2021-2022学年度北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明必考点解析试题(含答案解析)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、若以下列各组数值作为三角形的三边长，则不能围成直角三角形的是（）
A．4、6、8 B．3、4、5
C．5、12、13 D．1、3
2、等腰三角形一边长是2，一边长是5，则此三角形的周长是（）
A．9 B．12 C．15 D．9或12
3、等腰三角形的顶角是50︒，则这个三角形的一个底角的大小是（）
A．65︒B．40︒C．50︒D．80︒
AC=米，在点C正上方找一点4、为了测量学校的景观池的长AB，在BA的延长线上取一点C，使得5
D（即DC BC
⊥），测得60
∠=︒，30
CDB
∠=︒，则景观池的长AB为（）
ADC
A ．5米
B ．6米
C ．8米
D ．10米
5、一个三角形三个内角的度数分别是x ，y ，z ．若2||()0x y x y z -++-=，则这个三角形是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．不存在
6、如图，在△ABC 中，∠B =62°，∠C =24°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画
弧，两弧相交AC 的两侧于点M 、N ，连接MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ）
A ．70º
B ．60º
C ．50º
D ．40°
7、△AAA 中，A ∠，B ，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，下列条件能判断△AAA 是直角三角形的是（ ）
A ．A
B
C ∠=∠=∠
B ．6a =，7b =，8c =
C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=
D ．222+=a b c
8、如图，在△AAA 中，∠AAA =90°，∠AAA =30°，AA =6√3，D 为AB 上一动点（不与点A 重合），△AAA 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段BG 长的最小值是（ ）
A ．2√3
B ．6
C ．3√3
D ．9
9、下列命题是真命题的是（ ）
A ．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B ．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度
C ．有两个角是60°的三角形是等边三角形
D ．在△ABC 中，2A B C ∠=∠=∠，则ABC 为直角三角形
10、如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，∠B =35°，则∠BAD =（ ）
A ．110°
B ．70°
C ．55°
D ．35°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，12AB =，15BC =，△AAA 的面积是36，则DE 的长是______．
2、如图，△ABC 中，∠A ＝68°，点D 是BC 上一点，BD 、CD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，则∠EDF ＝_____度．
3、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，将△ABC 沿DF 折叠，点A 落在BC 边上的点E 处，且DE ⊥BC 于E ，若∠A ＝56°，则∠AFD 的度数为________．
4、如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝
M 为边BC 的中点，点N 为边AB 上的任意一点（不与点A ，B 重合），将△BMN 沿直线MN 折叠，若点B 的对应点B '恰好落在等边三角形ABC 的边上，则BN 的长为______．
5、如图，42AOB ∠=︒，C 为OB 上的定点，P 、Q 分别为OA 、OB 上两个动点，当CP PQ +的值最小时，OCP ∠的度数为______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、（情景呈现）画∠AAA =90°，并画∠AAA 的平分线AA ．
（I ）把三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点A 上，使三角尺的两条直角边分别与∠AAA 的两边
AA ，AA 垂直，垂足为A ，A （如图1）
．则AA =AA ；若把三角尺绕点A 旋转（如图2），则
AA ________AA．（选填：“<”、“>”或“=”）
（理解应用）
（2）在（1）的条件下，过点A作直线AA⊥AA，分别交AA，AA于点A，H，如图3．
①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）
②猜想GE，AA，AA之间的关系为________．
（拓展延伸）
（3）如图4，画∠AAA=60°，并画∠AAA的平分线AA，在AA上任取一点A，作
