二诊模拟文科数学答案

即 (m 1)x y 2m 1 0
方程 (m 1)x y 2m 1 0 可化为 m(x 2) (x y 1) 0
当
x
x
2 y
0 1
0
即
x
y
2
时，对任意
1
m
R
，
(m
1) x
y
2m
1
0
恒成立
∴ 函 数 y f (x) 的 图 象 在 点 (0, f (0)) 处 的 切 线 方 程 (m 1)x y 2m 1 0 经 过 定 点
（不妨设 k 0 ）,则 HN 所在直线的方程为 y 1 x 1 k
………………5 分
y kx 1
联立方程
x2
4y2
,消去
4
y
整理得
1 4k 2
x2
8kx
0 ,解得 xM
8k 1 4k 2
,
将 xM
8k 1 4k 2
代入
y
kx 1可得
yM
8k 2 1 4k2
1,故点 M
∴ f '(x) ex[x2 (m 2)x (1 m)] 0
∴ y f (x) 在 (, ) 上单调递增
∴ y f (x) 在 (, ) 上不存在最大值和最小值.
②当 2 0 即 m 8 或 m 0 时，设方程 x2 (m 2)x (1 m) 0 的两根为 x1, x2 f '(x), f (x) 随 x 的变化情况如下表：
（2）设直线
l
的参数方程为：
x y 1
t cos t sin
（
为参数）代入曲线
C
的方程有：
7 sin2 9 t2 32sin t 128 0 ，设点 A, B 对应的参数分别为 t1, t2 ，则 t2 2t1 ， ……6 分
则 t1
t2
9
32sin 7sin2
t1 , t1
1-12：AAADB BAACA CB
二诊模拟文科答案
13.{x | 2 x 3}
14. 4
3
15. 12 5
16. 3 2
17.解：（Ⅰ）因为 (0.005 0.01 a 0.03 0.035) 10 1,
………1 分
所以 a 0.02 .
…2 分
（Ⅱ）依题意可知，
第 3 组的人数为 0.3100 30 ， 第 4 组的人数为 0.2100 20 ， 第 5 组的人数为 0.1100 10 .
在第 5 组抽取的人数为10 1 1人， 10
………7 分
（Ⅲ）记第 3 组的 3 名新生为 A1, A2 , A3 ,第 4 组的 2 名新生为 B1, B2 ,第 5 组的 1 名新生为 C1 .则从 6 名
新生中抽取 2 名新生，共有:
( A1, A2 ), ( A1, A3), ( A1, B1), ( A1, B2 ), ( A1, C1), ( A2 , A3), ( A2 , B1), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1),
x f '(x)
(, x1)
＋
x1
(x1, x2 )
0
－
x2
(x2 , )
0
＋
f (x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
当 x 时， f (x) 0 ， f (x) 0 ；当 x 时， f (x)
∴要使 y f (x) 在 (, ) 上有最大值或最小值，只需满足 f (x2 ) 0 即 y1 0 有解
4
4
y2
1,
…………1 分 ………………3 分
所以动点 P 的轨迹 E 的方程为 x 2 y 2 1 （ x 2 ）. 4
注:如果未说明 x 2 （或注 y 0 ）,扣 1 分.
（Ⅱ）设能构成等腰直角 HMN ,其中 H 为 0,1 ,
………………4 分
由题意可知,直角边 HM , HN 不可能垂直或平行于 x 轴,故可设 HM 所在直线的方程为 y kx 1,
当 HM 斜率 k 1时, HN 斜率 1；当 HM 斜率 k 3 5 时, HN 斜率 3 5 ；
2
2
当 HM 斜率 k 3 5 时, HN 斜率 3 5 ,
2
2
综上所述,符合条件的三角形有 3 个.
