1布朗运动——精选推荐

1布朗运动
1.1基本性质
定义1.1.称一个0初值的实值随机过程B={B t,t≥0}是一维标准布朗运动(SBM),若(1)它有独立增量性:对任意的有限正数0=t0<t1<···<t n,随机变量
B0,B t
1−B t
,···,B t
n−
B t
n−1
相互独立.
(2)对任意的t>s,增量B t−B s∼N(0,t−s).
(3)它的轨道连续,i.e.,
P{ω:t−→B t(ω)连续}=1.
设B i是d个标准的布朗运动,则称B=(B1,···,B d)是d-维标准布朗运动.
一般地,称满足上面条件(1)-(2)的随机过程为一维布朗运动.对任意的x∈R,称B x=x+B t为初值为x的布朗运动.
定义1.2.概率空间(Ω,F,P)上的随机过程X={X t,t∈}称为Gauss过程,若对任意的n≥1,t1,t2,···,t n∈,(X t1,···,X t n)服从Gauss分布(可以是退化的).
定理1.3.设B={B t,t≥0}是零初值的实值随机过程.则它是布朗运动的充要条件是它是一个Gauss过程,并且E B t=0,E B t B s=t∧s.
证明:必要性.首先证明:对任意的t1<t2<···<t n,(B t
1,···,B t
n
)服从正态分布.由独立增量
性(B t
1,B t
2
−B t
1
,···,B t
n−
B t
n−1
)服从正态分布.又因为
B t
1
B t
2
..
.
B t
n
=
100 0
110 0
..
.
..
.
..
.···
..
.
111 (1)
B t
1
B t
2
−B t
1
..
.
B t
n−
B t
n−1
.
因此,(B t
1,···,B t
n
)服从正态分布.显然,E B t=0,对任意的t≥s≥0,
E B t B s=E(B t−B s)B s+E B2s=s.
充分性:先证独立增量性,即:对任意的t1<t2<···<t n,(B t
1,B t
2
−B t
1
,···,B t
n−
B t
n−1
)相
互独立.由于它们服从正态分布,所以只需要证明不相关性.事实上,对任意的i<j,
E(B t
i −B t
i−1
)(B t
j
−B t
j−1
)=E B t
i
B t
j
−E B t
i
B t
j−1
−E B t
i−1
B t
j
+E B t
i−1
B t
j−1
=t i−t i−t i−1+t i−1=0.
1
显然,对任意的t >s ,B t −B s 服从正态分布,均值为0,方差为
E (B t −B s )2=E B 2t −2E B t B s +E B 2
s =t −s.
证明完毕.
由布朗运动的定义和上定理可以直接验证下面的性质.定理1.4.设B 是一维标准布朗运动.则
(1)对任意的s >0,过程{B t +s −B s ,t ≥0}是与σ{B u ,0≤u ≤s }独立的布朗运动.(2)对任意的c =0,{cB t/c 2}是布朗运动.特别地,{−B t ,t ≥0}是布朗运动.(3){tB 1/t ,t ≥0}是布朗运动.
1.2Gauss 过程
定理1.5.X ={X t ,t ∈T }称为Gauss 过程,当且仅当对任意的n ≥1,t 1,···,t n ≥0,αi ∈R ,随
机变量∑
k αk X t k 服从一维的Gauss 分布(可以是退化的).证明:设X ={X t ,t ∈T }是Gauss 过程,则
E e
i ∑
k
λk X t k
=e
i
∑
k
λk µk −1
2
∑n
j,k =1
λi σij λj
,其中µk =E X t k ,σij =Cov (X t i ,X t j ).特别地,取λk =λαk ,得:Y =
∑
k
αk X t k 的特征函数为
E e
iλY
=e
iλ
∑
k
αk µk −12λ
2
∑n
j,k =1
αi σij αj
=e iλE Y −1
2λ
2Cov (Y,Y
)
.
故Y 服从一维Gauss 分布.
