高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编含答案

【最新】数学《空间向量与立体几何》复习资料
一、选择题
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
643
π B ．8316π
π+
C ．28π
D ．8216π
π+
【答案】B 【解析】 【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l πππππ=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=+，故选B ． 【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A．3
4
B．
7
8
C．
15
16
D．
23
24
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE
-，
该几何体的体积为
11117 111
32228
⎛⎫
-⨯⨯+⨯⨯=
⎪
⎝⎭
故选B
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为()
A ．
132
π
B ．7π
C ．
152
π
D ．8π
【答案】B 【解析】 【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可． 【详解】
由题意可知：几何体是一个圆柱与一个1
4
的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2， 可得：该几何体的表面积为：
221
41212274
ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=．
故选：B ． 【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
4．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（ ）
A ．66立方尺
B ．78立方尺
C ．84立方尺
D ．92立方尺
【答案】C 【解析】 【分析】
如图，在DC ，EF 上取G ，H ，使得DG EH AB ==，连接BG ，BH ，GH ，
CH ，
ADE BGH B CGHF V V V --=+，计算得到答案.
【详解】
如图，在DC ，EF 上取G ，H ，使得DG EH AB ==，连接BG ，BH ，GH ，
CH ，
故多面体的体积11
()7332
ADE BGH B CGHF V V V S AB CG HF --=+=⋅+⨯
+⨯⨯直截面 111
736(42)7384232=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了几何体体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
5．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．920π+
B ．926π+
C ．520π+
D ．526π+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2
1
12141222
S ππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C. 【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
6．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )
A ．
92
B ．
2
2
C ．32
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案． 【详解】
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABC DEF -，所得的组合体，
其截面是一个梯形BCFE ， 22112+=22222+=
22232
2(
)2+=
故截面的面积1329
(222)222
S =⨯=， 故选：A ． 【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点.若AM ⊥平面α，且
B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（ ）
A ．3225
B ．442+
C ．2225
D ．62【答案】A 【解析】 【分析】
根据线面垂直确定平面α，再根据截面形状求周长. 【详解】
显然在正方体中BD ⊥平面11ACC A ,所以BD ⊥ AM ,
取AC 中点E, 取AE 中点O,则11
tan tan AOA ACM AO AM ∠=∠∴⊥, 取A 1C 1中点E 1, 取A 1E 1中点O 1,过O 1作PQ//B 1D 1,分别交A 1B 1,A 1D 1于P ,Q 从而AM ⊥平面BDQP ,四边形BDQP 为等腰梯形， 周长为22222123225+= A.
【点睛】
本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题.
8．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒
∠=∠=，则异
面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A 3
B ．
66
C 3
D ．
36
【答案】B 【解析】 【分析】
设1AA c
=u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v
，即可得所
求角的余弦值. 【详解】
设棱长为1，1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
由题意得：12a b ⋅=v v ，12b c ⋅=v v ，12
a c ⋅=v v
1AB a c =+u u u v v v Q ，11BC BC BB b a c =+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v
()()
221111
11122
AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v v v v v v v v v v v v v v
又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=u u u v v v v v v v
(
)
2
22212222BC b a c
b a
c a b b c a c =
-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u v
v v v v v v v v v v v v
111111
6
cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅u u u v u u u u v
u u u v u u u u v u u u v u u u u v
即异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：66
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转
化为向量夹角的求解问题.
9．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）
A．2对B．3对
C．4对D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
-，易证平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面
画出该几何体的直观图P ABCD
PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PCD，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD⊥平面ABCD，
作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，
又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，
所以平面PCD⊥平面PAD，
同理可证：平面PAB⊥平面PAD，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，
所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB⊥平面PCD，
所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）
A ．30
B ．230
C ．
27
D ．
47
【答案】B 【解析】 【分析】
在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值. 【详解】
如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD
//DN BM Q ，1//DQ A M 且DN DQ D =I ，1BM A M M =I
∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）
又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值
此时，22512CP ==+ 2
212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.
11．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴
和
没有公共点，∴
，即
能得到
；∴“
”是“
”的必要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于
，而
，
并且
，显然能得到
，这样即可找出正确选项.
12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则
sin α的最大值为（ ）．
A ．
22
B 25
C 26
D 26
【答案】B 【解析】 【分析】
连接EF ，可证平行四边形EFGH 为截面，由题意可找到1A M 与平面1111D C B A 所成的角，进而得到sinα的最大值. 【详解】
连接EF ，因为EF//面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH//BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH//EF,连接EH ，FG,则平行四
边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH-FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N ∠=α，因为sinα=1MN
A M
,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H =25, 故选B
【点睛】
本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.
