湛江第一中学高三数学(文科)仿真模拟.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
2015年湛江第一中学高三数学（文科）仿真模拟
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.
参考公式：锥体体积1
3
V
sh = 第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合{}
04|2
>-=x x A ，{}02|<-=x x B ，则()B A C R ⋂等于（ ）
A ．)2,(-∞
B ．[]
2,2-
C ．()
2,2-
D ．)2,2[-
2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A.1y x =+
B.tan y x =
C.2log y x =
D.3
y x =
3.已知i 为虚数单位,复数()()i i z +-=11的模z 的值是( ) A ． 4 B ． 2 C ． i 4 D ． i 2
4.在各项均为正数的等比数列{n a }中，已知5a a 1＝25，则3a 等于（ ） A.5 B.25 C.－25 D.－5或5
5.若幂函数()f x mx α
=的图象经过点11(,)42
A ，则它在点A 处的切线方程是( )
A.20x y -=
B.20x y +=
C.4410x y -+=
D.4410x y ++=
6.由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为
( )
A.10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
B.10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
C.10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩
D.10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
7.设函数()sin(2)3
f x x π
=+
，则下列结论正确的是 ( )
①()f x 的图象关于直线3
x π
=对称; ②()f x 的图象关于点(
,0)4
π
对称;
③()f x 的图象向左平移
12
π
个单位，得到一个偶函数的图象; ④()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6
π
上为增函数．
A. ①③ B . ②④ C. ①③④ D . ③ 8. 函数x x x f sin )(=的图象大致是
A B C D 9. 某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形， 则该几何体的体积是( )
A ．16
B ．12
C ．8
D ．6
10．称||),(b a b a d -=为两个向量a 、b 间的“距离”．若向量a 、b 满足:①1||=b ；②b a ≠；③对任意的R t ∈，恒有),(),(b a d b t a d ≥，则（ ） A ．b a ⊥ B ．)(b a a -⊥ C ．)(b a b -⊥ D ．)()(b a b a -⊥+
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11－13题）
11．不等式2
3100x x --<的解集为 ．
12.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．
第9题图
13. 书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书 本． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭的倾斜角为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，O 是半圆的圆心，直径
26AB =，PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，
C 4A =，则PB = ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. ( 本小题满分12分) 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且c a >.已知
2=⋅BC BA ,3
1
cos =
B , 3=b 求 （1）c a ,的值； （2）)cos(
C B -的值.
17．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m 3）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年1月某日某省x 个监测点数据统计如下：
空气污染指数 （单位：μg/m 3
） []0,50
(]50,100
(]100,150
(]150,200
监测点个数
15
40
y
10
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x ，y 的值，并完成频率分布直方图；
（2）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？
18.如右图，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，
6AB =，AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．
（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；
（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．
19．（本小题满分14分） 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的*N n ∈，都有(1)n n S m ma =+-(m 为正常数)．（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）数列{}n b 满足),2(1,2*1
1
11N n n b b b a b n n n ∈≥+=
=--，求数列{}n b 的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T
20. 已知抛物线)0(2:2
>=p py x C ，抛物线上一点Q )2
1,(m 到焦点的距离为1 （Ⅰ）求抛物线C 的方程
（Ⅱ）设过点M （0,2）的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点，且A 点的横坐标为)(*
∈N n n
0.001
0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 频率 组距
空气污染指数 （μg/m 3
）
50
100
150 200
（ⅰ）记△AOB 的面积为)(n f ，求)(n f 的表达式
（ⅱ）探究是否存在不同的点A ，使对应不同的△AOB 的面积相等？若存在，求点A 点的坐标；若不
存在，请说明理由
21. （本小题满分14分）已知函数()2
ln ,f x x x ax a R =+-∈
（1）若3a =，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 由两个极值点12,x x ，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率k ，问是否存在a ，使22
a
k a =
-，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.
2015年湛江第一中学高三数学（文科）仿真模拟答案
一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
D
B
A
C
A
D
A
B
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题. 11. {|25}x x -<< 12. ()2
2116x y -+=和()2
2916x y -+= 13. 25
14.