∠AAA=120°，∠AAA的两边分别与AA，AA相交于A，A两点，AA与AA相等吗？请说明理由．
2、如图，在平面直角坐标系中，点A为坐标原点，点A(0,A)，点A在A轴的负半轴上，点
A(A,0)，连接AA、AA，且√A+2+|A−2|=0，
（1）求∠AAA的度数；
（2）点A从A点出发沿射线AA以每秒2个单位长度的速度运动，同时，点A从A点出发沿射线AA以每秒1个单位长度的速度运动，连接AA、AA，设△AAA的面积为A，点A运动的时间为t，求用t表示A的代数式（直接写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当点A 在A 轴的正半轴上，点A 在A 轴的负半轴上时，连接AA 、BP 、AA ，∠AAA =2∠AAA =2∠AAA ，且四边形AAAA 的面积为25，求AA 的长．
3、ABC 中，CD 平分ACB ∠，点E 是BC 上一动点，连接AE 交CD 于点D ．
（1）如图1，若110ADC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，则B 的度数为______；
（2）如图2，若100ADC ∠=︒，53DCE ∠=︒，27B BAE ∠-∠=︒，则BAE ∠的度数为______；
（3）如图3，在BC 的右侧过点C 作CF CD ⊥，交AE 延长线于点F ，且AC CF =，2B F ∠=∠．试判断AB 与CF 的位置关系，并证明你的结论．
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，FE 是AC 的垂直平分线，交AD 于点F ，连接BF ．求证：AF ＝BF ．
5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，AM 平分∠BAC ，AM 的长为15cm ，求BC 的长．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】
解：A、42+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、12+32=2，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2、B
【分析】
分两种情况考虑：当5为等腰三角形的腰长时和底边时，分别求出周长即可．
【详解】
解：当5为等腰三角形的腰长时，2为底边，此时等腰三角形三边长分别为5，5，2，周长为5＋5＋2＝12；
当5为等腰三角形的底边时，腰长为2，此时等腰三角形三边长分别为5，2，2，
∵5>2+2，
∴不能组成三角形，
综上这个等腰三角形的周长为12．
故选B．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
3、A
【分析】
根据等腰三角形的两底角相等，即可求解．
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角是50︒， ∴这个三角形的一个底角的大小是
()118050652
︒-︒=︒ ． 故选：A
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
4、D
【分析】
利用勾股定理求出CD 的长，进而求出BC 的长，AB BC AC =- 即可求解．
【详解】
解：∵DC BC ⊥，
∴90DCB ∠=︒ ，
∵30ADC ∠=︒，5AC =，
∴210AD AC == ，
∴
CD =，
∵60CDB ∠=︒，
∴30B ∠=︒ ，
∴2BD CD ==，
∴15BC = ，
∴15510m AB BC AC =-=-= ，
故选：D ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理．
5、C
【分析】
根据绝对值及平方的非负性可得x y =，x y z +=，再由三角形内角和定理将两个式子代入求解可得45x =︒，290x =︒，即可确定三角形的形状．
【详解】 解：()2
0x y x y z -++-=，
∴0x y -=且0x y z +-=，
∴x y =，x y z +=，
∴2z x =，
∵180x y z ++=︒，
∴2180x x x ++=︒，
解得：45x =︒，290x =︒，
∴三角形为等腰直角三角形，
故选：C ．
【点睛】
题目主要考查绝对值及平方的非负性，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，理解题意，列出式子求解是解题关键．
6、A
【分析】
根据∠BAD ＝∠BAC −∠DAC ，想办法求出∠BAC ，∠DAC 即可解决问题．
【详解】
解：∵∠B ＝62°，∠C ＝24°，
∴∠BAC ＝180°−86°＝94°，
由作图可知：MN 垂直平分线段AC ，
∴DA ＝DC ，
∴∠DAC ＝∠C ＝24°，
∴∠BAD ＝94°−24°＝70°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7、D
【分析】
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】
