高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》真题汇编含答案解析

新数学《不等式》试卷含答案
一、选择题
1．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()2
2
125x y -+-=的圆心，则
11m n
+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】
圆2
2
(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，
由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，
则
1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n m
m n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．
2．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ） A ．
43
B ．2log 3
C ．
25
D ．2
4log 3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式求出2a b
+的最小值后可得221
a b
a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可
得c 的最大值. 【详解】
因为222a b a b ++=，故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立. 又因为2222
a
b
c
a b c
++++=，故2114
211212133
a b c
a b a b +++==+≤+=--，
当且仅当1a b ==时等号成立，故max 2
4
log 3
c =.
故选：D. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.
3．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则
2
||||
PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4
C
．2 D
．1
【答案】B 【解析】 【分析】
设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】
设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()2
00080x y y =≥，
因为点(0,4)A ，则()()2
2
222
00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.
又知点Q 在圆22
(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，
要使2||||
PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.
所以()()2
2
2000
003632516||||33
y y y PA PQ y y +-+++==
++ ()
0025
36643
y y =++
-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.
所以2
||||
PA PQ 的最小值为4.
故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.
4．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x
x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
5．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则24x y --的最小值为（ ）
A
B ．8 C
D ．
163
【答案】D 【解析】 【分析】
24x y --=
表示点(,)x y 到直线240x y --=的距
离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】
因为24x y --=，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线
240x y --=
点44
(,)33
A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时22
442433
3512d -⨯-==+， 所以24x y --的最小值为16
53
d =. 故选：D. 【点睛】
本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.
6．若，
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：用特殊值法，令
，
，
得
，选项A 错误，
，选项B 错误，
，选项D 错误，
因为
选
项C 正确，故选C ． 【考点】
指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】
比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
7．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+
C ．
43
D ．3log 41-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313
1
c
a b
+=+
-，只需求出3a b +的最小值，根据
333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，a 与b 为函数()3x
f x =的“线性对称点”，
所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.
又+a b 与c 为函数()3x
f x =的“线性对称点，
所以333b c a b c a ++++=，
所以314
3131313
a b c
a b a b +++==+≤--，
从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.
8．已知集合{}
2
230A x x x =-->，(){}
lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ）
A ．{}13x x -≤<
B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}
13A x x
x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A 【解析】 【分析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】
解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩
得(1,1)A ，
由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小，
所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
10．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．[4,)+∞
【答案】C 【解析】
若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4
a x x
≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4
[4,5]x x
+
∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.
11．若0a >，0b >，23a b +=，则36
a b
+的最小值为（ ） A ．5 B ．6
C ．8
D ．9
【答案】D 【解析】 【分析】
把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()1
23a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】
∵3613a b +=（36
a b +）（a +2b ） ＝13(366b a
a b
+
++12)
≥
13=9 等号成立的条件为66b a
a b
=，即a=b=1时取等 所以
36
a b
+的最小值为9．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题
12．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，
M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ） A
．2⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
B ．[
)1,+∞
C
．)
+∞
D ．[)2,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】
由抛物线方程知：()0,1F ，
设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，
M Q 为线段AB 的中点，12
022
x x x k +∴=
=， M Q 在直线l 上，2
00121y kx k ∴=+=+，
20021122OM
y k k k x k k +∴===+≥=
2
k =时取等号）， 即直线OM
斜率的取值范围为)
+∞. 故选：C . 【点睛】
本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.
13．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】
若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
14．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4
y
x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()
2,1-
D ．(,1)(2,)-∞-+∞U
【答案】D 【解析】 【分析】
将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】 若不等式24y x m m +
<-有解，即2()4
min y
m m x ->+即可， 142x y +=Q
，12
12x y
∴+=， 则
121221112121124422482
y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+
=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当28x y y x
=，即22
16y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24
min y
x +
=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，
即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
15．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9
C ．8
D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形
式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：
21
1x y
+=
()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9
故选：B 【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
16．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A ．
169
π
B ．
89
π C ．
1627
π
D ．
827
π 【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可． 【详解】
解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得
323
r x -=， 3
32
x r ∴=-，
∴圆柱的体积为23()(3)(02)2
V r r r r π=-<<，
则3333316
3331616442()(3)()9442939
r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …． 当且仅当33342r r =-，即43
r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为
169
π， 故选：A ．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
17．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的最小值是( )
A ．3
B ．32
C ．0
D ．3- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．
【详解】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆，
由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距
把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1
y x y =⎧⎨
=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，
故选：D ．
【点睛】
本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．
18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4
B ．3
C ．232
D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得
263
n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】 解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，
2(12)112d d ∴+=+．
得2d =或0d =（舍去），
21n a n ∴=-，
2(121)2
n n n S n +-∴==， ∴()()2221142626332211
2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则264422223n n S t t a t t
+=+-≥⋅=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263
n n S a ++的最小值为2．
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
19．已知,a b 都是正实数，则
222a b a b a b +++的最大值是（ ）
A ．2
B ．3-
C ．1
D ．43
【答案】A
【解析】
【分析】
设2,2m a b n a b =+=+，将
222a b a b a b +++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.
【详解】
设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n m a b --=
=，
所以2222222333
a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当
233n m m n =时取等号.
所以222a b a b a b +++的最大值是2-. 故选：A
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
20．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18 B ．14 C ．12 D ．34
【答案】A
【解析】
【分析】
根据()1
22y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122
a b =⋅利用基本不
【详解】
因为()122y a b x =+为幂函数，
所以21a b +=，
又因为0a >，0b >，
所以ab 2112122228
a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b =
=取等号. 所以ab 的最大值为
18. 故选：A
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.。