(汇总3份试卷)2021年南京某大学附属中学中考数学模拟试题

中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】D
【解析】根据方差反映数据的波动情况即可解答.
【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
2．A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为
A．180180
1
(150%)
x x
-=
+
B．
180180
1
(150%)x x
-=
+
C．180180
1
(150%)
x x
-=
-
D．
180180
1
(150%)x x
-=
-
【答案】A
【解析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．
【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：
180 x ﹣
180
150%x
+
（）
=1．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．
3．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为1
3
．小张
这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )
A．能中奖一次B．能中奖两次C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定【答案】D
【解析】由于中奖概率为1
3
，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.
故选D ．
【点睛】
解答此题要明确概率和事件的关系：
()P A 0=①，为不可能事件；
()P A 1=②为必然事件；
()0P A 1③<<为随机事件．
4．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十
．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23
的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则列方程组为（ ）
A ．15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
B ．15022503y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
C ．15022503x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
D ．15022503y y x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
【答案】A 【解析】设甲的钱数为x ，人数为y ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23
的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ， 依题意，得：15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
． 故选A ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．如图，AB ∥CD ，点E 在线段BC 上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是( )
A．70°B．60°C．55°D．50°
【答案】A
【解析】试题分析：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE的外角，
∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A．
考点：平行线的性质．
6．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据三视图的定义即可判断．
【详解】根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．故选A．【点睛】
本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型．
7．－4的绝对值是（）
A．4 B．1
4
C．－4 D．
1
4
【答案】A
【解析】根据绝对值的概念计算即可.（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值.）
【详解】根据绝对值的概念可得-4的绝对值为4.
【点睛】
错因分析：容易题.选错的原因是对实数的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A．30°B．45°C．50°D．75°
【答案】B
【解析】试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE
【答案】B
【解析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误,
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键. 10．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）
A．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
【答案】D
【解析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．
【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，
在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为
2
3
≈0.67>0.16，故A选项不符合题意，
从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为13
27
≈0.48>0.16，故B选项不符合题意，
掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是1
2
=0.5>0.16，故C选项不符合题意，
掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是1
6
≈0.16，故D选项符合题意，
故选D.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为_____km．
【答案】3
【解析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．
【详解】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB•tan60°，
∴PC＝
km），
故答案为．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB＝BC，推出∠C＝30°．
12．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
【答案】-1
【解析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案为-1.
【点睛】
本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
13．
1
2019
的相反数是_____．
【答案】
1 2019
【解析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】
1
2019
的相反数是−
1
2019
.
故答案为−
1 2019
.
【点睛】
本题考查的知识点是相反数，解题的关键是熟练的掌握相反数.
14．如果点A（－1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x－1）2+h上，那么m的值为_____．【答案】1
【解析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【详解】由点A （﹣1，4）、B （m ，4）在抛物线y=a （x ﹣1）2+h 上，得：（﹣1，4）与（m ，4）关于对称轴x=1对称，m ﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m ﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键．
15．如图，点A 是双曲线y ＝﹣
9x
在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰△ABC ，且∠ACB ＝120°，点C 在第一象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝k x
上运动，则k 的值为_____．
【答案】1
【解析】根据题意得出△AOD ∽△OCE ，进而得出AD OD OA EO CE OC
==，即可得出k=EC×EO=1． 【详解】解:连接CO ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，
∵连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰△ABC ，且∠ACB=120°，
∴CO ⊥AB ，∠CAB=10°， 则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE ，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD ∽△OCE ，
∴
AD OD OA EO CE OC == =tan60°3， ∴AOD EOC S S ∆∆=2
3 =1， ∵点A 是双曲线y=-
9x 在第二象限分支上的一个动点， ∴S △AOD =12×|xy|=92
，
∴S△EOC=3
2，即
1
2
×OE×CE=
3
2
，
∴k=OE×CE=1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，得出
△AOD∽△OCE是解题关键．
16．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是
【答案】4
【解析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．【详解】
当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB，
∵M为CD中点，OM过O，
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
∵⊙O直径AB=8，
∴半径OC=4，
即PM=4.
