第2章 关系代数
第2章关系模型和关系运算理论-
如果属性集K是关系模式R1的主键，K 也是关系模式R2的外键，那么在R2的关系中， K的取值只允许两种可能，或者为空值，或者 等于R1关系中某个主键值。
这条规则的实质是“不允许引用不存在的 实体”。
在上述形式定义中，关系模式R1的关系称
为 “ 参 照 关 系 ” ， 关 系 模 式 R2 的 关 系 称 为
例如学生的年龄定义为两位整数，范围还
太大，我们可以写如下规则把年龄限制在
15～30岁之间：
CHECK（AGE BETWEEN 15 AND 30）
返 回
19
2.1.4 关系模型的三层体系结构 -- 关系模式
在关系模型中，记录类型称为关系模式，而关 系模式的集合就是数据库的概念模式。在系统实 现时，关系模式和属性的命名一般都用英文单词。
29
2.2.1 关系代数的五个基本操作 (2)
笛卡尔积（Cartesian Product） 形式定义如下： R×S≡{t|t＝<tr，ts>∧tr∈R∧ts∈S}
成绩子模式 G(S#，SNAME，C#，SCORE)
21
2.1.4
关系模型的三层体系结构
--子模式（2）
G S# SNAME C# SCORE S256 Wang C5 80 ┆
S S# SNAME AGE SEX
S256 Wang 21 F ┆
SC S# C# SCORE ┆ S256 C5 80 ┆
（3）主键(Primary Key)
在图2.1中，（工号，姓名）是模式的一个超
键，但不是候选键， 而（工号）是候选键。在
实际使用中，如果选择（工号）作为删除或查
找元组的标志，那么称（工号）是主键。
（4）外键（Foreign Key）
数据库基础知识2
生产副厂长
技术副厂长
经营副厂长
车间主任
处长
部门经理
层次模型具有层次分明、结构清晰的优点。 层次模型具有层次分明、结构清晰的优点。但只能反映实体 一对多”的联系。 间“一对多”的联系。
网状模型用 图结构” 网状模型用“图结构”来表示数据之间的联 系
网状数据模型反映现实世界较为复杂的事物间的联系。特点是: 网状数据模型反映现实世界较为复杂的事物间的联系。特点是: （1）可以有两个以上的根结点。 可以有两个以上的根结点。 一个父结点可以有多个子结点, （2 ） 一个父结点可以有多个子结点, 一个子结点也可以有多个父 结点。 结点。 专业系
2.1 数据模型概述
2.1.2 数据模型的组成三要素
1、数据结构——用于描述现实世界数据(系统)的静态特性 数据结构——用于描述现实世界数据(系统) ——用于描述现实世界数据 规定数据的存储和表示方式。 规定数据的存储和表示方式。 2、数据操作—用于描述现实世界数据(系统)的动态特性 数据操作—用于描述现实世界数据(系统) 是数据库中各种数据的操作集合以及相应的操作规则。 是数据库中各种数据的操作集合以及相应的操作规则。 如：创建、插入、替换、删除、查询、统计等操作。 创建、插入、替换、删除、查询、统计等操作。 3、数据的约束条件—一组完整性规则的集合 数据的约束条件— 是给定的数据模型中的数据及其联系所具有的制约和依存关 系，用以保证数据的正确、有效、相容。 用以保证数据的正确、有效、相容。 如：有效性规则，参照完整性，触发器等。 有效性规则，参照完整性，触发器等。
层次模型用 树结构” 层次模型用“树结构”来表示数据之间的联系
把客观问题抽象为一个严格的自上而下的层次关系。 把客观问题抽象为一个严格的自上而下的层次关系。 其特点是：(1)只有一个根结点. 其特点是：(1)只有一个根结点. 只有一个根结点 (2) 一 个 父 结 点 可 以 有 多 个 子 结 点 , 但 每 个 子 结点只能有一个父结点。 结点只能有一个父结点。
关系代数
第二章关系代数教学目的：本章实际上研究的是关系的运算。
学习目的：关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。
通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。
了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学方法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。
同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。
1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
关系操作分为两大部分如图所示。
2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。
