2019届中考数学专题提升(十一)以平行四边形为背景的计算与证明.doc

专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明
类型之一以平行四边形为背景的计算与证明
【经典母题】
已知：如图Z11－1，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD，∵AB＝CD，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD，∴BE＝DF.
【思想方法】(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；
(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线
互相平分．
【中考变形】
1．[2019·益阳]如图Z11－2，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE.
求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，AE∥CF.
∴△AED≌△CFB(AAS)．∴AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.
2．[2019·黄冈]如图Z11－3，在▱ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH，
∵E，F分别为AD，BC边的中点，
∴AE＝DE＝1
2
AD，CF＝BF＝
1
2
BC，
∵AD＝BC，∴AE＝CF＝DE＝BF.
∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，
图Z11－1
图Z11－2
图Z11－3
∴BE ∥DF ，∴∠AEG ＝∠AD F ， ∴∠AEG ＝∠CFH，
在△AEG 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠EAG ＝∠FCH，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH，
∴△AEG ≌△CFH(ASA)，∴AG ＝CH. 【中考预测】
[2019·义乌模拟]如图Z11－4，已知E ，F 分别是▱ABCD 的边BC ，AD 上的
点，且BE ＝DF.
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2)若四边形AECF 是菱形，且BC ＝10，∠BAC ＝90°，求BE 的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ， ∵BE ＝DF ，∴AF ＝EC ， ∴四边形AECF 是平行四边形； (2)如答图，∵四边形AECF 是菱形， ∴AE ＝EC ， ∴∠1＝∠2， ∵∠BAC ＝90°，
∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1， ∴∠3＝∠4，∴AE ＝BE ， ∴BE ＝AE ＝CE ＝1
2
BC ＝
5.
图Z11－4
中考预测答图
类型之二 以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明 【经典母题】
如图Z11－5，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，且AE⊥BC，AF ⊥CD.求菱形各个内角的度数．
图Z11－5 经典母题答图
解：如答图，连结AC.
∵四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC ，AF ⊥CD 且E ，F 分别为BC ，CD 的中点， ∴AC ＝AB ＝AD ＝BC ＝CD ，
∴△ABC ，△ACD 均为等边三角形，
∴菱形ABCD 的四个内角度数分别为∠B＝∠D＝60°，∠BAD ＝∠BCD＝120°.
【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质． 【中考变形】
1．[2019·日照]如图Z11－6，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即__AD ＝BC__，可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．
解：(1)证明：在△DCA 和△EAC 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧DC ＝EA ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，
∴△DCA ≌△EAC(SSS)； (2)添加AD ＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形．理由如下： ∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°，
由(1)得△DCA≌△EAC，∴∠D ＝∠E＝90°，
∴四边形ABCD 为矩形．故答案为AD ＝BC(答案不唯一)． 2．[2019·白银]如图Z11－7，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，过
对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F. (1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．
图Z11－6
图Z11－7
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴AB ∥DC ，OB ＝OD ，
∴∠OBE ＝∠ODF，在△BOE 和△DOF 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠OBE ＝∠ODF，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF，
∴△BOE ≌△DOF(ASA)， ∴EO ＝FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ， 设BE ＝x ，则 DE ＝x ，AE ＝6－x ， 在Rt △ADE 中，DE 2
＝AD 2
＋AE 2
， ∴x 2
＝42
＋(6－x)2， 解得x ＝
133
，∵BD ＝AD 2＋AB 2
＝213， ∴OB ＝1
2
BD ＝13，∵BD ⊥EF ，
∴OE ＝BE 2－OB 2
＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.