【点睛】
本题考查矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
17．某厂家以A 、B 两种原料，利用不同的工艺手法生产出了甲、乙两种袋装产品，其中，甲产品每袋含
1.5千克A 原料、1.5千克B 原料；乙产品每袋含2千克A 原料、1千克B 原料．甲、乙两种产品每袋的成本价分别为袋中两种原料的成本价之和．若甲产品每袋售价72元，则利润率为20%．某节庆日，厂家准备生产若干袋甲产品和乙产品，甲产品和乙产品的数量和不超过100袋，会计在核算成本的时候把A 原料和B 原料的单价看反了，后面发现如果不看反，那么实际成本比核算时的成本少500元，那么厂家在生产甲乙两种产品时实际成本最多为_____元．
【答案】5750
【解析】根据题意设甲产品的成本价格为b 元，求出b ，可知A 原料与B 原料的成本和40元，然后设A 种原料成本价格x 元，B 种原料成本价格(40﹣x)元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，列出方程组得到xn ＝20n ﹣250，最后设生产甲乙产品的实际成本为W 元，即可解答
【详解】∵甲产品每袋售价72元，则利润率为20%．
设甲产品的成本价格为b 元， ∴72-b b
＝20%， ∴b ＝60，
∴甲产品的成本价格60元，
∴1.5kgA 原料与1.5kgB 原料的成本和60元，
∴A 原料与B 原料的成本和40元，
设A 种原料成本价格x 元，B 种原料成本价格(40﹣x)元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，
根据题意得：
10060(240)50060(802)
m n m x x n m n x x +≤⎧⎨++-+=+-+⎩ ， ∴xn ＝20n ﹣250，
设生产甲乙产品的实际成本为W 元，则有
W ＝60m+40n+xn ，
∴W ＝60m+40n+20n ﹣250＝60(m+n)﹣250，
∵m+n≤100，
∴W≤6250；
∴生产甲乙产品的实际成本最多为5750元，
故答案为5750；
【点睛】
此题考查不等式和二元一次方程的解，解题关键在于求出甲产品的成本价格
18．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）
【答案】（2n，1）
【解析】试题分析：根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），
n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），
∴点A4n+1（2n，1）．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN 于D、M两点．求证：MD=MC；若⊙O的半径为5，AC=45，求MC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）MC=15 4
.
【解析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC ，
∴∠OAC=∠OCA ，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM ，
∴MD=MC ；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=45， ∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=()221045-=25，
∵∠AOD=∠ACB ，∠A=∠A ，
∴△AOD ∽△ACB ，
∴OD AO BC AC
=，即2545=， 可得：OD=2.5，
设MC=MD=x ，在Rt △OCM 中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x 2+52，
解得：x=
154， 即MC=154
． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.
20．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
根据图中信息求出m= ，
n= ；请你帮助他们将这两个统计图补全；根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？已知A 、B 两位同学都最认可“微信”，C 同学最认可“支付宝”D 同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物
不一样的概率．
【答案】（1）100、35；（2）补图见解析；（3）800人；（4）5 6
【解析】分析：（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n 的值；
（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．
详解：（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人，
∴支付宝的人数所占百分比n%=35
100
×100%=35%，即n=35，
（2）网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为
40
100
×100%=40%，
补全图形如下：
（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人；（4）列表如下：
共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，
所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为105 126
．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询，如果按照标价购买两种耗材，当购买茶艺耗材的
数量是陶艺耗材数量的2倍时，购买茶艺耗材共需要18000元，购买陶艺耗材共需要12000元，且一套陶艺耗材单价比一套茶艺耗材单价贵150元.求一套茶艺耗材、一套陶艺耗材的标价分别是多少元？学校计划购买相同数量的茶艺耗材和陶艺耗材.商家告知，因为周年庆，茶艺耗材的单价在标价的基础上降价2m 元，陶艺耗材的单价在标价的基础降价150元，该校决定增加采购数量，实际购买茶艺耗材和陶艺耗材的数量在原计划基础上分别增加了2.5m %和m ％，结果在结算时发现，两种耗材的总价相等，求m 的值.
【答案】（1）购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元；（2）m 的值为95.
【解析】（1）设购买一套茶艺耗材需要x 元，则购买一套陶艺耗材需要()150x +元，根据购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍列方程求解即可；
（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为a ，根据两种耗材的总价相等列方程求解即可.