反正,若对任意的t 1,···,t n ∈,α1,···,αn ∈R ,∑
k αk X t k 服从一维Gauss 分布,其均
值E ∑
k αk X t k =∑k αk µk ,方差
Cov
(∑
k
αk X t k ,∑k
αk X t k )=n ∑j,k =1
αi σij αj ,其中µk =E X t k ,σij =Cov (X t i ,X t j ).则
∑
k αk X t k 的特征函数为:
E e
iλ∑
k
αk X t k
=e
iλ
∑
k
αk µk −12λ
2∑n
j,k =1
αi σij αj
,∀λ∈R .
取λ=1得,
E e
i
∑
k αk X t k
=e
i
∑
k
αk µk −1
2
∑n
j,k =1
αi σij αj
.
因此,(X t 1,···,X t n )服从n -维正态分布.
2
定义1.6.设X={X t,t∈T}是一个Gauss过程,分别称
µ(t)=E X t,σ(s,t)=Cov(X s,X t).
为X的均值函数和协方差函数.
例子1.7.一维布朗运动是高斯过程,其µ(t)=0,σ(s,t)=s∧t.
定理1.8.设{X n,n≥1}是一列Gauss分布.若X n依分布收敛到某个随机变量X,则E X n→E X,E X2n→E X2,并且X也服从Gauss分布.
证明:记µn=E X n,σ2n=Cov(X n,X n).则由X n依分布收敛到某个随机变量X,可知X n的特征函数收敛到X的特征函数,即
lim n→∞exp
{
iµn t−
σ2n t2
2
}
=E e itX.
由于E e itX是t的连续函数,所以{σ2n,n≥1}是有界的.否则,对任意的t=0,
lim inf n→∞
exp
{
iµn t−
σ2n t2
2
}
=0,
于是,对任意的t=0,E e itX=0,这与E e itX在t=0处的连续矛盾.
由于{σ2n,n≥1}有界,不妨假设σ2n→σ2∈(0,∞)(否则抽取子列).设F是X的分布函数, x是它的一个连续点.由于标准正态分布函数的分布函数Φ严格单调增,所以
x−µn σn =Φ−1
(
Φ
(
x−µn
σn
))
=Φ−1(P(X n≤x))→Φ−1(F(x)).
故µn→µ∈R,进而E e itX=exp {
iµt−σ2t2
2
}
,X服从正态分布.
1.3布朗运动的构造
如果不考虑样本的连续性,利用Kolmogorov延拓定理可以证明布朗运动的存在性.下面我们利用Fourier级数直接构造布朗运动.
假设B是一个标准布朗运动.定义过程W t=B t−tB1,t∈[0,1].称它为[0,1]上的布朗桥.注意到W(0)=W(1)=0.将W在[0,1]上的Fourier展开
W t=
∞
∑
n=1
X n sin(nπt),(L2意义下)
其中系数X n是随机变量,表达式为
X n=2
∫t
W t sin(nπt)dt.
3
则X n 服从Gauss 分布,可以计算
E X n =0,E [X n X m ]=
2
π2n 2
δmn .令Z 0=B 1,Z n =nπX n /√
2,n ≥1.则{Z n }i.i.d.∼N (0,1).我们可以将布朗运动写成
B t =tZ 0+√2π∞
∑j =1
Z n
n
sin(nπt ),t ∈[0,1].
将上面的过程反过来,就可以把布朗运动可以用上面的随机级数表示.
1.4
轨道性质
1.4.1
二次变差
定义 1.9.设X ={X t ,t ≥0}是一个实值随机过程,对任意的t >0,任何[0,t ]的一个分划∆:0=t 0<t 1<·<t n =t ,记
T ∆
t =∑
i ∈∆
|X i −X i −1|2,|∆|=sup i ∈∆
|t i −t i −1|.
若存在实值随机过程[X,X ]t ,对任意[0,t ]的一列分划(∆n )满足
lim |∆n |→0
P (|T δt −[X,X ]t |≥δ)=0,∀δ>0.
则称X 具有有限的二次变差,[X,X ]t 为它的二次变差过程.
