高考物理一轮复习 第九章 磁场 第3讲 带电粒子在复合场中的运动学案

第3讲带电粒子在复合场中的运动
板块一主干梳理·夯实基础
【知识点1】带电粒子在复合场中的运动Ⅱ
1.复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。

(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。

2.三种场的比较
3.带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。

(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。

(3)较复杂的曲线运动
19非匀变速曲线运当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做□
动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。

(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。

【知识点2】 带电粒子在复合场中运动的应用实例 Ⅱ (一)电场、磁场分区域应用实例 1.质谱仪
(1)构造：如图甲所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。

(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式qU ＝12
mv 2。

粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB ＝m v 2
r。

由两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷。

r ＝
1B
2mU q ，m ＝qr 2B 2
2U ，q m ＝2U B 2r
2。

2.回旋加速器
(1)构造：如图乙所示，D 1、D 2是半圆形金属盒，D 形盒的缝隙处接交流电源，D 形盒处于匀强磁场中。

(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动的过程中一次一次地经过D 形盒缝隙，
两盒间的电势差一次一次地反向，粒子就会被一次一次地加速。

由qvB ＝mv 2r ，得E km ＝q 2B 2r 22m
，可见粒子获得的
最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关。

(二)电场、磁场同区域并存的实例
考点1带电粒子在组合场中的运动[对比分析]
这类问题的特点是电场、磁场或重力场依次出现，包含空间上先后出现和时间上先后出现，磁场或电场与无场
区交替出现相组合的场等。

其运动形式包含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动等，涉及
牛顿运动定律、功能关系等知识的应用。

“电偏转”和“磁偏转”的比较
例1 如图，两平行金属板A 、B 长l ＝8 cm ，两板间距离d ＝8 cm ，B 板比A 板电势高300 V ，即U BA ＝300 V 。

一带正电的粒子电量q ＝1×10
－10
C ，质量m ＝1×10
－20
kg ，以初速度v 0＝2×106
m/s 从R 点沿电场中心线RO
垂直电场方向射入电场。

粒子飞出电场后经过无场区域，进入界面为MN 、PQ 间匀强磁场区域，从磁场的PQ 边界出来后刚好打在中心线上的S 点。

已知MN 边界与平行板的右端相距为L ，两界面MN 、PQ 相距为L ，S 点到PQ 边界的距离为4
3
L ，且L ＝12 cm ，粒子重力及空气阻力不计，求：
(1)粒子射出平行板时的速度大小v ；
(2)粒子进入界面MN 时偏离中心线RO 的距离； (3)匀强磁场的磁感应强度B 的大小。

(1)带电粒子在A 、B 板间做什么运动？
提示：类平抛运动。

(2)带电粒子在无场区做什么运动？ 提示：匀速直线运动。

尝试解答 (1)2.5×106
_m/s__(2)0.12_m__(3)2.5×10－3
_T 。

(1)粒子在电场中做类平抛运动，沿电场强度方向
qE ＝ma ，E ＝U d ，t ＝l
v 0
，v y ＝at 。

代入数据，解得：v y ＝1.5×106
m/s 所以粒子从电场中飞出时的速度为：
v ＝v 20＋v 2y ＝2.5×106
m/s 。

(2)设粒子从电场中飞出时的侧向位移为y ，穿过界面MN 时偏离中心线OR 的距离为h ，y ＝12at 2
代入数据，解得：y ＝0.03 m
带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动，由类平抛运动规律及相似三角形知识得：y
h ＝
l
2l
2
＋L
代入数据，解得：h ＝0.12 m 。

(3)设粒子从电场中飞出时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则：tan θ＝v y v 0＝3
4
轨迹如图所示
由几何知识可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径：
R ＝
L 2
sin θ
＝0.1 m 由：qvB ＝m v 2
R
代入数据，解得：B ＝2.5×10－3
T 。

