2020-2021学年重庆四十二中高二(下)期中数学复习卷2(含解析)

2020-2021学年重庆四十二中高二(下)期中数学复习卷2
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若z(1−i)=4i ，则|z|=( )
A. √2
B. 2√2
C. 2
D. 4
2. log 2(C 20150+C 20151+⋯+C 20151007
)的值为( )
A. 1007
B. 1008
C. 2014
D. 2015
3. 已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：
①f(x)=
g(x)a x
(a >0，且a ≠1)；
②g(x)≠0；
③f(x)⋅g′(x)>f′(x)⋅g(x)． 若f(1)
g(1)+f(−1)
g(−1)=5
2，则a 等于( )
A. 1
2
B. 5
4
C. 2
D. 2或1
2
4. 已知f(x)=x 3−x 2f′(−1)−1，则f′(−1)=( )
A. −3
B. −2
C. 2
D. 3
5. 河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八
卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”.把一到十分为五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取4个数，则能组成口诀中两组的概率是( )
A. 1
5
B. 1
10
C. 1
21
D. 1
252
6. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5，则输出s 的值是( )
A. 4
B. 7
C. 11
D. 16
7.下列叙述正确的是()
A. 若|a|=a，则a>0
B. 若a≠b，则|a|≠|b|
C. 若|a|=|b|，则a=b
D. 若a=−b，则|a|=|b|
8.函数y=2sinx的图象上一点(π
3,√3
2
)处的切线的倾斜角为()
A. 3π
4B. π
4
C. 2π
3
D. 5π
6
9.复数等于()
A. 1+i
B. 1−i
C. −1+i
D. −1−i
10.若在内可导，且，则的值为()
A. B. C. D.
11.已知函数f(x)=−x3+2x−e x+1
e x
，其中e是自然对数的底数，若f(a−1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是()
A. [−1,1
2
] B. [−1,2]
C. (−∞,−1]∪[1
2
,+∞) D. (−∞,−2]∪[1,+∞)
12.已知函数f(x)在R上的图像是连续不断的一条曲线，当x>0时，f(x)<2,对任意的x,y∈R，
f(x)+f(y)=f(x+y)+2成立，若数列{a n}满足a1=f(0)，且f(a n+1)=f(a n
a n+3
),n∈N∗,则a2018的值为()
A. 2
2×32017−1B. 6
2×32017−1
C. 2
2×32016−1
D. 2
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在(1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)19的展开式中，含x2项的系数是______ ．
)=______ ．
14.已知函数f(x)=e x sinx，则f′(π
2
15.在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意
抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有______ 种．(用数值作答)
16.直线(为实常数)与曲线的两个交点A、B的横坐标分别为、，且
，曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N.下列结论：
①；②三角形PAB可能为等腰三角形；
③若点P到直线的距离为，则的取值范围为；
④当是函数的零点时，(为坐标原点)取得最小值．
其中正确结论的序号为．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.广东某六所名校联盟办学，他们不但注重学生的学习成绩的提高，更重视学生的综合素质的提
高；六校从各校中抽出部分学生组成甲、乙、丙、丁 4个小组进行综合素质过关测试，设4个小组中：甲、乙、丙、丁组在测试中能够过关的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各组是否过关是相互独立的．
(1)求测试中至少3个小组过关的概率；
(2)X表示测试中能够过关的组数，求X的数学期望．
18. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据
如下：
(Ⅰ)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(Ⅱ)试对x 与Y 的关系进行相关性检验，如x 与Y 具有线性相关关系，求出Y 对x 的回归直线方程；
(Ⅲ)试预测加工7个零件需要多少时间？ 参考数据：√12.5=3.54，√1.25=1.12． 附：r =i n i=1i −nxy
√
(∑x i i=1−nx 2
)(∑y i i=1−ny 2
)
)；b ̂=∑x i n
i=1y i −nxy ∑x i
2n i=1−nx
2，a ̂=y −b ̂x ； 相关性检验的临界值表
注：表中的n 为数据的组数
)n(n∈N∗)的展开式中第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比为14：3 19.已知(√x−2
x2
(1)求展开式中各项系数的和
(2)求展开式中含x52的项．
20.