而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。
关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ；(2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。
3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。
oracle第二章 E-R图与关系代数_课程
规范化数据
• 对于数据库设计器而言至关重要 • 定义为使数据“规范”的过程 定义为使数据“规范” • 将数据存储在普通独立组中的过程
规范化数据举例
具有下面这些列的单个表： 具有下面这些列的单个表：
• • • • • •
借书表 书籍名称 借用者 地址 电话号码 借书日期 返还日期
借书 表： • 书籍名称 • 借用者 • 借书日期 • 返还日期
字段1 字段2 字段3 字段4 字段 1 字段 2 字段3 字段 3.1
不符合
字段 4 字段 3.2
符合
第二范式 (2NF)
• 找出并删除关键字的一部分字段 • 在另一个表中对所删除项目进行分组 • 将关键字分配给新表 “如果表已经属于 1NF 而且每一个非关键
字字段都完全依赖于主键，则此表属于
2NF”
E-R图关系类型
• 一对一 ：在一对表中，“table1”中的一条 在一对表中， 中的一条 记录指向“ 记录指向“table2”中的一条记录 中的一条记录 • 一对多 ： 在一对表中，“table1”中的一条 在一对表中， 中的一条 记录指向“ 中的多条记录， 记录指向“table2”中的多条记录，但是 中的多条记录 中的一条记录只能指向“ “table2”中的一条记录只能指向“table1” 中的一条记录只能指向 中的一条记录 • 多对多 ：“table1”中的一条记录指向 中的一条记录指向 中的多条记录， “table2”中的多条记录，而且“table2”中 中的多条记录 而且“ 中 的一条记录也指向“ 的一条记录也指向“table1”中的多条记录 中的多条记录
E—R实体关系练习
一个图书馆借阅管理数据库要求提供以下服务： 一个图书馆借阅管理数据库要求提供以下服务： （1）可随时查询书库中现有书籍的书名、数量与存放位置。各类书籍均可 ）可随时查询书库中现有书籍的书名、数量与存放位置。 由书号唯一标示。 由书号唯一标示。 （2）可随时查询书籍的借还情况。包括借书人单位、姓名、借书证号、借书 ）可随时查询书籍的借还情况。包括借书人单位、姓名、借书证号、 日期和还书日期。 日期和还书日期。 我们约定：任何人可借多种书，任何一种书可为多个人所借， 我们约定：任何人可借多种书，任何一种书可为多个人所借，借书证号 具有唯一性。 具有唯一性。 （3）当我们需要时，可通过数据库中保存的出版社的电报编号、电话、邮编 ）当我们需要时，可通过数据库中保存的出版社的电报编号、电话、 及地址等信息向有关书籍的出版社增购有关书籍。我们约定， 及地址等信息向有关书籍的出版社增购有关书籍。我们约定，一个出版社可出 版多种书籍，同一本书仅为一个出版社出版，出版社名具有唯一性。 版多种书籍，同一本书仅为一个出版社出版，出版社名具有唯一性。 根据以上情况和假设，试作如下设计： 根据以上情况和假设，试作如下设计： 1、设计该图书馆借阅管理系统的 、设计该图书馆借阅管理系统的E-R图； 图 2、将该E-R图转换为关系模型的结构； 、将该 图转换为关系模型的结构； 图转换为关系模型的结构 3、指出每个关系模型的主码 主键 和外码 外键 。 主键)和外码 外键)。 、指出每个关系模型的主码(主键 和外码(外键
ACCESS第2章关系代数讲解
2.2 特殊的关系运算
∏(红色,兰色)
2.2 特殊的关系运算
∏(年龄, 成绩,特长)
学号 年龄 性别 班级 成绩 评价 特长 101 22 男 01 90 优 数学 102 21 女 01 91 良 外语 103 21 男 01 90 优 数学 201 21 男 02 90 优 数学 202 22 女 02 91 良 外语 203 22 男 02 90 优 数学 301 21 男 03 90 优 数学 302 21 女 03 91 良 外语 303 22 男 03 90 优 数学
第二章：关系代数
本章要点
掌握并运算、 差运算、交运算、 笛卡尔积运算规则，及其集合运算的应 用，掌握投影运算、选择运算和连接运 算规则，及其关系运算的应用。
2.1 集合运算
并运算
定义:
集合A和B的并，由集合A和B的所有元素组成的集合。记 作：A∪B 逻辑描述: 如果R∪S=X ,那么对任意的一个元素a有,如果a属于R或 者a属于S,那么a一定属于X。
2.2 特殊的关系运算