3．[2019·盐城]如图Z11－8，矩形ABCD 中，∠ABD ， ∠CDB 的平分线BE ，DF 分别交边AD ，BC 于点E ，F. (1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；
(2)当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴∠ABD ＝∠CDB， ∵BE 平分∠ABD，DF 平分∠BDC ， ∴∠EBD ＝12∠ABD ，∠FDB ＝1
2∠BDC ，
∴∠EBD ＝∠FDB，∴BE ∥DF ，
又∵AD∥BC，∴四边形BEDF 是平行四边形； (2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF 是菱形，理由： ∵BE 平分∠ABD，
∴∠ABD ＝2∠ABE＝60°，∠EBD ＝∠ABE＝30°， ∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A ＝90°，∴∠EDB ＝90°－∠ABD＝30°， ∴∠EDB ＝∠EBD＝30°，∴EB ＝ED ，
又∵四边形BEDF 是平行四边形，∴四边形BEDF 是菱形． 4．[2019·株洲]如图Z11－9，在正方形ABCD 中，BC ＝3，E ，
F 分
别是CB ，CD
图Z11－8
延长线上的点，DF ＝BE ，连结AE ，AF ，过点A 作AH⊥ED 于H 点． (1)求证：△ADF≌△ABE； (2)若BE ＝1，求tan ∠AED 的值． 解：(1)证明：正方形ABCD 中， ∵AD ＝AB ，∠ADC ＝∠ABC＝90°， ∴∠ADF ＝∠ABE＝90°， 在△ADF 与△ABE 中，
AD ＝AB ，∠ADF ＝∠ABE，DF ＝BE ， ∴△AD F≌△ABE(SAS)；
(2)在Rt △ABE 中，∵AB ＝BC ＝3，BE ＝1， ∴AE ＝10，ED ＝CD 2
＋CE 2
＝5， ∵S △AED ＝12ED ·AH ＝12AD ·BA ＝9
2，
∴AH ＝9
5
，
在Rt △AHD 中，DH ＝AD 2－AH 2
＝125，
∴EH ＝ED －DH ＝
135，∴tan ∠AED＝AH EH ＝913
. 5．[2019·上海]已知：如图Z11－10，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD
＝CD ，E 是对
角线BD 上一点，且EA ＝EC. (1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．
证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，
∴△ADE ≌△CDE(SSS)，∴∠ADE ＝∠CDE， ∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD， ∴∠CDE ＝∠CBD，∴BC ＝CD ， ∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形； (2)∵BE＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC， ∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3， ∴∠CBE ＝180×
2
2＋3＋3
＝45°，
∵四边形ABCD 是菱形，
图Z11－10
∴∠ABE ＝45°，∴∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形．
6．如图Z11－11，正方形ABCD 的边长为8 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的动点，且AE ＝BF
＝CG ＝DH.
(1)求证：四边形EFGH 是正方形；
(2)判断直线EG 是否经过某一定点，说明理由； (3)求四边形EFGH 面积的最小值．
图Z11－11 中考变形6答图
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠B＝90°，AB ＝DA ，
∵AE ＝DH ＝BF ，∴BE ＝AH ，∴△AEH≌△BFE(SAS)， ∴EH ＝FE ，∠AHE ＝∠BEF，同理，FE ＝GF ＝HG ， ∴EH ＝FE ＝GF ＝HG ，∴四边形EFGH 是菱形，
∵∠A ＝90°，∴∠AHE ＋∠AEH＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH＝90°， ∴∠FEH ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形； (2)直线EG 经过正方形ABCD 的中心． 理由：如答图，连结BD 交EG 于点O. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ， ∴∠EBD ＝∠GDB， ∵AE ＝CG ，∴BE ＝DG ，
∵∠EOB ＝∠GOD，∴△EOB ≌△GOD(AAS)， ∴BO ＝DO ，即O 为BD 的中点， ∴直线EG 经过正方形ABCD 的中心； (3)设AE ＝DH ＝x ，则AH ＝8－x ，
在Rt △AEH 中，EH 2＝AE 2＋AH 2＝x 2＋(8－x)2＝2x 2－16x ＋64＝2(x －4)2
＋32， ∵S 四边形EFGH ＝EH·EF＝EH 2
，
∴四边形EFGH 面积的最小值为32 cm 2
. 【中考预测】
如图Z11－12，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.
