高考数学复习备忘录(三)函数及其性质

数学高考备忘录（三）函数及其性质
【知识要点】
（一）同一函数的概念：构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。

而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

（二）求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
（1）代数式自身的限制；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）
（三）求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法;（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如①22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8
-）； ②313x
x
y =+ (答：（0,1）)（3）单调性法―利用一次函数，反比例函数，指数函数，对
数函数等函数的单调性，如532log x y -=+ [2,10]）；
（4）数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如
已知实数x 、y 满足方程y ＝－x 2＋4x －3.则y x
的最大值_____，y －x 的最小值______；（答：
3-） （5）基本不等式法：如：函数y ＝x 2＋2x －1
(x >1)的最小值________( 答：23＋2 ) （6）导数法：一般适用于高次多项式函数。

（四）分段函数：
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【易错警示】
1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
2．判断函数图象的常用结论：与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
【高考热点预测】
常与不等式相结合求函数的定义域、值域．求函数值多以分段函数给出．加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．
【过关题】
1.,函数f (x )＝3x 1－x
＋lg(2x －1)的定义域为,( ) A ．(0,1),,,,B ．(0,1],,,C ．[0,1] ,D ．(－∞，1)
2.,已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是,( )
A ．[－3,7],
B ．[－1,4],
C ．[－5,5],
D ．[0，52
] 3.,已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是,( ) A ．(－∞，0],,,B ．(－∞，1],,,C ．[－2,1],,,D ．[－2,0]
4.函数23
y k =+的最大值为________ 答：（A,,,,D,,,D, 23
） （五）函数的单调性
1．如果对于定义域I 内某个区间D .上的任意.两个自变量的值x 1，x 2，且x 1<x 2.，都有f (x 1)<f (x 2).成立，则f (x )在D 上是增函数.(都有f (x 1)>f (x 2)成立，则f (x )在D 上是减函数.)．
2．单调区间的定义
若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．
,【拓展】1．单调函数的定义有以下等价形式：
设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数；
②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．
2．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．
3.要注意对勾函数：(0b y ax a x
=+
>0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增
区间为(,)-∞+∞，减区间为[. （六）函数的奇偶性
1.定义：对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称.)，都有f (－x )＝－f (x ).成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x ).成立，则f (x )为偶函数)．
【拓展】1．函数奇偶性常用结论
①奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；
②若奇函数f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)＝0；
③若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相同；
若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相反
④若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)，反之也成立．
⑤在公共定义内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． ⑥既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）
2．一些重要类型的奇偶函数
①函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x
为奇函数；②函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1(a ＞0且a ≠1)为奇函数；③函数f (x )＝log a 1－x 1＋x
为奇函数；④函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．
3.,(1)任意一个定义域关于原点对称的函数f (x )均可写成一个奇函数g (x )与一个偶函数h (x )和
的形式，则g (x )＝f (x )－f (－x )2，h (x )＝f (x )＋f (－x )2
. (2)若函数y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )＋f (－x )为偶函数，f (x )－f (－x )为奇函数，f (x )·f (－x )为偶函数．
（七）函数的周期性
(1)周期函数：T 为函数f (x )的一个周期，则需满足的条件：①T ≠0；②f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意x 都成立．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．
(3)周期不唯一：若T 是函数y ＝f (x )(x ∈R )的一个周期，则nT (n ∈Z ，且n ≠0)也是函数f (x )的周期，即f (x ＋nT )＝f (x )．
【拓展】
函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：
①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ②若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)；
③若满足f (x ＋a )＝1f (x )
，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ④若函数满足f (x ＋a )＝－
1f (x )
，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)． 【易错警示】
1.求单调区间的两个易错点：
①单调区间必须是定义域的子区间．
②单调区间只能用区间表示，不能用不等式、集合表示，遇多个单调区间用顿号隔开，不能用或、“∪”连结．
2.在判断函数的奇偶性时，忽略函数的定义域关于原点对称的特征而导致结论错误．
【高考热点预测】
判定函数的单调性，求函数的单调区间，利用单调性解不等式，求函数的最大值、最小值； 判断函数的奇偶性、周期性，并应用其性质解决一些简单的函数问题是高考的热点．
【过关题】
1. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有,( )
A ．f (14)<f (－14)<f (32)
B ．f (－14)<f (14)<f (32),,
C ．f (14)<f (32)<f (－14),,
D ．f (－14)<f (32)<f (14
) 2.,函数f (x )＝2x ＋a 2x －a
为奇函数，则实数a 的值为__； 3. 设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__. （答：B,,1或－1,,2）
（八）图象变换
(1)平移变换
将y ＝f (x )的图象向左(a >0)或向右(a <0)平移|a |个单位得到y ＝f (x ＋a )的图象；
将y ＝f (x )的图象向上(a >0)或向下(a <0)平移|a |个单位得到y ＝f (x )＋a 的图象．
(2)对称变换
①作y ＝f (x )关于y 轴的对称图象得到y ＝f (－x )的图象；
②作y ＝f (x )关于x 轴的对称图象得到y ＝－f (x )的图象；
③作y ＝f (x )关于原点的对称图象得到y ＝－f (－x )的图象；
④将y ＝f (x )在x 轴下方的图象翻折到上方，与y ＝f (x )在x 轴上方的图象结合起来得到y ＝|f (x )|的图象；
⑤将y ＝f (x )在y 轴左侧部分去掉，再作右侧关于y 轴的对称图象合起来得到y ＝f (|x |)的图象．
,(3)伸缩变换
①y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的纵坐标变为原来的a 倍，横坐标不变而得到．
②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为
1a ,，纵坐标不变而得到． 【拓展】
进行图象变换时，要合理选择变换的顺序，并进行适当的转化变形．例如，要得到y ＝2－|x －1|的图象，由于y ＝2－|x －1|＝(12)|x －1|，可将y ＝(12)x 的图象先通过对称翻折得到y ＝(12
)|x |的图象，再通过平移得到y ＝(12
)|x －1|的图象． （九）函数图象的对称性（自对称）
①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．
（特点自变量之和为常数，函数值相等，轴为常数的一半）
②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a,0)
对称；
（特点自变量之和为常数，函数值相反，中心为常数的一半）
③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． （十）两个函数图像的对称性 （1）函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；
（2）函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=； （3）函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；
（4）函数)(x f y =关于a x =对称的函数()(2)g x f a x =-；
（5）)(x f y =关于)0,(a 对称的函数()(2)g x f a x =--
【易错提醒】
1. 注意函数的对称性与周期性的区别；
2. 注意函数图像的自身对称与两个函数图像对称的区别；
3. 函数图象的每次变换都针对自变量“x ”而言，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是
向右平移12
个单位. 【高考热点预测】
1.给出函数解析式选图象及利用图象解决交点个数、方程的解、不等式等问题；
2.各种基本初等函数的图象及性质的应用，图象变换等也是高考的热点．
【过关题】
1.对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的( )
A 充分不必要条件,,,B.必要不充分条件,,,,,C.充要条件,,,D.即不充分也不必要条件
2.已知函数()()()
()212,f x x x ax b a b R =+++∈的图象关于点()1,0对称，则()f x 在[]1,1-上的值域为(,,,,,)
A ．38,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．37,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．338,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．337,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,
3.,若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个
“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
kx －1，x >0，－ln,(－x)，x <0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－∞，0),,
B ．(0,1),,,C.⎝⎛⎭
⎫0，12,,D ．(0，＋∞) （答：B ，D ，B ）。