有R和S两个关系 ２）查询关系 １）查询关系 ３）查询关系R中属性B C 与关系 与 小于关系 S S 中属性 关系 中属性 S中属性 BE 相等的相等连接。 的连接。 B相等的自然连接。
2.2 特殊的关系运算
两个关系R和s在做自然连接时，选择两个关系在公共 属性上值相等的元组构成新的关系。此时，关系R中某些 元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造 成及中这些元组在操作时被舍弃了，同样，S中某些元组也 可能被舍弃。例如，在上个例子的自然连接中，R中的第4 个元组，S中的第5个元组都被舍弃掉了。 如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属 性上填空值(Null)，那么这种连接就叫做外连接(outer join)。如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左 外连接(LEFT OUTER JOIN 或 LEFT JOIN)，如果只把右边 关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接(RIGHT OUTER JOIN 或 RIGHT JOIN)。
第2章关系代数补充作业及答案（选做）
关系代数补充习题（摘自数据库系统导论）单项选择：1. 若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为________。
(1)主码(2)候选码(3)主属性(4)外码2．________由数据结构、关系操作集合和完整性约束三部分组成。
(1)关系模型(2)关系(3)关系模式(4)关系数据库3．SQL 语言属于________。
(1)关系代数语言(2)元组关系演算语言(3)域关系演算语言(4)具有关系代数和关系演算双重特点的语言4．关系演算是用________来表达查询要求的方式。
(1)谓词(2) 关系的运算(3)元组(4)域5．实体完整性要求主属性不能取空值，这一点可以通过________来保证。
(1)定义外码(2)定义主码(3)用户定义的完整性(4)由关系系统自动6．一组具有相同数据类型的值的集合称为________。
(1)关系(2)属性(3)分量(4)域7．在一个关系中，不能有相同的________。
(1)记录(2)属性(3)分量(4)域8．关系是________。
(1)型(2)静态的(3)稳定的(4)关系模型的一个实例9．所谓空值就是________的值。
(1)数值0 (2)空的字符串(3)未知的值(4)任何值10．集合R 与S 的差表示为________。
(1){t|t∈R∨t∈S} (2){t|t∈R∧フt∈S} (3) {t|t∈R∧t∈S}(4) {tｒtｓ|tｒ∈R ∧tｓ∈S}问答题2.1 本章中，我们声称并、交、积和（自然）连接都具有交互性和结合性。
证明之。
2.2 在Codd 最初定义的八个操作符中，并、差、积、选择和投影可以被认为是基本的。
试用这五种基本操作来表示自然连接、交和除。
2.3 如果A 和B 没有共同的属性，则A JOIN B 等价于A TIMES B。
对其进行证明。
如果A 和B 有相同的表头，则上述表达式等价于什么？2.4 证明2.2 中提到的五个基本操作符是基本的（证明任意一个不能被其余四个来表示）。
关系代数知识点总结
关系代数知识点总结一、基本概念1. 关系在关系代数中，关系是元素的集合。
在数据库中，关系通常是二维表格，每一行代表一个元组，每一列代表一个属性。
例如，一个包含学生信息的关系可以包括学生的学号、姓名、年龄等属性。
关系可以表示为R(A1, A2, …, An)，其中R是关系的名称，A1, A2, …, An是关系的属性。
2. 元组在关系中，元组是一个有序的元素序列，其中每个元素对应关系的一个属性。
在对关系进行操作时，我们通常需要操作整个元组或者选取符合特定条件的元组。
3. 属性关系的每一列都是一个属性，用来描述元组的特定信息。
属性可以有不同的数据类型，例如整数、字符、日期等。
在数据库中，属性通常用来对关系进行分类和索引。
4. 关系键关系键是一组属性的集合，用来唯一确定关系中的元组。
在数据库中，关系键通常用来在关系中快速定位元组，以及对关系进行连接操作。
5. 关系模式关系模式是关系的结构描述，它包括了关系的名称、属性以及属性的数据类型等信息。
通过关系模式，我们可以了解一个关系的结构和特性。
6. 域在关系代数中，域指的是关系的属性值的集合。
每个属性都有自己的域，例如整数属性的域包括所有整数，而日期属性的域包括所有日期。
二、基本操作在关系代数中，有一系列基本的操作，包括选择、投影、连接、并集、差集和笛卡尔积等。