定义布朗运动的二次变差为
⟨B,B ⟩t =lim
|δ|→0
∑
i ∈δ
|B (t i −B (t i −1))|2,
定理1.10.设B 是一个标准布朗运动,则
⟨B,B ⟩t =t.4
证明:设∆n:0=t(n)
0<t(n)
1
<···<t(n)
k n
=t,则
E
(
k n−1
∑
i=1
(B t
i+1
−B t
i
)2−t
)2
=E
(
k n−1
∑
i=1
[
(B t
i+1
−B t
i
)2−(t i+1−t i)
]
)2
=
(
k n−1
∑
i=1
E
[
(B t
i+1
−B t
i
)2−(t i+1−t i)
]
)2
=
k n−1
∑
i=1
E
([
(B t
i+1
−B t
i
)4−(t i+1−t i)2
])
=
k n−1
∑
i=1
[
3(t i+1−t i)2−(t i+1−t i)2
]
=
k n−1
∑
i=1
(t i+1−t i)2
≤2t sup
0≤i≤t k n−1
|t i+1−t i|→0,as|∆n|→0.
设f:[0,∞]→R,V f[a,b]表示f在[a,b]上的全变差,i.e.,
V f[a,b]=sup
∆∑
i∈∆
|f(x i+1)−f(x i)|,
其中∆是[a,b]的任意有限划分.
若存在常数M>0,α>0使得
|f(x)−f(y)|≤M|x−y|α,∀x,y∈[a,b],
则称f在[a,b]上α-H¨o lder连续.
推论1.11.对a.e.ω,B·(ω)在任意有限区间上的全变差为∞.
证明:由于布朗运动的二次变差为t,存在Ω0⊂Ω满足:P(Ω0)=1,且对任意的有理数p<q,存在[p,q]的一列分划∆n,使得:|∆|→0且对任意的ω∈Ω0,
lim n→0∑
i∈∆n
|B t
i
(ω)−B t
i−1
(ω)|2=q−p.
5
设V(ω)是B(ω)在[p,q]上的全变差,则
∑i∈∆n |B t
i
(ω)−B t
i−1
(ω)|2≤
(
sup
i∈∆n
|B t
i
(ω)−B t
i−1
(ω)|
)
V(ω)
令n→∞.由布朗运动的连续性知:它在有限区间上一致连续,所以sup i∈∆
n |B t
i
(ω)−B t
i−1
(ω)|→
0.若V(ω)<∞,则右侧趋于0,而左侧趋于q−p,矛盾.
推论 1.12.对任意的α>1/2,对a.e.ω,B·(ω)无处局部α-H¨o lder连续.特别地,对a.e.ω, B·(ω)无处连续可微.
证明:设Ω0如前所述,α>1/2.若存在有理数p<q,使得对任意的p<s<t<q,
|B t(ω)−B s(ω)|≤C|t−s|α
则对[p,q]的任意划分∆n
q−p←−
∑
i∈∆n |B t
i
(ω)−B t
i−1
(ω)|2≤C2(q−p)sup
i
|t i+1−t i|2α−1−→0.
矛盾.
Kolmogorov连续修正定理
定义1.13.设X t和Y t是定义在同一个概率空间(Ω,F,P)上的随机过程.称Y t是X t的一个修正,若对任意的t∈T,P(X t=Y t)=1.
显然,若Y t是X t的一个修正,则X t和Y t有相同的有限维分布.
定义1.14.设X t和Y t是定义在同一个概率空间(Ω,F,P)上的随机过程.称Y t和X t是无区别的,若存在全测度集Ω′使得
X t(ω)=Y t(ω),t∈T,ω∈Ω′.(1)
若指标集T是可数的,则两个过程是无区别的当且仅当它们互为修正.若T不可数的,则存在互为修正但不是无区别的两个随机过程.
定理1.15.设X t,t∈[0,1]d是一个实值随机场.假设存在常数γ,c,ϵ>0满足
E[|X t−X s|γ]≤c|t−s|d+ϵ.
则存在X的一个修正˜X满足
E [(
sup
s=t
|˜X t−˜X s|
|t−s|α
)γ]
<+∞,
其中α∈(0,ϵ/γ).特别地,˜X是α-H¨o lder连续的.
6
对于布朗运动B,由于
E|B t−B s|2n=(2n−1)!!|t−s|n,
应用上面的定理可以得到
定理1.16.对任意的α∈(0,1/2),布朗运动是局部α-H¨o lder连续的.