【详解】（1）设购买一套茶艺耗材需要x 元，则购买一套陶艺耗材需要()150x +元，根据题意，得18000120002150
x x =⨯+. 解方程，得450x =.
经检验，450x =是原方程的解，且符合题意
150600x ∴+=.
答：购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元.
（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为a ，由题意得：
()()45021 2.5%m a m -⋅+ ()()6001501%a m =-⋅+
整理，得2950m m -=
解方程，得195m =，20m =（舍去）.
m ∴的值为95.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用及一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键，列方程解决实际问题注意要检验与实际情况是否相符.
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()30y kx k =+≠与x 轴交于点A ，与双曲线()0m y m x
=
≠的一个交点为B （－1，4）.求直线与双曲线的表达式；过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若点P 在双曲线m y x =上，且△PAC 的面积为4，求点P 的坐标.
【答案】（1）直线的表达式为3y x =-+，双曲线的表达方式为4y x =-；（2）点P 的坐标为1(2,2)P -或2(2,2)P -
【解析】分析：（1）将点B （-1，4）代入直线和双曲线解析式求出k 和m 的值即可；
（2）根据直线解析式求得点A 坐标，由S △ACP ＝12
AC•|y P |＝4求得点P 的纵坐标，继而可得答案． 详解：（1）∵直线()30y kx k =+≠与双曲线y =
m x （0m ≠）都经过点B （－1，4）， 34,14k m ∴-+==-⨯，
1,4k m ∴=-=-，
∴直线的表达式为3y x =-+，双曲线的表达方式为4y x
=-.
（2）由题意，得点C 的坐标为C （－1，0），直线3y x =-+与x 轴交于点A （3，0），
4AC ∴=，
∵142
ACP P S AC y ∆=⋅=， 2P y ∴=±，
点P 在双曲线4y x
=-上， ∴点P 的坐标为()12,2P -或()22,2P -.
点睛：本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．
23．某市对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施进行全面更新改造，根据市政建设的
需要，需在35天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作，只需10天完成．甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．
【答案】（1）甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；（2）应该选择甲工程队承包该项工程．
【解析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；
（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．
【详解】（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天. 根据题意得：101012x x
+= 方程两边同乘以2x ，得230x =
解得：15x =
经检验，15x =是原方程的解.
∴当15x =时，230x =.
答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天.
（2）因为甲乙两工程队均能在规定的35天内单独完成，所以有如下三种方案：
方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：41560⨯=（万元）；
方案二：由乙工程队单独完成.所需费用为：2.53075⨯=（万元）；
方案三：由甲乙两队合作完成.所需费用为：(4 2.5)1065+⨯=（万元）.
∵756560>>∴应该选择甲工程队承包该项工程.
【点睛】
本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E.
求证：BDE CAD ∆∆∽；若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.
【答案】（1）见解析；（2）6013
DE =. 【解析】对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C ，△ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得
AD ⊥BC ，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED ，至此问题不难证明；
对于（2），利用勾股定理求出AD ，利用相似比，即可求出DE.
【详解】解：（1)证明：∵AB AC =，
∴B C ∠=∠.
又∵AD 为BC 边上的中线，
∴AD BC ⊥.
∵DE AB ⊥，
∴90BED CDA ︒∠=∠=，
∴BDE CAD ∆∆∽.
(2)∵10BC =，∴5BD =.
在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得2212AD AB BD =
-=. 由（1）得BDE CAD ∆∆∽，∴BD DE CA AD
=， 即
51312
DE =， ∴6013DE =. 【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
25．已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.分别写出图中点A 和点C 的坐标；画出△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；求点A 旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.
【答案】（1）()04A ，、()31C ，（2）见解析（3）322
【解析】试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A 所经过的路程是以点C 为圆心，AC 长为半径的扇形的弧长．
试题解析：（1）A （0,4）C （3,1）
（2）如图所示：
（3）根据勾股定理可得：AC=32，则903232180n r l πππ⨯===． 考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式．
26．如图所示，已知CFE BDC 180,DEF B ︒∠+∠=∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并说明理由.
【答案】AED ACB ∠=∠.
【解析】首先判断∠AED 与∠ACB 是一对同位角，然后根据已知条件推出DE ∥BC ，得出两角相等．
【详解】解：∠AED=∠ACB ．
理由：如图，分别标记∠1，∠2，∠3，∠1.