总结升华
1.带电粒子在组合场中运动问题的分析方法
(1)正确受力分析，特别注意静电力和磁场力的分析。

(2)确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。

(3)对于粒子连续通过几个不同区域、不同种类的场时，要分阶段进行处理。

(4)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。

2.同速不同向与同向不同速
带电粒子在有界磁场中的运动一般要涉及到三个问题：一是粒子怎么进，即从边界进入时速度的大小和方向，进入时的位置，若只涉及一个粒子，粒子的速度大小方向一般是唯一的，若涉及多个粒子，则可能是同种粒子速度等大不同向或同向不等大，甚至可能是不同的粒子；二是轨迹向哪个方向偏转，方法是根据左手定则，由速度方向和磁场方向确定出洛伦兹力的方向，然后在速度方向和力的方向之间结合速度方向与轨迹相切的特点画出运动轨迹；三是从哪个边界出磁场，与哪个边界相切。

[跟踪训练] [2017·唐山统考]如图所示，在xOy 平面内，在x >0范围内以x 轴为电场和磁场的边界，在x <0范围内以第三象限内的直线OM 为电场与磁场的边界，OM 与x 轴负方向成θ＝45°角，在边界的下方空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ＝0.1 T ，在边界的上方有沿y 轴正方向的匀强电场，场强大小为E ＝32 N/C ；在y 轴上的P 点有一个不计重力的带电微粒，以沿x 轴负方向的初速度v 0＝2×103
m/s 射出，已知OP ＝0.8 cm ，微粒所带电荷量q ＝－5×10
－18
C ，质量m ＝1×10
－24
kg ，求：
(1)带电微粒第一次进入电场时的位置坐标；
(2)带电微粒从P 点出发到第三次经过电、磁场边界经历的总时间； (3)带电微粒第四次经过电、磁场边界时的速度大小。

答案 (1)(－4×10－3
m ，－4×10－3
m) (2)3.128×10－5
s (3)25×103
m/s
解析 (1)带电微粒从P 点开始在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，第一次经过磁场边界上的A 点，由半径公式可得
r ＝mv 0
Bq
＝4×10－3 m 。

因为OP ＝0.8 cm ，匀速圆周运动的圆心在OP 的中点C ，由几何关系可知，A 点位置的坐标为(－4×10－3
m ，－4×10－3
m)。

(2)带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的周期为
T ＝
2πm Bq
＝1.256×10－5
s 。

由图可知，微粒运动四分之一个圆周后竖直向上进入电场，故t 1＝14
T ＝0.314×10－5
s 。

微粒在电场中先做匀减速直线运动到速度为零，然后反向做匀加速直线运动，微粒运动的加速度为a ＝qE m
， 故在电场中运动的时间为
t 2＝
2v 0a ＝2mv 0Eq
＝2.5×10－5
s 。

微粒再次进入磁场后又做四分之一圆周运动，故t 3＝t 1＝0.314×10－5
s ，所以微粒从P 点出发到第三次经过电、磁场边界的时间为t ＝t 1＋t 2＋t 3＝3.128×10－5
s 。

(3)微粒从B 点第三次经过电、磁场边界水平向左进入电场后做类平抛运动，则加速度
a ＝qE
m
＝1.6×108 m/s 2，
则第四次到达电、磁场边界时， y ＝12at 24，x ＝v 0t 4，tan45°＝y x ， 解得v y ＝at 4＝4×103
m/s 。

则微粒第四次经过电、磁场边界时的速度为
v ＝v 20＋v 2y ＝2
5×103 m/s 。

考点2带电粒子在复合场中的运动[拓展延伸]
1.带电粒子在复合场中无约束情况下的运动情况分类 (1)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。

