湖北省武汉外国语学校高二数学上学期期中试题 理

高二数学试题（理）
一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列命题是真命题的为 ( )
A ．若
11x y
=,则x y = B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,则x y = D ．若x y <,则 22
x y <
2. 下列曲线中离心率为6
2
的是( )
A. 22124x y -=
B. 22
142x y -= C.22146x y -= D. 22
1410
x y -= 3. 直线1y x =+与圆2
2
1x y +=的位置关系为( )
A ．相切
B ．相交但直线不过圆心
C ．直线过圆心
D ．相离
4. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的 [2,2]t ∈-，则输出的 S 属于( )
A. [6,2]--
B. [5,1]--
C. [4,5]-
D. [3,6]-
5. 设斜率为2的直线l 过抛物线2
(0)y ax a =≠的焦点F ，且和 y 轴交于点A ,若
OAF ∆(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ).
A.2
4y x =± B.28y x =± C. 2
4y x = D. 2
8y x =
6. 已知椭圆 22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点为12,F F ，离心率为3
，过2F 的直线l
交C 于,A B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）21世纪教育网
A ． 22132x y +=
B ．22
13x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 7. 双曲线13
62
2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r =( ) A. 3 B. 2 C. 3 D. 6
8. 设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0x y a a b
-=>，0)b >的左、右焦点，双曲线上存在一点P
使得12||||3PF PF b +=，129
||||4
PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为( )
t
输入0?
t <是
1图
结束
3
S t =-S 输出开始
221t t =+否
A.
4
3
B.
5
3
C.
9
4
D.3
9. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( )
A. 2
B. 3
C. 115
D. 3716
10. ABC ∆的顶点(5,0),(5,0)A B -,ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹
方程是( )
A.
22
1916x y -= B.
221169x y -= C.221(3)916x y x -=> D.22
1(4)169
x y x -=> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.
若,a b ≤则2
2
ac bc ≤，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的
个数是＿＿＿＿.
12. 椭圆 22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为＿＿＿＿.
13. 过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45o
的直线交抛物线于A 、B 两点，
若线段AB 的长为8，则p =＿＿＿＿. 14. 在平面直角坐标系中，O 为原点， (1,0),(0,3),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD =u u u r
，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的最大值是＿＿＿＿.
15. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆
22
221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则
该椭圆的离心率为＿＿＿＿.
三、 解答题：本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本题12分）已知命题:P 函数log (12)a y x =-在定义域上单调递增；命题:Q 不等式
2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立．若P Q ∨是真命题，求实数a 的取值范围.
17.（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，
2AB =，3
BAD π∠=
，M 为BC 上一点，且1
2
BM =
，MP AP ⊥. (1) 求PO 的长；
(2) 求二面角A PM C --的正弦值.
18.（本题12分）
是否存在同时满足下列两条件的直线l ：（1）l 与抛物线x y 82
=有两个不同的交点A 和B ；（2）线段AB 被直线1:550l x y +-=垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程.
19.（本题12分） 已知椭圆2
2
:2 4.C x y += (1) 求椭圆C 的离心率；
(2) 设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且,OA OB ⊥求线段AB 长度的最小值.
20.（本题13分）))(,(000a x y x P ±≠是双曲线E ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点，
M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为5
1
.
(1) 求双曲线的离心率；
(2)
过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标
原点，C 为双曲线上一点，满足→
→
→
+=---------OB OA OC λ，求λ的值.
21.（本题14分）如图7，O 为坐标原点，椭圆22
1221(0)x y C a b a b
+=>>：的左右焦点分
别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22
2221(0)x y C a b a b
-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离
心率为2e
，已知12e e
，且241F F =.
(1) 求12C C ，的方程；
(2) 过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.
武汉外校高二理科数学考试答题卷
一、选择题。

