辽宁省大连市普兰店区高二数学上学期竞赛(期中)试题 文

2017-2018学年上学期竞赛试卷
高二数学(文科)试卷
总分：150分 时间：120分钟 一.选择题（每小题5分，共60分）
1．已知集合{}
022<--=x x x A ，{}
5.0log 2<=x x B ，则（ ） A.
Φ
=⋂B A B.
B
B A =⋂ C.
R
B A =⋃ D.
Φ
=⋂B A C U
2．下列函数中，既是偶函数又是()0,+∞上的增函数的是
A. 3
y x = B. 2x
y = C. 2
y x =- D. ()3log y x =-
3．若1sin 45x π⎛⎫-=-
⎪⎝⎭，则5cos 4x π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
则的值等于 （ ）
A. 5-
B. 15-
C. 1
5
D. 5 4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为 A.
54钱 B.43钱 C.3
2
钱 D.53钱
5．若ABC ∆的内角,,A B C 满足643sinA sinB sinC ==，则cos B =（ ）
B. 34
D. 11
16
6．已知实数c b a c b a ,,,23tan 123tan 2,25sin 21,24sin 24cos 2
2
2
2
则︒
-︒
=︒-=︒-︒=的大小关系为（ ）
A.c a b >>
B.b a c >>
C.c b a >>
D.a b c >> 7．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和， 425S S =，则
38
2
5a a a ⋅ 的值为（ ）
A. 2-
B. 2
C. 2-或2
D. 2
1 8．若把函数)3
2sin(3)(π
+
=x x f 的图象向右平移)0(>θθ个单位后所得图象关于坐标原点
对称，则θ的最小值为（ ） A. 6π B. 12π C. 3π D. 4
π
9．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如下
图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，
则球O 的表面积为（ ） A ．32π B ．36π C ．128π D ．144π
10．下列命题中,正确命题的个数为（ ） ①若,则
或
”的逆否命题为“若且
,则
；
②函数的零点所在区间是；
③
是的必要不充分条件
A ．0
B ．1
C ．2 D. 3
11．若圆()()2
2
235x y r -++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )
A. )6,4(
B. []6,4
C. )5,4(
D. (]5,4
12． 已知平面⊥α平面β，l =⋂βα，点l A A ∉∈,α，直线l AB //，直线l AC ⊥，直线βα//,//m m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A. β⊥AB B. m AC ⊥ C. β//AB D. m AB // 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）
d
c b a +++则13．已知实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧<-->+->++02306203y x y x y x 则
z x y =-的最小值为_______
14．若关于x 的不等式062
≥--m x x 对任意
[]
1,0∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是_________
15．已知实数c b a ,,成等差数列，且公差为1；d c b ,,成等比数列，且,0>b
的最小值为
16．在ABC ∆中，已知
60,2,1=∠==A AC AB ，若点P 满足AC AB AP λ+=，且
1=⋅，则实数λ的值为______________
三、解答题（本题共6题，共70分） 17．（本小题10分）
已知函数(
)sin 14f x x x π⎛
⎫
=+
- ⎪⎝
⎭
． （1）求4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值．
18．（本小题12分）
已知函数1232)(-++=x x x f ． （1）求不等式8)(<x f 的解集；
（2）若关于x 的不等式13)(+≤m x f 有解，求实数m 的取值范围．
19．（本小题12分）
如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 上任意一点．
（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
（2）试确定点E 的位置，使得四棱锥P ABCD -的体积等于三棱锥P ACE -体积的4倍． 20．（本小题12分）
数列{}n a 满足111,23n n a a a +=-+=.
（1）证明{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知符号函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0
,10,00
,1)sgn(x x x x 设)sgn(n n n a a b ⋅=，求数列{}n b 的前100项和.
21．（本小题12分）
漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少5.0立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元. （1）求该博物馆支付总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付总费用的最小值.
22．（本小题12分）
已知圆2
2
:2430C x y x y ++-+=．
（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．
（2）从圆C 外一点()11,P x y 向该圆引一条切线，切点为M ， O 为坐标原点，且有
PM PO =，求使得PM 取得最小值的点P 的坐标．
答案：1.B2.B3.C4.B5.D6.B7.C8.A9．A10.C11．A12.A 13.-5；14.5-≤m ；15.6；16.1或4
1-
17. （Ⅰ）因为 sin 1442f πππ⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
112=- 1=
（Ⅱ）()sin 14f x x x π⎛
⎫
=+
- ⎪⎝
⎭
sin +cos 122x x x ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭
22sin cos 2cos 1
x x x =+-sin2cos2x x =+
24x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
因为02
x π
≤≤
， 所以
524
4
4
x π
π
π
≤+
≤
所以 sin 2124x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭ 故 124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭
当2,42x ππ
+
=
即8x π
=
时， ()f x 当52,44x ππ+=即2
x π=时， ()f x 有最小值1-
18. 解：（Ⅰ）不等式f （x ）＜8，即|2x+3|+|2x ﹣1|＜8，
可化为①或②或③，…
解①得﹣＜x ＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x ＜，
综合得原不等式的解集为{x|-}．
（Ⅱ）因为∵f（x ）=|2x+3|+|2x ﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x ﹣1）|=4， 当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f （x ）min =4，…
又不等式f （x ）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1． 19. （Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，∴PD AC ⊥， 又∵底面ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，PD
BD D =，
PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，
又AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBD ．
（Ⅱ）若四棱锥的体积被平面EAC 分成3:1两部分，则三棱锥E ABC -的体积是整个四棱锥体积的
14
， 设三棱锥E ABC -的高为h ，底面ABCD 的面积为S ， 则11113243S h S PD ⋅
⋅⋅=⋅⋅，由此得1
2
h PD =，故此时E 为PB 的中点． 20 （Ⅰ）因为123n n a a +=-+， 所以
1122
211
n n n n a a a a +--+==---，
所以数列{}1n a -是公比为2-，首项为2-的等比数列. 故()12n
n a -=-，即
()21n
n a =-+.
（Ⅱ）()()
()
21,sgn {21,n n n n n n b a a n +=⋅=-为偶数为奇数
数列的{}n b 前100项和 ()()()()()
23991001002121212121S =-+++-+⋯+-++
23100101222222=+++⋯+=-.
21. 解：（Ⅰ）由题意设支付的保险费用1k
y x
=，把2x =， 14000y =代入，得8000k =. 则有支付的保险费用18000
y x =
（0.5x >） 故总费用()80008000
5000.5500250y x x x x
=-+=+-，
（ 0.5x >） （Ⅱ）因为8000
500250y x x
≥=+-
2503750= 当且仅当8000
500x x
=
且0.5x >， 即4x =立方米时不等式取等号，
所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元.
22. 解：（1）圆()()2
2
:122C x y ++-=，所以圆心()1,2C -．①切线过原点，由题知，此时切线斜率必定存在，设y kx =
=
2k =+
2．②切线不
过原点，设x y a +=，则
=，解得1a =-或3．综上所述：切线方程为
(
2y x =±或10x y ++=或30x y +-=．
（
2
）
因
为
PM PO ==，且
222||r PM CP +=，
即
()()2
2
221111122x r x y +=++--，整理得112430x r -+=，则113
22
x y =-
，所以22
2222211111339||252520PM PO x y y y y ⎛⎫⎛
⎫==+=-+=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当
13
5
y =
时
，
2min 9||20PM =
，此时1310x =-．综上所述P 为33,105⎛⎫
- ⎪⎝⎭
时， PM 最小，最小值为10．。