∵∠1+∠1=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．
∴∠2=∠1．
∴EF ∥AB （内错角相等，两直线平行）．
∴∠3=∠ADE （两直线平行，内错角相等）．
∵∠3=∠B （已知），
∴∠B=∠ADE （等量代换）．
∴DE ∥BC （同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED=∠ACB （两直线平行，同位角相等）．
【点睛】
本题重点考查平行线的性质和判定，难度适中．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．对于二次函数
,下列说法正确的是（ ） A ．当x>0，y 随x 的增大而增大
B ．当x=2时，y 有最大值－3
C ．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D ．图像与x 轴有两个交点
【答案】B 【解析】二次函数22114(2)344
y x x x =-+-=---, 所以二次函数的开口向下，当x ＜2，y 随x 的增大而增大，选项A 错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B 正确； 顶点坐标为（2，-3），选项C 错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x 轴没有交点，选项D 错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
2．如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm 2，高为8cm ，乙圆柱型容器底面积为xcm 2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y （cm ）与x （cm 2）之间的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据题意可以写出y 关于x 的函数关系式，然后令x=40求出相应的y 值，即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，
y=308x ⨯=240x
， 当x=40时，y=6，
故选C ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象，根据题意列出函数解析式是解决此题的关键．
3．若△ABC ∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ）
A ．30°
B ．50°
C ．40°
D ．70° 【答案】A
【解析】利用三角形内角和求∠B ，然后根据相似三角形的性质求解.
【详解】解：根据三角形内角和定理可得：∠B=30°，
根据相似三角形的性质可得：∠B′=∠B=30°.
故选：A.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是本题的解题关键.
4．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE ＝AF ，AC 与EF 相交于点G ，下列结论：①AC
垂直平分EF ；
②BE+DF ＝EF ；③当∠DAF ＝15°时，△AEF 为等边三角形；④当∠EAF ＝60°时，S △ABE ＝12
S △CEF ，其中正确的是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】C 【解析】①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，
②设BC=a ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；
③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，
④当∠EAF=60°时，设EC=x ，BE=y ，由勾股定理就可以得出x 与y 的关系，表示出BE 与EF ，利用三角形的面积公式分别表示出S △CEF 和S △ABE ，再通过比较大小就可以得出结论．
【详解】①四边形ABCD 是正方形，
∴AB ═AD ，∠B=∠D=90°．
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，
AE AF AB AD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），
∴BE=DF
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故①正确）．
②设BC=a，CE=y，
∴BE+DF=2（a-y）
EF=2y，
∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（2−2）a时成立，（故②错误）．③当∠DAF=15°时，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠BAE=15°，
∴∠EAF=90°-2×15°=60°，
又∵AE=AF
∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．
④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y2＝(2x)2
∴x2=2y（x+y）
∵S△CEF=1
2x2，S△ABE=
1
2
y(x+y)，
∴S△ABE=1
2
S△CEF．（故④正确）．
综上所述，正确的有①③④，
故选C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（）
A．4
5
B．
5
4
C．
4
3
D．
3
4
【答案】D
【解析】先求得∠A ＝∠BCD ，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
【详解】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，
∴BC ＝3，
在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∠A+∠B ＝90°，∠BCD+∠B ＝90°．
∴∠A ＝∠BCD ．
∴tan ∠BCD ＝tanA ＝BC AC ＝34
， 故选D ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
6．如图，65,AFD CD EB ∠=︒∕∕，则B 的度数为（ ）
A ．115°
B ．110°
C ．105°
D ．65°
【答案】A 【解析】根据对顶角相等求出∠CFB ＝65°，然后根据CD ∥EB ，判断出∠B ＝115°．
【详解】∵∠AFD ＝65°，
∴∠CFB ＝65°，
∵CD ∥EB ，
∴∠B ＝180°−65°＝115°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，知道“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
7．下列计算正确的是（ ）
A ．（a 2）3＝a 6
B ．a 2+a 2＝a 4
C ．（3a ）•（2a ）2＝6a
D ．3a ﹣a ＝3
【答案】A
【解析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A ．（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项正确；
B ．a 2+a 2=2a 2，故本选项错误；。