………………12 分
21.解：（Ⅰ）当 m 1时， f (x) ex (x2 x 1) ， f '(x) ex (x2 3x)
令 f (x) 0 ，得 x 0或x 3
∴函数 y f (x) 的单调递增区间为 (, 3), (0, )
………………………2 分
（Ⅱ） f '(x) ex[x2 (m 2)x (1 m)]
f (0) 1 m, f '(0) 1 2m
∴函数 y f (x) 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y (1 2m) (1 m)(x 0)
( A3, B1), ( A3, B2 ), ( A3, C1), (B1, B2 ), (B1, C1), (B2 , C1) ,共有 15 种.
…………9 分
其中第 4 组的 2 名新生 B1, B2 至少有一名新生被抽中的有:
( A1, B1), ( A1, B2 ), ( A2, B1), ( A2, B2 ), ( A3, B1), ( A3, B2 ), (B1, B2 ), (B1, C1), (B2 , C1) 共有 9 种, …11 分
则第 4 组至少有一名新生被抽中的概率为 P 9 3 15 5 .
……12 分
18.解：（Ⅰ）由条件 a c 2b,ac 6 ，
而 b2 a2 c2 3ac (a c)2 (2 3)ac 4b2 6(2 3) ．
即 3b2 6(2 3) ，解得 b 1 3
（Ⅱ）∵ BD
BA BC
，∴
BD
2
( BA BC )2
2
…………6 分
2 BA
BC
2
2BA
BC
2
a2 c2 3ac 2
当 a c 6 时取等号.
2ac 2
3ac
12 6 3 3 3
2
2
…………12 分
19.（每小问各 4 分）
（Ⅲ）结论：在线段 DE 上存在一点 F
是平行四边形，则 AF //BM ．又因为 AF 平面 BCE ， BM 平面 BCE ，所以 AF // 平面 BCE ．
20（Ⅰ）设点 P 的坐标为 x, y （ x
2 ）,则 kPA
y x
0 2
,
kPB
y0 x2
,
依题意 k PA
k PB
1 ,所以 y
4
x2
y x2
1 ,化简得 x 2
∴ 1 m2 4(1 2m) m2 8m 4 0 ，解得 m 4 2 5 或 m 4 2 5
综上可得， m 4 2 5 或 m 4 2 5
. …………方程为： x2 y2 1． 16 9
…………3 分
(2, 1) .
.………………………6 分
（Ⅲ） f '(x) ex[x2 (m 2)x (1 m)]
令 y1 x2 mx 1 2m ， y2 x2 (m 2)x (1 m) 1 m2 4(1 2m) m2 8m 4 ， 2 (m 2)2 4(1 m) m2 8m ①当 2 0 即 8 m 0 时， y x2 (m 2)x (1 m) 0
所以 3、4、5 组人数共有 60.
………3 分
所 以 利 用 分 层 抽 样 的 方 法 在 60 名 学 生 中 抽 取 6 名 新 生 , 分 层 抽 样 的 抽 样 比 为
6 1. 60 10 所以在第 3 组抽取的人数为 30 1 3 人 ，
10
………4 分
在第 4 组抽取的人数为 20 1 2 人， 10
t2
9
128 7sin2
2t12 ，
∴ sin2 1 ， ∴直线 l 的方程为： x 0
…………10 分
，且
EF
1 ，使
AF // 平面 BCE
．
ED 3
设F
为线段 DE 上一点，
且
EF
1 ，
过点 F 作 FM //CD 交 CE 于 M ，则 FM = 1 CD ．因为 CD 平面
ED 3
3
ADE ， AB 平面 ADE ，所以 CD//AB ．又因为 CD 3AB 所以 MF AB ， FM //AB ，所以四边形 ABMF
的坐标为
M
1
8k 4k
2
,
8k 2 1 4k 2
1 .
所以 HM
1
8k 4k
2
2
1
8k 2 4k
2
2
8k 1 k 2 1 4k 2
,
………………9 分
同理可得 HN
8 1 k2 4k2
,由 HM
HN ,得 k
4 k2
1 4k2 ,
所以 k3 4k 2 4k 1 0 ,整理得 k 1 k 2 3k 1 0 ,解得 k 1或 k 3 5 …………11 分 2