②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。

(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。

②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。

(3)电场力、磁场力、重力并存 ①若三力平衡，一定做匀速直线运动。

②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动。

③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题。

2.带电粒子在复合场中有约束情况下的运动
带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。

例2 [2016·济宁、曲阜模拟]如图所示，空间区域Ⅰ、Ⅱ存在匀强电场和匀强磁场，MN 、PQ 为磁场区域的理想边界，Ⅰ区域高度为d ，Ⅱ区域的高度足够大。

匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域磁场的磁感应强度均为
B ，方向分别垂直纸面向里和向外。

一个质量为m ，电荷量为q 的带电小球从磁场上方的O 点由静止开始下落，
进入电磁场区域后，恰能做匀速圆周运动。

已知重力加速度为g 。

(1)试判断小球的电性并求出电场强度E 的大小；
(2)若带电小球运动一定时间后恰能回到O 点，在图中作出小球的运动轨迹；求出释放时距MN 的高度h ；并求出小球从开始释放到第一次回到O 点所经历的时间t ；
(3)试讨论h 取不同值时，小球第一次穿出磁场Ⅰ区域的过程中电场力所做的功W 。

(1)带电小球进入电磁场区域后，恰能做匀速圆周运动，说明什么隐含条件？
提示：Eq ＝mg 。

(2)小球一定能进入Ⅱ区域吗？
提示：不一定。

当h 较小，则半径r 较小，很有可能进入不了Ⅱ区域。

尝试解答 (1)正电 E ＝mg q (2)图见解析 h ＝2q 2B 2d 2
3m 2g t ＝3mg ＋7πm 3Bq (3)h <q 2B 2d 22m 2g 时，W ＝0；h >q 2B 2d 2
2m 2g
时，
W ＝－mgd 。

(1)带电小球进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，重力竖直向下，电场力竖直向上，即小球带正电。

由qE ＝mg 得，E ＝mg q。

(2)带电小球在进入磁场区域前做自由落体运动，由机械能守恒有：mgh ＝12
mv 2
带电小球在磁场中作匀速圆周运动，设半径为R ，依牛顿第二定律有：qvB ＝m v 2
R
由于带电小球在Ⅰ、Ⅱ两个区域运动过程中q 、v 、B 、m 的大小不变，故三段圆周运动的半径相同，以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为2R ，内角为60°，轨迹如图(a)所示。

由几何关系知R ＝d
sin60°
解得h ＝2q 2B 2d
2
3m 2g
；
小球从开始释放到回到O 点所经历的时间由两部分组成，一部分为无场区的运动，时间t 1＝22h
g
；一部分
为电磁场区域的运动，时间t 2＝76×2πm qB ＝7πm
3qB
总时间t ＝t 1＋t 2＝2
2h g ＋7πm 3qB ＝43qBd 3mg ＋7πm 3qB。

(3)当带电小球在Ⅰ区域做圆周运动的圆弧与PQ 相切时，运动轨迹如图(b)所示，有：半径R ＝d
解得对应高度：h 0＝q 2B 2d 2
2m 2g
讨论：①当h <h 0时，小球进入磁场Ⅰ区域的速度较小，半径较小，不能进入Ⅱ区域，由磁场上边界MN 第一次穿出磁场Ⅰ区域，此过程电场力做功W ＝0
②当h >h 0时，小球进入磁场Ⅰ区域后由下边界PQ 第一次穿出磁场Ⅰ区域进入Ⅱ区域，此过程电场力做功W ＝－qEd 即W ＝－mgd
说明：第(3)问讨论对于当h ＝h 0时的临界情况不做要求，即电场力做功W ＝0或者W ＝－mgd 均可以。

总结升华
带电粒子在复合场中运动的解题思路
(1)弄清复合场的组成，一般有磁场、电场的复合，电场、重力场的复合，磁场、重力场的复合，磁场、电场、重力场三者的复合。

