第二章(2)--关系代数
关系代数
第二章关系代数教学目的：本章实际上研究的是关系的运算。
学习目的：关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。
通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。
了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学方法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。
同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。
1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
关系操作分为两大部分如图所示。
2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。
而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。
关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ；(2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。
3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。
关系数据库关系代数运算
• 是一种抽象的查询语言
SQL
• 介于关系代数和关系演算之间 • 集DDL、DML和DCL一身的关系数据语言
2.2 关系数据结构的形式化定义
关系模型建立在集合代数基础上，从集合论角度讨论 关系的形式化定义
定义1：域(Domain)－形式化表示为D
• 一组具有相同数据类型的值的集合，如整数、实数等。定义
张三 女
802
李四 男
803
王五 男
804
赵六 女
805
钱七 男
01
19
01
20
01
20
02
20
02
19
专业号 01 02 03
专业名 信息 数学 计算机
关系间的引用
例2 学生、课程、学生与课程之间的多对多联系
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 课程（课程号，课程名，学分） 选修（学号，课程号，成绩）
外码说明
关系R和S不一定是不同的关系 目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必
须定义在同一个（或一组）域上 关于取名
外码并不一定要与相应的主码同名 当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取
相同的名字，以便于识别
参照完整性举例
例１：学生实体与专业实体间的关系： 外码 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 专业（专业号，专业名）
04
90
04
88
关系间的引用
例3 学生实体及其内部的领导联系(一对多)
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
学号
801 802 803 804 805
姓名
张三 李四 王五 赵六 钱七
性别
女 男 男 女 男
《关系代数表达式》课件
投影操作：从关系中选择出 某些属性列
自然连接：在连接操作中选择 公共属性相同的元组进行连接
笛卡尔积：将两个关系进行交 叉连接，生成所有可能的元组
组合
集合操作：对关系进行并、 交、差等集合运算
内连接：返回两个表中满足连接条件的行 外连接：返回两个表中满足连接条件的行，以及不满足连接条件的行 自然连接：返回两个表中满足连接条件的行，并自动去除重复的列 交叉连接：返回两个表中所有行的笛卡尔积
WHERE语句：对应于 关系代数中的限制操作
HAVING语句：对应于 关系代数中的选择操作
JOIN语句：对应于关 系代数中的连接操作
INTERSECT语句：对应 于关系代数中的交操作
使用索引：提高查询效率，减少扫描数据量
避免使用子查询：子查询效率较低，可以使用连接查询代替
避免使用NOT IN和NOT EXISTS：使用LEFT JOIN或NOT EXISTS代替
●
FROM子句：用于指定要查询的数据表
●
WHERE子句：用于指定查询条件
●
GROUP BY子句：用于对查询结果进行分组
●
HAVING子句：用于对分组后的结果进行筛选
●
ORDER BY子句：用于对查询结果进行排序
●
LIMIT子句：用于限制查询结果的数量
●
JOIN子句：用于连接多个数据表进行查询
●
UNION子句：用于合并多个查询结果集
集合运算 （∪，∩， -）：先集 合运算后 投影和选 择
比较运算 （=，≠， <，>，≤， ≥）：先 比较运算 后投影和 选择
算术运算 （+，-， *，/）： 先算术运 算后投影 和选择
《关系代数》课件
数据整合
03
关系代数可以用于处理多表之间的数据整合，通过连接操作将
不同表中的相关数据进行整合。
关系数据库查询语言SQL与关系代数
SQL与关系代数的关联
关系代数是SQL查询语句的底层运算模型，许多SQL查询语句可以 通过关系代数进行解释和优化。
