高三数学第一学期期末质量抽测高三数学理科试卷

第一学期期末质量抽测高三数学理科试卷
一、填空题（每小题4分；共48分）
1．已知集合},3,1{m A -=；}4,3{=b ；若A B ⊆；则实数m= 。

2．=-∞
→n
n
n )1(lim 2。

3．函数x y 2sin =的最小正周期为 。

4．若5
)1(-ax 的二项展开式中含3
x 的系数是80；则实数a 的值为 。

5．设函数⎩⎨
⎧<<-≤≤=0
,cos 0,
sin )(x x x x x f ππ；则方程3
1)(=x f 解的个数为 。

6．在极坐标系中；O 是极点；设点),4(4
π
A ；),
2(6
5πA ；则=||AB 。

7．无穷数列{a n }中；n
n a 31=
；则a 2+a 4+a 6+…+a 2n +…= 。

8．函数)(x f y =的反函数)(1
x f y -=的图象与y 轴交于点P （0；2）；则方程0)(=x f
的根是x= 。

9．从1；2；3；4；5；6；7；8中任取三个数；能组成等差数列的概率是 。

10．函数x
p
x x f -
=)(在（1；+∞）上单调递增；则实数p 的取值范围是 。

11．数列}{n a 中；|2
|||k n k n a n -+-=；若对任意的正整数n ；43a a a n =≥都成立； 则k 的取值范围为 。

12．右面是某次测验成绩统计表中的部分数据。

某甲说；B 校文理平均分都比A 校高；全体学生的 平均分肯定比A 校的高；
某乙说；两个学校平均分不一样；全体学生的平均分可以相等； 某丙说；A 校全体学生的平均分可以比B 校的高。

你同意他们的观点吗？我不同意 的观点；请举例 。

二、选择题（每小题4分；共16分） 13．设z 是复数；以下命题中错误的是
（ ）
（A ）z 为实数的充分必要条件是0=-z z ； （B ）z 为实数的充分必要条件是02≥z ； （C ）z 为纯虚数的充分必要条件是0=+z z ； （D ）z 为纯虚数的充分必要条件是02
<z 。

14．函数
||b x a y +=；（0＜a ＜1；-1＜b ＜0）的图象为
（ ）
（A ）
（B ）
（C ）
（D ） 15．设)(x f 是定义在R 上的函数；给出下列命题：
（ ）
①若存在x 1、x 2∈R ；x 1＜x 2；使)(1x f <)(2x f 成立；则函数)(x f 在R 上单调递增； ②若存在x 1、x 2∈R ；x 1＜x 2；使)(1x f ≤)(2x f 成立；则函数)(x f 在R 上不可能单
调递减；
③若存在x 2＞0；对任意x 1∈R ；都有)(1x f <)(21x x f +成立；则函数)(x f 在R 上单
调递增；
④对任意x 1、x 2∈R ；x 1＜x 2；都有)(1x f ≥)(2x f 成立；则函数)(x f 在R 上单调递减。

以上命题正确的序号是 （A ）①③；
（B ）②③；
（C ）②④；
（D ）②。

16．记数列}{n a 前n 项的积为n n a a a 21=∏；设n n T ∏∏∏= 21。

若数列 1
2
1)(2007-=n n
a ；n 为正整数。

则使n T 最大的n 的值为
（ ）
（A ）11； （B ）22； （C ）25；
（D ）48。

三、解答题（满分86分）
17．（本满分12分）
已知α为锐角；53sin =α；β是第四象限有角；54)cos(-=+βπ；求)sin(βα+的值。

解：
18．（本满分12分；第（1）题4分；第（2）题8分）
Z 为一元二次方程0222
=+-x x 的一个根；且0Im <z 。

（1）求复数z ； （2）若实数a 满足2
log 1
||2
+-a i a z ≤
2
1；求a 的取值范围。

解： 19．（本满分14分；第（1）题8分；第（2）题6分）
据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上,按月呈B
x A x f ++=)sin()(ϕω的模型波动（x 为月份）；已知3月份达到最高价8千元；7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为)(x g （x 为月份）；且满足2)2()(+-=x f x g 。

（1）分别写出该商品每件的出厂价函数)(x f 、售价函数)(x g 的解析式； （2）问哪几个月盈利？ 解：
20．（本满分14分；第（1）题4分；第（2）题10分）
已知函数n x n x x f 2)2()(2--+=的图像与x 轴正半轴的交点为 ,3,2,1),0,(=n a A n 。

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n
a n a n
b 2)1(3
1⋅⋅-+=-λ（n 为正整数）
；问是否存在非零整数λ；使得对任 意正整数n ；都有n n b b >+1？若存在；求出λ的值；若不存在；请说明理由。

解： 21．（本满分16分；第（1）题4分；第（2）题7分；第（3）题5分） 已知函数+=x x f )(3log x x
-4； （1）求)4()(x f x f -+的值；
（2）猜测函数)(x f 的图像具备怎样的对称性；并给出证明。

（3）若函数)(x f 的图像与直线3,1==x x 及x 轴所围成的封闭图形的面积为S ；
求S 的值。

解： 22．（本满分18分；第（1）题4分；第（2）题6分；第（3）题8分）
（1）若等比数列}{n a 的前n 项和为a S n n +⋅=23；求实数a 的值；
（2）对于非常数数列}{n a 有下面的结论：若数列}{n a 为等比数列；则该数列的前n 项
和为B a A S n n +⋅=(A 、B 为常数)。

写出它的逆命题并判断真假；请说明理由。

（3）若数列}{n a 为等差数列；则该数列的前n 项和为2
)
(1n a a n n S +=。

对其逆命题进行
研究；写出你的结论；并说明理由。

解：。