
而由前面§5.4节的讨论知：()()R D l 与R 等阶，即
()()1
1-=M R MD R 或
()()∑'-''=m
m mi m m m j ji M R D M R 1
1
（16）
其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=-0,2,211
,0,00,2,211i i M
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=0,1,02,0,221,0,21
i i M
（17）
将（16）代入（15）得：
()()()()∑'-''-=m j
m j m i m m m j i F M R D M R P F R P ˆˆˆˆ111
上式两边同乘in M 并对求和得：
()()()()∑∑∑''-'-⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛mj
m j
m j i
mi in m m i
i in F M M M R D R P F M R P ˆˆˆˆ111 利用M 矩阵的正交性nm i
mi in M M δ=∑-1
，上式变为：
()()()()∑∑∑'''-⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛m j j m j m m i i in F M R D R P F M R P ˆˆˆˆ11 将上式与（14）式比较知：
()∑'
''=m m m m l m F M T ˆˆ
（18）
亦即：
()()
()()()
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-==+-=-2
111310
2111
ˆˆ21ˆˆˆˆˆ21ˆF i F T F T F i F T （19）
由此可见，任一矢量算符的分量可组合成一阶不可约张量算符.
在前面§5.6节中我们曾得绕任意方向n
绕角为α的转动算符为
()()ταα ⋅-=n i R P n
e x p ,ˆ 若取n
沿z 轴，转角0→∆=ηα，则
()()z
z z L i L i R P ˆ1ˆexp ,ˆηαηαη∆-≈∆-=∆ （20）
而此时
()()()()m i m m l m m l m m e
D R D ηδη∆-'''=∆=,0,0 （21）
将（20）与（21）两式代入（13）式得：
()()()()()()l m
m l m m z l m z T D R P T R P ''
'-∑∆=∆∆ˆ,0,0,ˆˆ,ˆ1ηηη 亦即：
()()()()()l m
l m z l m z T m i T L i T L i ˆˆˆ1ˆˆ1ηηη∆-=∆+∆- 由此可得：
()[]()l m
l m z T m T L ˆˆ,ˆ= （22）
结合§5.6节的结果，同样的方法可以证明.
()[
]
()()[]()l m l m T m l m l T L 1
21
ˆ1ˆ,ˆ±±+±=
（23）
其中y
x L i L L ˆˆˆ±=±.
下面我们再讨论一下，不可约张量算符对按()3SO 群不可约变换的
函数作用.
设2
2
m j ψ是按不可约表示()
2j D
变换的函数，不可约张量算符()11
ˆj m
T 作用在2
2
m j ψ上后，在转动变换下有：
()()()()()()2
211
2
211ˆˆˆˆˆˆ1m m j j m j j m R P R P T R P T R P ψ=ψ-
()()()()()221
2221
1111
1ˆm j m j m m m j m j m m R D T R D '''''ψ=∑∑ ()()()()(
)
222
1112
221
11
ˆm j m m j m j m m j m m T R D R D '''''ψ=∑
(
)
()
[]
()222
111
2
12121ˆm j m m j m m m m m j j T D D '''''ψ⊗=
∑
（24）
由此可见，()()121221++j j 个函数()2
2
11
ˆm j j m T ψ按()3SO 群的表示直积()()21j j D D ⊗变换，则由前面§5.8节的讨论知，()2211
ˆm j j m T ψ不是角动量2ˆJ 与z
J ˆ的本征函数，利用C-G 函数，可将()2211ˆm j j m T ψ线形组合为：
()()
∑ψ=
2
12
2112121ˆ,m m m j j m j j m m jm jm T C ψ
（25）
其中,,,1,212121j j j j j j j ++--= j j j m ,,1, +--=，则jm ψ将构成
总角动量2ˆJ 与z
J ˆ的本征函数，其本征值方程为：
()()∑ψ=2
12
2112121ˆˆˆ,m m m j j m z j j m m jm jm
z T J C J ψ
()(
)(
)()()
∑ψ+=
2
1221111212
1ˆˆˆ1,22m m m j j m z j m j j m m jm T m J T C 式
()()()∑ψ+=
2
12
2112121ˆ,21
m m m j j m j j m m jm T C m m
()()∑ψ=2
12
2112121ˆ,m m m j j m j j m m jm T C m
()()∑ψ=2
12
2112121ˆ,m m m j j m j j m m jm T C m
亦即
jm
jm z m J ψψ=ˆ
（26）
由（23）式，用同样的方法可以证明
(
)
()()[]1
21
1ˆˆ±+±=±jm jm y x m j m j J i J ψψ
（27）
6维格纳-艾卡特（Wigner-Echart ）定理
现在我们来计算一下不可约张量算符
()11
ˆj m T 在态2
22m j N
ψ和态Njm ψ之间的
矩阵元，这里的2N 与N 代表除22m j 或jm 外的其它量子数，由于算符
()R P ˆ的正交性有：
()()()()()()()()
22211
22211ˆˆˆˆ,ˆˆ,1m j N j m Njm m j N j m Njm
R P R P T R P R P T ψψ=ψψ
-
()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ=∑∑∑''''''''*'m m m j N j m m j m j m m m m Nj j m m R D T R D R D 22222
