棱柱、棱锥、棱台的结构特征 课件
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答案:A
反思感悟棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特 征的关键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定 义,再看它们是否具备各自的性质:侧面、底面形状、侧棱、棱之 间的关系等.判断时要充分发挥空间想象能力,必要时可借助于几 何模型.
多面体的表面展开与折叠 【例2】 如图是三个几何体的表面展开图,请问它们是什么几何 体?
提示:(1)区别:该几何体有两个面相互平行而棱锥没有. (2)联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间 的部分即为该几何体.
2.观察下面的几何体是否为棱台?为什么? 提示:不是.因为延长各侧棱不能还原成棱锥.
3.关于棱台的定义、分类、图形及表示,请填写下表:
棱台
图形及表示
定 义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥,底面与截面之间的部分,这样的多面 体叫做棱台
图形及表示
有两个面互相平行,其余各面都是四边
定 形,并且每相邻两个四边形的公共边都
义 互相平行,由这些面所围成的多面体叫 做棱柱
相 底面(底):两个互相平行的面;
关 侧面:其余各面;
概 侧棱:相邻侧面的公共边;
念 顶点:侧面与底面的公共顶点
分 类
①依据:底面多边形的边数; ②举例:三棱柱(底面是三角形)、四棱
是棱柱,
是棱台(仅填相应序号).
是棱锥,
解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱 锥,⑤是棱台.
答案:①③④ ⑥ ⑤
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)棱柱的侧面都是平行四边形. ( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.
A.0个 B.1个 C.3个D.4个
思路分析:所给命题→联想空间图形→紧扣棱柱、棱锥、棱台的 结构特征→作出判断
解析:①错误,底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行,
但不能作为底面;
②错误,如图所示的几何体各面均为三角形,但不是三棱锥;
③错误,因为不能保证侧棱相交于同一点; ④错误,四棱锥只有一个顶点,就是各侧面的公共顶点.
解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点,直观感觉是棱台, 而不注重逻辑推理.
正解:①正确,因为有六个面,属于六面体的范围;②错误,因为侧棱 的延长线不能交于一点,所以不正确;③正确,如果把几何体放倒就 会发现是一个四棱柱;④⑤都正确,如图.故填①③④⑤.
答案:①③④⑤
防范措施在解答关于空间几何体概念的判断题时,要注意紧扣定 义,切忌只凭图形主观臆断.同时立体几何问题中也要注意分类讨 论思想的应用,否则就会因审题片面而出错.
提示:(1)有两个面相互平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)其余 各面中每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
2.有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定 是棱柱吗?举例说明.
提示:不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.
3.关于棱柱的定义、分类、图示及其表示,请填写下表:
棱柱
延伸探究如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两 条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端 点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在 A,B之间的最短绳长.
解:作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是 线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之 间最短的绳长为5.
柱、锥、台结构特征判断中的误区 【典例】如图,以下关于几何体的正确说法是 号).
(填序
①这是一个六面体;②这是一个四棱台;③这是一个四棱柱;④此 几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;⑤此几何体可由四棱柱截
去一个三棱柱得到.
错解直观感觉是棱台,易误判②正确;忽视图形的多样性,易误判 ④或⑤错误.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、空间几何体的定义、分类及相关概念 问题思考
1.观察下面两组物体,你能说出各组物体的共同点吗?
(1)
(2) 提示:(1)几何体的表面由若干个平面多边形组成. (2)几何体的表面可由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋 转而成.
2.如图,观察几何体,它有几个面?几个顶点?几条棱?有没有比它 的面、顶点、棱更少的几何体?
多面体表面距离最短问题 【例3】 如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4, ∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小 值.
思路分析:把三棱锥的侧面展开,当△AEF的各边在同一直线上时, 其周长最小.
解:将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,
相 关 概 念
上底面:原棱锥的截面; 下底面:原棱锥的底面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
如图棱台可记作:棱 台
分 类
①依据:由几棱锥截得; ②举例:三棱台(由三棱锥截得)、四棱台
(由四棱锥截得)……
ABCD-A'B'C'D'
4.做一做:下列几何体中,
() (3)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台. ( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
棱柱、棱锥、棱台的结构特征 【例1】 下列四个命题中,正确的有( )
①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面;②各个面都是三角 形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰 梯形的六面体是棱台;④四棱锥有4个顶点.
