2011届高考数学临考练兵测试题13 理

2011届新课标版高考精选预测（理13）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在括号内．
1．设全集U ＝R ，M ＝{x |y ＝log 2(－x )}，N ＝{x |1
x ＋1
＜0}，则M ∩∁U N ＝( ) A ．{x |x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |－1≤x ＜0} D ．{x |x ＞－1}
解析：∵M ＝{x |y ＝log 2(－x )}＝{x |x ＜0}，N ＝{x |1
x ＋1
＜0}＝{x |x ＜－1}，∁U N ＝{x |x ≥
－1}，∴M ∩∁U N ＝{x |－1≤x ＜0}．
答案：C
2．复数3＋i
1＋i
等于( )
A ．2－i
B ．2＋i
C ．1＋2i
D ．1－2i 解析：3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3－2i －i 21－i 2＝4－2i 2＝2－i.
答案：A
3．以下两个茎叶图表示的是15个评委为竞争15亿元的产业转移扶持资金的甲、乙、
丙、丁四个市所打出的分，按照规定，去掉一个最高分和一个最低分，平均分排在前三位的市将各获得5亿元，则不能获得这5亿元的是( )
A ．甲市
B ．乙市
C ．丙市
D ．丁市
解析：
x 甲＝81＋82＋84＋85＋86＋87＋88＋91＋91＋92＋93＋95＋9613
≈88.54；
x 乙＝81＋83＋84＋86＋86＋87＋91＋92＋92＋94＋95＋96＋9813
≈89.6；
x 丙＝81＋82＋83＋86＋86＋87＋90＋92＋93＋93＋94＋94＋9613
＝89；
x 丁＝82＋83＋83＋84＋85＋87＋88＋90＋92＋94＋94＋95＋9513
≈88.6.
经过比较，甲市的平均分最低，所以甲市将不能获得这5亿元． 答案：A
4．已知|a |＝2，|b |＝4，向量a 与b 的夹角为60°，当(a ＋3b )⊥(k a －b )时，实数k 的
值是( )
A.14
B.3
4
C.13
4
D.132
解析：依题意得a·b ＝|a |·|b |·cos60°＝2×4×1
2
＝4，因为(a ＋3b )⊥(k a －b )，所以(a ＋
3b )·(k a －b )＝0，得k a 2＋(3k －1)a·b －3b 2＝0，即k ＋3k －1－12＝0，解得k ＝13
4
.
答案：C
5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与曲线y ＝x 2＋1
4
相切，则该双曲线的离
心率等于( )
A ．3
B ．2 C. 3
D. 2
解析：设渐近线的方程为y ＝kx ，与y ＝x 2＋14联立，依题意得方程x 2－kx ＋1
4
＝0有
两个相等的实数根，即Δ＝k 2－1＝0，解得k ＝±1，所以b a ＝1，e ＝1＋(b
a
)2＝1＋1＝ 2.
答案：D
6．在区间[－1,1]上 随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与2
2之间的概率为( )
A.1
4
B.13
C.23
D.56
解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x ，要使sin πx 4的值介于－12与22之间，需使－
π
6
≤πx 4≤π4，即－23≤x ≤1，其区间长度为5
3，由几何概型公式知所求概率为532＝56
. 答案：D
7．为调查低收入人群的年收入情况，现从x 名城镇下岗职工、200名农民工及500名农民中按分抽样的方法抽取容量为250的样本，若抽取的农民工为50人，则x ＝( )
A ．100
B ．200
C ．300
D ．500
解析：由题意知200×250
x ＋200＋500＝50，解得x ＝300.
答案：C
8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
6x －2y －3≤0x －y ＋1
2≥0
x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (
a ＞0，
b ＞0)的
最大值为6，则2a ＋3
b
的最小值为( )
A.2512 B ．2 C.2312 D.1112
解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋by (a ＞0，b
＞0)过直线x －y ＋12＝0与直线6x －2y －3＝0的交点(1，3
2
)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，
b ＞0)取得最大值6，即a ＋32b ＝6，即2a ＋3b ＝12，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )(2a ＋3b 12)＝112[13＋6(
b
a
＋a b )]≥25
12
，当且仅当a ＝b 时取等号．
答案：A
9．在正项等比数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝8a 7，则a 10＝( ) A.1
128
B.1
256
C.1512
D.11 024
解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得a 1q 4＝8a 1q 6，解得q ＝1
22
，或
q ＝－122(舍去)，所以a 10＝a 3q 7＝2×(122
)7＝1
1 024.