二、填空题。

11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题（本大题共5小题，共65分）
16.（本小题满分12分）
17.（本小题满分12分）
18（本小题满分12分）
19（本小题满分12分）
20（本小题满分13分）
21（本小题满分14分）
汉外国语学校2014—2015学年度上学期期中考试
高二数学试题（理）
考试时间：120分钟 试卷满分：150 命题人：汪家硕
三、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列命题是真命题的为 ( A ) A ．若
11
x y
=,则x y = B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,则x y = D ．若x y <,则 22
x y <
2.下列曲线中离心率为6
2
的是( B )
A. 22124x y -=
B. 22
142x y -= C.
22146x y -= D. 22
1410
x y -= 3. 直线1y x =+与圆2
2
1x y +=的位置关系为（ B ）
A ．相切
B ．相交但直线不过圆心
C ．直线过圆心
D ．相离
4.执行如图1所示的程序框图，如果输入的 [2,2]t ∈-，则输出的 S 属于( D )
A. [6,2]--
B. [5,1]--
C. [4,5]-
D. [3,6]- 5.设斜率为2的直线l 过抛物线2
(0)y ax a =≠的焦点F ，且和 y 轴交于点A ,若
OAF ∆(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( B ).
A.2
4y x =± B.2
8y x =± C. 2
4y x = D.
28y x =
6已知椭圆 22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点为12,F F ，离心率为3
3，过2F 的直线l 交C
于,A B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ A ）21世纪教育网
A ． 22132x y +=
B ．22
13x y += C ．221128x y += D ．
221124
x y += 7.双曲线13
62
2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r =( A ) t
输入0?
t <是
1
图
结束
3
S t =-S 输出开始
221t t =+否
A. 3
B. 2
C. 3
D. 6
8.设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0x y a a b
-=>，0)b >的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使
得12||||3PF PF b +=，129
||||4
PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为( B )
A.43
B.53
C.9
4
D.3 9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线
2l 的距离之和的最小值是( A )
A.2
B.3
C.115
D.37
16
10. ABC ∆的顶点(5,0),(5,0)A B -，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹
方程是( C )
A.
22
1916x y -= B.
22
1169
x y -= C.
221(3)916x y x -=> D.22
1(4)169
x y x -=>
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. (15题图 )
11.若,a b ≤则2
2
ac bc ≤，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是 2 .
12. 椭圆 22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为 23
π
. 13. 过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45o
的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =_2_______________ .
14. 在平面直角坐标系中，O 为原点， (1,0),(0,3),(3,0)A B C -，动点D 满足
1CD =u u u r ，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的最大值是
17+ .
15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点，
F 为其右焦点，
直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的
中点，则该椭圆的离心率为 27-5 .
三、解答题：本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题12分）已知命题:P 函数log (12)a y x =-在定义域上单调递增； 命题:Q 不等式2
(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立． 若P Q ∨是真命题，求实数a 的取值范围.
解：命题P 函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增； ∴0<a <1.
又∵命题Q 不等式(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立；
∴a ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －2<0，
Δ＝4a －22
＋16a －2<0，
即－2<a ≤2.
∵P ∨Q 是真命题，∴a 的取值范围是－2<a ≤2
18.（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，
2AB =，3
BAD π
∠=
，M 为BC 上一点，且1
2
BM =
，MP AP ⊥. (1) 求PO 的长；
(2) 求二面角A PM C --的正弦值. 解答： 解：（Ⅰ）连接AC ，BD ，
∵底面是以O 为中心的菱形，PO⊥底面ABCD ， 故AC∩BD=O，且AC⊥BD，
以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系O ﹣xyz ，
∵AB=2，∠BAD=
，
∴OA=AB•cos（∠BAD）=，OB=AB•sin（∠BAD）=1，
∴O（0，0，0），A （，0，0），B （0，1，0），C （﹣，0，0），
=（0，1，0），
=（﹣
，﹣1，0），
又∵BM=， ∴=（﹣，﹣，0）， 则
=
+=（﹣
，，0）， 设P （0，0，a ），则=（﹣
，0，a ），
=（
，﹣，a ），
∵MP⊥AP， ∴
•
=﹣a 2
=0， 解得a=
，
即PO 的长为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），
设平面APM 的法向量=（x ，y ，z ），平面PMC 的法向量为=（a ，b ，c ），
由，得，
令x=1，则=（1，，2），
由，得，
令a=1，则=（1，﹣，﹣2），
∵平面APM 的法向量和平面PMC 的法向量夹角θ满足： cosθ=
=
=﹣
故sinθ=2
1cos θ- =
18.（本题12分）
是否存在同时满足下列两条件的直线l ：（1）l 与抛物线x y 82
=有两个不同的交点A 和B ；（2）线段AB 被直线1:550l x y +-=垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程.
【解析】假定在抛物线x y 82
=上存在这样的两点()()1122.A x y B x y ，，，则有：
()()()211121212222
888y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩()()()1212128AB
y y k x x y y -⇒==-+
∵线段AB 被直线1l ：x+5y-5=0垂直平分，且11
55