这些操作可以对关系进行组合和转换，从而实现对数据的查询和处理。
1. 选择选择操作是从关系中选择满足特定条件的元组。
例如，我们可以对一个包含学生信息的关系进行选择操作，找出所有年龄大于20岁的学生。
投影操作是从关系中选取特定的属性。
例如，我们可以对一个包含学生信息的关系进行投影操作，只选取学生的姓名和年龄属性。
3. 连接连接操作是将两个关系进行连接，通常是通过他们的共同属性进行连接。
例如，我们可以将一个包含学生信息的关系和一个包含课程信息的关系进行连接，获取学生选修课程的信息。
4. 并集并集操作是将两个关系进行合并，得到一个包含两个关系所有元组的新关系。
整理数据库系统原理与设计(第2版) 万常选版 第2章 关系模型与关系代数 课后答案
文件编号：D6-86-07-A8-E3数据库原理整理人尼克数据库原理一、填空题1.数据库管理技术的发展是与计算机技术及其应用的发展联系在一起的，它经历了三个阶段：__________阶段，__________阶段和__________阶段。
2.三级模式之间的两层映象保证了数据库系统中的数据能够具有较高的__________和__________。
3.数据库设计分为以下六个阶段_______________、________________、________________、________________、________________和________________。
4.关系代数运算中，传统的集合运算有_______，________，________，_________。
5.用树型结构表示实体类型及实体间联系的数据模型称为__________模型，上一层的父结点和下一层的子结点之间的联系是__________的联系。
6.设关系R（U），X，Y∈U，X→Y是R的一个函数依赖，如果存在X′∈X，使X′→Y成立，则称函数依赖X→Y是___________ 函数依赖。
7.在关系模式R（A，C，D）中，存在函数依赖关系{ A→C，A→D }，则候选码是___________ ，关系模式R（A，C，D）最高可以达到_____________ 。
8.关系数据模型中，二维表的列称为________，二维表的行称为________。
9.数据模型中的__________是对数据系统的静态特征描述，包括数据结构和数据间联系的描述，__________是对数据库系统的动态特征描述，是一组定义在数据上的操作，包括操作的涵义、操作符、运算规则及其语言等。
10.关系代数运算中，基本的运算是________，________，________，________，________。
11.关系的完整性约束条件包括三大类：__________、__________和__________。
(完整版)数据库第二章关系代数习题
1.设有如图所示的关系S、SC和C,试用关系代数表达式表示下列查询语句:S C SCS# SNAME AGE SEX1 李强23 男2 刘丽22 女5 张友22 男C# CNAME TEACHERk1 C语言王华k5 数据库原理程军k8 编译原理程军S# C# GRADE1 k1 832 k1 855 k1 922 k5 905 k5 845 k8 80(1) 检索”程军”老师所授课的课程号(C#)和课程名(CNAME)。
(2) 检索年龄大于21的男学生学号(S#)和姓名(SNAME)。
(3) 检索至少选修”程军”老师所授全部课程的学生姓名(SNAME)。
(4) 检索”李强”同学不学课程的课程号(C#)。
(5) 检索至少选修两门课程的课程号(S#)。
(6) 检索全部学生都选修的课程的课程号(C#)和课程名(CNAME)。
(7) 检索选修课程包含”程军”老师所授课程之一的学生学号(S#)。
(8) 检索选修课程号为k1和k5的学生学号(S#)。
(9) 检索选修全部课程的学生姓名(SNAME)。
(10) 检索选修课程包含学号为2的学生所选修课程的学生学号(S#)。
(11) 检索选修课程名为”C语言”的学生学号(S#)和姓名(SNAME)。
（12）检索没有一门课程成绩不及格的学生学号，姓名。
答:本题各个查询语句对应的关系代数表达式表示如下:(1) ΠC#,CNAME(σTEACHER ='程军'(C))(2) ΠS#,SNAME(σAGE>21^SEX ='男'(S))(3) ΠSNAME(S(ΠS#,C#(SC)÷ΠC#(σTEACHER ='程军'(C))))(4) ΠC#(C)-ΠC#(σSNAME ='李强'(S)∞SC)(5) ΠS# (σ1=4^2≠5 (S C×SC))(6) ΠC#,CNAME(C∞(ΠS#,C#(SC)÷ΠS#(S)))(7) ΠS# (SC∞ΠC# (σTEACHER ='程军'(C)))(8) ΠS#,C#(SC)÷ΠC#(σC#=’K1’VC#=’K5’ (C))(9) ΠSNAME(S∞(ΠS#,C#(SC)÷ΠC#(C)))(10) ΠS#,C#(SC)÷ΠC#(σC#=’2’ (S C))(11) ΠS#,SNAME(S∞ΠS#(SC∞(σCNAME ='C语言'(C))))（12）П学号，姓名(学生)-П学号，姓名(σ分数<60(学生∞学习))。