解：A 、∵A B C ∠=∠=∠，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴A B C ∠=∠=∠＝60°，故△ABC 不是直角三角形；
B 、∵6a =，7b =，8c =，∴a 2＋b 2≠c 2，故△AB
C 不是直角三角形；
C 、∵∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，
∴最大角∠C ＝75°≠90°，故△ABC 不是直角三角形；
D 、∵222+=a b c ，故△ABC 是直角三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
8、B
【分析】
连接DG ，AG ，设AG 交DE 于点H ，先判定AG 为线段DE 的垂直平分线，再判定
()BAC BAG AAS '≅，然后由全等三角形的性质可得答案．
【详解】
解：如图，连接DG ，AG ，设AG 交DE 于点H ，
DE DF ⊥，G 为EF 的中点，
DG GE ∴=，
∴点G 在线段DE 的垂直平分线上， AED 为等边三角形，
AD AE ∴=，
∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，
AG ∴为线段DE 的垂直平分线，
AG DE ∴⊥，1302
DAG DAE ∠=∠=︒， ∴点G 在射线AH 上，当BG AH ⊥时，BG 的值最小，如图所示，设点G '为垂足，
90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，
ACB AG B '∴∠=∠，CAB BAG '∠=∠，
则在BAC 和BAG '△中，
ACB AG B CAB BAG AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩
， ()BAC BAG AAS '∴≅．
BG BC '∴=，
∵90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒
，=AC ∴12BC AB =
，222BC AB +=，
∴222(2)BC BC +=，
解得：6BC =，
∴6BG BC '==
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
9、C
【分析】
分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定，直角三角形的判定即可判断．
【详解】
A.等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；
B.三角形的内角和为180°，故此选项错误；
C.有两个角是60°，则第三个角为180606060︒-︒-︒=︒，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；
D.设C x ∠=，则2A B x ∠=∠=，故22180x x x ++=︒，解得36x =︒，所以72A B ∠=∠=︒，36C ∠=︒，此三角形不是直角三角形，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的定义以及三角形内角和，掌握相关概念是解题的关键．
10、C
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，
∵∠B ＝35°，
∴∠BAD ＝90°−35°＝55°．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
二、填空题
1、83
##
【分析】
根据角平分线性质，得出DE =DF ，利用S △ABC =S △ABD +S △BCD 得出
()11215362DE +⋅=，求解即可． 【详解】
解：∵BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF BC ⊥，
∴DE =DF ， S △ABC =S △ABD +S △BCD =()()11111215362222AB DE BC DF AB BC DE DE ⋅+⋅=+⋅=+⋅=， 解得728273DE =
=． 故答案为83
．
【点睛】
本题考查角平分线性质，三角形面积，一元一次方程，掌握角平分线性质，三角形面积，一元一次方程，关键是利用S △ABC =S △ABD +S △BCD 列出方程．
2、68
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到EB ＝ED ，FD ＝FC ，则∠EDB ＝∠B ，∠FDC ＝∠C ，从而可以得到
∠EDB +∠FDC ＝∠B +∠C ，再由∠EDF ＝180°﹣（∠EDB +∠FDC ），∠A ＝180°﹣（∠B +∠C ），即可得到∠EDF ＝∠A ＝68°．
【详解】
解：∵BD 、CD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，
∴EB ＝ED ，FD ＝FC ，
∴∠EDB ＝∠B ，∠FDC ＝∠C ，
∴∠EDB +∠FDC ＝∠B +∠C ，
∵∠EDF ＝180°﹣（∠EDB +∠FDC ），∠A ＝180°﹣（∠B +∠C ），
∴∠EDF ＝∠A ＝68°．
故答案为：68．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