SQL查询的转换
将复杂的SQL查询语句转换为关系代数形式有助于分析和优化查询 性能。
吸收律
关系代数中的两个运算满足吸收 律，即一个运算与另一个运算的 结合结果等于它们与第三个运算 的结合结果的组合。
单位元
关系代数中存在一个特殊的元素 ，称为单位元，它与任何元素的 运算结果都等于该元素本身。
关系代数的等价关系
等价关系
在关系代数中，如果两个元素经过一 系列的有限次变换可以相互转换，则 它们是等价的。
数据整合与集成
关系代数在大数据处理中可以发挥重要作用，通过整合不同来源的 数据，实现数据的集成和统一管理。
高效查询处理
关系代数能够提供高效的查询处理能力，支持大规模数据的快速查 询和分析。
数据挖掘与知识发现
关系代数可以用于数据挖掘和知识发现，通过关联规则挖掘、聚类分 析等手段，发现数据之间的潜在联系和规律。
关联规则学习
通过关系代数的投影和选择操作，可以快速发现数据集中的关联规则，用于市场篮子分 析、推荐系统等。
聚类分析
关系代数中的分组和除法操作有助于对数据进行聚类分析，将相似的数据点归为一组， 用于分类和识别。
关系代数在信息检索中的应用
信息筛选与提取
关系代数能够快速提取出满足特定条件的信 息，如关键词匹配、时间序列分析等，提高 信息检索的效率和准确性。
关系代数
目录
24 关系代数
2.4 关系代数--------------------------------------------------------------------- 关系代数是一组施加于关系上的高级运算，每个运算都以一个或多个关系作为它的运算对象，并生成另一个关系作为该运算的结果。
由于它的运算直接施加于关系之上而且其运算结果也是关系，所以也可以说它是对关系的操作；从数据操作的观点来看，也可以说关系代数是一种查询语言。
---------------------------------------------------------------------关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是用对关系的运算来表达查询的。
任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要素。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
关系代数用到的运算符包括四类:集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符，如表2·4所示。
关系代数的运算按运算符的不同可分为传统的集合运算和专门的关系运算两类。
其中传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的"水平"方向即行的角度来进行。
而专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列。
比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关系运算符进行操作的。
2.4.1 传统的集合运算传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、广义笛卡尔积四种运算。
设关系R和关系S具有相同的目n(即两个关系都有n个属性)，且相应的属性取自同一个域，则可以定义并、差、交运算如下:1.并 (Union)关系R与关系S的并记作:R ∪ S = {t|t∈R ∨ t∈S}其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。
(注:等式右边大括号中的t是一个元组变量,表示结果集合由元组t构成。
竖线“|”右边是对t约束条件,或者说是对t的解释。
关系代数
b
e e
c
d d
e
c c
e
c e
f
d f
④ 交
具有相同属性集的两个关系R1, R2的相交，是由既属于R1又属于R2的所
有元组t组成的一个新的关系，新关系
具有和R1相同的属性名集合。 运算符："∩" 记为： R1 ∩ R2
R∩S R-S S-R R∩S =R-(R-S) R∩S =S-(S-R)
例如
① 计算R╳S
② 设R和S的公共属性是A1，A2，…AK，挑 选R╳S中满足R.A 1=S.A 1 ，R.A 2 =S.A 2 ，…， R.AK=S.AK的那些元组
③ 从R╳S结果中去掉S.A1，S.A2，…S.AK 这些列
36
自然联接与等值联接的区别：
（1）在做自然联接的两个关系中，要 求值相等的属性名也必须相等，而在等 值联接中不要求值相等的属性名相等。 （2）在自然联接的结果中，去掉重复 的属性名，而在等值联接的结果中不去 掉重复的属性名。 ★若两个关系没有公共属性，则其自然 联接就转化为笛卡尔积操作。
5
5 6 6 8
b2
b3 b2 b3 b3
7
10 7 10 10
33
等值联结 R
A
R.B=S.B
S
C S.B E
R.B
a1
a1 a2 a2
b1
b2 b3 b3
5
6 8 8
b1
b2 b3 b3
3
7 10 2
34
自然连接 R
A
a1
S
B
b1
C
5
E
3
a1
a2
b2
b3
关系代数——精选推荐
关系代数第⼆章关系代数教学⽬的：本章实际上研究的是关系的运算。
