北京市部分区高三上学期考试数学分类汇编：创新题814

北京市部分区高三上学期考试数学理试题分类汇编：814创新题
1、（2017.1朝阳理8）某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是（ ）
A ．
23 B ． 20 C ． 21 D ．19
2、（2017.1西城理14）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的4
5
．则第二名选手的得分是____．
3、（2018.1东城理8）现有n 个小球，甲乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球谁赢. 如果甲先抓，那么以下推断正确的是（ ）
（A ）若4n =，则甲有必赢的策略 （B ）若6n =，则乙有必赢的策略 （C ）若9n =，则甲有必赢的策略 （D ）若11n =，则乙有必赢的策略
4、（2018.1东城文8）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为（ ）
（A ）甲、丁、乙、丙 （B ）丁、甲、乙、丙（C ）丁、乙、丙、甲 （D ）乙、甲、丁、丙
5、（2018.1西城理8）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H ]+）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ]-）的乘积等于常数1410-．已知pH 值的定义
为pH lg[H ]+
=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ]
[OH ]
+-可以为
（ ）
（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） （A ）12
（B ）
13
（C ）
16
（D ）
110
6、（2018.1丰台理8）全集(){},,U x y x y =
∈∈Z Z ，
非空集合S U ⊆，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称.下列命题： ①若()1,3S ∈，则()1,3S --∈； ②若()0,4S ∈，则S 中至少有8个元素； ③若()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数； ④若
(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z ，则(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z .
其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7、（2018.1石景山理8）小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为()t s ，他与教练间的距离为()y m ，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）
A ．点M
B ．点N
C ．点P
D ．点Q
8、（海淀区2017届高三上学期期末13）已知函数2sin()y x ωϕ=+π
(0,||)2
ωϕ><.
① 若(0)1f =，则ϕ=________；
② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．
9、（2017.1海淀理14）已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：
①()f x 的最大值为2；
②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．
Q
图1
10、（2018.1东城理14）如图1，分别以等边三角形ABC 的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形ABC 称为勒洛三角形ABC ，等边三角形的中心P 称为勒洛三角形的中心. 如图2，勒洛三角形ABC 夹在直线0y =和直线2y =之间，且沿x 轴滚动. 设其中心(,)P x y 的轨迹方程为()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =的图象与性质有以下描述： ①中心对称图形； ②轴对称图形；③一条直线； ④最大值与最小值的和为2. 其中正确结论的序号为__________.（注：请写出所有正确结论的序号）
图1 图2
11、（2018.1丰台理14）已知函数(
)sin ,0,
,
x x x f x x ππ<<⎧⎪=≥()()()g x f x kx k =-∈R .
①当1k =时，函数()g x 有 个零点；
②若函数()g x 有三个零点，则k 的取值范围是____________．
12、（2017.1丰台理14）已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设
()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是_________．
13、（2018.1石景山理14）若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系： ①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的.
请写出满足上述条件的一个有序数组),,,(d c b a __________,符合条件的全部有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.
14、（2018.1朝阳理12） 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设
1
n
n i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）
15、（2017.1西城理7）实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-+⎩
≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则
a 的取值范围是
（A ）[1,0]- （B ）[0,1] （C ）[1,1]- （D ）(,1][1,)-∞-+∞
16、（2017.1朝阳理）设D 为不等式组0,
0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩
表示的平面区域，
对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y +的最大值是_______
的取值范围是 ．
17、（2018.1海淀理14）对任意实数k ，定义集合20
(,)
20,,0k x y D x y x y x y kx y ⎧⎫-+≥⎧⎪
⎪⎪
=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭
R . ① 若集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是 ；
② 当0k =时，若对任意的0(,)x y D ∈，有()31y a x ≥+-恒成立，且存在0(,)x y D ∈，使得x y a -≤成立，则实数a 的取值范围为 ．
18、（2018.1朝阳理13）.伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了柯西不等式：
22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.
证明思路：
（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；
（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________
（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；
（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.
b
b
c
d
a
c
c
b
D
C
B
A。