3、48°48度
【分析】
先求出∠ABC 和∠ACB 的度数，再利用直角三角形的性质得出∠BDE 的度数，根据由翻折的性质可得：ADF EDF ∠=∠，最后利用三角形的内角和定理得出结论．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，∠A ＝56° ∴18056622
ABC ACB ︒-︒∠=∠=
=︒， ∵DE ⊥BC ，
∴90906228BDE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
由折叠的性质可得：ADF EDF ∠=∠，
∵180BDE ADF EDF ∠+∠+∠=︒， ∴18028762ADF EDF ︒-︒∠=∠==︒， ∴∠AFD =180°-∠A -∠ADF =180°-56°-76°=48°，
故答案为：48°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握这些性质．
4
【分析】
如图1，当点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边AB 上时，于是得到MN ⊥AB ，BN ＝B ′N ，根据等边三角形的性质得到AC ＝BC ，∠ABC ＝60°，根据线段中点的定义和30°角直角三
角形的性质得到BN ＝12BM 2，当点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边AC 上时，则MN ⊥BB ′，四边形BMB ′N 是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．
【详解】
解：如图1，当点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边AB 上时，
则MN ⊥AB ，BN ＝B ′N ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝AC ＝BC ，∠ABC ＝60°，
∴906030BMN ∠=︒-︒=︒，
∵点M 为边BC 的中点，
∴BM ＝1
2BC ＝12AB
∵在直角三角形BMN 中，30∠=︒BMN ，
∴BN ＝12BM 如图2，当点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边AC 上时，
则MN ⊥BB ′，BM B M '=，
∵BM CM =，
∴B M CM '=，
∵60C ∠=°，
∴三角形B MC '是等边三角形，
∴60B MC ABC '∠=︒=∠，
∴AB B M '∥
∵60ABC NB M '∠=∠=︒
∴NB M B MC ''∠=∠
∴NB BC '∥
∴四边形BMB ′N 是平行四边形，
又∵BM B M '=，
∴平行四边形BMB ′N 是菱形，
∵∠ABC ＝60°，点M 为边BC 的中点，
∴BN ＝BM ＝1
2BC ＝1
2AB
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 5、6°
【分析】
作点C 关于直线OA 的对称点C '，连接CC '，交OA 于点D ，过点C '作C M OB '⊥，交OA 于点N ，根据CP PQ C P PQ C Q ''+=+≥，且当C Q BO '⊥时最小，所以当CP PQ +的值最小时，当点P 与点N 重合，点Q 与点M 重合时，此时OCP ∠等于OCN ∠，进而根据直角三角形的两锐角互余，以及角度的和差关系求得OCN ∠即可
【详解】
解：如图，作点C 关于直线OA 的对称点C '，连接CC '，交OA 于点D ，过点C '作C M OB '⊥，交OA 于点N ，
∴='CP C P ，
CP PQ C P PQ C Q '+∴'=+≥，且当C Q BO '⊥时最小，
所以当CP PQ +的值最小时，当点P 与点N 重合，点Q 与点M 重合时，此时OCP ∠等于OCN ∠， CC OA '⊥
又42AOB ∠=︒
90,90DC N C ND AOC ONM ''∠+∠=︒∠+∠=︒,ONM C NA '∠=∠
42CC M AOB '∴∠=∠=︒
9048DCO AOC ∴∠=︒-∠=︒
根据对称性可得42NC D DCD '∠=∠=︒
48426NCO DCM DCM ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒
∴当CP PQ +的值最小时，OCP ∠的度数为6︒
故答案为：6︒
【点睛】
本题考查了根据轴对称求最短线段和，垂线段最短，直角三角形的，根据题意作出图形是解题的关键．
三、解答题
1、（1）=；（2）①3；②222
+=；（3）相等，理由见解析
GE FH EF
【分析】
（1）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，
△GPO≌△OPH，得到答案；②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；
（3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】
（1）
如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴PM=PN，
∵∠EPF =90°，