如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,
∴AA1=4√2, ∴△AEF 周长的最小值为 4√2.
反思感悟本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归 结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先 把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解.
思路分析:几何体的侧面展开图的特点→紧扣概念→还原为原几 何体
解:①五棱柱;②五棱锥;③三棱台.如图所示.
反思感悟1.解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想 象能力和动手能力.
2.若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先 把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面.
3.若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开 的,则可把上述过程逆推.
提示:4个面,4个顶点,6条棱.没有比它的面、顶点、棱更少பைடு நூலகம்几 何体.
3.填空: 空间几何体的定义及分类 (1)定义:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么 由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体. (2)分类:常见的空间几何体有多面体与旋转体两类.
4.填写下表: 类别 多面体
定义
由若干个平面多边形 围成的几何体
旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内 的一条定直线旋转所形成的封闭 几何体
图形
类别
相关 概念
多面体
面:围成多面体的各个 多边形; 棱:相邻两个面的 公共边; 顶点:棱与棱的 公共点
旋转体 轴:形成旋转体所绕的定直线
二、棱柱的结构特征 问题思考
1.观察下列多面体,有什么共同特点?
相 关 概 念
底面(底):多边形面;侧面:有公共顶点的 各个三角形面;侧棱:相邻侧面的公共 边;顶点:各侧面的公共顶点
如图棱锥可记作:棱
分 类
①依据:底面多边形的边数;②举例:三
棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四 边形)……
锥 S-ABCD
四、棱台的结构特征 问题思考
1.观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?
柱(底面是四边形)……
如图棱柱可记作: 棱柱 ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
三、棱锥的结构特征 问题思考
1.观察下列多面体,有什么共同特点?
提示:(1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是有一个公共顶点的 三角形.
2.关于棱锥的定义、分类、图形及表示,请填写下表:
棱锥
图形及表示
定 义
有一个面是多边形,其余各面都是有一 个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的多面体叫做棱锥
反思感悟棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特 征的关键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定 义,再看它们是否具备各自的性质:侧面、底面形状、侧棱、棱之 间的关系等.判断时要充分发挥空间想象能力,必要时可借助于几 何模型.
多面体的表面展开与折叠 【例2】 如图是三个几何体的表面展开图,请问它们是什么几何 体?
提示:(1)区别:该几何体有两个面相互平行而棱锥没有. (2)联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间 的部分即为该几何体.
2.观察下面的几何体是否为棱台?为什么? 提示:不是.因为延长各侧棱不能还原成棱锥.
3.关于棱台的定义、分类、图形及表示,请填写下表:
棱台
图形及表示
定 义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥,底面与截面之间的部分,这样的多面 体叫做棱台
图形及表示
有两个面互相平行,其余各面都是四边
定 形,并且每相邻两个四边形的公共边都
义 互相平行,由这些面所围成的多面体叫 做棱柱
相 底面(底):两个互相平行的面;
关 侧面:其余各面;
概 侧棱:相邻侧面的公共边;
念 顶点:侧面与底面的公共顶点
分 类
①依据:底面多边形的边数; ②举例:三棱柱(底面是三角形)、四棱
是棱柱,
是棱台(仅填相应序号).
是棱锥,
解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱 锥,⑤是棱台.
答案:①③④ ⑥ ⑤
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)棱柱的侧面都是平行四边形. ( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.
A.0个 B.1个 C.3个D.4个
思路分析:所给命题→联想空间图形→紧扣棱柱、棱锥、棱台的 结构特征→作出判断
解析:①错误,底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行,
但不能作为底面;
②错误,如图所示的几何体各面均为三角形,但不是三棱锥;
③错误,因为不能保证侧棱相交于同一点; ④错误,四棱锥只有一个顶点,就是各侧面的公共顶点.
解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点,直观感觉是棱台, 而不注重逻辑推理.
正解:①正确,因为有六个面,属于六面体的范围;②错误,因为侧棱 的延长线不能交于一点,所以不正确;③正确,如果把几何体放倒就 会发现是一个四棱柱;④⑤都正确,如图.故填①③④⑤.