+xlnx，g(x)=x3−x2−3．
21.设f(x)=a
x
(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)如果对任意x1，x2∈[0,2]都有g(x1)−g(x2)≤M成立，求满足上述条件的最小整数M．
22.已知函数f(x)=lnx−a(x−1)
x+1
．
(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数，求a的取值范围；
(Ⅱ)设m>n>0，求证：m−n
lnm−lnn <m+n
2
．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：因为z(1−i)=4i ， 所以z =4i
1−i ，故|z|=|4i|
|1−i|=2=2√2． 故选：B ．
先表示出复数z ，然后利用复数模的运算性质进行求解即可．
本题考查了复数模的求解，主要考查了复数模的性质的理解和应用，属于基础题．
2.答案：C
解析：
本题考查了组合与组合数公式和对数的运算性质，属于基础题． 根据组合与组合数公式和对数的运算性质即可求出．
解：C 20150+C 20151+⋯+C 20151007=1
2(C 20150+C 20151+⋯+C 20151007+⋯+C 20152015)=1
2×22015
=22014， ∴log 2(C 20150+C 20151+⋯+C 20151007)=log 22
2014=2014， 故选：C ．
3.答案：C
解析：解：由①得f(x)
g(x)=1
a x ，∴[f(x)
g(x)]′=
f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g 2(x)
，
由②g(x)≠0，③f(x)⋅g′(x)>f′(x)⋅g(x)得f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)<0 可知[f(x)
g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g 2(x)
<0，即函数
f(x)
g(x)
在R 上单调递减，
即a >1． 若f(1)
g(1)+f(−1)
g(−1)=5
2， 则1
a +1
a −1=1
a +a =5
2，
即2a 2−5a +2=0，解得a =2或a =1
2， ∵a >1， ∴a =2．
故选：C．
根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后进行求解即可．
本题主要考查导数的计算，以及函数单调性和导数符号之间的关系，构造函数是解决本题的关键．4.答案：A
解析：解：f(x)=x3−x2f′(−1)−1，
则f′(x)=3x2−2xf′(−1)，
则f′(−1)=3+2f′(−1)，
解得f′(−1)=−3
故选：A．
根据函数的导数公式求得函数的导数，即可得到结论．
本题主要考查导数的计算，利用函数的导数公式求出f′(−1)是解决本题的关键，比较基础．
5.答案：C
解析：
本题考查古典概型的计算与应用，组合与组合数公式，属于基础题．
先求出基本事件总数n=C104，能成为两组包含的基本事件个数m=C52，即可得解．
解：现从这十个数中随机抽取4个数，
基本事件总数n=C104，
能成为两组包含的基本事件个数m=C52，
则能组成口诀中两组的概率是P=m
n =C52
C104
=1
21
．
故选C．
6.答案：C
解析：试题分析：运行第一次：，成立；运行第二次：，成立；
运行第三次：，成立；
运行第四次：，成立；
运行第一次：，不成立；
输出：．
故选C．
考点：循环结构．
7.答案：D
解析：解：若|a|=a，则a≥0，故A错误；
若a=−b≠0时，a≠b，但|a|=|b|，故B错误；
若|a|=|b|，则a=b或a=−b，故C错误；
若a=−b，则|a|=|b|，故D正确；
故选：D
根据绝对值的定义和性质，逐一分析四个答案的正误，可得答案．
本题以命题的真假判断为载体考查了绝对值的定义和性质，难度不大，属于基础题．8.答案：B
解析：解：函数y=2sinx的导函数为：y′=2cosx，
在点(π
3,√3
2
)处的切线的斜率为：2×1
2
=1，
所以函数y=2sinx的图象上一点(π
3,√3
2
)处的切线的倾斜角为：π
4
．
故选：B．
求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线的倾斜角即可．
本题考查函数的导数的应用，切线的斜率与倾斜角的求法，考查计算能力．
9.答案：A
解析：试题分析：。

故选A。

考点：复数的运算