13．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为
6的等腰直角三角形，若三棱锥D ABC -体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．100π
D ．144π
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥D ABC -的外接球的半径，代入表面积公式求解．
【详解】
解：如图，
ABC ∆是斜边BC 长为6的等腰直角三角形，则当D 位于直径的端点时，三棱锥D ABC -体积取最大值为27，
由AB AC =，AB AC ⊥，6BC =，可得斜边BC 上的高3AE =，32AB AC ==
由1132322732DE ⨯⨯⨯⨯=，解得9DE =， 则21AE EF DE ==． ∴球O 的直径为10DE EF +=，
则球O 的半径为11052
⨯=． ∴该球的表面积为245100S ππ=⨯=．
故选C ．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A ．若，与所成的角相等，则
B ．若，，则
C ．若
，，则 D ．若
，，则 【答案】C
【解析】
试题分析：若，与所成的角相等，则
或，相交或，异面；A 错. 若，
，则或，B 错. 若，，则正确. D ．若，，则 ，相交或，异面，D 错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
15．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A B 的中点，则AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）
A 5
B 25
C ．1010
D ．1510
【答案】D
【解析】
【分析】
先找出直线AD 与平面11BCC B 所成角，然后在1B EF V 中，求出1sin EB F ∠，即可得到本题答案.
【详解】
如图，取AB 中点E ，作EF BC ⊥于F ，
连接11,B E B F ，则1EB F ∠即为AD 与平面11BCC B 所成角.
不妨设棱长为4，则1,2BF BE ==，
13,25EF B E ∴=1315sin 10
25EB F ∴∠=
=. 故选：D
【点睛】 本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.
16．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）
A ．9:32
B ．8:27
C ．9:22
D ．9:28
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r 的关系，从而得到圆锥的高与r 关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R 与r 间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ， 侧面积与底面积的比为
2πrl 2l r r π==,则母线l=2r,圆锥的高为223l r r -=, 则圆锥的体积为2313πh 3r r =, 设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则3r R -,BD=r, 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+,即)2
223R r r R =+-, 展开整理得,3所以外接球的体积为3
3344333393
R ππ==,
故所求体积比为
333933232
93
r r ππ= 故选：A
【点睛】
本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.
17．四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M 、N 分别为PA 、CD 的中点，下列说法错误的是（ ）
A ．MN 与PD 是异面直线
B ．//MN 平面PB
C C ．//MN AC
D ．MN PB ⊥
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A 、B 、C 的正误，由线线垂直可判断选项D ．
【详解】
由题意可知四棱锥P ABCD -所有棱长都相等， M 、N 分别为PA 、CD 的中点，MN 与PD 是异面直线，A 选项正确；
取PB 的中点为H ，连接MH 、HC ，
四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴且AB CD =，
M Q 、H 分别为PA 、PB 的中点，则//MH AB 且12
MH AB =， N Q 为CD 的中点，//CN MH ∴且CN MH =，则四边形CHMN 为平行四边形， //MN CH ∴，且MN ⊄平面PBC ，CH ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，B 选项正确；
若//MN AC ，由于//CH MN ，则//CH AC ，事实上AC CH C ⋂=，C 选项错误； PC BC =Q ，H 为PB 的中点，CH PB ∴⊥，//MN CH Q ，MN PB ∴⊥，D 选项正确.
故选：C ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及直线与平面的平行与垂直的位置关系的判断，是中档题.
18．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．64
B ．643
C ．16
D ．163
【答案】D
【解析】
根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积
12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433
V =⨯⨯=，故选D.
19．在空间中，下列命题正确的是
A ．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等
B ．两条异面直线所成的有的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
D ．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两个角可能互补判断A ；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B ；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C ；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D.
【详解】
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A 不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B 不正确；
根据两个平面平行的性质定理知C 正确；
如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D 不正确,综上可知只有C 的说法是正确的,故选C.
【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，本题是一个概念辨析问题.
20．设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则（ ） A ．若//αβ，则//l m
B ．若//m a ，则//αβ
C ．若m α⊥，则αβ⊥
D ．若αβ⊥，则//l m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案.
【详解】
A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确.
B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.
C. 若m α⊥，由m β⊂，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确. D 若αβ⊥，且l α⊂，m β⊂，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确.
【点睛】
本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基
础题.。