(2)正确受力分析，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意电场力和磁场力的分析。

(3)确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的分析。

(4)对于粒子连续通过几个不同复合场的问题，要分阶段进行处理。

衔接点的速度不变往往成为解题的突破口。

(5)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。

①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。

②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿运动定律结合圆周运动规律求解。

③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。

④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。

[跟踪训练] (多选)如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆
MN ，小球P 套在杆上，已知P 的质量为m ，电荷量为＋q ，电场强度为E ，磁感应强度为B ，P 与杆间的动摩擦
因数为μ，重力加速度为g 。

小球由静止开始下滑直到稳定的过程中( )
A.小球的加速度一直减小
B.小球的机械能和电势能的总和保持不变
C.下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v ＝2μqE －mg
2μqB
D.下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v ＝2μqE ＋mg
2μqB
答案 CD
解析 对小球受力分析如图所示，则mg －μ(Eq －qvB )＝ma ，随着v 的增加，小球加速度先增加，当Eq ＝qvB 时加速度达到最大值a max ＝g ，继续运动，mg －μ(qvB －Eq )＝ma ，随着v 的增加，a 逐渐减小，所以A 错误；因为有摩擦力做功，机械能与电势能总和在减小，B 错误；若在前半段达到最大加速度的一半，则mg －μ(Eq
－qvB )＝m g 2，得v ＝2μqE －mg 2μqB ，若在后半段达到最大加速度的一半，则mg －μ(qvB －Eq )＝m g 2，得v ＝2μqE ＋mg
2μqB
，
故C 、D 正确。

考点3带电粒子在交变电磁场中的运动[拓展延伸]
1.粒子的运动情况不仅与交变电磁场的变化规律有关，还与粒子进入场的时刻有关。

2.交替变化的电磁场会使带电粒子顺次历经不同特点的电磁场，从而表现出“多过程”现象。

3.必要时，可把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。

4.把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一阶段上的受力情况确定粒子的运动规律。

例3 如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xOy 坐标系，在第Ⅱ象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x 轴负方向的夹角θ＝45°。

在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板C 1、C 2，两板间距为d 1＝0.6 m ，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y 轴上，板C 1与x 轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M ，小孔M 离坐标原点O 的距离为L ＝0.72 m 。

在第Ⅳ象限垂直于x 轴放置一块平行y 轴且沿y 轴负向足够长的竖直平板C 3，平板C 3在x 轴上垂足为Q ，垂足Q 与原点O 相距d 2＝0.18 m 。

现将一带负电的小球从桌面上的P 点以初速度v 0＝4 2 m/s 垂直于电场方向射出，刚好垂直于x 轴穿过C 1板上的M 孔，进入磁场区域。

已知小球可视为质点，小球的比荷q
m ＝20 C/kg ，P 点与小孔M 在垂直于电场方向上的距离为s ＝2
10
m ，不考虑重力和空气阻力。

求：
(1)匀强电场的场强大小；
(2)要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C 3上，求磁感应强度的取值范围；
(3)若t ＝0时刻小球从M 点进入磁场，磁场的磁感应强度如乙图随时间呈周期性变化(取竖直向上为磁场正方向)，求小球从M 点到打在平板C 3上所用的时间。

(计算结果保留两位小数)
(1)带电粒子垂直C 1O 从M 点进入磁场，L >d 1，若想打在平板C 3上，如何确定临界状
态？
提示：打在Q 点为一临界状态，和C 2相切为一临界状态。

(2)磁感应强度随时间周期性变化，带电粒子做周期性运动的周期T 与磁感应强度B 有什么关系？ 提示：T ＝2πm
Bq。

尝试解答 3(1)小球在第Ⅱ象限内做类平抛运动有：
s ＝v 0t at ＝v 0tan θ
由牛顿第二定律有：qE ＝ma 带入数据解得：E ＝8 2 V/m 。

(2)设小球通过M 点时的速度为v ，
由类平抛运动规律：
v ＝
v 0
sin θ
＝8 m/s
小球垂直磁场方向进入两板间做匀速圆周运动，轨迹如图， 由牛顿第二定律有：
qvB ＝m v 2
R
得：B ＝mv qR
小球刚好能打到Q 点时磁感应强度最强，设为B 1。