数据库课件第2章
R
A B C
3 2 7 4 R
2=2
S
A B C
3 7 4 2 5 3
6 5 2 4 S
7 7 3 3 R.A
R.B R.C S.A S.B S.C
7 4
2 4
3 3
7 3
2 4
3 5
Question:
• 设关系R和S上的属性个数分别为2和3， 那么R 1<2 S等价于
• A. O1<2 (R*S) • C. O1<2(R S) B. O 1<4(R*S) D. O1<4(R S)
3. 连接（Join）
• 1）连接也称为θ连接 • 2）连接运算的含义 – 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条 件的元组
R S={
| tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] }
– 连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取 （R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属 性组上值满足比较关系的元组。
A
a1 a1 a1 a1 a1 a1 a2 a2 a2
B
b1 b1 b1 b2 b2 b2 b2 b2 b2
C
c1 c1 c1 c2 c2 c2 c1 c1 c1
A
a1 a1 a2 a1 a1 a2 a1 a1 a2
B
b2 b3 b2 b2 b3 b2 b2 b3 b2
C
c2 c2 c1 c2 c2 c1 c2 c2 c1
R
B b1 b2 b3 b4
C 5 6 8 12
B b1 b2 b3 b3 b5
S
E 3 7 10 2 2
连接(续)
R
C＜E
S
A
关系数据库与应用(第02章关系模型与关系代数)
接条件。 连接操作可以基于一个或多个条件，用于将两个
03
关系的元组组合在一起。 连接操作可以产生新的关系，包含两个关系的所
04
有元组。
除法操作
除法操作是用来处理具有除 法语义的关系运算。
除法操作可以用于处理具有除法 语义的问题，例如找出在某些条 件下的共同元素。
ABCD
除法操作的表示方法是在两 个关系的名称之间放置一个 斜线（/）。
优化前
优化后
PA R T. 0 5
单击此处添加标题
关系代数与SQL的关系
SQL与关系代数的联系
数据操作语言
关系代数和SQL都用于对关系数据库中的数据进 行操作。
查询语言
关系代数和SQL都提供了查询数据的方法。
集合操作
关系代数和SQL都使用集合操作，如并、交、差 等。
SQL与关系代数的差异
语法
01
低系统的负载和成本。
提高用户体验
快速、高效的查询响应可 以提升用户的使用体验，
提高系统的满意度。
关系代数优化的方法
选择运算的优化
通过减少选择条件的数量、使用索引等方法， 减少选择运算的开销。
投影运算的优化
合理安排投影列的顺序，减少数据传输量，提 高投影运算的效率。
Байду номын сангаас
连接运算的优化
采用合适的连接策略，如嵌套循环连接、哈希 连接等，以降低连接运算的复杂度。
SQL的语法更直观，更接近自然语言，而关系代数的语法
更抽象。
功能
02
SQL除了数据操作外，还支持数据定义和数据控制等功能，
而关系代数主要关注数据操作。
应用领域
03
SQL广泛应用于实际的关系数据库管理系统，而关系代数
数据库第二章关系代数习题
1.设有如图所示的关系S、SC和C,试用关系代数表达式表示下列查询语句:S C SCS# SNAME AGE SEX1 李强23 男2 刘丽22 女5 张友22 男C# CNAME TEACHERk1 C语言王华k5 数据库原理程军k8 编译原理程军S# C# GRADE1 k1 832 k1 855 k1 922 k5 905 k5 845 k8 80(1)检索”程军”老师所授课的课程号(C#)和课程名(CNAME)。
∏C#,CNAME(δTEACHER=程军(C))(2)检索年龄大于21的男学生学号(S#)和姓名(SNAME)。
∏S#,SNAME(δAGE>21∧SEX=男(S))(3)检索至少选修”程军”老师所授全部课程的学生姓名(SNAME)。
∏SNAME((∏S#,C#(SC)÷∏C#(δTEACHER=程军(C)))S)(4)检索”李强”同学不学课程的课程号(C#)。