图Z11－12
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
解：(1)证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.
∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，
∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB＝∠AFD.
又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE；
(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.
又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.
∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.
又∵CF为公共边，
∴△BCF≌△DCF(SAS)，
∴∠CBF＝∠CDF.
∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，
∴∠CBF＋∠BCD＝∠CDF＋∠EFD，
∴∠EFD＝∠BCD.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）．小聪为了说明“A．正方形；B．矩形；C．四边形；D．菱形；E．平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、②、③、④”所标注的各区域中，正确的填法依次是（）（用名称前的字母代号表示）
A．C、E、B、D B．E、C、B、D C．E、C、D、B D．E、D、C、B
2．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120”，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE：②S△ODE＝S△BDE：③四边形ODBE的面
；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
3．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的最大值为（）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
4．已知正六边形的边心距为，则它的半径为（）
A.2
B.4
C.2
D.4
5．大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）
A．B．C．D．
6．如图，正五边形ABCDE，点F是AB延长线上的一点，则∠CBF的度数是（）
A ．60°
B ．72°
C ．108°
D ．120°
7．下列正比例函数中，y 随x 的值增大而增大的是（ ）
A.y ＝﹣2014x
B.y ﹣1）x
C.y ＝（﹣π﹣3）x
D.y ＝（1﹣π2）x
8．我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是（ ） A.
14
B.
12
C.
34
D.1
9＝（ ） A ．±4
B ．4
C ．±2
D ．2
10．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，以大于1
2
AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD .若34B ∠=︒，则BDC
∠的度数是（ ）
A ．68︒
B ．112︒
C ．124︒
D ．146︒
11．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A ．a 2
+4b 2
B ．-x 2+16y 2
C ．-a 2
-b 2
D ．a-4b 2
12．下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个．
①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件． A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．已知如图，矩形OCBD 如图所示，OD=2，OC=3，反比例函数的图象经过点B ，点A 为第一象限双曲线上的动点（点A 的横坐标大于2），过点A 作AF ⊥BD 于点F ，AE ⊥x 轴于点E ，连接OB ，AD ，若△OBD ∽△
DAE，则点A的坐标是_____．
14．16的平方根是．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM=CE，»AE的长为2π，则CE的长______．
16．若在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝9，AD＝8，则S四边形ABCD＝_____．
17．中国的领水面积约为3700000km2，将3700000用科学记数法表示为_____．
18．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为_______．
三、解答题
19．我市组织开展“遵纪守规明礼，安全文明出行”为主题的“交通安全日”活动，引起了市民对交通安全的极大关注，某学校积极响应号召，以答卷的形式对全校学生就交通安全知识的了解情况进行了调查，并随机抽取部分学生的成绩绘制如下不完整的统计图表：
请根据所给信息回答下列问题：
(1)这次参与调查的学生人数为
(2)频数分布表中a＝，b＝
(3)请补全条形统计图
(4)学校准备对成绩不高于70分的学生进行交通安全教育，若全校共有学生1680人，请你统计该校来参加这次教育活动的学生约有多少人？
20．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为63°，
沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1
AB＝10米，CD
＝2米．
（1）求点B距地面的高度；
（2）求大楼DE的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据