学习⽬的：关系运算是设计关系数据库操作语⾔的基础，因为其中的每⼀个询问往往表⽰成⼀个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是⽤关系表⽰的，所以实现数据间的联系也可以⽤关系运算来完成。
通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何⽤关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何⽤元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何⽤域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。
了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡⼉积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡⼉积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡⼉积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡⼉积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学⽅法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是⼀种简单的⼆维表格结构，每个⼆维表称做⼀个关系，⼀个⼆维表的表头，即所有列的标题称为⼀个元组，每⼀列数据称为⼀个属性，列标题称估属性名。
同⼀个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。
1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
关系操作分为两⼤部分如图所⽰。
2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。
⽽⾮关系数据模型的数据操作⽅式则为⼀次⼀个记录的⽅式。
关系数据语⾔分为三类： (1)关系代数语⾔：如ISBL ；(2)关系演算语⾔：分为元组关系演算语⾔(如Alpha ，Quel)、域关系演算语⾔(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语⾔：如SQL 。
3．关系数据结构及其形式化定义（1）域定义域是⼀组具有相同数据类型的值的集合。
第2章关系模型与关系代数
关系完整性约束条件
实体完整性
若属性集A是关系r的主码，则A不能取空值null。
例如，关系Student，由于studentNo是关系 Student的主码，因此它在任何时候的取值都 不能为空值null，但其他属性如sex、 birthday、speciality等都可以取空值，表示 当时该属性的值未知或不存在。
不能重复出现的所有域的所有取值的一个组合。
关系数据结构的形式化定义
▪其中，集合中的每一个元素(d1, d2, …, dn)称为一个n元组, 简称为元组；元素中 的每一个值di称为一个分量。
若Di（i=1，2，…，n）为有限集，其 基数（Cardinal Number，此域中所有 可取值的个数）为mi（i=1，2，…， n），则笛卡尔积的基数M为：
关系是笛卡尔积的有限子集，所以关系也是一个 二维表, 表的每行对应于关系的一个元组，表的 每列对应于关系的一个域。由于域可以相同，为 了区别就必须给每列起一个名字，称为属性 (attribute)。n目关系共有n个属性。
n
M mi i 1
关系数据结构
关系的最基本要求： 关系中的每个属性的域必须是原子的，即域中 的每个值都是不可再分的一个完整单元。 关系中的每个元组都是可区分的，即存在唯一 标识不同元组的属性(集)——码。
关系数据库系统是支持关系数据模型的数据库系统。 关系数据库管理系统是当今的主流数据库管理系统。
关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关 系完整性约束三部分组成。
关系数据结构
关系
关系模型的数据结构非常简单，它就是二维表， 亦称为关系 。
关系数据库是表的集合，即关系的集合。 表是一个实体集，一行就是一个实体，它由共
n
M mi i 1
关系代数知识点总结
关系代数知识点总结一、基本概念1. 关系在关系代数中，关系是元素的集合。
在数据库中，关系通常是二维表格，每一行代表一个元组，每一列代表一个属性。
例如，一个包含学生信息的关系可以包括学生的学号、姓名、年龄等属性。
关系可以表示为R(A1, A2, …, An)，其中R是关系的名称，A1, A2, …, An是关系的属性。
2. 元组在关系中，元组是一个有序的元素序列，其中每个元素对应关系的一个属性。
在对关系进行操作时，我们通常需要操作整个元组或者选取符合特定条件的元组。
3. 属性关系的每一列都是一个属性，用来描述元组的特定信息。
属性可以有不同的数据类型，例如整数、字符、日期等。
在数据库中，属性通常用来对关系进行分类和索引。
4. 关系键关系键是一组属性的集合，用来唯一确定关系中的元组。
在数据库中，关系键通常用来在关系中快速定位元组，以及对关系进行连接操作。