答案:①③④⑤
防范措施在解答关于空间几何体概念的判断题时,要注意紧扣定 义,切忌只凭图形主观臆断.同时立体几何问题中也要注意分类讨 论思想的应用,否则就会因审题片面而出错.
提示:(1)有两个面相互平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)其余 各面中每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
2.有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定 是棱柱吗?举例说明.
提示:不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.
3.关于棱柱的定义、分类、图示及其表示,请填写下表:
棱柱
延伸探究如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两 条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端 点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在 A,B之间的最短绳长.
解:作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是 线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之 间最短的绳长为5.
柱、锥、台结构特征判断中的误区 【典例】如图,以下关于几何体的正确说法是 号).
(填序
①这是一个六面体;②这是一个四棱台;③这是一个四棱柱;④此 几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;⑤此几何体可由四棱柱截
去一个三棱柱得到.
错解直观感觉是棱台,易误判②正确;忽视图形的多样性,易误判 ④或⑤错误.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、空间几何体的定义、分类及相关概念 问题思考
1.观察下面两组物体,你能说出各组物体的共同点吗?
(1)
(2) 提示:(1)几何体的表面由若干个平面多边形组成. (2)几何体的表面可由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋 转而成.
2.如图,观察几何体,它有几个面?几个顶点?几条棱?有没有比它 的面、顶点、棱更少的几何体?
多面体表面距离最短问题 【例3】 如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4, ∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小 值.
思路分析:把三棱锥的侧面展开,当△AEF的各边在同一直线上时, 其周长最小.
解:将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,
相 关 概 念
上底面:原棱锥的截面; 下底面:原棱锥的底面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
如图棱台可记作:棱 台
分 类
①依据:由几棱锥截得; ②举例:三棱台(由三棱锥截得)、四棱台
(由四棱锥截得)……
ABCD-A'B'C'D'
4.做一做:下列几何体中,
() (3)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台. ( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
棱柱、棱锥、棱台的结构特征 【例1】 下列四个命题中,正确的有( )
①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面;②各个面都是三角 形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰 梯形的六面体是棱台;④四棱锥有4个顶点.
如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,
∴AA1=4√2, ∴△AEF 周长的最小值为 4√2.
反思感悟本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归 结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先 把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解.
思路分析:几何体的侧面展开图的特点→紧扣概念→还原为原几 何体
解:①五棱柱;②五棱锥;③三棱台.如图所示.
反思感悟1.解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想 象能力和动手能力.
2.若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先 把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面.
3.若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开 的,则可把上述过程逆推.
提示:4个面,4个顶点,6条棱.没有比它的面、顶点、棱更少பைடு நூலகம்几 何体.
3.填空: 空间几何体的定义及分类 (1)定义:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么 由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体. (2)分类:常见的空间几何体有多面体与旋转体两类.
4.填写下表: 类别 多面体
定义
由若干个平面多边形 围成的几何体
旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内 的一条定直线旋转所形成的封闭 几何体
图形
类别
相关 概念
多面体
面:围成多面体的各个 多边形; 棱:相邻两个面的 公共边; 顶点:棱与棱的 公共点
旋转体 轴:形成旋转体所绕的定直线
二、棱柱的结构特征 问题思考
1.观察下列多面体,有什么共同特点?
相 关 概 念
底面(底):多边形面;侧面:有公共顶点的 各个三角形面;侧棱:相邻侧面的公共 边;顶点:各侧面的公共顶点
如图棱锥可记作:棱
分 类
①依据:底面多边形的边数;②举例:三
棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四 边形)……
锥 S-ABCD
四、棱台的结构特征 问题思考
1.观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?
柱(底面是四边形)……
如图棱柱可记作: 棱柱 ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
三、棱锥的结构特征 问题思考
1.观察下列多面体,有什么共同特点?
提示:(1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是有一个公共顶点的 三角形.
2.关于棱锥的定义、分类、图形及表示,请填写下表:
棱锥
图形及表示
定 义
有一个面是多边形,其余各面都是有一 个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的多面体叫做棱锥