21．有甲、乙两个圆柱体形蓄水池，将甲池中的水以一定的速度注入乙池．甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，其中，甲蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x
（时）之间的函数关系式为y＝﹣2
3
x+2．结合图象回答下列问题：
（1）求出乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；（2）图中交点A的坐标是；表示的实际意义是．（3）当甲、乙两个蓄水池的水的体积相等时，求甲池中水的深度．
22．（1）解不等式组
365(2)
543
1
23
x x
x x
+≥-
⎧
⎪
⎨--
-≤
⎪⎩
①
②
，并求出最小整数解与最大整数解的和．
（2）先化简，再求值
331
(1)
x x
--
÷-+，其中x满足方程x2+x﹣2＝0．
23．先化简，再求值：22221111x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭
，其中x 是满足|x|≤2的整数． 24．如图，两条射线BA//CD ，PB 和PC 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，分别交AB ，CD 与点A ，D ．
（1）求∠BPC 的度数；
（2）若,60,2AD BA BCD BP ︒⊥∠==，求AB+CD 的值；
（3）若ABP S ∆为a ，CDP S ∆为b ，BPC S ∆为c ，求证：a+b=c ．
25．某专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其进价和售价如下表所示。

已知用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
(1)求m 的值；
(2)要使购进的甲，乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下，专卖店决定对甲种运动鞋每双优惠a(60<a<80)元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．） 14．±4．
15．4-
18
三、解答题
19．(1)50；(2)0.24，15；(3)见解析；(4)估计该校来参加这次教育活动的学生约有672人．【解析】
【分析】
（1）（2）根据频率，频数，总人数之间的关系即可解决问题．
（3）利用（2）中结论，画出条形图即可．
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【详解】
(1)因为8÷0.16＝50，故这次参与调查的学生人数为50人．
故答案为50．
(2)a＝12
50
＝0.24，b＝50×0.3＝15．
故答案为：0.24，15．(3)条形图如图所示：
(4)1680×20
50
＝672(人)，
估计该校来参加这次教育活动的学生约有672人．
【点睛】
本题考查条形统计图，用样本估计总体，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 20．（1）5（2）大楼DE的高度约为23.3米
【解析】
【分析】
（1）过B作AE的垂线交于点G，在Rt△ABG，通过解直角三角形求出BG即可；（2）由（1）可求AG的值，作BF⊥DE交DE于点F，设DE＝x米，在Rt△ADE中，表示出AE，然后再根据等腰直角三角形的性质求解x，即可得到大楼DE的高度.
【详解】
解：（1）作BG⊥AE于点G，由山坡AB的坡度i＝1：，
设BG=x，则，
∴x2+）2=102，
解得x=5，即BG＝5，
∴点B距地面的高度为：5米；
（2）由（1）可得AG BG=BF⊥DE交DE于点F，设DE＝x米，在Rt△ADE中，
∵tan∠DAE＝DE AE
，
∴AE＝
tan DE
DAE
∠
≈
1
2
x，
∴EF＝BG＝5，BF＝AG+AE＝1
2 x，
∵∠CBF＝45°，∴CF＝BF，
∴CD+DE﹣EF＝BF，
∴2+x﹣5＝1
2 x，
解得：x＝≈23.3（米）
答：大楼DE的高度约为23.3米．
【点睛】
此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
21．（1）y＝x+1（2）（3
5
，
8
5
），当注水时间为
3
5
小时，甲乙两水池的水面高度相同，为
8
5
米（3）
4
3
【解析】
【分析】
（1）如图，根据甲蓄水池的函数关系式求出放完水的时间，即函数图象与x轴的交点B，从而得到乙图象上的点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）联立两函数解析式，解方程组即可得到交点A的坐标，根据交点的纵坐标相等可知，两水池的水面高度相等；
【详解】
解：（1）如图，当y＝0时，﹣2
3
x+2＝0，
解得x＝3，
所以，点C的坐标为（3，4），
设乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y＝kx+b，
则
1
34
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
1
1 k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以，函数关系式为y＝x+1；
（2）联立
2
2
3
1
y x
y x
⎧
=-+
⎪
⎨
⎪=+
⎩
，
解得
3
5
8
5 x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
所以，交点A的坐标为（3
5
，
8
5
），
表示的实际意义是：当注水时间为3
5
小时，甲乙两水池的水面高度相同，为
8
5
米，
故答案为：（3
5
，
8
5
），当注水时间为
3
5
小时，甲乙两水池的水面高度相同，为
8
5
米；
（3）设甲、乙两个蓄水池的底面积分别为a、b，根据甲乙两水池的蓄水总量可得，2a+b＝4b，
整理得，a＝3
2
b，
所以，当甲、乙两个蓄水池的水的体积相等时，甲池中水的深度为1
424
2
33
b
2
b b
a
⨯
==米．
析式，以及函数图象的交点的求解，（3）题要注意先求出两蓄水池的底面积的关系是解题的关键．
22．（1）﹣3≤x≤8，5；（2）
1
1
x-
，
1
3
- .