∴∠MPE =∠FPN ，
在△PEM 和△PFN 中， PME PNF PM PN
MPE NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△PEM ≌△PFN （ASA ）， ∴PE =PF ，
故答案为：=；
（2）①∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC =∠BOC =45°， ∵GH ⊥OC ，
∴∠OGH =∠OHG =45°， ∴OP =PG =PH ，
∵∠GPO =90°，∠EPF =90°， ∴∠GPE =∠OPF ，
在△GPE 和△OPF 中， PGE POF PG PO
GPE OPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△GPE ≌△OPF （ASA ）， 同理可证明△EPO ≌△FPH ，
∵
GP PH
GPO OPH
OP OP
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△GPO≌△OPH（SAS），
∴全等三角形有3对，
故答案为：3；
②GE2+FH2=EF2，
理由如下：∵△GPE≌△OPF，
∴GE=OF，
∵△EPO≌△FPH，
∴FH=OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，
∴GE2+FH2=EF2，
故答案为：GE2+FH2=EF2；
（4）
如图，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，在△OPG和△OPH中，
PGO PHO POG POH OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OPG ≌△OPH ，
∴PG =PH ，
∵∠AOB =60°，∠PGO =∠PHO =90°，
∴∠GPH =120°，
∵∠EPF =120°，
∴∠GPH =∠EPF ，
∴∠GPE =∠FPH ，
在△PGE 和△PHF 中，
PGE PHF PG PH
GPE FPH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△PGE ≌△PHF ，
∴PE =PF ．
【点睛】
本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2、（1）45︒；（2）()()2220222t t t S t t t ⎧-+<<⎪=⎨->⎪⎩
；（3）5 【分析】
（1）根据非负数的性质求得,m n 的值，进而求得OB OC =，即可证明OBC 是等腰直角三角形，即可求得BCO ∠的度数；
（2）分Q 点在y 轴正半轴，原点，y 轴负半轴三种情况，根据点的运动表示出线段长度，进而根据三角形的面积公式即可列出代数式；
（3）过点B 作BD AQ ⊥，连接EQ ，根据四边形的面积求得5t =，进而求得10,5AP BQ ==，由22BQP ABC OAQ ∠=∠=∠，设ABC OAQ α∠=∠=，BAC β∠=，则BQP ∠=2α，证明
ADE BDQ ≌，进而可得，5BQ AE ==1055PE AP AE =-=-=，进一步导角可得PEQ PQE ∠=∠，根据等角对等边即可求得PQ
【详解】
（1）20n -=
2,2m n ∴=-=
()(0,2),2,0B C ∴-
2,2BO CO ∴==
90BOC ∠=︒
∴OBC 是等腰直角三角形，
∴45BCO ∠=︒
（2）①当Q 点在y 轴正半轴时，如图，
,2BQ t AP t ==，2OB =，
∴2QO t =-
0OQ >，0t >
∴02t << ∴()21122222
S AP OQ t t t t =⨯=⨯⨯-=-+ ②当Q 点在原点时，,,A P Q 都在x 轴上，不能构成三角形，则2t =时，S 不存在
③当Q 点在y 轴负半轴时，如图，
,2BQ t AP t ==，2OB =，
∴2QO t =-
0OQ >，0t >
∴2t > ∴()21122222
S AP OQ t t t t =⨯=⨯⨯-=- 综上所述：()()2220222t t t S t t t ⎧-+<<⎪=⎨->⎪⎩
（3）如图，过点B 作BD AQ ⊥，连接EQ
,2BQ t AP t ==(0)t >
211=22522
ABPQ S AP PQ t t t ∴⨯=⨯⨯==四边形 5t ∴=
5BQ ∴=，10AP =
22BQP ABC OAQ ∠=∠=∠
设ABC OAQ α∠=∠=，BAC β∠=，则BQP ∠=2α，
∴45BCO ABC BAC αβ∠=∠+∠=+=︒
45BAD C CAD βα∴∠=∠+∠=+=︒
ADB ∴是等腰直角三角形
BD AD ∴=
90AOQ BDQ ∠=∠=︒
OAQ AQO DBQ AQO ∴∠+∠=∠+∠
∴OAQ DBQ ∠=∠α=
在ADE 和BDQ △中
ADE BDQ DAE DBQ AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
ADE BDQ ∴≌
DE DQ ∴=，5BQ AE ==
10AP =
1055PE AP AE ∴=-=-=
90DEQ BDQ ∠=∠=︒
DEQ ∴是等腰直角三角形
45EQD ∴∠=︒
Rt AOQ 中，OAQ α∠=
