河北省保定一中09-10学年度高二数学下学期第一次阶段测试人教版

某某一中2009-2010学年度高二第二学期第一次阶段考试
数学试卷
说明: 本试卷分Ⅰ卷、Ⅱ卷两部分,共 6 页. 时间:120分钟,满分:150分
选择题答案涂在机读卡上,交卷时将答题卡、第Ⅱ卷一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.）
1．已知直线m 、n 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ）
A ．m ⊥α且m ⊥β
B ．α⊥γ且β⊥γ
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n
D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β
2. 已知长方体的表面积是224cm ，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它的对角线长是（ ）
A. 14cm
B.4cm
C. 3
2cm D.23cm
3.给出下列命题：(1)三点确定一个平面；(2)在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；(3)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；(4)若直线
a b c 、、满足,a b a c ⊥⊥、则//b c .其中正确命题的个数是 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4.如图，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，ABC ∆内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题：①BC PC ⊥；②//OM APC 平面；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中真命题的个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．用一个平面去截正方体，所得截面不可能是 （ ）
A.平面六边形
B.菱形
C.梯形
D.直角三角形
6．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角
的余弦值为（ ）
A ．
10
10 B ．
10
30 C ．
10
60 D ．
10
10
3 7．已知直线l 与平面α成45°角，直线m α⊂，若直线l 在α内的射影与直线m 也成45°角
，
则
l
与
m
所成的角是
( ) A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8．矩形ABCD 的两边AB=3，AD=4，PA ⊥平面ABCD ，且PA=
5
3
4，则二面角A-BD-P 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°
9.二面角l αβ--为60，A,B 是棱l 上的两点，AC,BD 分别在半平面,αβ内，,,AC l BD l ⊥⊥且,2AB AC a BD a ===，则CD 的长为（ ）
A ．2a
B ．5a
C ．a
D ．3a
10.等边△ABC 的边长为1，BC 上的高是AD ，若沿AD 折成直二面角，则A 到BC 的距离为( )
A.
2
1
2 B.
4
114 C.
4
115 D.
2
13
11．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 将△ABD 折
起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C — AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ的值为（ ）
A ．
43B ．47C ．773D ．5
4
12.已知正四面体A —BCD ，动点P 在△ABC 内，且点P 到平面BCD 的
距离与点P 到点A 的距离相等，则动点P 的轨迹为 （ ） A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．一条线段
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把最简答案填在题后横线上） 13．过平面α外一点P 的斜线段是过这点垂线段的
3
3
2倍，则斜线与平面α所成的角为 14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1B 1的中点，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 . 15．如图，在直二面角βα--MN 中，等腰直角三角形ABC 的斜边α⊂BC ，一直角边β⊂AC ，
BC 与β所成角的正弦值为
4
6
，则AB 与β所成的角是 . A
B
C
M
N
α
β
16．已知边长为a 的菱形ABCD ，∠A =
3
π
，将菱形ABCD 沿对角线BD 折成二面角θ，已知θ∈[
3π，3
2π]，则两条对角线AC 和DB 距离的最大值是 . 三、解答题（本大题共６小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图，在四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝BD ＝2，BC ＝DC ＝2，二面角A －BD －C 的大小为30°，求AC 的长．
18.（12分）如图，在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 为边长为
1的菱形，4π=∠ABC , ABCD OA 底面⊥, 2=OA ,M 为OA
的中点，N 为BC 的中点（1）证明：直线OCD MN 平面//； （2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小.
A
B
D
C
19.(12分)如图，直三棱柱111C B A ABC -中，41=AA ，2==BC AC ，0
90=∠ACB . （1）求点B 到平面C AB 1的距离;
（2）求直线B B 1与平面C AB 1所成角的正切值.
20.（12分）如图，已知平行六面体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，且
6011=∠=∠=∠BCD CD C CB C ，1C 点在底面ABCD 的射影在直线BD 上，求此平行六
面体的体积和表面积.
21.(12分)如图，正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为4，D 为CC 1中点．
（1）求证：BD A AB 11平面⊥； （2）求二面角B D A A --1的大小．
B
C 1
C
A
B 1
A 1
B
A
B
A
C
D
D
1
1
1
C
1
A
A 1
B
B 1
C
C 1
D
22．(12分)如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为
等腰梯形，AB ∥DC,AC ⊥BD,AC 与BD 相交于点O ，且顶点 P 在底面上的射影恰为O 点，又BO=2,PO=2,PB ⊥PD. (Ⅰ)求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； (Ⅱ)求二面角P －AB －C 的大小；
(Ⅲ)(仅理科做)问是否在线段PC 上存在点M ，使PC ⊥平面BMD.
若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.
某某一中2009-2010学年度高二第二学期第一次阶段考试
数学答案审核：李茂生
一、A D B A D B C A A B A A 二、13.
3π 14.22 15.
3π 16.
a 43
三、17.AC=1
18：（1）证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖
又
,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖MN OCD ∴平面‖
（2）
CD ‖AB,MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）
作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP 2
,4
2ADP π
∠=
∵∴DP =
222MD MA AD =+=，
1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π
∠=
=∠=∠=∴
所以 AB 与MD 所成角的大小为3π
19.(1)554;(2)2
1
20.答案：如图所示连接CA 交BD 于H 连接1C H;
因为
6011=∠=∠CD C CB C 所以1C 在底面上的射影在直线CA 上，
又因为1C 点在底面ABCD 的射影在直线BD 上，所以1C 在底面上的射影为H 即1C H 为底面ABCD 的垂线。