10．给出下列四个命题： (1)∃x ∈(0,1)，log 13
x ＞log 14
x ；
(2)∀x ∈(0，＋∞)，(1
3)x ＞log 13x ；
(3)∃m ∈R ，f (x )＝x 2＋2m
x 是偶函数；
(4)∃m ∈R ，f (x )＝x 2＋2m
x 是奇函数．
其中为真命题的个数有( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：取x ＝13，则log 1313＝1，log 1413＝log 43＜1，(1)是真命题；画出函数y 1＝(1
3
)x 与
y 2＝log 1
3
x 的图象，可知(2)是假命题；当m ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，(3)是真命题，(4)
是假命题．
答案：B
11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π
4
)，其中ω＞0.若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间
的距离等于π
3
，将函数f (x )的图象向左平移m 个单位后对应的函数是偶函数，则最小正实
数m ＝( )
A.π12
B.π3 C ．－5
12
π D ．π 解析：依题意，T 2＝π3，又T ＝2π
ω，故ω＝3，
∴f (x )＝sin(3x ＋π
4
)．
函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π
4]．
当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π
12
(k ∈Z )时，g (x )是偶函数，从而，最小
正实数m ＝π
12
.
12．给定下列四个命题：
(1)给定空间中的直线l及平面α，“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的充分不必要条件；
(2)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；
(3)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；
(4)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C 的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是60°.
上述命题中，真命题的序号是()
A．(1)(2) B．(2)(4)
C．(2)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)
解析：对于(1)，由“直线l与平面α内无数条直线都垂直”不能确定“直线l与平面α垂直”，如当l⊂α时，直线l可与平面α内无数条相互平行的直线都垂直，但此时直线l 不与平面α垂直；反过来，由“直线l与平面α垂直”可知“直线l与平面α内无数条直线都垂直”．综上所述，“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件．故(1)不正确．
对于(2)，当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但平面α内的射线m垂直于平面β时，根据线面垂直的判定定理，两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故(2)正确．
对于(3)，α，β也可能平行或一般的相交(不一定垂直)，故(3)不正确．
对于(4)，如图是三棱柱ABC－A1B1C1，不妨设各棱长为1.取BC的中点E，连接AE，DE，∵CC1⊥底面ABC，∴侧面BB1C1C⊥底面ABC，又E为BC的中点，且△ABC为正三角形，∴AE⊥BC，由两平面垂直的性质定理知，AE⊥平面BB1C1C，∴∠ADE的大小就是AD与平面BB1C1C所成角的大小．容易计算∠ADE＝60°.故(4)正确．
答案：B
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中横线上． 13．已知y ＝f (x ＋2)为定义在R 上的偶函数，且当x ≥2时，f (x )＝3x －1，则当x ＜2时，f (x )的解析式为__________．
解析：函数y ＝f (x ＋2)是由函数y ＝f (x )向左平移两个单位得到的，由y ＝f (x ＋2)为偶函数知：y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．故当x ＜2时，4－x ＞2，所以f (x )＝f (4－x )
＝34－
x －1.
答案：f (x )＝34－
x －1
14．某市组织部拟将4名选调生分配到3个基层事业单位去挂职锻炼，每个单位至少一名，则不同的分配方案有__________种(用数字作答)．
解析：分两步完成：第一步，将4名选调生按2,1,1分成三组，其分法有C 24·C 12·C 11
A 2
2
种；第二步，将分好的三组分配到3个基层事业单位，其分法有A 33种，所以满足条件的分配
方案有C 24·C 12·
C 11A 22
·A 33＝36种． 答案：36
15．一个算法的程序框图如图所示，则该程序输出的结果是__________．
解析：第一次循环，有i ＝2，sum ＝1，s ＝11×2＝1
2
；第二次循环，有i ＝3，sum ＝2，
s ＝11×2＋12×3，…，依次类推，输出的结果是s ＝11×2＋12×3＋…＋17×8＝1－12＋12－13＋…＋17－18＝78
. 答案：78
16．如图是一个几何体的三视图(单位：m)，则几何体的体积为__________．
解析：如图所示，此几何体是一个以AA 1，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体被平面BB 1C 1C
截去后得到的，易得其体积为长方体的体积的3
4
，因为长方体的体积为2×4×2＝16 m 3，
故所求的体积为12 m 3.