【解析】
【分析】
（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出所求即可；
（2）原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
【详解】
（1）
365(2)
543
1
23
x x
x x
①
②+≥-
⎧
⎪
⎨--
-≤
⎪⎩
由①得：x≤8，
由②得：x≥﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3≤x≤8，
则不等式组最小整数解为﹣3，最大整数解为8，之和为5；
（2）原式＝
2
3(1)11 (1)(1)3111
x x x x x
x x x x x x -++-
⋅-==
+-----
，
由x2+x﹣2＝0，得到（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x＝1（舍去）或x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝
1
3 -．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．
1 3 -
【解析】
【分析】
首先计算括号里面的，先通分再加减，然后把把分母分解因式，把除法变成乘法约分化简，再取x的整数值时，要考虑到分式有意义的条件．
【详解】
原式＝
2
(2)121 (1)(1)1
x x x x
x x x
---+
÷
+-+
＝
(2)1 (1)(1)(2) x x x
x x x x
-+
⋅
+--
＝
1
1 x-
，
∵分式有意义，
∴x≠0，2，﹣1，1，∴取x＝﹣2，
∴原式＝
1
21
--
＝﹣
1
3
．
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，关键是首先把分式进行正确的化简，再代入整数求值．24．（1）90°；（2）4；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线定义和平行线的性质，可得∠PBC+∠PCB的值，于是可求∠BPC的值；（2）在△ABP，△PCD和△BCP中，利用特殊角在直角三角形中的边关系可求AB+CD的值．（3）利用角平分线性质作垂直证明全等，通过割法获得面积关系．
【详解】
（1）∵BA∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，∴∠PBC
1
2
=∠ABC，∠PCB
1
2
=∠BCD，∴∠PBC+∠PCB
1
2
=⨯（∠ABC+
∠BCD）=90°，∴∠BPC=90°；
（2）若∠BCD=60°，BP=2，∴∠ABC=180°－60°=120°，∠PCD
1
2
=∠BCD=30°，∴∠ABP
1
2
=∠ABC=60°．
在Rt△ABP中，BP=2，AB=1．在Rt△BCP中，Rt△PCD中，PD=CD=3，∴AB+CD=4．（3）如图，作PQ⊥BC．
∵∠ABP=∠QBP，∠BAP=∠BQP，BP=BP．
∴△ABP≌△BQP（AAS）．
同理△PQC≌△PCD（AAS），∴S△BCP=S△BPQ+S△PQC=S△ABP+S△PCD，∴a+b=c．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
25．（1）m＝150；（2）该专卖店有9种进货方案；（3）此时应购进甲种运动鞋82双，购进乙种运动鞋118双．
【解析】
【分析】
（1）根据“用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同”列出方程并解答；
（3）设总利润为W ，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【详解】
（1）依题意得：
3000240030
m m =- ， 解得：m ＝150，
经检验：m ＝150是原方程的根，
∴m ＝150；
（2）设购进甲种运动鞋x 双，则乙种运动鞋（200﹣x ）双，根据题意得(300150)(200120)(200)21700(300150)(200120)(200)22300
x x x x -+--⎧⎨-+--⎩……， 解得：8137
≤x≤90， ∵x 为正整数，
∴该专卖店有9种进货方案；
（3）设总利润为W 元，则
W ＝（300﹣150﹣a ）x+（200﹣120）（200﹣x ）＝（70﹣a ）x+16000，
①当60＜a ＜70时，70﹣a ＞0，W 随x 的增大而增大，当x ＝90时，W 有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋90双，购进乙种运动鞋110双；
②当a ＝70时，70﹣a ＝0，W ＝16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当70＜a ＜80时，70﹣a ＜0，W 随x 的增大而减小，当x ＝82时，W 有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋82双，购进乙种运动鞋118双．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系；解题时需要根据一次项系数的情况分情况讨论．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B （﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
2．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设第n个
“平行四边形数”和“正六边形数”分别为a和b，若a+b＝103，则a
b
的值是( )
A.
