2021-2022高中数学(北师大版选修1-1)课时作业：第4章 导数应用 章末总结

章末总结
学问点一导数与函数的单调性
利用导数争辩函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：
(1)求导数f′(x)；
(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．
特殊要留意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”确定不能用“∪”连接．例1求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x
2＋sin x；
(2)f(x)＝x(x－a)2.
学问点二导数与函数的极值
极值反映函数在某个区间内函数值的变化状况，是一个局部观念，一个函数在定义域内可以有多个极值．极值可以结合函数的单调性，利用导数求得．
求可导函数f(x)的极值步骤：
①求导数f′(x)；
②求f′(x)＝0的根；
③依据f′(x)的根得出单调区间，由f′(x)在各区间上取值的正负可确定并求出函数f(x)的极值．例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得微小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围是(1,3)，求函数f(x)的解析式和极大值．
学问点三导数与函数最值
求函数f(x)在闭区间[a ，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特殊地，
①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或微小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
例3已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
学问点四导数与参数的范围
已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题．由于f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分别参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．
例4已知函数f(x)＝x2＋
a
x(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取。