答案：12 m 3
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题12分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
且满足3sin 2A ＋3－12sin2A ＝cos 2A ，cos B ＝4
5
，b ＝2 3.
(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． 解析：(1)由3sin 2A ＋
3－1
2
sin2A ＝COS 2A,
)
)(
)
22
1sin cos cos0,
cos sin cos0.
sin cos,cos,
tan,.
36
A A A A
A A A A
A A A A
A A
π
--=
-+=
+≠=
==
即
因为
得故
因为A，B，C为△ABC的内角，且A＝
π
6，cos B＝
4
5，
所以C＝
5π
6－B，sin B＝
3
5，
所以sin C＝sin(
5π
6－B)＝
1
2cos B＋
3
2sin B＝
1
2×
4
5＋
3
2×
3
5＝
4＋33
10.
(2)由(1)知sin A＝
1
2，sin C＝
4＋33
10，sin B＝
3
5，
又因为b＝23，
所以在△ABC中，由正弦定理，得a＝
b sin A
sin B＝
53
3.
所以△ABC的面积S＝
1
2ab sin C＝
1
2×
5
33×23×
4＋33
10＝
4＋33
2.
18．(本小题12分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝4，AB ＝2，PB＝25，PD＝4 2.E是PD的中点．
(1)求证：AE⊥平面PCD；
(2)求平面ACE与平面ABCD所成二面角的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在点F，使得三棱锥F－ACE的体积恰为
4
3，若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
解析：(1)因为PA2＋AD2＝42＋42＝32，PD2＝(42)2＝32，
所以三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD.
同理PA2＋AB2＝42＋22＝20，PB2＝(25)2＝20，
所以三角形PAB是直角三角形，所以PA⊥AB.
又AD∩AB＝A，所以PA⊥平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD.
因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AE⊂平面PAD，
所以CD⊥AE.
因为E是PD的中点，三角形PAD是等腰直角三角形，
所以AE⊥PD.
又PD∩CD＝D，所以AE⊥平面PCD.
(2)解法一：取AD的中点K，连结EK，过K作KT⊥AC，垂足为T，连接ET.
因为E 是PD 的中点，所以EK ∥PA ，EK ＝2，EK ⊥平面ABCD ， 所以EK ⊥AC.
又EK∩TK ＝K ，所以AC ⊥平面EKT ，AC ⊥ET ，
故∠ETK 即为所求的平面ACE 与平面ABCD 所成二面角的平面角， 因为三角形KTA 与三角形CDA 相似，所以TK CD ＝AK
AC ，
又AC ＝42＋22＝25，所以TK ＝AK·CD AC ＝2×225
＝25
5，
所以ET ＝
(255)2＋22＝230
5
. 故cos ∠ETK ＝2552305
＝6
6.
解法二：如图，以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2,4,0)，E(0,2,2)，P(0,0,4)，
AC ＝(2,4,0)，AE ＝(0,2,2)，
设n ＝(x ，y ，z )是平面AEC 的一个法向量，
则有00
n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y ＝0y ＋z ＝0，
令z ＝1得y ＝－1，x ＝2，即n ＝(2，－1,1)，
由(1)可知
AP ＝(0,0,4)是平面ABCD 的一个法向量，
所以cos 〈n ，
AP 〉＝(2，－1，1)·(0，0，4)4×22＋1＋1
＝6
6
. 结合图形易知，平面ACE 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为
6
6
. (3)如图，假设在线段BC 上，存在点F (2，y 0,0)，使得三棱锥F －ACE 的体积恰为4
3
，
由(2)知，ET ＝230
5，
AC ＝25，
则S △ACE ＝12AC ·ET ＝12×25×230
5
＝26，
设F (2，y 0,0)到平面AEC 的距离为h ，则43＝13×26×h ，解得h ＝6
3
.
又
AF
＝(2，y 0,0)，n ＝(2，－1,1)为平面AEC 的一个法向量，所以h ＝
6
3
＝||||AF n n ＝
|4－y 0|
22＋1＋1
，得|4－y 0|＝2，所以y 0＝2或y 0＝6＞4(舍去)，
所以点F 的坐标为(2,2,0)，即点F 为BC 的中点时三棱锥F －ACE 的体积恰为4
3.
