2021届山东高考数学一轮创新：第3章 第7讲 解三角形应用举例

在北偏东 60°方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15°
方向，这时船与灯塔的距离为( )
A.15 2 km
B．30 2 km
C．45 2 km
D．60 2 km
答案
解析 作出示意图如图所示，依题意有 AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°， ∠CBM＝15°，
∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°. 在△AMB 中，由正弦定理，得sin6405°＝siBn3M0°， 解得 BM＝30 2.
4.坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ 为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又 称为坡比．
1.概念辨析
(1)东北方向就是北偏东 45°的方向．( )
(2)从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，β 的关
解析 在△ABC 中，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180° －45°－105°＝30°，又因为 AC＝50 m，所以由正弦定理得 AB＝ACsisni∠n∠ABACCB
50× ＝1
2 2 ＝50
2(m).
2
解析
(4)如图，从无人机 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时无人机的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于___6_0____ m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92， cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， 3≈1.73)
1
PART ONE
基础知识过关
1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 01 ______的角叫仰角，在 水平线 02 _下__方___的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如 图②)．
3.方向角
相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向(如图③)． (2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．
解析 由图可知，AB＝sin4667°，在△ABC 中，由正弦定理可知sinA3B0°＝ siBn3C7°，所以 BC＝ABsisni3n03°7°＝sin4667s°ins3in73°0°≈04.69×2×0.06.05＝60(m).
解析
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 测量距离问题
1.一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M
第பைடு நூலகம்章 三角函数、解三角形 第7讲 解三角形应用举例
[考纲解读] 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量 和几何计算有关的实际问题．(重点) 2．利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数 模型，将实际问题转化为数学问题．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预 计 2021 年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命 题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、 高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难 度以中档为主．
BC＝CDsi·ns∠in∠CBBDDC＝80×s1in15°＝160sin15°＝40( 6－ 2)；
2
解析
在△ABC 中，由余弦定理， AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600×(8＋4 3)＋1600×(8－ 4 3)＋2×1600×( 6＋ 2)×( 6－ 2)×12＝1600×16＋1600×4＝32000， 解得 AB＝80 5，则 A，B 两点的距离为 80 5.
A.10 km
B．10 3 km
C.10 5 km
D．10 7 km
解析 由余弦定理可得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos120°＝102＋202 －2×10×20×－12＝700.
∴AC＝10 7(km).
解析 答案
(3)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河 岸边选定一点 C，测出 A，C 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105° 后，就可以计算出 A，B 两点的距离为__5_0__2___ m．
解析
2.(2019·宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地 球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞， 若要测量如图所示的蓝洞的口径 A，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两 点 C，D，测得 CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝ 120°，则 A，B 两点的距离为__8_0__5___．
系为 α＋β＝180°.( )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的
位置关系．( )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.(
)
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
答案
2.小题热身
(1)在某测量中，设 A 在 B 的南偏东 34°27′，则 B 在 A 的( )
解析
(1)测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何变化，实质 都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素的所知 情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将 已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．
A.北偏西 34°27′
B．北偏东 55°33′
C.北偏西 55°33′
D．南偏西 34°27′
解析 由方向角的概念知，B 在 A 的北偏西 34°27′.
解析 答案
(2)已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，
现测得∠ABC＝120°，则 A，C 两地间的距离为( )
解析 由已知，在△ACD 中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，由正弦定理，得
AC＝80ssiinn1155°0°＝
40 6－
2＝40(
6＋
2)，
4
在△BCD 中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理sin∠CDCBD＝sin∠BCBDC，得