90AQO α∴∠=︒-
904545OQE AQO EQD ααβ∴∠=∠-∠=︒--︒=︒-=
BQP ∠=2α，
2PQE BQP OQE αβ∴∠=∠+∠=+
又452PEQ OAQ EQD ααβ∠=∠+∠=︒+=+
PEQ PQE ∴∠=∠
PQ PE ∴=5=
【点睛】
本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
3、则该直线的解析式为：y =x +
令x =0，则y =5，
即B （0，5）；
（2）由（1）知，C （-3，2）．
如图1，
设Q（a，-2
3 a）．
∵S△QAC=2S△AOC，
∴S△QAO=3S△AOC，或S△Q′AO=S△AOC，
①当Q在第二象限即S△QAO=3S△AOC时，
1 2OA•y Q=3×
1
2
OA•y C，
∴y Q=3y C，即-2
3
a=3×2=6，
解得a=-9，
∴Q（-9，6）；
②当Q在第四象限S△Q′AO=S△AOC时，
1 2OA•y Q=
1
2
OA•y C，
∴y Q=2y C，即2
3
a=2，
解得a=3（舍去负值），∴Q′（3，-2）；
综上，点Q的坐标为（-9，6）或（3，-2）；
（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；
②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．
∵C（-3，2），A（-5，0），
∴AC
∵P2H=P2G，P2H⊥CD，P2G⊥OC，
∴CP2是∠OCD的平分线，
∴∠OCP2=∠DCP2，
∴∠AP2C=∠AOC+∠OCP2，
∵∠ACP2=∠ACD+∠DCP2，
∴∠ACP2=∠AP2C，
∴AP2=AC，
∵A（-5，0），
∴P2（0）．
同理：P1（，0）．
综上，点P的坐标为（0）或（0）．
【点睛】
本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强．
5．（1）40°；（2）10°；（3）AB∥CF，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得∠BAC+∠ACB=140°即可求解；
（2）根据三角形的外角性质求得∠B+∠BAE=47°即可求解；
（3）延长AC到G，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠FCG=2∠F，再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到∠BCF=2∠F，则有∠B=∠BCF，根据平行线在判定即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠ADC=110°，
∴∠DAC+∠DCA=180°－110°=70°，
∵AE平分∠BAC，CD平分∠ACB，
∴∠BAC=2∠DAC，∠ACB=2∠DCA，
∴∠BAC+∠ACB=2（∠DAC+∠DCA）=140°，
∴∠B=180°－（∠BAC+∠ACB）=180°－140°=40°，
故答案为：40°；
（2）∵∠ADC=∠DCE+∠DEC=100°，∠DCE=53°，
∴∠DEC=100°－53°=47°，
∴∠B+∠BAE=∠DEC=47°，
∵∠B－∠BAE=27°，
∴∠BAE=10°，
故答案为：10°；
（3）AB∥CF，理由为：
如图，延长AC到G，
∵AC=CF，
∴∠F=∠FAC，
∴∠FCG=∠F+∠FAC=2∠F，
∵CF⊥CD，
∴∠BCF+∠BCD=90°，∠FCG+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
∴∠BCF=∠FCG=2∠F，
∵∠B=2∠F，
∴∠B=∠BCF，
∴AB∥CF．
【点睛】
本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
4、见解析
【分析】
连接FC，由等腰三角形的性质可得BF=FC；再由AF=FC，即可得AF=BF．
【详解】
连接FC，如图
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，BD=CD
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC
∵FE是AC的垂直平分线
∴AF=FC
∴AF=BF
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，由FE是AC的垂直平分线想到连接FC是关键．
5、45 2
【分析】
根据角平分线定义和直角三角形的两锐角互余求得∠MAC＝30°，∠ABC＝30°，再根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理分别求得MC、AC、AB、BC即可．
【详解】
解：∵AM是∠BAC的平分线，∠BAC＝60°，∠C＝90°，
∴∠MAC＝30°，∠ABC＝30°，
∴MC＝1
2
AM＝7.5cm，
∴AC=（cm），
∴AB＝2AC＝cm），
∴BC
45
2
=（cm）．
【点睛】
本题考查角平分线的定义、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，熟知含30°角的直角三角形的性质是解答的关键．。