四川省成都市高中数学 第一章 导数及其应用 第5课时 简单复合函数的求导法则同步测试 新人教A版选修2-2

第5课时简单复合函数的求
导法则
基础达标(水平一)
1.函数f(x)=(2kx)2的导数是().
A.f'(x)=4kx
B.f'(x)=4k2x
C.f'(x)=8kx
D.f'(x)=8k2x
【解析】f'(x)=2(2kx)(2kx)'=8k2x.
【答案】D
2.若函数f(x)=3sin,则f'=().
A.-3
B.3
C.-6
D.6
【解析】因为f'(x)=3cos·'
=6cos,所以f'=6cos=-3.
【答案】A
3.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为().
A.1
B.2
C.-1
D.-2
【解析】设切点P(x0,y0),则y0=x0+1=ln(x0+a).
又由y'==1,解得x0+a=1,∴y0=0,x0=-1,∴a=2.
【答案】B
4.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=().
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】令f(x)=ax-ln(x+1),则f'(x)=a-.
由f'(0)=a-1=2,得a=3.故选D.
【答案】D
5.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.
【解析】设P(x0,y0),因为y=e-x,所以y'=-e-x.
故点P处的切线斜率为k=-=-2,
所以-x0=ln 2,得x0=-ln 2,
所以y0=e ln 2=2,即点P的坐标为(-ln 2,2).
【答案】(-ln 2,2)
6.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为.
【解析】∵y'=-2e-2x,∴y'|x=0=-2,切线方程为y=-2x+2.
∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0),(1,0),.
∴三角形的面积S=×1×=.
【答案】
7.设函数f(x)=x+ln(x-5),g(x)=ln(x-1),解不等式f'(x)>g'(x).
【解析】因为f'(x)=1+,g'(x)=,
由f'(x)>g'(x),得1+>,
即>0,解得x>5或x<1.
又两个函数的定义域为即x>5,
所以不等式f'(x)>g'(x)的解集为(5,+∞).
拓展提升(水平二)
8.曲线y=x e x-1在点(1,1)处的切线斜率等于().
A.2e
B.e
C.2
D.1
【解析】y'=e x-1+x e x-1=(1+x)e x-1,∴y'|x=1=2,
即曲线y=x e x-1在点(1,1)处的切线斜率k=2.
【答案】C
9.已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是().
A.(-∞,-1)∪(-1,0)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-1,0)∪(0,+∞)
D.a∈R且a≠0,a≠-1
【解析】假设存在实数m,使直线l是曲线y=f(x)的切线,
∵f'(x)=2sin x cos x+2a=sin 2x+2a,∴方程sin 2x+2a=-1有解,∴-1≤a≤0.故所求a 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞),故选B.
【答案】B
10.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ= .
【解析】因为f'(x)=-sin(x+φ),
所以f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)
=2sin.
若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,
即2sin=0,所以φ+=kπ(k∈Z).
又φ∈(0,π),即φ=.
【答案】
11.若点P是曲线y=e x+1上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
【解析】根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x+1相切于点(x0,y0),该切点即为与直线y=x距离最近的点.如图,则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即当x=x0时,y'=1.
因为y'=(e x+1)'=e x+1,
所以=1,得x0=-1,
代入y=e x+1,得y0=1,即P(-1,1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.。