证明:由上面的结果知道:布朗运动是局部α-H¨o lder连续的,其中α∈(0,n−1
2n
),∀n≥1.令n→∞,得证.
下面的定理表面,布朗运动的轨道不是1
2
-H¨o lder连续的.
定理1.17(L´e vy连续模定理).
lim sup
ϵ→0
sup0≤t1<t2≤1,t2−t1<ϵ|B t2−B t1|
√
2t log1
t
=1, a.s.
证明:见Theorem2.1in Chapter2of[Revuz-Yor].
1.5马氏性和强马氏性
设E是一个局部紧可分度量空间,E是它的所有开集生成的Borelσ-代数.随机过程X={X t,t≥0}是(F t)-适应过程.
定义1.18.称X是一个马氏过程,若对任意的t≥s,f∈b E(等价地,f∈C c(E)),
E[f(X t)|F s]=E[f(X t)|X s]
定义1.19.称{P s,t(·,·),0≤s<t<∞}为(E,E)上的马氏转移函数(马氏半群),若满足,
(1)对任意的x∈E,A→P s,t(x,A)是E上的概率测度;
(2)对任意的A∈E,x→P s,t(x,A)是E可测的;
(3)(Chapman-Kolmogorov方程)对任意的x∈E,A∈E,s<t<u,
P s,u(x,A)=
∫
E
P s,t(x,dy)P t,u(y,A).
称它是时齐的,若P s,t(x,A)=P t−s(x,A).
对任意的f∈B E,记
P t f(x)=
∫
E
P t(x,dy)f(y).
7
定义1.20.称{X t,F t}为转移函数为P t的马氏过程,若对若对任意的t≥s,f∈b E
E[f(X t+s)|F t]=P s f(X t).
给定初始分布µ,它的有限维分布为
P(X0∈A0,X t
1
∈A1,···,X t n∈A n)
=
∫
A0µ(dx0)
∫
A1
P t(x0,dx1)···
∫
A n
P t
n−t n−1
(x n−1,dx n).
例如:布朗运动的转移密度函数为
p t(x,y)=
1
√
2πt
e−|y−x|
2
2t.
定义1.21.称X是一个强马氏过程,若对任意的停时τ,t≥0,f∈b E,
E[f(Xτ+t)|Fτ]=E[f(Xτ+t)|Xτ]
下面,我们介绍布朗运动的强马氏性.设B关于F∗是一个布朗运动,i.e.B t∈F t,B t+s−B s与F s独立,并且B t+s−B s∼N(0,t),∀t,s≥0.
定理1.22.对任意的有限停时τ,过程τB={B t+τ−Bτ}是一个与Fτ独立的布朗运动.
证明:首先证明对任意的τ∈Fτ,0≤t1<t2<···<t n,f∈C(R n,R),下式成立
E[f(τB t
1,···,τB t
n
);C]=P(C)E[f(τB t
1
,···,τB t
n
](2)eq strong
我们首先证明上式对离散停时成立,然后通过逼近证明对一般的停时成立.
假设τ的取值{s i,i=1,2,···}.由布朗运动的马氏性,我们知s B={B t+s−B s,t≥0}是与F s独立的布朗运动.由于C∈Fτ,则C i:=C∩{τ=s i}∈F s i.所以
E[f(τB t
1,···,τB t
n
);C]
=
∞
∑
i=1
E[f(B t
1+s i
−B s
i
,···,B t
n+s i
−B s n);C i]
=
∞
∑
i=1
P(C i)E[f(B t
1+s i
−B s
i
,···,B t
n+s i
−B s
i
)]
=
∞
∑
i=1
P(C i)E[f(B t
1
,···,B t
n
)]
=P(C)E[f(B t
1,···,B t
n
)].
8
对于一般的停时τ,取
τn=[2nτ]+1
2n
.
则强马氏性对τn成立.设C∈Fτ.因为τ≤τn,Fτ⊂Fτm,所以C∈Fτm,进而下式成立
E[f(τm B t
1,···,τm B t
n
);C]=P(C)E[f(τB t
1
,···,τB t
n
].