6
19
B.
8
37
C.
10
93
D.
12
91
3．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是（）
A.20元
B.18元
C.15元
D.10元
4．如图，点O是△ABC的内心，M、N是AC上的点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠B＝100°，则∠MON＝（）
A．60°B．70°C．80°D．100°
5．如图，直径为单位1 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则点A表示
A．2 B C．πD．4
6．如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在AB边中点E处,点C落在点Q处,折痕为FH,则线段AF的长是（）
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
7．我市在旧城改造中，需要在一块如图所示的三角形空地上铺设草坪，如果每平方米草坪的价格为x元，则购买草坪需要的花费大概是（）
≈1.732
A．150x元B．300x元C．130x元D．260x元
8．如图，AD是△ABC外接圆的直径．若∠B＝64°，则∠DAC等于（）
A．26°B．28°C．30°D．32°
∠︒，E为BC中点，P为对角线BD上一点，则PE+PC 9．如图，已知菱形ABCD，AB=4，BAD=120
的最小值等于( )
A. B. C. D.
10．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝8，BF＝6，AD＝10，则EF
A ．4
B ．72
C ．3
D ．52
11．一个不透明的布袋里装有2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（ ） A.15 B.25 C.35 D.12
12．如图，在△ABC 中，EF//BC ，AB=3AE 。

若S 四边形BCFE =8，则S △ABC 的值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12
二、填空题 13．正方形ABCD 中，F 是AB 上一点，H 是BC 延长线上一点，连接FH ，将△FBH 沿FH 翻折，使点B 的对
应点E 落在AD 上，EH 与CD 交于点G ，连接BG 交FH 于点M ，当GB 平分∠CGE 时，AE=8，则ED=_____．
14．若关于x 的分式方程
7311
+=--m x x 有增根，则m 的值为________。

15．已知P 1(1－a ，y 1)，P 2(a －1，y 2)两点都在反比例函数y ＝－2x 的图象上，则y 1与y 2的数量关系是____________．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，若3DEC S ∆=，则BCF S ∆=________．
17．二次函数y= +bx+c的图象如图所示，其对称轴与x轴交于点（-1，0），图象上有三个点分别为
（2，），（-3，），（0，），则、、的大小关系是________（用“＞”“＜”或“=”连接）．
18．已知不等式组
1
x
x a
>
⎧
⎨
<
⎩
无解，则a的取值范围是_____．
三、解答题
19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′.
（1）若直线DA交BC′于点F，求证：EF=BF；
（2）当时，求证：△AC′D′是等腰三角形；
（3）在点E的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．
20．飞机飞行需加适量燃油，既能飞到目的地，又使着陆时飞机总重量（自重＋载重＋油重）不超过它的最大着陆重量，否则飞机需通过空中放油（如图1）减重，达标后才能降落．某客机的主要指标如图2，假定该客机始终满载飞行且它的加油量要使它着陆时的总重量恰好达到135 t．例如，该客机飞1 h的航班，需加油1×5＋(135－120)＝20 t．
（1）该客机飞3 h的航班，需加油 t；
（2）该客机飞x h的航班，需加油y t，则y与x之间的函数表达式为；
（3）该客机飞11 h的航班，出发2 h时有一位乘客突发不适，急需就医．燃油有价，生命无价，机长决
定立刻按原航线原速返航，同时开始以70 t/h的速度实施空中放油．
①客机应放油 t;
②设该客机在飞行x h时剩余燃油量为R t，请在图3中画出R与x之间的函数图像，并标注必要数据．
21．如图，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=120°，以AD为直径作⊙O，与CD交于点P．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，过点C作AB边上的高CE；
（2）在图2中，过点P作⊙O的切线PQ，与BC交于点Q．
22．已知直线y＝kx＋2k＋4与抛物线y＝1
2
x2
（1）求证：直线与抛物线有两个不同的交点；（2）设直线与抛物线分别交于A, B两点.
