人教版高三数学第二学期数列多选题单元达标测试题试题

人教版高三数学第二学期数列多选题单元达标测试题试题
一、数列多选题
1．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若11a >，公比1q ≠，则下列命题正确的是（ ）
A ．若59T T =，则必有141T =
B ．若59T T =，则必有7T 是n T 中最大的项
C ．若67T T >，则必有78T T >
D ．若67T T >，则必有56T T >
【答案】ABC 【分析】
根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】
由等比数列{}n a 可知1
1n n a a q -=⋅，由等比数列{}n a 的前n 项积结合等差数列性质可知：
()
12
1
1212
11111
1
123n n n n n n n n a a q a q a q
a a T a a a q a q
--+++-=⋅⋅⋅==⋅=
对于A ，若59T T =，可得51093611a q a q =，即42611a q =，()
71491426
2
11141a q q T a ∴===，故
A 正确；
对于B ，若59T T =，可得4
26
1
1a q =，即132
1
1a q
=，又11a >，故1q <，又59T T =，可知
67891a a a a =，利用等比数列性质知78691a a a a ==，可知67891,1,1,1a a a a >><<，故7T 是n T 中最大的项，故B 正确；
对于C ，若67T T >，则61572111a q a q >，即611a q <，又10a >，则1q <，可得
768118
7
1T T a a q a q <=<=，故78T T >，故C 正确； 对于D ，若67T T >，则611a q <，566
5
1T a T a q ==，无法判断其与“1”的大小关系，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前n 项和公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.
2．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221n
n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦
，其中
n *∈N ，则下列说法中正确的是（ ）
A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立
B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立
C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立
D ．当()2
k
m k N *
=∈时，有2n k
n k a
a +++=恒成立
【答案】AC 【分析】
题设中的递推关系等价为1,231,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数
为奇数
，根据首项可找到{}n a 的局部周期
性，从而可得正确的选项. 【详解】
因为()()14751221n n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣
⎦，故1,231,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数
， 当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.
当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故
58a a ≠，故B 错误.
当2k
m =即12k
a =时，根据等比数列的通项公式可有1
1222k k
k a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
=，
+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.
对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：
27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，
958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，
故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =， 所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.
（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法
来确定可选项.
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递增数列 C ．0n
S <时，n 的最小值为13
D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
中最小项为第7项 【答案】ACD 【分析】 由已知得()
()612112712+12+2
2
0a a a a S ==
>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知
得出24
37
d -
<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又
()1112+3n a n d =-，可得出1n
a 在1,6n n N
上单调递增，1
n
a 在
7n n
N ，
上单调递增，可判断B ；由
()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】
由已知得311+212,122d a a a d ===-，()
()612112712+12+2
2
0a a a a S =
=
>，又
70a <，所以6>0a ，故A 正确；
由716167
1+612+40
+512+3>0+2+1124+7>0
a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪
==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，
当[]
1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又
()11
12+3n a n d
=-，所以[]1,6n ∈时，1>0n
a ，7n ≥时，1
0n a <，
所以
1
n
a 在1,6n n N
上单调递增，
1
n
a 在7n n N
，上单调递增，所
以数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
不是递增数列，故B 不正确；
由于
()
3 13
117
7
13+1
22
32
13
a a a
S a
⨯
==<
=，而120
S>，所以0
n
S<时，n的最小值为
13，故C选项正确；
当[]
1,6
n∈时，>0
n
a，7
n≥时，0
n
a<，当[]
1,12
n∈时，>0
n
S，13
n≥时，
n
S<，所以当[]
7,12
n∈时，0
n
a<，>0
n
S，0
n
n
S
a
<，[]
712
n∈，时，
n
a为递增数
列，n S为正数且为递减数列，所以数列n
n
S
a
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
中最小项为第7项，故D正确；
【点睛】
本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.
4．如图，已知点E是ABCD的边AB的中点，()*
n
F n∈N为边BC上的一列点，连接
n
AF交BD于
n
G，点()*
n
G n∈N满足()
1
223
n n n n n
G D a G A a G E
+
=⋅-+⋅，其中数列
{}
n
a是首项为1的正项数列，
n
S是数列{}n a的前n项和，则下列结论正确的是（）A．313
a=B．数列{}3
n
a+是等比数列
C．43
n
a n
=-D．1
22
n
n
S n
+
=--
【答案】AB
【分析】
化简得到()()
1
2323
n n n n n n
G D a a G A a G B
+
=--⋅-+⋅，根据共线得到1
230
n n
a a
+
--=，即()
1
323
n n
a a
+
+=+，计算1
23
n
n
a+
=-，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
()()
1
1
223
2
n n n n n n
G D a G A a G A G B
+
=⋅-+⋅+，
故()()
1
2323
n n n n n n
G D a a G A a G B
+
=--⋅-+⋅，,
n n
G D G B共线，故
1
230
n n
a a
+
--=，
即()
1
323
n n
a a
+
+=+，
1
1
a=，故1
342n
n
a-
+=⨯，故1
23
n
n
a+
=-.