5. 关系模式关系模式是关系的结构描述，它包括了关系的名称、属性以及属性的数据类型等信息。
通过关系模式，我们可以了解一个关系的结构和特性。
6. 域在关系代数中，域指的是关系的属性值的集合。
每个属性都有自己的域，例如整数属性的域包括所有整数，而日期属性的域包括所有日期。
二、基本操作在关系代数中，有一系列基本的操作，包括选择、投影、连接、并集、差集和笛卡尔积等。
这些操作可以对关系进行组合和转换，从而实现对数据的查询和处理。
1. 选择选择操作是从关系中选择满足特定条件的元组。
例如，我们可以对一个包含学生信息的关系进行选择操作，找出所有年龄大于20岁的学生。
投影操作是从关系中选取特定的属性。
例如，我们可以对一个包含学生信息的关系进行投影操作，只选取学生的姓名和年龄属性。
3. 连接连接操作是将两个关系进行连接，通常是通过他们的共同属性进行连接。
例如，我们可以将一个包含学生信息的关系和一个包含课程信息的关系进行连接，获取学生选修课程的信息。
4. 并集并集操作是将两个关系进行合并，得到一个包含两个关系所有元组的新关系。
关系代数思维导图
R和S必须同类型（属性集相同、次序相同，但属 性名可以不同）
从关系R中选择若干属性组成新的关系
投影Projection(π)
πA1,A2,…,An(R),表示从R中选择属性集A1,A2,…, An组成新的关系
列的运算
投影运算的结果中,也要去除可能的重复元组
广义笛卡儿积(×)
关系R、S的广义笛卡儿积是两个关系的元组对的 集合所组成的新关系
θ是一个关于属性集的比较运算符 θ为“＝”的连接运算称为等值连接。
从R×S的结果集中，选取在某些公共属性上具有 相同值的元组，组成新的关系
R、S的公共属性
属性集的交集（名称及类型相同）
公共属性在结果中只出现一次
等值连接
给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X, Y, Z为属性 组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但 必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新 的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属 性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含 S在Y上投影的集合。
关系代数—除( ÷ )
R÷S = {tr[X]| tr∈R∧πy (S)Yx} 其中Yx为x在R中的象集，x=tr[X]。
例子
R×S：
属性是R和S的组合（有重复）
元组是R和S所有元组的可能组合
是R、S的无条件连接，使任意两个关系的信息能 组合在一起
从关系R中选择符合条件的元组构成新的关系
选择Selection(σ)
σC(R),表示从R中选择满足条件(使逻辑表达式C 为真)的元组
条件连接(θ) 自然连接
行的运算
从R×S的结果集中，选取在指定的属性集上满足 AθB条件的元组，组成新的关系
并Union (∪)
第二章关系代数2
式使用的是元组变量，而域关系演算表达式中使用的是域变
量（即以属性列为变量），域变量的变化范围是某个属性的 值域，元组变量的变化范围是一个关系。 域关系演算表达式的一般形式是：
{x1, x2 ,...,xk | ( x1, x2 ,...,xk )}
计算机理论教研室
一个很有特色的域关系演算语言是QBE。QBE(Query
以把注意力放在需要的数据上，以此来简化数据查询和处
理操作。
计算机理论教研室
再则，视图中的数据都来自于基表，是在视图被引用时 动态生成的，使用视图可以集中、简化和定制用户的数据库 显示, 用户可以通过视图来访问数据, 而不直接去访问视图的 基表, 从而达到查询优化的目的。 3．减少嵌套查询的层数
查询嵌套的层数每增加一层，查询效率成几何级的降低。
器、操作系统、数据管理系统以及前端开发工具、磁盘镜象、
索引等都有很大的影响。从大多数数据库应用系统的实例来 看， 查询操作在各种数据操作中占的比重最大，查询的效率 是数据库系统的重要性能指标，高效的查询能极大的提高系 统的性能。随着信息化进程的不断演进，数据库中的数据量 日益增加,数据库应用系统的查询性能成了一个备受关注的话 题。特别是对于那些基于B/ S形式的数据库开发，查询速度 的快慢直接影响到系统的推广和应用。
数据查询qbe为用户提供了填写查询条件或显示结果的表格形关系名属性列1属性列n填写对元组的操作符查询时填写应满足的查询条件1查询后显示结果元组查询时填写应满足的查询条件n查询后显示结果元组计算机理论教研室计算机理论教研室要完成查询用户首先提出查询要求屏幕上就会显示一个空白表格
数据库原理
The Principles of Database
计算机理论教研室
06-12.3 关系代数二
姓名 赵盘 赵盘 江鑫 江鑫 刘鹏 刘鹏
性别 男 男 男 男 男 男
班级编号 A1011001 A1011001 A1011001 A1011001 A1011001 A1011001
成绩—学号 A101100109 A101100113 A101100102 A101100113 A101100109 A101100102
