2021年九年级中考数学一轮复习相交线与平行线(含答案)

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯
2021年中考数学一轮复习相交线与平行线
一、单选题
1．如图，已知∠1＝35°，则∠ 2的度数是( )
A．35°B．55°C．65°D．145°
2．过点P画AB的垂线，三角尺的放法正确的是（）
A．B．
C．D．
3．下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（）
A．B．
C．D．
4．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm、b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（）
A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm
5．下列图形中，根据12∠=∠，能得到//AB CD 的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，直线12l l ，130∠=︒，则23∠+∠=（ ）
A ．150°
B ．180°
C ．210°
D ．240°
7．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（ ）
A ．61°
B ．58°
C ．48°
D ．41°
8．下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A ．两直线平行,同旁内角互补
B ．若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C ．对顶角相等
=
D．如果22
=，那么a b
a b
9．如图，将周长为8的、ABC沿BC方向平移1个单位得到、DEF，则四边形ABFD的周长为（）
A．6B．8C．10D．12
10．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB、CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设、BAE=α，、DCE=β．下列各式：、α+β，、α﹣β，、β﹣α，、360°﹣α﹣β，、AEC的度数可能是（）
A．、、、B．、、、C．、、、D．、、、、
二、填空题
11．如图，直线a、b相交于点O、∠1=50°，则∠2=________度．
12．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：
①沿三角尺的边作出直线CD ； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；
③作直线AB ，并用三角尺的一条边贴住直线AB ； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：_____．
13．如图，直线//a b ，若260∠=︒，3130∠=︒，则1∠=______．
14．如图，直角△ABC 中，AC=3、BC=4、AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____、
三、解答题
15．如图，已知直线AB 与CD 相交于点O ，EO ⊥CO ，OF 平分∠AOE ，且OF 在∠COE 的内部．
(1)若∠COF ＝15°，求∠BOD 的度数．
(2)若∠BOD ＝x °，则∠COF ＝__________°(用含x 的代数式表示)．
16．在四边形ABCD 中，CF BD ⊥于点F ，过点A 作AG BD ⊥，分别交BD ，BC 于点E ，G ，若DAG BCF ∠=∠，求证：//AD BC ．
17．如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB
18．问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）
问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝1
3
∠ABF，∠CDM＝
1
3
∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系
并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝1
n∠ABF，∠CDM＝
1
n∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接
写出∠M＝
答案1．D
2．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7．B 8．C 9．C 10．D 11．50 12．③②④① 13．110︒ 14．12
15.解：(1)∵ CO ⊥EO ，∴ ∠COE ＝90°． ∴ ∠EOF ＝∠COE －∠COF ＝90°－15°＝75°． ∵ OF 平分∠AOE ，∴ ∠AOF ＝∠EOF ＝75°， ∴ ∠AOC ＝∠AOF －∠COF ＝75°－15°＝60°， ∴ ∠BOD ＝∠AOC ＝60°．
(2)由（1）可知道∠AOF =75°，∠BOD ＝∠AOC ， ∴∠COF =∠AOF －∠BOD =75°－x°． 16.∵CF BD ⊥，AG BD ⊥，
∴90BEG BFC ∠=∠=︒， ∴//AG CF ， ∴AGB BCF ∠=∠． ∵DAG BCF ∠=∠， ∴DAG AGB ∠=∠， ∴//AD BC ．
17.证明：∵ DG ⊥BC ，AC ⊥BC （已知）， ∴ ∠DGB =∠ACB =90°（垂直的定义）， ∴ DG ∥AC （同位角相等，两直线平行）. ∴ ∠2=∠ACD （两直线平行，内错角相等）. ∵ ∠1=∠2（已知），∴ ∠1=∠ACD （等量代换）， ∴ EF ∥CD （同位角相等，两直线平行）. ∴ ∠AEF =∠ADC （两直线平行，同位角相等）. ∵ EF ⊥AB （已知），∴ ∠AEF =90°（垂直的定义）， ∴ ∠ADC =90°（等量代换）. ∴ CD ⊥AB （垂直的定义）． 18.问题情境1：
如图2，∠B +∠BPD +∠D ＝360°，理由是： 过P 作PE ∥AB ，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，
即∠B+∠BPD+∠D＝360°，
故答案为∠B+∠P+∠D＝360°；
问题情境2
如图3，∠P＝∠B+∠D，理由是：
过点P作EP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EP，
∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，
∴∠BPD＝∠B+∠D，
即∠P＝∠B+∠D；
故答案为∠P＝∠B+∠D；
问题迁移：
（1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝1
2
∠ABE，∠EDF＝
1
2
∠CDE，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝80°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∴∠EBF+∠EDF＝140°，
∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；
（2）如图5，1
6
∠E+∠M＝60°，理由是：
∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
1
6
∠E＝60﹣x﹣y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴1
6
∠E+∠M＝60°；
（3）如图5，∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，
∴x+y＝360m
2n
︒︒
-
，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝360m
2n
︒︒
-
；
故答案为∠M＝360m
2n
︒︒
-
一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。

他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。

他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。

在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。

于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。

著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。