19．(本小题12分)已知等差数列{log 4(a n －1)}(n ∈N *)，且a 1＝5，a 3＝65，函数f (x )＝x 2－4x ＋4，设数列{b n }的前n 项和为S n ＝f (n )，
(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；
(2)记数列c n ＝(a n －1)·b n ，且{c n }的前n 项和为T n ，求T n ；
(3)设各项均不为零的数列{d n }中，所有满足d k ·d k ＋1＜0的整数k 的个数称为这个数
列的异号数，令d n ＝b n －4
b n
(n ∈N *)，试问数列{d n }是否存在异号数，若存在，请求出；若
不存在，请说明理由．
解析：(1)设等差数列{log 4(a n －1)}的公差为d ， 所以2log 4(a 2－1)＝log 4(a 1－1)＋log 4(a 3－1)， 即2[log 4(5－1)＋d ]＝log 4(5－1)＋log 4(65－1)，
得d ＝1，所以log 4(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，得a n ＝4n ＋1， 由S n ＝f (n )＝n 2－4n ＋4＝(n －2)2， 当n ＝1时，b 1＝S 1＝1，
当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(n －2)2－(n －3)2＝2n －5，验证n ＝1时不满足此式，所
以b n ＝()
()1125
2n n n =⎧⎪⎨
-⎪⎩≥
(2)由(1)可得，当n ＝1时，c 1＝4×1， 当n ≥2时，c n ＝4n ×(2n －5)，
所以T n ＝4×1＋42×(－1)＋43×1＋44×3＋…＋4n ×(2n －5)，① 4T n ＝42＋43×(－1)＋44×1＋45×3＋…＋4n ×(2n －7)＋4n ＋
1×(2n －5)，② ①减去②得 －3T n
＝－28＋43×2＋44×2＋45×2＋…＋4n ×2－4n ＋
1×(2n －5)＝－28＋
128×(4n －
2－1)
4－1
－4n ＋
1×(2n －5)，
故T n ＝283－128×
(4n －
2－1)9＋4n ＋
1×(2n －5)3
.
(3)由题意可得d n ＝()()
3
14
1225n n n ⎧-=⎪
⎨-⎪-⎩
≥，
因为d 1＝－3＜0，d 2＝1＋4＝5＞0，d 3＝－3＜0， 所以k ＝1，k ＝2时都满足d k ·d k ＋1＜0，
当n ≥3时，d n ＋1－d n ＝42n －5－42n －3＝8
(2n －5)(2n －3)＞0，
即当n ≥3时，数列{d n }单调递增，
因为d 4＝－13＜0，由d n ＝1－4
2n －5＞0，n ∈N *可得n ≥5，
可知k ＝4时满足d k ·d k ＋1＜0， 综上可知数列{d n }中存在3个异号数．
20．(本小题14分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 与P (2，－1)关于直线l ：
x －y －2＝0对称，中心在坐标原点的椭圆经过两点M (1，72)，N (－2，6
2
)，且抛物线
与椭圆交于两点A (x A ，y A )和B (x B ，y B )，且x A ＜x B .
(1)求出抛物线方程与椭圆的标准方程；
(2)若直线l ′与抛物线相切于点A ，试求直线l ′与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)若(2)中直线l ′与圆x 2－2mx ＋y 2＋2y ＋m 2－24
25＝0恒有公共点，试求m 的取值范围．
解析：(1)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1，
因为椭圆经过两点M (1，
72)，N (－2，62
)， 所以可得71,4
62 1.4
m n m n ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②
由①与②消去m 可得n ＝1
2，③
将③代入①得m ＝1
8
，
故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 2
2
＝1.
抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F (0，p
2
)，依题意得直线FP 与直线l ：x －y －2＝0
互相垂直，所以直线FP 的斜率为－1，则k FP ＝－1－
p 2
2－0
＝－1，解得p ＝2，所以x 2＝4y .
