高中二轮复习数学(文)通用版：专题检测(十八) 选修4-5 不等式选讲 Word版含解析

专题检测（十八） 选修4-5 不等式选讲
1．(2019届高三·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R.
(1)解不等式f (x )<|x |＋1；
(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16
，求证：f (x )<1. 解：(1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤0，1－2x <－x ＋1， 得12≤x ＜2或0＜x ＜12
或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．
(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋
|2y ＋1|≤2×13＋16＝56
<1. 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，
2，x ≥1. 故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．
若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；
若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |0<x <2a ， 所以2a
≥1，故0<a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．
3．设不等式0<|x ＋2|－|1－x |<2的解集为M ，a ，b ∈M .
(1)证明：⎪⎪⎪⎪a ＋12b <34
. (2)比较|4ab －1|与2|b －a |的大小，并说明理由．
解：(1)证明：记f (x )＝|x ＋2|－|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，
3，x ≥1，
所以由0<2x ＋1<2，解得－12<x <12
， 所以M ＝⎝⎛⎭
⎫－12，12， 所以⎪⎪⎪⎪a ＋12b ≤|a |＋12|b |<12＋12×12＝34
. (2)由(1)可得a 2<14，b 2<14
， 所以(4ab －1)2－4(b －a )2＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，
所以|4ab －1|>2|b －a |.
4．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且2a 4b ＝2.
(1)求2a ＋1b 的最小值． (2)若存在a ，b ∈(0，＋∞)，使得不等式|x －1|＋|2x －3|≥2a ＋1b 成立，求实数x 的取值
范围．
解：(1)由2a 4b ＝2可知a ＋2b ＝1，
又因为2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝4b a ＋a b
＋4， 由a ，b ∈(0，＋∞)可知4b a ＋a b ＋4≥24b a ·a
b ＋4＝8， 当且仅当a ＝2b 时取等号，所以2a ＋1b 的最小值为8.
(2)由(1)及题意知不等式等价于|x －1|＋|2x －3|≥8，
①⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤1，1－x ＋(3－2x )≥8，所以x ≤－43. ②⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <32，x －1＋3－2x ≥8，
无解， ③⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥32，x －1＋2x －3≥8，
所以x ≥4. 综上，实数x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪[4，＋∞)．
5．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.
(1)画出y ＝f (x )的图象；
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.
y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.
6．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1时，
f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.
当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；
当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，
解得23
<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.
所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |23<x <2.
(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，
－x ＋1＋2a ，x >a .
所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，
C (a ，a ＋1)，
所以△ABC 的面积为23
(a ＋1)2. 由题设得23
(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．
7．(2018·郑州二检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|.
(1)解不等式f (x )<4－|x －1|；
(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n
(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4.
当x <－23
时，即－3x －2－x ＋1<4， 解得－54<x <－23
； 当－23
≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4， 解得－23≤x <12
； 当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．
综上所述，x ∈⎝⎛⎭
⎫－54，12. (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n
≥4， 当且仅当m ＝n ＝12
时等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .
所以x ＝－23时，g (x )max ＝23
＋a ，要使不等式恒成立， 只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.
所以实数a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤0，103.
8．已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x ＋b |(a >0，b >0)的最小值为1.
(1)求a ＋b 的值；
(2)若m ≤1a ＋2b 恒成立，求实数m 的最大值．
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a －2b ，x ≤－b ，x ＋a ＋2b ，－b <x <a ，
3x －a ＋2b ，x ≥a .
则f (x )在区间(－∞，－b ]上单调递减，在区间[－b ，＋∞)上单调递增， 所以f (x )min ＝f (－b )＝a ＋b ，所以a ＋b ＝1.
(2)因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，
所以1a ＋2b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b
， 又3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b 时，等号成立，
所以当a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 有最小值3＋2 2.
所以m ≤3＋22，所以实数m 的最大值为3＋2 2.。