4
3
2313
a=-=，A正确；数列{}3
n
a+是等比数列，B正确；
1
23
n
n
a+
=-，C错误；2
12
43234
12
n
n
n
S n n
+
-
=-=--
-
，故D错误.
故选：AB . 【点睛】
本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若831a =，10210S =，则（ ） A ．19919S a =
B ．数列{}22n a
是公比为8的等比数列
C ．若()1n
n n b a =-⋅，则数列{}n b 的前2020项和为4040
D ．若11n n n b a a +=
，则数列{}n b 的前2020项和为2020
24249
【答案】CD 【分析】
由等差数列性质可判断A ；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及22n a ，结合等比数列的定义可判断B ；写出n b ，由定义写出2020T 的表达式，进行分组求和即可判断C ；11144143n b n n ⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，裂项相消即可求和.
【详解】
由等差数列的性质可知，191019S a =，故A 错误；设{}n a 的公差为d ，则有
81101731
1045210
a a d S a d =+=⎧⎨
=+=⎩，解得13a =，4d =，故41n a n =-，28122n
a n -=， 则数列{}22n a
是公比为82的等比数列，故B 错误；若()()()1141n n
n n b a n =-⋅=-⋅-，
则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=，故C 正确； 若()()1
111414344143n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，则{}n b 的前2020项和
2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=
⎪⎝⎭，故D 正确． 故选:CD ． 【点睛】 方法点睛:
求数列的前n 项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列±等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列⨯等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.
6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ）
A ．512a =
B ．公差3d =
C ．()261n S n n =+
D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为
64n
n + 【答案】BCD 【分析】
根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、
C ，
再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】
因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，
对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；
对于选项C ：()()
2222132612
n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：
()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以前n 项和为1111111
1132558811
3132n n ⎛⎫
-+-+-++
-
⎪-+⎝⎭
()611132322324
n n n n n ⎛⎫=-== ⎪
++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
7．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列
选项中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列
B ．满足100n S <的n 的最大值是9
C ．n S 除以4的余数只能为0或1
D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】
根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得(
)*
21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：因为()111n n na n a +-+=，
故等式两边同除以()1n n +得：()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()1211122121
1n n a a n n n n n n --=------=--，，
2111121122
a a =-⨯-= 故根据累加法得：
()11
121n a a n n
n =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故(
)*
21n a n n N
=-∈
所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()
21212
n n n S n +-=
=，
故2
100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*
21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*
2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正
确；
对于D 选项，2
22n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.
故选：ABC 【点睛】
本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得
()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.
8．已知数列{}n a 的前n 项和为2
n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）
A ．342n a n =-
B ．16S 为n S 的最小值
C ．1216272a a a +++=
D ．1230450a a a ++
+=
【答案】AC 【分析】
利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到
121617193300()a a a S a a a ++
+=+----16302S S =-可计算后否定D.
【详解】
1133132a S ==-=,
()()()2
213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,
对于1n =也成立，
所以342n a n =-，故A 正确；
当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,
n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；
因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；
121617193300()a a a S a a a +++=+---
-
2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）
54490454=-=， 故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.
和与项的关系()
()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪
=⎨
-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于
零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
【答案】AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+1
4,()n n a S a n N *
==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩
⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a = B ．2n
n S =
C ．38
n T ≥
D ．12
n T <
【答案】ACD 【分析】
在1+14,()n n a S a n N *
==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；
令12(1)n n n b n n a ++=
+，13
8
b =，
2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，裂项求和3182
n T ≤<，则CD 可判断.
【详解】
解：由1+14,()n n a S a n N *
==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；
32212822S a a =+==≠，故B 错误；
+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，
1
2n n
a a +=， 所以2n ≥时，2
42
2n n n a -=⋅=， 令12(1)n n n b n n a ++=
+，12123
(11)8
b a +==+，
2n ≥时，()()11
12211
(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，
113
8
T b ==，2n ≥时，
()()2334
113111111111
822323242
2122122
n n n n T n n n ++=+-+-++
-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，31
82
n T ≤<，故CD 正确；
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n
n a n a S S n -=⎧
=⎨-≥⎩递推数列的通项，注
意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.。