点评：对于复数的除法，先将分子和分母都乘以分母的共轭复数，再进行运算。

此类题目较简单，是必考点，务必得分。

10.答案：C
解析：试题分析：根据导数定义，则．
考点：导数的定义；
11.答案：C
解析：解：函数f(x)=−x3+2x−e x+1
e x
的定义域为R，
且f(−x)=x3−2x−1
e x
+e x=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，
f′(x)=−3x2+2−e x−1
e x
，
因为−e x−1
e ≤−2√e x⋅1
e
=−2，当且仅当e x=1
e x
，即x=0时等号成立，
所以f′(x)=−3x2+2−e x−1
e x
≤0，
所以f(x)为减函数，
所以不等式f(a−1)+f(2a2)≤0等价于f(a−1)≤f(−2a2)，
所以a−1≥−2a2，解得a≤−1或a≥1
2
，
即实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[1
2
,+∞)．
故选：C．
由函数奇偶性的定义可得f(x)为奇函数，利用导数判断函数的单调性，由函数的性质可将不等式合理转化，从而求得a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的判断，利用函数的性质解不等式，属于中档题．
12.答案：A
解析：
本题主要考查函数与数列的转化，利用抽象函数的关系结合函数的单调性的定义判断函数单调性是解决本题的关键．
计算a 1，判断f(x)的单调性得出递推公式a n+1=a n
a n +3，两边取倒数化简得出，
∴{1a n
+1
2}是等比数列，从而得出{a n }的通项公式．
解：令x =y =0得f(0)=2，∴a 1=2．
设x 1，x 2是R 上的任意两个数，且x 1<x 2，则x 2−x 1>0， ∵x >0，f(x)<2； ∴f(x 2−x 1)<2；
即f(x 2)=f[(x 2−x 1)+x 1]=f(x 2−x 1)+f(x 1)−2<2+f(x 1)−2=f(x 1)， ∴f(x)在R 上是减函数， f (a n+1)=f (
a n
a n
+3)，所以a n+1=a
n a n +3，1a n+1
+12=3(1a n
+12
)， {1
a n
+1
2}是等比数列，
所以a n =2
2·3n−1−1，
a 2018=
2
2·32017−1
故选A ．
13.答案：1139
解析：解：(1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)19的展开式中，含x 2项的系数：C 32+C 42+C 52+C 62
+⋯+C 182+C 192
=C 33+C 32+C 42+C 52+C 62+⋯+C 182+C 192−1
=C203−1=1139．
故答案为：1139
通过求出各项二项式中x2项的系数，利用组合数的性质求出结果即可．
本题是基础题，考查二项式系数的性质，组合数性质的应用，考查计算能力．14.答案：eπ2
解析：解：f′(x)=e x sinx+e x cosx，
∴f′(π
2)=eπ2sinπ
2
+eπ2cosπ
2
=eπ2，
故答案为：eπ2．
先求导，再代值计算即可．
本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．
15.答案：13968
解析：解：从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有，则包括两件次品和两件正品，
共有C32C972=13968种结果．
故答案为：13968．
由题意知本题是一个组合问题，抽出的三件产品恰好有两件次品，则包括两件次品和两件正品．
本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是看清题目抽取的产品与顺序无关，是一个组合问题，教材中出现过类似的问题．
16.答案：①③④
解析：本题考查的知识点主要是函数的性质，考查了导数的几何意义、直线的位置关系、点到直线的距离和两点间的距离，
根据题意，可以求得，根据，所以两条切线的斜率分别是和，所以两条切线的方程分别是和，可以得出两条直线在轴上的截距分别为和，从而得出，所以①正确，从两条切线的斜率可以得出两
条切线是垂直的，而其斜率不会是 ，所以不是等腰三角形，故②错误，可以联立两条切线方程，
求得
点的坐标，从而求得P 到直线 的距离的取值范围为
，所以③正确，利用两点间的
距离公式，求得 (
为坐标原点)取得最小值点的坐标，验证可知此时满足
是函
数
的零点，从而得出④是正确的，故答案为①③④．