l AB k k =-∴=，，即
()
128
5y y =+
128
5
y y ⇒+=.
设线段AB 的中点为()120004
25
y y M x y y +=
=，，则.代入x+5y-5=0得x=1.于是： AB 中点为415M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，.故存在符合题设条件的直线，其方程为： ()4
512552105
y x x y -
=---=，即： 19.（本题12分） 已知椭圆2
2
:2 4.C x y += (2) 求椭圆C 的离心率；
(2)设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且,OA OB ⊥求线段AB 长度的最小值.
解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2
＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2
＝2.
因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝
2
2
. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.
因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →
＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0
.
又x 2
＋2y 20
＝4，所以|AB |2
＝(x 0－t )2
＋(y 0－2)2
＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02
＋(y 0－2)2＝x 20＋y 2
0＋4y 2
0x 20＋4
＝x 2
＋4－x 202＋2（4－x 20）x 2
0＋4＝x 2
02＋8x 20
＋4 (0＜x 2
0≤4)．
因为x 20
2＋8x 20
≥4(0＜x 20≤4)，当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2
≥8.
20.（本题13分）))(,(000a x y x P ±≠是双曲线E ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点，M ，
N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为5
1
.
(1) 求双曲线的离心率；
(2) 过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足→
→
→
+=---------OB OA OC λ，求λ的值.
【解析】（1）点))(,(000a x y x P ±≠是双曲线E ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上，有
122
0220=-b
y a x ，由题意又有
51
0000=+⋅-a x y a x y ，可得225b a =，22226b b a c =+= 则5
30
==
a c e （2）联立⎩⎨⎧-==-c
x y b y x 2
2255，得03510422=+-b cx x ，设),(11y x A ，),(22y x B
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=
=+435252
2121b x x c x x ，设),(33---y x OC =→，→→→+=---------OB OA OC λ，即⎩⎨⎧+=+=213213y y y x x x λλ 又C 为双曲线上一点，即2
2
32355b y x =-，有2
2
212
215)(5)(b y y x x =+-+λλ
化简得：2
21212
22
22
12
125)5(2)5()5(b y y x x y x y x =-+-+-λλ
又),(11y x A ，),(22y x B 在双曲线上，所以2212155b y x =-，2
2
22255b y x =-
由（1）式又有
22212121212121105)(54))((55b c x x c x x c x c x x x y y x x =-++-=---=-
得：042
=+λλ，解出0=λ，或4-=λ
21.（本题14分）如图7，O 为坐标原点，椭圆22
1221(0)x y C a b a b
+=>>：的左右焦点分
别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22
2221(0)x y C a b a b
-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离
心率为2e ，已知123
e e =，且2431F F =-.
(1) 求12C C ，的方程；
(2) 过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.
【解析】（Ⅰ）因为1232e e =所以22223112
b b a a -+=g 即443
4a b -=，因此
222,a b =从而24(,0),(3,0)F b F b ，于是24331b b F F -==-，所以1b =，
2
2a =故椭圆1C 方程为22
12x y +=,双曲线2C 的方程为2212
x y -=. （Ⅱ）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故可设直线AB 的方程为
1x my =-. 由22
112
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()2
22210m
y my +--=
易知此方程的判别式大于0.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以
1212
2221
,22
m y y y y m m -+=
⋅=++ 因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222
,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，故 直线PQ 的斜率为2
m -，PQ 的方程为2m
y x =-，即20mx y +=.
由2221
2
m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()2224m x -=，所以222222
420,,,22m m x y m m ->==--从而 22
2
2
+4
222m PQ x y m =+=-设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以
1122
2
2224
mx y mx y d m +++=
+因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以)1122220mx y mx y +++<，于是
112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--,
从而
A
O
x
y B
1F 2
F P
Q
3
F 4
F M
g g
()2
122
224
m y y d m +-=
+
又因为()
2
2
1212122
22144
m y y y y y y m +-=
+-=
+，所以 2
2
22124
m d m +=
+
四边形APBQ 面积
222
122132221222m S PQ d m m +=⋅==-+
--
而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2. 四边形APBQ 面积的最小值为2.
15.
解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。

以及直线的方程。

直线12A B 的方程为：1x y
a b
+=-； 直线1B F 的方程为：
1x y c b +=-。

二者联立解得：2()(,)ac b a c T a c a c
+--， 则()
(
,)2()
ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上， 22
22222
()1,1030,1030()4()
c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--， 解得：275e =。