由布朗运动轨道的连续性,τm B t→τB t.由控制收敛定理,上式左端收敛,(2)得证.
由于所有{f(τB t
1,···,τB t
n
)}构成的空间在σ{τB t,t≥0}中稠密,所以τB与Fτ独立.取
C=Ω可得,τB与B同分布.
1.6强马氏性的应用
在这一节,我们利用布朗运动的强马氏性,证明布朗运动的一些性质.回忆,对任意的有限停时τ,过程τB={B t+τ−Bτ}是一个与Fτ独立的布朗运动.设随机变量X∈σ{τB},Y∈Fτ,则X,Y独立,它们的联合分布一定是边缘分布的乘积测度.由Fubini定理,可以计算
E f(X,Y)=∫
f(x,y)P(X∈dx)P(Y∈dy)
=E[E[f(x,Y]|x=X]
=E[E[f(X,y]|y=Y].
性质1.23.令M t=max0≤s≤t B s是布朗运动的最大值过程.则M t与|B t|同分布.
证明:设b>0,
τb=inf{t>0:B t=b}
是布朗运动首次到达b的时间.利用Kolmogorov0-1律可以证明lim sup t→∞B t=∞a.s..因此τb<∞,a.s.,它是有限停时.下面我们利用强马氏性计算
P(B t≥b,τb≤t).
注意到{B t≥b}可以推出τb≤t,因此上面的概率为P(B t≥b).定义转移过程W t=B t+τb−Bτb= B t+τ
b
−b.
上面的概率可以重新表示成
P(W t−τ
b
≥0,τb≤t).
9
上面的概率可以看成某个随机变量W和τ的函数的期望.因为W∈σ{τB},τb∈Fτ,所以由强马氏性知道这两个随机变量独立.因此,由Fubini定理,取期望时,可以首先固定一个变量,然后取条件期望.这里,我们先把τ看成常数,因为W是布朗运动,P(W t−s≥0)=12,∀s.这推出了
P(B t≥b)=P(B t≥b,τb≤t)=1
2
P(τb≤t).
另一方面,由于{τb≤t}={M t≥b},
P(M t≥b)=2P(B t≥b)=P(|B t|≥b).
这表明了M t与|B t|同分布.
下面计算首中时τb的密度函数.从上面的定理知
P(τb≤t)=2
2πt ∫∞
b
e−x2/2t dx.
关于t求导数,利用分部积分可得密度函数为
pτ
b (t)=
b
√
2πt3
e−b2/2t.
定理1.24.设B是标准布朗运动,τ是一个停时.设W是另外一个从0出发的,与Fτ独立的布
朗运动.定义过程Z:
Z t=
B t if t≤τ; W t−τ+Bτif t>τ.
则Z是一个布朗运动.
证明:由强马氏性知τB是一个与(Bτ,τ)独立的布朗运动,其中Bτ={B t∧τ,t≥0}.由假设知:三元组(W,Bτ,τ)与(τB,Bτ,τ)同分布.过程Z,B是由这两个三元组用相同的方法构造的.精确到讲,存在可测函数F满足Z=F(W,Bτ,τ),B=F(τB,Bτ,τ).这证明了Z,B由相同的分布,所以Z是布朗运动.
推论1.25.(Andr´e反射布朗运动)设τ是一个布朗运动的有限停时.在时刻τ后,对Bτ做反射,
定义过程Z:
Z t=
B t if t≤τ; 2Bτ−B t if t>τ.
则Z是一个布朗运动.
10
证明:和τB一样,−τB也是与Fτ独立的布朗运动,在上定理中取W t=−τB,得证结论.
利用反射原理,可以得到B t与M t=max0≤s≤t B s的联合分布.
性质1.26.B t与M t=max0≤s≤t B s的联合分布为
P(B t∈da,M t∈db)=(
2
πt3
)
(2b−a)e−(2b−a)2/2t dadb,
其中b>0,a<b.
证明:设Z是布朗运动B在τb后经过反射得到的布朗运动.为了方便,我们记τB
b 和τZ
b
表
示B和Z首次到达b的时刻.显然,这两个时刻相同.对b>0,a<b,我们有
P(B t≤a,M t≥b)=P(B t≤a,τB b≤t)
=P(Z t≤a,τZ b≤t)
=P(B t≥2b−a,τB b≤t)
=P(B t≥2b−a)
=
1
√
2πt
∫∞
2b−a
e−x2/2t dx.