①当k＝－1
2
时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
②在抛物线上是否存在定点D使∠ADB＝90°，若存在，求点D到直线AB的最大距离. 若不存在，请你说明理由.
23．甲、乙两个工程队计划修建一条长18千米的乡村公路，已知甲工程队比乙工程队每天多修路0.6千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.6万元，乙工程队每天的修路费用为0.5万元，要使两个工程队修路总费用不超过6.3万元，甲工程队至少修路多少天？
24．如图，∠A=∠B=30°，P为AB中点，线段MV绕点P旋转，且M为射线AC上（不与点d重合）的任意一点，且N为射线BD上（不与点B重合）的一点，设∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若AB=4，60°≤α≤90°，直接写出△BPN的外心运动路线的长度。

25．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）若∠BAD＝70°，则∠BCA＝°；
（2）若AB＝12，BC＝5，求DE的长：
（3）求证：BE是⊙O的切线．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．4
14．7
15．y1+ y2=0
16．4
17．＜＜.
18．a≤1
三、解答题
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.
【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：∠FBE＝∠FEB，则EF＝BF；
（2）如图1，先根据勾股定理计算BE的长，根据直角边和斜边的关系可得：∠ABE＝30°，则△BEF是等边三角形，最后根据平行线分线段成比例定理，由FC'∥AH∥ED'，得C'H＝D'H，从而得结论；
（3）如图1，根据三角形面积公式可知：当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，计算AC'＝2，根据三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：（1）证明：如图1，由折叠得：∠FBE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴EF＝BF；
（2）在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE
∴BE
3
=，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AEB＝60°，
由（1）知：EF＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∵AB⊥EF，
∴AE＝AF，
过A作AH⊥C'D'，
∵FC'⊥C'D'，ED'⊥C'D'，
∴FC'∥AH∥ED'，
∴C'H＝D'H，
∵AH⊥C'D'，
∴AC'＝AD'，
∴△AC′D′是等腰三角形；
（3）如图1，S△C'D'A＝1
2
AH•C'D'＝
1
2
×4C′D′＝2C'D'，
当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，
如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，由折叠得：BC＝BC'＝6，∠C＝∠C'＝90°，
∵AB＝4，
∴AC'＝6−4＝2，
△AC′D′面积的最小值＝1
2
•AC′•C′D′＝
1
2
×2×4＝4．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定及性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用折叠得：∠FBE＝∠CBE；（2）得△BEF是等边三角形；（3）确定当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小．本题属于中档题，难度不大，解决该类型题目时，根据图形的翻折找出相等的边角关系是关键．
20．（1）30；（2）y＝5x＋15．（3）①35；②见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意列式解答即可；
（2）根据飞机油耗5t/h可得y与x的关系式；
（3）①根据题意列式解答即可；
②根据题意画图即可．
【详解】
解：（1）客机飞3h的航班，需加油3×5+（135-120）=30t．
故答案为：30；
（2）根据飞机油耗5t/h可得：y=5x+15．
故答案为：y=5x+15；
（3）①客机应放油：5×（11-2×2）=35（t）．
故答案为：35；②如图所示，
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据数量关系，找出函数关系式．
21．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BD，则P点和BD与⊙O的交点的延长线与AB的交点即为E点；
（2）连接BD ，则O 点和BD 与⊙O 的交点的延长线与BC 的交点即为Q 点．
【详解】
解：（1）如图1，CE 为所；
（2）如图2，PQ 为所作．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定和菱形的性质．
22．（1）见解析；①点P 的坐标为（－2，2）或（1，
12），②存在，当CD ⊥AB 时，点D 到直线AB 的距离最大，最大距离为
【解析】
【分析】
(1)联立y ＝kx ＋2k ＋4与y ＝
12x 2，得到22(48)0x kx k --+=，再利用根的判别式求解即可;(2) ①设P （m ，12
m 2），联立直线方程和抛物线方程，求得A ，B 的坐标，|AB|的长，运用点到直线的距离公式，解得即可得到所求P 的坐标；②设A （x 1，12 x 12），B （x 2，12 x 22），D （t ，12
t 2），利用△ADE ∽△DBF ，得出AE·BF＝DE·DF，再利用垂线段最短得出结果即可.