此时小球的轨迹半径为R 1 由几何关系有：
R 1L ＋d 2－R 1＝L －R 1
R 1
解得：R 1＝0.4 m B 1＝1 T
小球刚好不与C 2板相碰时磁感应强度最小，设为B 2，此时粒子的轨迹半径为R 2 由几何关系有：R 2＝d 1 解得：B 2＝2
3
T
综合得磁感应强度的取值范围：2
3
T≤B ≤1 T。

(3)小球进入磁场做匀速圆周运动，设半径为R 3，周期为T 有：
R 3＝mv
qB 3＝0.18 m
T ＝
2πm qB 3＝9π
200
s
由磁场周期T 0＝2
3
T 分析知小球在磁场中运动的轨迹如图，一个磁场周期内小球在x 轴方向的位移为3r ＝0.54 m
L －3r ＝0.18 m
即小球刚好垂直y 轴方向离开磁场 则在磁场中运动的时间
t 1＝13
T ＋13
T ＋14
T ＝
33π
800
s≈0.13 s 离开磁场到打在平板C 3上所用的时间t 2＝d 2v
≈0.02 s 小球从M 点到打在平板C 3上所用总时间t ＝t 1＋t 2＝0.15 s 。

总结升华
1.解决带电粒子在交变复合场中的运动问题的基本思路
2.解决带电粒子在交变电磁场中的运动注意问题
电场或磁场周期性变化，或者二者都周期性变化，在某段时间内，电场、磁场、重力场可以只存在其中之一、可以存在其中之二、也可以三者同时存在，导致带电粒子的运动出现多样性，破解带电粒子在交变电磁场中的运动的方法，就是各个击破，分段分析，首先相信，命题者设计的带电粒子的运动一定是很规律的运动，如匀速直线运动、类平抛运动、圆周运动，每段时间内电场强度的大小和方向、磁感应强度的大小和方向、每段时间的长短都是精心“算出来”的，所以当我们分析某段运动毫无规律时，一般是我们算错了，需认真核实。

[跟踪训练] 如图甲所示，长为L 的平行金属板M 、N 水平放置，两板之间的距离为d ，两板间有沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，一个带正电的质点，沿水平方向从两板的正中央垂直于磁场方向进入两板之间，重力加速度为g 。

(1)若M 板接直流电源正极，N 板接负极，电源电压恒为U ，带电质点以恒定的速度v 匀速通过两板之间的复合场(电场、磁场和重力场)，求带电质点的电荷量与质量的比值；
(2)若M 、N 接如图乙所示的交变电流(M 板电势高时U 为正)，L ＝0.5 m ，d ＝0.4 m ，B ＝0.1 T ，质量为m ＝1×10
－4
kg 、带电荷量为q ＝2×10－2 C 的带正电质点以水平速度v ＝1 m/s ，从t ＝0时刻开始进入复合场，g ＝10 m/s 2
，
试定性画出质点的运动轨迹；
(3)在第(2)同的条件下求质点在复合场中的运动时间。

答案 (1)
gd
Bvd －U (2)图见解析 (3)0.814 s 解析 (1)E ＝U d
由质点做匀速直线运动可得：Bqv ＝qE ＋mg 得：q m ＝
gd
Bvd －U。

(2)当M 板电势高U 为正时，有Bqv ＝qE ＋mg ，粒子做匀速直线运动
当M 板电势低U 为负时，有mg ＝qE ，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动且T ＝2πm Bq
＝π×10－1
s ，所以
轨迹如图所示：
(3)运动时间：t ＝L v
＋2πm
Bq
≈0.814 s。