(2)由⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＝4y x 28＋y 22＝1，得y 2＋y －2＝0，解得y ＝1或y ＝－2(不合题意，舍去)，
当y ＝1时，得x ＝±2，因为x A ＜x B ，所以A (－2,1)，对y ＝14x 2求导，得y ′＝12
x ，所
以y ′|x ＝－2＝－1，所以直线l ′的方程为y －1＝－1×(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0，令x ＝0得y ＝
－1，令y ＝0得x ＝－1，所以直线l ′与坐标轴所围成的三角形的面积为S ＝1
2
×|－1|×|－1|
＝12
. (3)由x 2－2mx ＋y 2＋2y ＋m 2－2425＝0得(x －m )2＋(y ＋1)2＝49
25
，其圆心坐标为(m ，－1)，
半径r ＝7
5，
要使直线l ′与圆x 2－2mx ＋y 2＋2y ＋m 2－24
25＝0恒有公共点，则需满足(m ，－1)到直
线l ′：x ＋y ＋1＝0的距离d ≤75，即d ＝|m －1＋1|1＋1≤75
，得－725≤m ≤72
5，
即m 的取值范围为[－725，72
5
]．
21．(本小题14分)已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋1)x ＋1，g (x )＝e x ，其中a ∈R ，集合A
＝{x ||x －t |＜1
2
}．
(1)当a ＝－2时，记集合B ＝{x |f (x )＞0}，若A ⊆B ，求实数t 的取值范围； (2)若F (x )＝[f (x )＋a －1]·g (x )，当a ≠0时，求函数F (x )的单调区间与极值．
解析：(1)当a ＝－2时，f (x )＝－2x 2＋x ＋1，B ＝{x |－2x 2＋x ＋1＞0}＝{x |－12＜x ＜1}，
A ＝{x ||x －t |＜12}＝{x |t －12＜x ＜1
2
＋t }，
因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧
t －12≥－12
，t ＋1
2≤1
，解得0≤t ≤1
2
，
所以实数t 的取值范围是[0，1
2]．
(2)F (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋a ]e x ，
F ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －1]e x ＝a (x －1
a )(x ＋1)e x ，
令F ′(x )＝0，解得x ＝1
a ，或x ＝－1.
以下分四种情况讨论：
(ⅰ)当a ＞0时，则－1＜1
a
.当x 变化时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：
所以函数F (x )在(－∞，－1)，(1a ，＋∞)内是增函数，在(－1，1
a )内是减函数．
函数F (x )在x ＝－1处取得极大值F (－1)，且F (－1)＝(3a ＋1)e －
1；函数F (x )在x ＝
1a
处取得极小值F (1a )，且F (1a )＝(a －1)e 1
a
.
(ⅱ)当－1＜a ＜0时，则1
a
＜－1，当x 变化时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：
所以函数F (x )在(－∞，1a )，(－1，＋∞)内是减函数，在
(1
a ，－1)内是增函数．
函数F (x )在x ＝－1处取得极大值F (－1)，且F (－1)＝(3a ＋1)e －
1；函数F (x )在x ＝
1a
处取得极小值F (1a )，且F (1a )＝(a －1)e 1
a
.
(ⅲ)当a ＝－1时，F ′(x )＜0，所以函数F (x )在R 上是减函数，无极值． 所以函数F (x )在(－∞，－1)，(1a ，＋∞)内是减函数，在(－1，1
a )内是增函数．
函数F (x )在x ＝－1处取得极小值F (－1)，且F (－1)＝(3a ＋1)e －
1；函数F (x )在x ＝
1a
处取得极大值F (1a )，且F (1a )＝(a －1)e 1
a
.
22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是直线l 与⊙O 的公共点，
AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD .求证：
(1)直线l 是⊙O 的切线； (2)PB 平分∠ABD .
解析：(1)连接OP ，因为AC ⊥l ，BD ⊥l ，所以AC ∥BD .
F (x ) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
又因为OA ＝OB ，PC ＝PD ，所以OP ∥BD ，从而OP ⊥l . 因为P 是直线l 与⊙O 的公共点，所以直线l 是⊙O 的切线． (2)连接AP ，因为直线l 是⊙O 的切线，所以∠BPD ＝∠BAP . 又∠BPD ＋∠PBD ＝90°，∠BAP ＋∠PBA ＝90°， 所以∠PBA ＝∠PBD ，即PB 平分∠ABD .
23．(本小题10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，且两种坐标系
长度单位一致．已知直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝2
2
－1，圆C 在直角坐标系中的
参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 与圆C 的公共点的个数．
解析：将方程ρcos(θ＋π4)＝2
2
－1化为直角坐标方程：x －y ＋2－1＝0.
将参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos θ
y ＝sin θ化为普通方程：(x －1)2＋y 2＝1.
圆心(1,0)到直线l 的距离d ＝|1－0＋2－1|
2
＝1，而圆C 的半径为1，所以直线l 与
圆C 相切，即它们的公共点的个数为1.
24．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲
证明：11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n
＜2(n ＞2，n ∈N *)．
解析：11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n ＜1＋12＋122＋…＋12n －1 ＝2－12
n －1＜2.。