211111ˆ,
()()()()()()()()
∑''''''
''*
'ψψ
=
2
12
22112
2
2111
ˆ,m m m m j N j m m Nj j m m j m m j m
m T R D R D R D （28）
又由前面§5.8节()9'式知
()()()()()()
()()∑∑''
'''''''''=m m j j j m m m j j m m j j m m m j j m m j m m C R D C R D R D 2
12
12
12
12
2
2
1
1
1,,
(
)
()
()()∑+-=''+'''+'+''''+''=
2
12
1212
1212121212121,,,j j j j j j j m m m m j j m m m m j j m m m m j C R D C （29）
将（29）代入（28）式得：
()()(
)
()()()∑'''''''+'''''+''=ψψ
2
121212121212122211
,,ˆ,m m m j j m m j j m m m m j j j m m m m j m j N j m Njm
R D C C T
()()()2
2211
2
1
2
1
ˆ,,m j N
j m m Nj j m m m m T D ''''+'+'ψψ*
上式两边对欧勒角γβα,,加权重βsin 积分，并利用不可约表示正交性
得
()()(
)
()∑'''''+'''''+''=ψψ
2
1212
121212
12122211
,,ˆ,m m m j j j m m m m j j j m m m m j m j N j m Njm
C C T
()()
2
22112121ˆ,1
21,,m j N j m m Nj m m m m m m j j T j ''''+'+'''ψψ*+=
δδδ
()
()2
1
2
1212
12121212121,,,,1
2m m m m m m j j m m m m j m m m j j m m m jm j C C '+''''''''+'++∑
+*=δδ
()()
2
2211ˆ,m j N j m m Nj T '''*ψψ
(30)
由（30）式知，求和部分仅与j N N ,,2，2j 有关，而与21,,m m m 无关，为简单起见，将求和部分记为：
22j NjN T 称为不可约张量算符的约化矩阵，则（30）式可写成：
()()(
)
()12
221212
2211
ˆˆ,,j j NjN j j m m jm jm N j m Njm T C T =ψψ
（31）
上式就是维格纳-艾卡特定理的数学形式，说明一个不可约张量算符在角动量本征态之间的矩阵元等于一个C-G 函数与其约化矩阵的直积.
由该定理可以看出，不可约张量算符的矩阵元与其中出现的C-G 函数有相同的选择定则，即只有当
()
j j j 21∆，
212121,,1,j j j j j j j ++--=
（32） 以及
21m m m += （33）
时不可约张量算符的矩阵元才不为零.
例1. 角动量算符的矩阵元
前面在§5.6节中，我们曾经得到角动量算符的矩阵元为：
()()()()φθφθ,1,ˆ1
±±±+±=lm lm Y m l m l Y L y x L i L L ˆˆˆ±=± ()33' 下面我们由不可约张量算符来导出这些矩阵元.
由本节（19）式知，z
y x L L L ˆ,ˆ,ˆ可以组合成一阶不可约张量算符为：
()()
()()()
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-==+-=-y
x z y x L i L T L T L i L T ˆˆ21ˆˆˆˆˆ21ˆ1110
11
（34）
前面得到的维格纳-艾卡特定理知：
()
()(
)
()
1,1,122212
211ˆll l m m lm m l m lm T C Y T
Y
=
（35）
为了确定约化矩阵元()12
ll T ，在上式中取01=m ，则有：
()()()
()()122222222
2111,10,21ˆˆˆll l m lm mm ll m l z lm
m l m lm T C m Y L Y
Y T
Y
===δδ
故得：
()()
2
2
22
12
,10,2
1ˆmm ll l m lm ll C m T δδ=
而由前面§5.8节的讨论知：
()
()
()
()()()
2
1,2
1,22
2211122211,0,1,10,mm l
l C l m lm l
l l m lm l l m C C l m m
lm δ+-=
-=-+-+表知
故
()()()()2
2
12
111ˆ2211ll ll l l ll
l l l l T δδ+-=+-=-+ 代入（35）式得：
()()()()()()1ˆ,1,,1,2
12
11
+-=l l C Y T Y l m
m lm lm m lm φθφθ （36）
则
()()()()()()1ˆ,11,,11,2
2
1
+-=l l C Y T Y l m
lm lm lm φθφθ 而
()()()
()()()1,2
1,1,1,1,11,22
2
1211+-+⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡++-+=-=m m l m lm l l l m lm l l m l m l C C δ ()()()1,2
1
222121+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-++=m m l l m l m l δ 故
()()()
()()()1,2
1
22,11,22
1
2
1ˆ+⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡-++-=m m lm lm m l m l Y T Y δφθφθ 由于
()()+
-=+-=L L i L T y x ˆ2
1ˆˆ2
1ˆ11，故
()()()[]()φθφθ,1
21
,1ˆ++-++=lm lm Y m l m l Y L 与()33'式一致.
再由（35）式得：
()()()()()
()1ˆ,11,,11,2
2
1
+-=--l l C Y T Y l m
lm lm lm φθφθ 而。