1.2.3关系代数二：投影■选择、连接、除
专门的关系运算包含投影、选择、连接和除运算。这 类运 算将“关系”看做是元组的集合，其运算不仅涉及关 系的水平 方向（表中的行），而且也涉及关系的垂直方向 （表中的列）。
关系运算符： n （投影） O （选择） X （连接） 王（除）
一、投影运算
投影是选择关系R中的若干属性组成新的关系,
课程编号 A101-01 A101-04 A101-01 A101-01 A101-04 A101-01 A101-01 A101-04 A101-01
成绩 97 89 56 97 89 56 97 89 56
条件连接
学生► ◄成绩
学生一学号圭成绩一学号
学生—学号 A101100102 A101100102 A101100109 A101100109 A101100113 A101100113
性别 男 男 男 女 男 女 男
出生年月 1988/2/4 1988/1/9 1988/3/8 1988/5/23 1988/3/9 1988/6/9 1988/5/18
籍贯 北京 内蒙古 北京 海南 上海 北京 上海
门学号，姓名，籍贯（学生）
学生籍贯（学号，姓名，籍贯）
学号 A101100102 A101100109 A101100113 A102100101 A102100114 A102100123 A102100132
数据库 第二章 关系代数
名称 奶粉 火腿 白糖
厂家 地北 西山 北山
不合格商品表Ｓ
表 本店商品表Ｒ
2013-5-22 18
① 本店中的合格商品表
品牌 106001 205008 302034
名称 奶粉 白糖 食盐
表 新关系Ｒ－Ｓ
厂家 天南 南山 西山
2013-5-22
19
② 本店内不合格的商品表
品牌 103026
名称 奶粉
2013-5-22
37
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
R
S
AθB
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和 列的角度进行运算。
2013-5-22 38
例：
A a1 a1 a2 a2
B b1 b2 b3 b4
C 5 6 8 12
B b1 b2 b3
b3 b5 S
E 3 7 10
2 2
R
2013-5-22
2013-5-22
7
例：
通过并运算，可以实现关系数据库中记录的插入
2013-5-22 8
参加并操作的两个关系必须满足如下条件： 两个关系具有相同数目的属性，即属性集相同 两个关系的各个属性的类型（即域）必须匹配 两个关系的属性次序完全相同。如果它们的次 序不同，那么在进行并操作之前，必须对两个 关系的列进行排序。
2.7.4
投影（Projection）
关系R上的投影运算：从R中选择若干属性列形成 新的关系，即对关系R进行垂直分割，获取一个 可能包含有重复行的表，然后删去重复的元组， 形成新的关系，其结果关系是列的子集。 A(R) = {t[A]|t∈R} 其中A为R关系属性集的子集
关系代数
R
S
R―S
要想对两个关系R和S进行上述运 算，R和S必须满足如下条件： l R和S的模式具有相同的属性集 l 在对R和S进行集合运算之前， 要对R和S的属性列进行排序，保 证两个关系的属性顺序相同
关系R
StudentNo Student Age Name 990011 900548
关系S
Dept 计算机 自动化 Dept
关系S
在关系R╳S中，关系模式应有五个属 性：A、R.B、S.B、C和D，R╳S有六个元 组：
A a a a b b b
R.B l l l n n n
S.B f l n f l n
C g x p g x p
D h y x h y x
3.4.5 自然连接
两个关系R和S的自然连接，记作 R S，得到的关系模式是R和S模 式的并集。 R S的元组是：假设 A1,A2 , … , An是R和S的模式中的 公共属性，那么如果R的元组r和S的 元组s在这些属性上取值都相同，r 和s组合而成的元组就归入R S中。
3.4 关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，通 过对关系的运算来表达查询。 关系代数的运算对象是关系，运算结 果也是关系。
关系代数运算可以分为四类：
1． 普通的集合运算 并、交、差 2． 删除一部分关系的运算
选择运算“σ”会删除某些行
投影运算“π”会删除某些列
3． 合并两个关系的运算 “笛卡儿积”运算把两个关系的元组以 所有可能的方式组合起来. “连接”运算有选择地从两个关系取 出元组组合在一起 4． 改名运算 不改变关系的元组，只改变关系的模式： 改变属性的名字或者关系本身的名字
3.4.3 选择
选择运算符是σ，该运算符作用于关 系R也将产生一个新关系S，S的元组集合 是R的一个满足某条件C的子集。选择运 算的一般表达式为： S = C（R） S的模式与R的模式完全相同。 C是我们所熟悉的条件表达式。
SQLServer教案第02周 关系模式与关系代数
S2 C03 87………S K C04 80为获得学生选课情况，可对关系SC做学号、课程号上的投影：π学号，课程号(SC)对关系SC做选择运算和投影运算，可得学号为S3的学生所选的课程号：π课程号(σ学号=‘S3’(SC))学生中选学了S3学生所选课程的学生的学号可以使用关系的除法运算：π学号,课程号(SC)÷π课程号(σ学号=‘S3’(SC))2.2.3扩充的关系代数操作为了在关系代数操作时，多保存一些信息，就引进了“外连接”和“外部并”两种操作。
