2018版高考数学(全国人教B版理)大一轮复习讲义：第九章平面解析几何第4讲含解析

基础巩固题组
（建议用时：40分钟）
一、选择题
1。

（2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y －1＝0的距离为1，则a＝( ）
A.－错误!B。

－错误!
C。

错误!D。

2
解析由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为（1，4)，由点到直线的距离公式得d＝错误!＝1，解之得a＝－错误!。

答案A
2。

(2017·长春模拟）过点（3，1）作圆（x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5＝0
B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0
D.x－2y－7＝0
解析∵过点（3，1）作圆(x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条,∴点（3,1)在圆(x－1）2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝错误!＝错误!，
∴切线的斜率为－2,
则圆的切线方程为y－1＝－2（x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B。

答案B
3。

已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）
A.－2
B.－4
C。

－6 D.－8
解析将圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝2－a，所以圆心为(－1,1）,半径r＝错误!，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d ＝错误!＝错误!，故r2－d2＝4,即2－a－2＝4,所以a＝－4，故选B。

答案B
4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为错误!的点共有( )
A.1个
B.2个
C.3个D。

4个
解析圆的方程化为（x＋1)2＋(y＋2）2＝8,圆心(－1，－2）到直线距离d＝错误!＝错误!，半径是2错误!，结合图形可知有3个符合条件的点.
答案C
5.(2017·葫芦岛模拟）过点P(1,－2）作圆C：（x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为( )
A.y＝－错误!B。

y＝－错误!
C.y＝－错误!
D.y＝－错误!
解析圆（x－1)2＋y2＝1的圆心为（1，0），半径为1，以|PC｜＝（1－12＋（－2－0）2)＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－错误!. 故选B.
答案B
二、填空题
6。

(2016·全国Ⅲ卷）已知直线l：x－错误!y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则｜CD|＝________。

解析设A（x1，y1）,B（x2，y2),由错误!
得y2－3错误!y＋6＝0，解得y1＝错误!,y2＝2错误!,
∴A(－3，错误!)，B(0，2错误!)。

过A，B作l的垂线方程分别为
y－错误!＝－错误!(x＋3)，y－2错误!＝－错误!x,令y＝0，
得x C＝－2，x D＝2，∴|CD|＝2－（－2)＝4。

答案4
7。

（2017·兰州月考)点P在圆C1:x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q 在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则｜PQ｜的最小值是________。

解析把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式,得
(x－4）2＋（y－2)2＝9，（x＋2)2＋(y＋1)2＝4。

圆C1的圆心坐标是(4，2），半径长是3；圆C2的圆心坐标是（－2，－1)，半径是2.
圆心距d＝（4＋2）2＋（2＋12)＝3 5.
所以，｜PQ|的最小值是3错误!－5。

答案3错误!－5
8。

(2017·烟台一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆（x－3)2＋y2＝1引切线,则切线长的最小值为________。

解析设直线上一点为P,切点为Q，圆心为M，则｜PQ｜即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1,｜PQ|＝错误!＝错误!。

要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离。

设圆心到直线y＝x＋1的距离为d,则d＝错误!＝2错误!.所以｜PM｜的最小值为2 2.所以|PQ｜＝错误!≥错误!＝错误!。

答案错误!
三、解答题
9.(2015·全国Ⅰ卷）已知过点A(0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x－2)2＋（y－3）2＝1交于M,N两点。

（1)求k的取值范围；
（2)若错误!·错误!＝12，其中O为坐标原点，求｜MN｜.
解(1)易知圆心坐标为(2，3），半径r＝1，
由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1,
因为l与C交于两点,所以错误!<1。

解得错误!〈k<错误!。

所以k的取值范围为错误!。

（2）设M(x1,y1),N（x2，y2）。

将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3）2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4（1＋k）x＋7＝0.
所以x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!。

x2＋y1y2
错误!·错误!＝x1
＝(1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2)＋1＝错误!＋8.
由题设可得错误!＋8＝12，
解得k＝1,所以l的方程为y＝x＋1。

故圆心C在l上,所以｜MN|＝2.
10.已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1）2＝12。

（1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；
（2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长.
法一 (1）证明 由｛y ＝kx ＋1，，（x －12＋(y ＋1）2＝12，) 消去y 得(k 2＋1)x 2－（2－4k ）x －7＝0，
因为Δ＝(2－4k )2＋28（k 2＋1)>0，
所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.
（2）解 设直线与圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2)两点，
则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝错误!｜x 1－x 2|
＝2错误!＝2 错误!，
令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0, 当t ＝0时,k ＝－错误!,当t ≠0时，因为k ∈R ,
所以Δ＝16－4t (t －3）≥0，解得－1≤t ≤4,且t ≠0，
故t ＝错误!的最大值为4,此时|AB |最小为2错误!.
法二 (1）证明 因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0，1），而|PC ｜＝错误!<2错误!＝R ,所以点P (0，1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P .所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.
(2)解由平面几何知识知过圆内定点P（0，1)的弦，只有与PC(C 为圆心）垂直时才最短，而此时点P（0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝2错误!，即直线l被圆C截得的最短弦长为2错误!.
能力提升题组
（建议用时：20分钟）
11.(2017·衡水中学月考）两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线,若a∈R，b∈R且ab≠0，则错误!＋错误!的最小值为（）
A.1 B。

3 C。

错误! D.错误!
解析x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即（x＋a）2＋y2＝4,x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋（y－2b）2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，
则错误!＝1＋2＝3,即a2＋4b2＝9,
所以错误!＋错误!＝错误!错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝1，当且仅当错误!＝错误!，即a＝±错误!b时取等号.
答案A
12.（2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3）2＋(y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.－错误!或－错误!
B.－错误!或－错误!
C。

－5
4
或－错误! D.－错误!或－错误!
解析由已知，得点(－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点（2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k(x－2）,即kx－y－2k－3＝0。

由反射光线与圆相切,则有d ＝错误!＝1，解得k＝－错误!或k＝－错误!，故选D。

答案D
13.已知曲线C：x＝－4－y2，直线l:x＝6，若对于点A(m，0），存在C上的点P和l上的点Q使得错误!＋错误!＝0，则m的取值范围为________。

解析曲线C：x＝－错误!，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P∈[－2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的点Q 使得错误!＋错误!＝0，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，
∴m＝错误!∈［2，3］。

答案[2，3]
14。

（2017·潍坊调研）已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆
C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方。

（1）求圆C的方程;
（2）过点M(1，0)的直线与圆C交于A,B两点（A在x轴上方）,问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

解(1)设圆心C（a,0)错误!，则错误!＝2⇒a＝0或a＝－5(舍）。

所以圆C的方程为x2＋y2＝4。

（2）当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y＝k（x－1），N（t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2），
由错误!得(k2＋1）x2－2k2x＋k2－4＝0,
所以x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!。

若x轴平分∠ANB,则k AN＝－k BN⇒错误!＋错误!＝0⇒错误!＋错误!＝0⇒2x1x2－（t＋1）（x1＋x2）＋2t＝0⇒错误!－错误!＋2t＝0⇒t＝4,所以当点N为(4,0）时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立。