17.答案：解：(1)测试中至少3个小组过关的概率为
P =0.6×0.52×(1−0.4)+2×0.6×0.52×0.4+(1−0.6)×0.52×0.4+0.6×0.52×0.4 =0.09+0.12+0.04+0.06 =0.31；
(2)∵X 的可能取值为0，1，2，3，4；
∴P(X =0)=(1−0.6)×0.52×(1−0.4)=0.06，
P(X =1)=0.6×0.52×(1−0.4)+2×(1−0.6)×0.52×(1−0.4)+(1−0.6)×0.52×0.4 =0.25，
P(X =4)=0.6×0.52×0.4=0.06；
由(1)知，P(X ≥3)=P(X =3)+P(X =4)=0.31， ∴P(X =3)=0.31−0.06=0.25，
∴P(X =2)=1−P(X =0)−P(X =1)−P(X =3)−P(X =4) =1−0.06−0.25−0.25−0.06=0.38，
∴EX =0×P(X =0)+1×P(X =1)+2×P(X =2)+3×P(X =3)+4×P(X =4) =0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06 =2．
解析：(1)根据相互对立事件的概率的乘法公式求出测试中至少3个小组过关的概率P ； (2)求出X 的可能取值，从而求出X 的分布列与数学期望．
本题考查了相互对立事件的概率乘法公式的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题目．
18.答案：解：(Ⅰ)散点图．
(Ⅱ)由表中数据得：∑x i 4i=1y i =52.5，x =3.5，y =3.5，
∑x i 24i=1=54，∑y i 2
4i=1=51.5；|r|=√12.5=0.989>r 0.05
从而有95%的把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系，因此求回归直线方程是有意义的． 计算得：b ̂
=0.7，a ̂
=1.05， 所以y ̂
=0.7x +1.05．
(Ⅲ)将7代入回归直线方程，得y =0.7×7+1.05=5.95(小时) 预测加工7个零件需要5.95小时．
解析：(Ⅰ)利用坐标描点可得散点图．
(Ⅱ)由表中数据得：∑x i 4i=1y i =52.5，x =3.5，y =3.5，∑x i 24i=1=54，∑y i 24i=1=51.5；可判断相
关关系．根据公式求解回归直线方程；
(Ⅲ)将7代入回归直线方程，可得加工7个零件的时间． 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．
19.答案：解(1)∵C n
4：C n 2
=14：3， 化简得n 2−5n −50=0，n ∈N ∗， ∴n =10， (√x −
2x )10
的展开式中令x =1，
可得展开式中各项系数的和：(√1−21)10
=1;
(2)设(√x −2
x 2)10的展开式的通项为T r+1，
则T r+1=C 10r ⋅(−2)r ⋅x
10−r
2
−2r ，
令
10−r 2
−2r =5
2得：r =1．
∴含x 5
2的项为：−20x 5
2．
解析：本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，求展开式中系数最大的项是难点，考查解不等式组的能力，属于中档题．
(1)由C n 4：C n 2=14：3可解得n ；然后求解展开式中各项系数的和．
(2)设出其展开式的通项为T r+1，令x 的幂指数为5
2即可求得r 的值，然后求出所求项．
20.答案：(1)由条件可知a=3时(x>0)，令f′(x)=0，解得x=或x=1，
当0<x<或x>1时，f′(x)>0，当<x<1时，f′(x)<0，
所以当x=时f(x)取得极大值f()=，当x=1时f(x)取得极小值f(1)=1；
(2)由条件可知(x>0)
当a=0时，则可知令f′(x)=0，解得x=1
当x∈(0,1)时，f(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减；
当a<0时，令f′(x)=0，解得x=1或<0(舍去)
当x∈(0,1)时，f(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减；
当0<a<2时，令f′(x)=0，解得x=1或>1
当x∈(0,1)，时，f(x)单调递增，当x∈时，f(x)单调递减;
当a=2时，恒成立，即f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>2时，令f′(x)=0，解得x=1或0<<1