（1）外连接在关系R和S进行自然连接时，我们选择两个关系在公共属性上值相等的元组构成新关系的元组。
此时，R中某些元组可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，造成R中这些元组在连接时被舍弃；同理，S中某些元组也可能被舍弃。
为在操作时能保存这些将被舍弃的元组，提出“外连接”操作。
如果R和S做自然连接时，把R和S中原该舍弃的元组都保留在新关系中，同时在这些元组新增加的属性上填上空值(null)，这种操作称为“外连接”(全连接)。
如果R和S做自然连接时，只把R中原该舍弃的元组放到新关系中，那么这种操作称为“左外连接”操作(左连接)。
如果R和S做自然连接时，只把S中原该舍弃的元组放到新关系中，那么这种操作称为“右外连接”操作(右连接)。
（2）外部并前面定义两个关系的并操作时，要求R和S具有相同的关系模式。
如果R和S的关系模式不同，构成的新关系的属性由R和S的所有属性组成(公共属性只取1次)，新关系的元组由属于R或属于S 的元组构成，同时元组在新增加的属性上填上空值，那么这种操作称为“外部并”操作。
作业6.有关系R和S如下,计算：R∪S，R-S，R∩S，R×S,π3,2(S)，D<‘5’(R)，R2<2S，R S R S7.如果R是二元关系，那么下列元组表达式的结果是什么?{t|(u)(R(t)∧R(u)∧(t[1]≠u[1]∨t[2]≠u[2]))}12.设有3个关系：① S(学号,姓名,年龄,性别) ② SC(学号,课程号,成绩) ③ C(课程号,课程名,教师)，试用关系代数表达式表示下列查询语句。
关系代数分类
关系代数分类引言：关系代数是一种用于描述和操作关系数据库中数据的形式化语言。
它主要包括关系的基本运算、集合运算和关系的扩展运算。
本文将对关系代数的分类进行详细介绍。
一、关系的基本运算1. 选择运算：选择运算是根据给定的条件从关系中选取满足条件的元组。
它使用谓词逻辑来描述选择条件，常用的符号是σ。
例如，从一个学生关系中选择年龄大于20岁的学生，可以表示为σ(年龄>20)(学生)。
2. 投影运算：投影运算是从给定关系中选择指定的属性形成一个新的关系。
它使用集合运算来描述投影条件，常用的符号是π。
例如，从一个学生关系中选择仅包含学生姓名和年龄的新关系，可以表示为π(姓名, 年龄)(学生)。
3. 连接运算：连接运算是将两个关系按照指定的条件进行连接形成一个新的关系。
它使用集合运算和谓词逻辑来描述连接条件，常用的符号是⨝。
例如，从一个学生关系和一个课程关系中连接出选修了某门课程的学生信息，可以表示为学生⨝(学生ID=选课表中的学生ID)选课表。
4. 除运算：除运算是从一个关系中删除满足指定条件的元组，形成一个新的关系。
它使用谓词逻辑来描述除条件，常用的符号是÷。
示为学生÷(学生ID=选课表中的学生ID)选课表。
二、集合运算1. 并运算：并运算是将两个关系的元组合并在一起形成一个新的关系。
它使用集合运算来描述合并条件，常用的符号是∪。
例如，将一个学生关系和一个教师关系合并在一起，可以表示为学生∪教师。
2. 交运算：交运算是从两个关系中选取共有的元组形成一个新的关系。
它使用集合运算来描述共有条件，常用的符号是∩。
例如，从一个学生关系和一个选课表关系中选取同时存在的学生信息，可以表示为学生∩选课表。
3. 差运算：差运算是从一个关系中删除与另一个关系共有的元组，形成一个新的关系。
它使用集合运算来描述差条件，常用的符号是－。
例如，从一个学生关系中删除已经选修了某门课程的学生信息，可以表示为学生－选课表。
关系代数是
关系代数是关系代数是一种用于描述和操作关系的数学工具。
它是数据库领域的基础，被广泛应用于数据库设计、查询优化和数据分析等方面。
本文将介绍关系代数的基本概念、运算和应用。
一、关系代数的基本概念关系代数是基于集合论和逻辑学的数学模型，它将关系视为一组元组的集合。
在关系代数中，关系由属性和属性值组成，属性表示关系的特征，属性值表示具体的数据。
关系代数中的基本概念包括：1. 关系：关系是一种二维表格，由行和列组成，每行代表一个元组，每列代表一个属性。
2. 元组：元组是关系中的一个行，它包含了一组属性值。
3. 属性：属性是关系中的一个列，它表示一个特定的特征或数据项。
4. 关系模式：关系模式是关系的结构描述，它定义了关系中属性的名称和类型。
二、关系代数的运算关系代数定义了一系列运算符，用于操作关系。
常见的关系代数运算包括：1. 选择（Selection）：选择运算根据指定的条件选择满足条件的元组。
例如，选择关系R中满足条件P的元组，可以表示为σP(R)。
2. 投影（Projection）：投影运算根据指定的属性列表返回关系中的特定属性。
例如，投影关系R中的属性列表A1，A2，...，An，可以表示为πA1，A2，...，An(R)。
3. 连接（Join）：连接运算根据指定的连接条件将两个关系的元组组合起来。
例如，连接关系R和关系S中满足条件P的元组，可以表示为R⨝P⨝S。
4. 并（Union）：并运算返回两个关系的并集，即包含两个关系中所有元组的关系。