关于a,b求导,就可以得到密度函数.
推论1.27.对固定的t>0,M t−B t和|B t|同分布.
证明:把密度函数p M
t,B t
在区域b−a≥c上积分,可以发现它们的分布函数相同.
注记 1.28.观察到M t−B t与M t同分布,因为它们都与|B t|同分布.过程|B t|称为反射布朗运动.我们在后面会详细介绍反射布朗运动.实际上,有更强的结果成立:过程{M t−B t,t≥0}与{|B t|,t≥0}同分布.
下面的例子表面布朗运动在任意的区间(0,ϵ)内都会变号,不论ϵ多小.
ex1例子1.29.计算P(B(t)≤0,∀t∈[0,ϵ]).由于
P(B(t)≤0,∀t∈[0,ϵ])=P(sup
0≤t≤ϵB(t)≤0)=1−P(sup
0≤t≤ϵ
B(t)>0).
而P(sup0≤t≤ϵB(t)>0)=2P(B(t)>0)=1.所以P(B(t)≤0,∀t∈[0,ϵ])=0.
定理1.30.布朗运动的零点集L0是个随机不可数闭集,它没有孤立点,Lebesgue测度为0.
11
证明:根据上面的定理,我们知道布朗运动在任何一个小区间[0,t ]上变号,因此,在这个区间里面总是存在零点.这推出了,零点集是无限集,t =0可以是它右侧的一列零点的极限.
另外,由于B (t )的轨道是连续的,零点集是闭集,即若B (τn )=0,τn →τ,则B (τ)=0.
下证零点集是不可数的.由强马氏性知:若τ是一个停时,B (τ)=0,则τB (t ):=B (τ+t )−B (τ)=B (τ+t )也是一个布朗运动.因此,t =0是新的布朗运动τB 零点的极限.注意到B (τ+t )的零点是B (t )的零点.因此,如果一个零点是停时,则它一定是它右侧一列零点的极限,它是聚点.但是并不是所有的零点都是停时,比如说对于固定的t ,t 之前的最后的一个零点不是停时.下面用更复杂的方法证明每个零点都是聚点.对任意的t ≥0,t 之后的首个零点τ(t )是停时.则
P (γ:τ(t )是它右侧一列零点的极限)=1.
关于所有的有理数t 取交集,上面的集合仍然概率为1.因此,每个有理数之后的第一个零点都是聚点.这推出了L 0的每个点都是它的聚点,即L 0是perfect 集.由集合论的知识,我们知道L 0是不可数的.
尽管L 0是不可数的,它的Lebesgue 测度为0.这是因为L 0的Lebesgue 测度|L 0|=∫1
0I (B (t )=0)dt ,它是非负随机变量.由Fubini 定理知
E |L 0|=E ∫
10I (B (t )=0)dt =∫10P (B (t )=0)dt =0.
这推出P (|L 0|=0)=1.
1.7布朗运动的零点.Arcsin 律
若B (τ)=0,则称时刻τ为布朗运动的零点.由布朗运动极大值分布可以推出布朗运动零点的信息.记{B x (t )}为从x 点出发的布朗运动.
定理1.31.对任意的x =0,{B x (t )}在区间(0,t )上至少一个零点的概率是|x |√2π∫t 0
u −32e −x 22u du.证明:由对称性,我们仅对x <0证明.由布朗运动的连续性,
P (B x 在(0,t )区间存在零点)=P (max 0≤s ≤t
B x (t )≥0)=P 0(max 0≤s ≤t B (t )+x ≥0)=P 0(max 0≤s ≤t B (t )≥−x )=2P 0(B (t )≥−x )=2√2πt ∫∞−x e −u 22t du =−x √2π∫t 0
v −32e −x
22v dv.上式最后一步用到了变量替换u =−x √t/v .
12
利用上面的结果可以证明
定理1.32.布朗运动B在区间(a,b)中至少存在一个零点的概率为
2πarccos
√
a
b
.