考点4带电粒子在电磁场中运动的实例分析[解题技巧]
1.质谱仪的主要特征
将质量数不等，电荷数相等的带电粒子经同一电场加速后进入偏转磁场。

各粒子由于轨道半径不同而分离，其轨道半径r ＝mv
qB
＝
2mE k qB
＝2mqU qB ＝
1
B 2mU
q。

在上式中，B 、U 、q 对同一元素均为常量，故r ∝m ，根据不同
的半径，就可计算出粒子的质量或比荷。

2.回旋加速器的主要特征
(1)带电粒子在两D 形盒中回旋周期等于两盒狭缝之间高频电场的变化周期，与带电粒子的速度无关。

(2)将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速度为零的匀加速直线运动。

(3)带电粒子每加速一次，回旋半径就增大一次，所以各半径之比为1∶2∶3… (4)粒子的最后速度v ＝
BqR
m
，可见带电粒子加速后的能量取决于D 形盒的最大半径和磁场的强弱。

3.速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔效应，均抓住一个平衡方程Eq ＝Bqv 。

例4 (多选)1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器。

回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D 形金属盒半径为R ，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。

磁感应强度为B 的匀强磁场与盒面垂直。

A 处粒子源产生的粒子，质量为m 、电荷量为＋q ，在加速器中被加速，加速电压为U 。

实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。

若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为
B m 、f m ，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用( )
A ．粒子第2次和第1次经过两D 形盒间狭缝后轨道半径之比为2∶1 B.粒子从静止开始加速到出口处所需的时间为πBR 2
2U
C.如果f m >qB m
2πm
，粒子能获得的最大动能为2m π2R 2f 2
m
D.如果f m <qB m
2πm
，粒子能获得的最大动能为2m π2R 2f 2
m
(1)粒子第2次和第1次经过D 形盒间狭缝后轨道半径为什么不同？
提示：经过狭缝时电场力做功qU ＝12mv 2，v 不同，根据r ＝mv
Bq 知r 不同。

(2)要想每次经过狭缝时电场均能对粒子加速需满足什么条件？ 提示：电场变化的频率f ＝qB
2πm 。

尝试解答 选ABD 。

根据qU ＝12mv 2得，带电粒子第1次和第2次经过加速后的速度比为2∶2，根据r ＝mv
qB 知，带电粒子第2次和
第1次经过两D 形盒间狭缝后轨道半径之比r 2∶r 1＝2∶1，故A 正确；设粒子到出口处被加速了n 圈，解得2nqU ＝12mv 2，而qvB ＝m v 2
R ，且T ＝2πm qB ，及t ＝nT ，解得：t ＝πBR 2
2U ，故B 正确；根据qvB ＝m v 2
R ，知v ＝qBR
m ，
则带电粒子离开回旋加速器时获得动能为E km ＝12mv 2＝B 2q 2R 2
2m ，而f ＝qB 2πm
，解得最大动能为2m π2R 2f 2。

如果
f m <
qB m 2πm
，粒子能获得的最大动能为2m π2R 2f 2
m ，故C 错误，D 正确。

总结升华
回旋加速器中三个常考问题
(1)决定带电粒子在回旋加速器中的最大动能的因素
设D 形盒的半径为R ，由洛伦兹力提供向心力qvB ＝mv 2R 得，粒子可能获得的最大速度v ＝qBR m ，最大动能E km ＝
1
2mv 2
＝
qBR
2
2m
，由此可见决定带电粒子的最大动能的因素与D 形盒半径有关，由于受D 形盒半径R 的限制，
带电粒子在这种加速器中获得的能量也是有限的。

(2)决定带电粒子在回旋加速器回旋的圈数的因素
设初速度为零的带电粒子在回旋加速器中回旋n 圈后获得最大动能，每圈加速两次，则加速2n 次之后，电场
力做的总功为2nqU ，由动能定理2nqU ＝E km ＝
qBR
2
2m
得：n ＝qB 2R 2
4mU。