例如，关系R和关系S的并可以表示为R∪S。
5. 差（Difference）：差运算返回两个关系的差集，即在第一个关系中但不在第二个关系中的元组。
例如，关系R和关系S的差可以表示为R-S。
6. 交（Intersection）：交运算返回两个关系的交集，即同时存在于两个关系中的元组。
例如，关系R和关系S的交可以表示为R∩S。
三、关系代数的应用关系代数在数据库领域有着广泛的应用，主要包括：1. 数据库设计：关系代数提供了一种抽象和规范的方式来描述和设计数据库模式。
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R
数据库系统概论
S
连接(续)
R
C＜E1
a1 a1 a1 a2
b1
b1 b2 b2 b3
5
5 6 6 8
数据库系统概论
b2
b3 b2 b3 b3
7
10 7 10 10
连接(续)
等值连接 R
R.B=S.B
S
R.B b1 b2 b3 C 5 6 8 S.B b1 b2 b3 E 3 7 10
数据库系统概论
投影（续）
3) 举例 [例3] 查询学生的姓名和所在系
即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性 上的投影 πSname，Sdept(Student) 或 π2，5(Student) 结果：
数据库系统概论
投影（续）
Sname 李勇 刘晨 王敏 张立
Sdept
CS
IS MA IS
4）象集Zx
给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。当 t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为： Zx={t[Z]|t R，t[X]=x} 它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量 的集合。
数据库系统概论
2.4 关系代数
概述
传统的集合运算
专门的关系运算
数据库系统概论
R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }
数据库系统概论
广义笛卡尔积 (续)
A R a1 a1 a2 A S a1 a1 a2 B b1 b2 b2 B b2 b3 b2 C c1 c2 c1 C c2 c2 c1 A B
a1 b1 a1 b1
C A
c1 a1 c1 a1
B
C
b2 c2 b3 c2
第二章 关系数据库(续）
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
关系数据结构 关系操作 关系的完整性 关系代数 关系演算 小结
数据库系统概论
2.4 关系代数
概述
传统的集合运算
专门的关系运算
数据库系统概论
概述
1. 关系代数 2. 运算的三要素 3. 关系代数运算的三个要素 4. 关系代数运算的分类 5. 表示记号
成 绩
Grade 92 85
SC
95001
95002 95002
3
2 3
(c)
数据库系统概论
88
90 80
例7 例9
选择（续）
[例1] 查询信息系（IS系）全体学生 σSdept = 'IS' (Student) 或 σ5 ='IS' (Student) 结果：
Sno 95002 Sname 刘晨 Ssex 女 Sage 19 Sdept IS
概述(续)
表2.4 关系代数运算符（续）
运算符
含义
运算符
含义
专门的 关系 运算符
σ π ÷
选择 逻辑运 投影 算符 连接 除
∧ ∨
非 与 或
数据库系统概论
概述(续)
4．关系代数运算的分类
传统的集合运算
并、差、交、广义笛卡尔积
专门的关系运算
选择、投影、连接、除
数据库系统概论
概述(续)
5．表示记号
A a1 a1 a2 B b1 b2 b2 C c1 c2 c1
R
A
R∪S
B b1 b2 b3 b2
C c1 c2 c2 c1
S
A a1 a1 a2
B b2 b3 b2
C c2 c2 c1
a1 a1 a1 a2
数据库系统概论
2. 差（Difference）
R和S
具有相同的目n 相应的属性取自同一个域
θ：比较运算符（＞，≥，＜，≤，＝或<>） X1 ，Y1 等：属性名、常量、简单函数；属性名也可 以用它的序号来代替； φ：逻辑运算符（∧或∨） [ ]：表示任选项 …：表示上述格式可以重复下去
数据库系统概论
选择（续）
3) 选择运算是从行的角度进行的运算
σ
4) 举例
设有一个学生-课程数据库，包括学生关系 Student、课程关系Course和选修关系SC。
2.4.1 传统的集合运算
并 差 交 广义笛卡尔积
数据库系统概论
1. 并（Union）
R和S
具有相同的目n（即两个关系都有n个属性） 相应的属性取自同一个域
R∪S
仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成 R∪S = { t|t R∨t S }
数据库系统概论
并(续)
数据库系统概论
投影（续）
[例4] 查询学生关系Student中都有哪些系 πSdept(Student) 结果：
Sdept CS IS MA
数据库系统概论
3. 连接（Join）