【详解】
（1）由22412y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩
得22(48)0x kx k --+= ∵2
=44(48)k k ∆++
=24k +16k+32
=24k +k+-+（44）1632
=24k++16（2） ∵2
(2)0k +≥
∴直线与抛物线有两个不同的交点.
（2）当k ＝－
12时，直线AB 的解析式为y ＝－12
x ＋3 令－12x ＋3＝12x 2，即x 2＋x －6＝0，解得x 1＝－3，x 2＝2 ∴点A 的横坐标为－3，点B 的横坐标为2
过点P 作PQ ∥y 轴交直线AB 于点Q
设P （m ，
12 m 2），则Q （m ，－12
m ＋3） ∴PQ ＝－12m ＋3－12m 2 ∵S △ABP ＝5， ∴12 (2＋3)(－12m ＋3－12
m 2)＝5 整理得：m 2＋m －2＝0，解得m 1＝－2，m 2＝1
∴点P 的坐标为（－2，2）或（1，
12） （3）设A （x 1，12 x 12），B （x 2，12 x 22），D （t ，12
t 2） 联立22412y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩
消去y 得：x 2－2kx －4k －8＝0 ∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－4k －8
过点D 作EF ∥x 轴，分别过点A 、B 作y 轴的平行线，交EF 于点E 、
F
则DE ＝t －x 1，AE ＝12x 12－12t 2，DF ＝x 2－t ，BF ＝12x 22－12
t 2 由∠ADB ＝90°，可得△ADE ∽△DBF ∴
AE DF DE BF
=，即AE·BF＝DE·DF ∴(12x 12－12t 2)( 12 x 22－12t 2)＝(t －x 1)(x 2－t) ∴t 2＋(x 1＋x 2)t ＋x 1x 2＋4＝0
∴t2＋2kt－4k－4＝0，即2k(t－2)＋t2－4＝0
当t－2＝0，即t＝2时，上式对任意实数k均成立
即点D的坐标与k无关，∴D（2，2）
连接CD，∵C（－2，4），∴CD＝
过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DH≤CD
当CD⊥AB时，点D到直线AB的距离最大，最大距离为
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，联立一次函数与二次函数解析式成方程组求出交点坐标是解题的关键．
23．（1）甲每天修路1.8千米，则乙每天修路1.2千米；（2）甲工程队至少修路8天
【解析】
【分析】
（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.6）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；
（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．
【详解】
（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.6）千米，
根据题意，可列方程：
1818
1.5
0.6
x x
⨯=
-
，
解得x＝1.8，
经检验x＝1.8是原方程的解，且x﹣0.6＝1.2，
答：甲每天修路1.8千米，则乙每天修路1.2千米；（2）设甲修路a天，则乙需要修（18﹣1.8a）千米，
∴乙需要修路18 1.8
1.2
a
-
＝15﹣1.5a（天），
由题意可得0.6a+0.5（15﹣1.5a）≤6.3，
解得a≥8，
答：甲工程队至少修路8天．
【点睛】
本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量（或不等）关系是解题的关键，注意。