证明:记
h(x)=P(B在区间(a,b)中至少存在一个零点|B a=x).
由马氏性知
h(x)=P(B x在区间(a,b)中至少存在一个零点).
利用条件期望,得
P(B x在(a,b)区间存在零点)
=
∫∞
−∞
P(B在区间(a,b)中至少存在一个零点|B a=x)P(B a∈dx)
=
∫∞
−∞h(x)P(B a∈dx)=
√
2
πa
∫∞
h(x)e−x
2
2a dx.
将上面定理中的h(x)代入上式,可得结论.
定理1.33.布朗运动B在区间(a,b)中不存在一个零点的概率为2
πarcsin
√
a
b
.
下面的结果给出了t之前最后一个零点,和t之后第一个零点的分布.令
γt=sup{s≤t:B(s)=0}=t之前最后一个零点,
βt=inf{s≥t:B(s)=0}=t之后第一个零点.注意到βt是停时,γt不是.
定理1.34.
P(γt≤x)=2
πarcsin
√
x
t
.
P(βt≥y)=2
πarcsin
√
t
y
.
P(γt≤x,βt≥y)=2
πarcsin
√
x
y
.
证明:应用上面的定理可得结论.比如最后一个事件表示B在(x,y)之间没有零点.
13
1.8布朗运动的极限行为
下面考虑长时间的渐近行为.证明见Karatzas-Shreve.定理1.35(大数定律).
lim sup t →∞B t t =0
a.s.更精确地,有下面的重对数律.
定理1.36(重对数律).
lim sup t →∞B t
√2t log log t =1 a.s.引理1.37.对任意的a >0,
a a 2+1exp {−a 22}≤∫∞a exp {−x 2
2}dx <1a exp {
−a 22}.
证明:求导验算.
证明:[重对数律]
(1)上界.首先对固定的θ>1,上界对子列B θk 成立.由上引理得
P (B θk ≥√
2θk log log θk (1+ε))≤exp {−(1+ε)2log log θk }=1
(k log θ)(1+ε)2.
所以∑k ≥1
P (B θk ≥√
2θk log log θk (1+ε))<+∞.
由Borel-Cantelli 引理知
lim sup k →∞B θk
√2θk log log θk ≤1+ε, a.s.
再由ε的任意性,可以选一列εn ↓0,得
lim sup k →∞B θk
√2θk log log θk ≤1, a.s.
再证上界.对任意的t >θ,存在k =k (t ),使得θk
≤t <θk +1.则有P (sup θk ≤s<θk +1
|B s −B θk |>√(θ−1)θ√2θk log log θk
)
=P (sup 0≤s<θk +1−θk |B s −B θk |>√(θ−1)θ√2θk log log θk
)
=2P (|B θk +1−B θk |>√(θ−1)θ√
2θk log log θk )
≤2exp {−θlog log θk }=2
(k log θ)θ.
14
由Borel-Cantelli 引理知
lim sup k →∞sup θk ≤s<θk +1|B s −B θ
k |√2θk log log θk ≤√(θ−1)θ,
a.s.
再由B t ≤B θk +sup θk ≤s<θk +1|B s −B θk |,得
lim sup t →∞B t √2t log log t ≤1+√(θ−1)θ
a.s.选θn ↓1,得上界成立.
(2)下界.对固定的θ>1,由上界和布朗运动的对称性,有
lim sup k →∞|B θk |
√2θk log log θk ≤1, a.s.
对任意的δ>0,对很大的k >1,P (B θk +1−B θk ≥(1−δ)√
2θk (θ−1)log log θk )≥1
(k log θ)(1−δ/2)2.
由Borel-Cantelli 引理和δ的任意性,我们有
lim sup k →∞B θk +1−B θk
√2θk (θ−1)log log θk ≥1, a.s.
再由B θk +1≥B θk +1−B θk −|B θk |,得:
lim sup k →∞B θk +1√2θk (θ−1)log log θk ≥≥√θ−1θ−√
1θ, a.s.
所以lim sup t →∞B t √2t log log t ≥√θ−1θ−√
1
θ a.s.
选θn →∞,得下界成立.
15。