1）连接也称为θ连接 2）连接运算的含义 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满 足一定条件的元组
R
AθB
S = { t t | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] } r s
R - S
仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组 成
R -S = { t|tR∧tS }
数据库系统概论
差(续)
A a1 a1 a2 B b1 b2 b2 C c1 c2 c1
R
R-S
A a1
B b1
C c1
S
A a1 a1 a2
B b2 b3 b2
C c2 c2 c1
数据库系统概论
3. 交（Intersection）
R和S
具有相同的目n 相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元 组组成 R∩S = { t|t R∧t S } R∩S = R –(R-S）
数据库系统概论
交 (续)
A a1 a1 a2 A a1 a1 a2 B b1 b2 b2 B b2 b3 b2 C c1 c2 c1 C c2 c2 c1
R
R∩S
A a1 a2
B b2 b2
C c2 c1
S
数据库系统概论
4. 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
R S
n目关系，k1个元组 m目关系，k2个元组
R×S
列：（n+m）列的元组的集合
元组的前n列是关系R的一个元组 后m列是关系S的一个元组
行：k1×k2个元组
2. 投影（Projection）
1）投影运算符的含义
从R中选择出若干属性列组成新的关系
πA(R) = { t[A] | t R } A：R中的属性列
数据库系统概论
2. 投影（Projection）
2）投影操作主要是从列的角度进行运算
π
但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且 还可能取消某些元组（避免重复行）
数据库系统概论
连接(续)
右外连接
A a1 a1 a2 a2 NULL B b1 b2 b3 b3 b5 C 5 6 8 8 NULL E 3 7 10 2 2
数据库系统概论
4）象集Z
给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性
95004
张立
数据库系统概论
男
19
IS
选择（续）
[例2] 查询年龄小于20岁的学生
或 σSage < 20(Student) σ4 < 20(Student)
结果：
Sno 95002 95003 95004 Sname 刘晨 王敏 张立
数据库系统概论
Ssex 女 女 男
Sage 19 18 19
Sdept IS MA IS
数据库系统概论
连接(续)
自然连接（Natural join） 什么是自然连接 • 自然连接是一种特殊的等值连接
两个关系中进行比较的分量必须是 相同的属性组 在结果中把重复的属性列去掉 自然连接的含义 R和S具有相同的属性组B R S = { tr ts | tr R∧ts S∧tr[B] = ts[B] }
数据库系统概论
连接(续)
外连接
A a1 a1 B b1 b2 C 5 6 E 3 7
a2 a2
a2 NULL
b3 b3
b4 b5
数据库系统概论
8 8
12 NULL
10 2
NULL 2
连接(续)
左外连接
A a1 a1 a2 a2 a2 B b1 b2 b3 b3 b4 C 5 6 8 8 12 E 3 7 10 2 NULL
A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属 性组 θ：比较运算符
连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S 中选取（R关系）在A属性组上的值与 （S关系）在B属性组上值满足比较关系 的元组。
数据库系统概论
连接(续)
3）两类常用连接运算 等值连接（equijoin） 什么是等值连接 • θ为“＝”的连接运算称为等值连接 等值连接的含义 • 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取 A、B属性值相等的那些元组，即等 值连接为： R S = { tr ts A=B ts[B] } | tr R∧ts S∧tr[A] =
（1） R，tR，t[Ai]
设关系模式为R(A1，A2，…，An)
它的一个关系设为R。tR表示t是R的一个元组
t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量
数据库系统概论
概述(续)
（2） A，t[A]， A
若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1， Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部 分，则A称为属性列或域列。t[A]=(t[Ai1]， t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A 上诸分量的集合。A则表示{A1，A2，…，