北京市首都师范大学附属中学2018-2019学年高二第二学期期末数学试卷(无答案)

2019北京首都师大附中高二（下）期末
数 学
第I 卷（共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1. 下列哪个函数的定义域与函数f(x)=(13)x 的值域相同
A. y=|x |
B. y=1x
C. y=x+1x
D. y=lnx
2. 若a>b>0，则
A. log 0.5a <log 0.5b
B. log a 0.5<log b 0.5
C. √a <√b
D.(12)a >(12)b 3. 已知直线l 的方程为ax+by=1,且a 2+b 2=1，则直线l 与圆x 2+y 2=1的位置关系是
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不确定
4. 已知函数y=f(x)的图象如下，则函数f(x)的解析式可能是
A. （x-1x ）cosx
B. （x+1x ）cosx
C. xcosx
D. cosx
x
5. 2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。

在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。

在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π（x ）≈x lnx 的结论。

若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数即质数（参考数据：lge ≈0.43429）,计算结果取整数的个数为
A. 768
B. 668
C. 445
D. 145
6. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2−x ，则当x ∈(-2,-1]时，f(x)的最小值为
A. -1
B. -14
C. -18
D. -116 7. 设m=log 0.30.6，n =12log 20.6,则
A. m-n>mn>m+n
B. mn>m-n>m+n
C. m-n>m+n>mn
D. m+n>m-n>mn
8. 已知函数f(x)=(x2−x−1)e x，设关于x的方程f2(x)−mf(x)−5
e
=0(m∈R)有n个不同的实数解，则n的所有可能取值为
A. 2
B. 3
C. 3或4
D. 2或4或6
第II卷（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 函数f（x）log0.5(x2+4x−5)的单增区间是
10. 若函数f(x)=(1-a 2+1
2x+1
)为偶函数，则a=
11. 已知函数f(x)={x+2
x
−3(x≥1)
lg⁡(x2+1)(x<1)
，则f(f(-3))= ，f(x)的最小值是
12. 已知函数f(x)满足：f(x)=f(2-x),函数g(x)=sin(x-1),若f(x)的图象与g(x)的图象有2019个不同的交点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），···，（x2019，y2019）
则x1+x2+x3+···+x2019+y1+y2+y3+···+y2019=.
13. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[-3,5]=-4,[2,1]=2. 若函数f(x)=[x]+[2x]，x∈R,A={y|y=
f(x),0≤x≤1}，则A中所有元素的和为。

14. 已知函数f(x),对于给定的实数t，若存在a>0，b>0,满足：∀x∈[t−a,t+b],|f(x)−f(t)|≤2,则记a+b的最大值为H（t）
（1）当f(x)=2x时，H（0）= ；
（2）当f(x)=x2且t∈[√2，2]时，函数H（t）的解析式为
三、（本大题共6小题，共80分）
15. 已知函数f(x)=|x+1|−2|x−1|
（I）函数f(x)的零点分别是和，其图象与x轴围成的三角形面积为
（II）设g(x)=x 2−ax+4
x
，若对任意s∈(0.+∞)恒有g(x)≥f(1)成立，求实数a的取值范围。

16. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F（1，0），点A（a,0）是x轴上一点，P（x,y）是抛物线上任意一点（I）求抛物线方程及|PF|的最小值；
（II）已知O为坐标原点，若|PA|的最小值为|OA|，求实数a的取值范围
17. 设{a n}是等差数列，且a1=ln2,⁡a2+a3=5ln2
（I）求{a n}的通项公式；
（II）求e a1+e a2+···+e a n的值
18. 已知函数f(x)=lnx+a x2+（2a+1）x
（I）讨论函数f(x)的单调性；
（II）当a<0时，证明：f(x)≤-3
4a
-2
19. 已知椭圆C：x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左顶点为A，四点P1（1，0），P2（1，√2），P3（√2，1），，P4（−√2，
−1）恰有三点在椭圆上，过点P1（1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N两点。

（I）求椭圆C的方程；
（II）过点P1（1，0）且平行于AM的直线交直线x=5
2
于点Q，求证：直线NQ过定点。

20. 已知数集A={a1，a2，···，a n}（1=a1<a2<···<a n，n≥2）具有性质P：对任意的k(2≤k≤n)，∃i,j(1≤i≤j≤n)，使得a k=a i+a j成立
（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（II）求证：a n≤2a1+a2+····+a n−1（n=2,3,4···）；
（III）若a n=72，求数集A中所有元素的和的最小值。