则33cos 1=
∠CH C ，因为CH=23,所以1C H=26，1C C=2
3
所以24
3
2660sin 11=⨯
⨯⨯=
V 34460sin 2
3
1260sin 11=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= S
21.答案：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC ∆ 为正三角形，
11B BCC 平面⊥∴⊥∴AO BC AO ……３分
连结O B 1，在正方形11BCC B 中，
O D ，分别为1BC CC ，的中点，
由正方形性质知BD O B ⊥1，BD AB ⊥∴1……５分 又在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，
⊥∴1AB 平面1A BD ．……６分
（Ⅱ）设AB 1与A 1B 交于点G ，在平面A 1BD 中，
作D A GF 1⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得BD A AB 11平面⊥．D A AF 1⊥∴
AFG ∠∴为二面角B D A A --1的平面角………９分
在1AA D △中，由等面积法可求得5
5
8=
AF ，………１０分 又222
1
1==
AB AG ，410sin ==∠∴AF AG AFG ．
所以二面角B D A A --1的大小为4
10
arcsin ……１２分 22.
PO ⊥平面ABCD ，PO BD ∴⊥
又,2,2PB PD BO PO ⊥==
，
由平面几何知识得：1,3,6OD PD PB ==
=
（Ⅰ）过D 做//DE BC 交于AB 于E ，连结PE ，则PDE ∠或其补角为异面直线PD 与BC 所成的角，
四边形ABCD 是等腰梯形，1,2,OC OD OB OA OA OB ∴====⊥
5,22,2BC AB CD ∴===
又//AB DC ∴四边形EBCD 是平行四边形。

5,2ED BC BE CD ∴====
E ∴是AB 的中点，且2AE =
又6PA PB ==，PEA ∴∆为直角三角形，22622PE PA AE ∴=-=-=
在PED ∆中，由余弦定理得
222354215
cos 215235
PD DE PE PDE PD DE +-+-∠===
⋅⋅⋅ 故异面直线PD 与BC 所成的角的余弦值为
215
15
（Ⅱ）连结OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO ∠为二面角P AB C --的平面角
2
sin 2
PO PEO PE ∴∠=
=，045PEO ∴∠= ∴二面角P AB C --的大小为045
（Ⅲ）连结,,MD MB MO ，
PC ⊥平面,BMD OM ⊂平面BMD ，PC OM ⊥
又在Rt POC ∆中，
3,1,2PC PD OC PO ====，
233,33PM MC ∴=
=，2PM MC
∴=
λ=时，PC⊥平面BMD 故2。