当x∈，(1,+∞)，f(x)单调递增，当x∈时，f(x)单调递减;
综上所述：当a≤0时，x∈(0,1)时，f(x)单调递增，x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减；
当0<a<2时，x∈(0,1)，时，f(x)单调递增，x∈时，f(x)单调递减;
当a=2时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>2时，x∈，(1,+∞)，f(x)单调递增，x∈时，f(x)单调递减。

解析：本题主要考查了利用函数的导数来研究函数的单调性、极值，以及分类讨论的思想。

(1)当a =3时，求函数的导数，令导数等于0，即可得到函数的单调区间； (2)先求函数的导数，在分类讨论实数a 的取值情况得到函数的单调性， 即当a ≤0时，x ∈(0,1)时，f(x)单调递增，x ∈(1,+∞)时，f(x)单调递减；
当0<a <2时，x ∈(0,1)，时，f(x)单调递增，x ∈时，f(x)单调递减;
当a =2时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a >2时，x ∈，(1,+∞)，f(x)单调递增，x ∈时，f(x)单调递减。

21.答案：解：(1)当a =4时，f(x)=4
x +xln x ，
f′(x)=−4
x 2+ln x +1， ∴f(1)=4，f′(1)=−3， ∴y −4=−3(x −1)．
故曲线y =f(x)在x =1处的切线方程为3x +y −7=0； (2)对任意x 1，x 2∈[0,2]，使得g(x 1)−g(x 2)≤M 成立， 等价于：[g(x 1)−g(x 2)]max ≤M ，
g(x)=x 3−x 2−3，g′(x)=3x 2−2x =3x(x −2
3)， x
(0,23) 23
(23,2) 2
g′(x) −
+
g(x)
−3
递减
极(最)小值−85
27
递增
1
由上表可知：g(x)min =g(2
3)=−85
27，g(x)max =g(2)=1， [g(x 1)−g(x 2)]max =g(x)max −g(x)min =
112
27
，即M ≥11227
，
∴满足条件的最小整数M=5．
解析：(1)求出导数，切点和切线的斜率，应用点斜式方程写出切线方程；
(2)首先将不等式转化为[g(x1)−g(x2)]max≤M，然后求出g(x)的导数，求出单调区间和极值，最值，得到M的不等式，求出最小整数．
本题考查导数的综合应用：求切线方程、求单调区间和极值、最值，同时考查转化思想，是一道中档题．
22.答案：(Ⅰ)解：f′(x)=1
x −a(x+1)−a(x−1)
(x+1)2
=x2+(2−2a)x+1
x(x+1)2
，
因为f(x)在(0,+∞)上为单调增函数，
所以f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
即x2+(2−2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立．当x∈(0,+∞)时，由x2+(2−2a)x+1≥0，得2a−2≤x+1
x
．
设g(x)=x+1
x ，x∈(0,+∞)，g(x)=x+1
x
≥2√x⋅1
x
=2，
当且仅当x=1
x
，即x=1时，g(x)有最小值2，所以2a−2≤2，所以a≤2，
所以a的取值范围是(−∞,2]．
(Ⅱ)证明：要证：m−n
lnm−lnn <m+n
2
，
∵m>n>0，∴ln m
n >0，只需证
m
n
−1
ln m
n
<
m
n
+1
2
，
即证ln m
n >2(
m
n
−1)
m
n
+1
，只需证ln m
n
−2(
m
n
−1)
m
n
+1
>0，
设ℎ(x)=lnx−2(x−1)
x+1
，
由(Ⅰ)知ℎ(x)在(1,+∞)上是单调增函数，又m
n
>1，
所以ℎ(m
n )>ℎ(1)=0，即ln m
n
−2(
m
n
−1)
m
n
+1
>0成立，
所以m−n
lnm−lnn <m+n
2
成立．
解析：(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数，通过函数的单调性得2a−2≤x+1
x ，设g(x)=x+1
x
，求出g(x)
的最小值即可；
(Ⅱ)问题转化为只需证ln m
n −2(
m
n
−1)
m
n
+1
>0，设ℎ(x)=lnx−2(x−1)
x+1
，通过函数的单调性得到ℎ(x)>0即
可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数恒成立问题，不等式的证明，是一道中档题．。