(3)决定带电粒子在回旋加速器中运动时间长短的因素
带电粒子运动的时间t 由两个部分组成，一部分是在磁场中运动的总时间t 1，另一部分是在电场中运动的总时
间t 2，设带电粒子在回旋加速器中回旋n 圈后获得最大动能，即得到t 1＝nT ＝n 2πm qB ＝πBR 22U
，而在两盒狭缝电
场中运动时每次时间都不等(加速次数多，分段算十分繁琐)，我们可以将各段狭缝等效“连接”起来，展开成一条直线，则粒子在电场中运动就可视作初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式：t 2＝
v －v 0
a
，且v 0＝0，v ＝qBR m ，a ＝qU md (d 为狭缝间距)得：t 2＝BdR U ，所以带电粒子在回旋加速器中运动的总时间t ＝t 1＋t 2＝BR U ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫πR 2＋d (在电场狭缝中运动的总时间极短，有时可以忽略)。

[跟踪训练] [2017·衡水冀州检测]如图为一种改进后的回旋加速器示意图，其中盒缝间的加速电场场强大小
恒定，且被限制在AC 板间，虚线中间不需加电场，如图所示，带电粒子从P 0处以速度v 0沿电场线方向射入加速电场，经加速后再进入D 形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，对这种改进后的回旋加速器，下列说法正确的是( )
A.带电粒子每运动一周被加速两次
B.带电粒子每运动一周P 1P 2＝P 3P 4
C.加速粒子的最大速度与D 形盒的尺寸有关
D.加速电场方向需要做周期性的变化 答案 C
解析 带电粒子只有经过AC 板间时被加速，即带电粒子每运动一周被加速一次。

电场的方向没有改变，则在
AC 间加速，故A 、D 错误；根据r ＝mv qB 得，则P 1P 2＝2(r 2－r 1)＝2m Δv qB
，因为每转一圈被加速一次，根据v 22－v 2
1
＝2ad ，知每转一圈，速度的变化量不等，且v 3－v 2<v 2－v 1，则P 1P 2>P 3P 4，故B 错误；当粒子从D 形盒中出来时，速度最大，根据r ＝mv
qB 得，v ＝
qBr
m
，知加速粒子的最大速度与D 形盒的半径有关，故C 正确。

[2014·重庆高考](18分)如图所示，①
在无限长的竖直边界NS 和MT 间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，KL 为上下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界上，②
距KL 高h 处分别有P 、Q 两点，NS 和MT 间距为1.8h 。

质量为m 、③
带电量为＋
q 的粒子从P 点垂直于NS 边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g 。

(1)求电场强度的大小和方向；
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值；
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。

[审题抓住信息，准确推断]
[破题 形成思路，快速突破]
(1)粒子在两边界之间做圆周运动，受电场力、磁场力，考虑重力吗？重力和电场力的关系是什么？ 提示：必须考虑重力，且Eq ＝mg 。

(2)要使粒子不从NS 边界飞出，在上、下两部分区域，粒子运动轨迹应如何画？
提示：根据题意，画出粒子速度非最小时的运动轨迹，然后让速度减小，从轨迹变化中寻找当速度最小时的运动轨迹，根据相关几何关系求出最小速度，注意轨迹的对称性及与边界相切的情况。

(3)要使粒子能经过Q 点从MT 边界飞出，从P 点经上、下两个区域转到与Q 点等高的地方为一个周期，向右移动的水平距离为L ，则应满足什么条件，才能刚好转到Q 点？
提示：nL ＝1.8h 。

[解题 规范步骤，水到渠成]
(1)设电场强度大小为E 。

由题意有
mg ＝qE ，(1分)
得E ＝mg q ，方向竖直向上。

(1分)
(2)如图1所示，设粒子不从NS 边飞出的入射速度最小值为v min ，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r 1和r 2，圆心的连线与NS 的夹角为φ。

由r ＝mv qB ，(1分)
有r 1＝mv min qB ，r 2＝12
r 1，(2分) 由(r 1＋r 2)sin φ＝r 2，(1分)
r 1＋r 1cos φ＝h ，(1分)。