34
π
15.32 三、解答题
17． 解：（1）15
0.00350100x x
⨯=
∴= 15401010035y y +++=∴= ……2分
400.00810050=⨯ 350.00710050=⨯ 10
0.00210050
=⨯
……5分
（2）设A 市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分
0.001
0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 频率
组距
空气污染指数
（3/g m μ）
50
100 150 200
其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为
(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分 所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是7
()10
P A =. ……12分 18..解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，-----------1分
又BC CD ⊥， AB
BC B =， CD ∴⊥平面ABC ，-----------------2分
又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ----------------3分
∴EF ⊥平面ABC M,又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC ---------4分 （2）
CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF
∴//CD 平面BEF ------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF 平面BCD l =
∴//CD l --------8分
（3）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEF
ACD ∆∆------9分,1,4AEF ACD S S ∆∆∴
= ∴1
4
B AEF B ACD V V --=-------11分 331
444
B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅116116.428=⨯⨯⨯⨯=
------14分 [解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+11
33
EBC BCD S EF S FG ∆∆=
⋅+⋅------12分 1611166
113423228
=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分] 19．解：（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．……………1分
当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=．………………2分 又m 为常数，且0m >，∴
1(2)1n n a m
n a m
-=≥+．………………………3分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为
1m
m
+的等比数列．…………………………………4分 （2）解：1122b a ==． …………………………………………………………………5分 ∵11
1n n n b b b --=
+，∴
1111n n b b -=+，即111
1(2)n n n b b --=≥．………………………7分
∴1n b ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是首项为1
2，公差为1的等差数列．…………………………………………8分 ∴
1121(1)122n n n b -=+-⋅=，即2()21
n b n N n *=∈-．………………………9分
（3）解：由（2）知221n b n =-，则122(21)n n n
n b +=-．
所以234
1
123
122222n n n n n
T b b b b b +-=+++
++
， …10分 即123
12123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+⨯-+⨯-， ① ……11分
则234
122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+⨯-+⨯-， ②……12分
②－①得134
12(21)2222n n n T n ++=⨯-----
-，………………………………13分
故311
12(12)
2
(21)22(23)612
n
n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．………………………
21. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，
当3a =时，21123()23x x f x x x x
+-'=+-=
当1
02
x <<或1x >，时，()0f x '>，........................2分 当
1
12
x <<时，()0f x '<.......... ()f x ∴的单调递增区间为1
(0,),(1,)2
+∞，单调递减区间为1(,1)2..........4分
（Ⅱ）2112()2x ax
f x x a x x
+-'=+-=
令2()21u x x ax =-+，则2
8a ∆=-，
1当0∆<，即2222a -<<时，()0f x '>，
()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，此时()f x 无极值； ..............5分
2当0∆=，即22a =±时，()0f x '≥，
()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，此时()f x 无极值.............6分 3当0∆>，即22a <-或22a >时，
方程()0u x =有两个实数根221288
,44
a a a a x x --+-==
马鸣风萧萧 若22a <-，两个根120x x <<，此时， 则当x ∈(0,)+∞时，()0f x '>， ()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，此时()f x 无极值.................7分 若22a >，()0u x =的两个根120,0x x >>，不妨设12x x <，则
当1(0,)x x ∈和2(,)x +∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞单调递增， 当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 在区间12(,)x x 上单调递减，
则()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值， 且12121,22
a x x x x +== 22121112221212
()()ln ln f x f x x x ax x x ax k x x x x -+---+==--1212121212ln ln ln ln ()2x x x x a x x a x x x x --=++-=--- 1212ln ln 222x x a a x x a -=-=--即121212
ln ln 21x x x x a x x -==-+ （*）......10分 即1112212122
1ln 1x x x x x x x x x x --==++,令12(0,1)x t x =∈，则上式等价于：1ln 1t t t -=+ 令()(1)ln 1g t t t t =+-+,则11()ln 1ln t g t t t t t
+'=+-=+,令1()ln m t t t =+ 22111()0t m t t t t
-'=-=<,()m t ∴在区间(0,1)上单调递减，且()(1)10m t m >=>， 即()0g t '>在区间(0,1)恒成立,()g t ∴在区间(0,1)上单调递增，且()(1)0g t g <= ∴对(0,1)t ∀∈，函数()g t 没有零点，即方程1ln 1t t t -=
+在(0,1)t ∈上没有实根....13分 即（*）式无解，∴不存在实数a ，使得22
a k a =
-. ..............14分。