∏C#(C)-∏C#(δSNAME=李强(S)SC)(5)检索至少选修两门课程的学号(S#)。
∏S#(δ1=4∧2≠5(SC×SC))(6)检索全部学生都选修的课程的课程号(C#)和课程名(CNAME)。
∏C#,CNAME(∏S#,C#(SC)÷∏S#(S)C)(7)检索选修课程包含”程军”老师所授课程之一的学生学号(S#)。
∏C#(δTEACHER=程军(C)SC)(8)检索选修课程号为k1和k5的学生学号(S#)。
∏S#,C#(SC)÷∏C#(δC#=k1∨C#=k5(C))(9)检索选修全部课程的学生姓名(SNAME)。
∏SNAME((∏S#,C#(SC)÷∏C#(C))S)(10)检索选修课程包含学号为2的学生所选修课程的学生学号(S#)。
∏S#,C#(SC)÷∏C#(δS#=2(SC))(11)检索选修课程名为”C语言”的学生学号(S#)和姓名(SNAME)。
06-12.3 关系代数二
姓名 赵盘 赵盘 江鑫 江鑫 刘鹏 刘鹏
性别 男 男 男 男 男 男
班级编号 A1011001 A1011001 A1011001 A1011001 A1011001 A1011001
成绩—学号 A101100109 A101100113 A101100102 A101100113 A101100109 A101100102
1.2.3关系代数二：投影■选择、连接、除
专门的关系运算包含投影、选择、连接和除运算。这 类运 算将“关系”看做是元组的集合，其运算不仅涉及关 系的水平 方向（表中的行），而且也涉及关系的垂直方向 （表中的列）。
关系运算符： n （投影） O （选择） X （连接） 王（除）
一、投影运算
投影是选择关系R中的若干属性组成新的关系,
课程编号 A101-01 A101-04 A101-01 A101-01 A101-04 A101-01 A101-01 A101-04 A101-01
成绩 97 89 56 97 89 56 97 89 56
条件连接
学生► ◄成绩
学生一学号圭成绩一学号
学生—学号 A101100102 A101100102 A101100109 A101100109 A101100113 A101100113
性别 男 男 男 女 男 女 男
出生年月 1988/2/4 1988/1/9 1988/3/8 1988/5/23 1988/3/9 1988/6/9 1988/5/18
籍贯 北京 内蒙古 北京 海南 上海 北京 上海
门学号，姓名，籍贯（学生）
学生籍贯（学号，姓名，籍贯）
学号 A101100102 A101100109 A101100113 A102100101 A102100114 A102100123 A102100132
第2章 关系代数-综合练习
2.6 综合举例
例1：设关系R和S有相同关系模式，分别求 R和S的并、交、差和广义笛卡尔积。 R A B C a1 b1 c1 a2 b2 c2 x y z S A B C a1 b1 c1 a b c
18
A B a2 b2 x y
C c2 z
R-S
2.6 综合举例
例1：设关系R和S有相同关系模式，分别求 R和S的并、交、差和广义笛卡尔积。 R A B C a1 b1 c1 a2 b2 c2 x y z S A B C a1 b1 c1 a b c R.AR.BR.CS.AS.BS.C a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a b c a2 b2 c2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a b c x y z a1 b1 c1 x y z a b c R×S 19
5
2.6 综合举例
(3) 求数据库课程成绩表，包括学生的学号、 姓名、成绩。 πS.学号,姓名,成绩σ课程名=‘数据库’ (S∞SC∞C) 或πS.学号,姓名,成绩 (S∞SC∞σ课程名=‘数据库’C) 查询结果： 学号 姓名 成绩 06001 李永 88 06002 刘晨 54
6
2.6 综合举例
8
06001 1 88 (6) 求选修了1号课程但没有选修6号课程的 06001 2 95 学生的全部信息。 06001 7 78 S∞((π学号σ课程号=1 (SC)) - (π学号σ课程号=6 06002 6 69 (SC) ) ) 06002 1 54 学号 姓名 性别 年龄 系 查询结果： 06003 6 82 06001 李永 男 21 CS 06004 7 52 学号 姓名 性别 年龄 系 06001 李永 男 21 CS S∞((π学号σ课程号=1 ∧课程号<>6 (SC)) 06002 刘晨 男 19 IS 9
数据库 第二章 关系代数
名称 奶粉 火腿 白糖
厂家 地北 西山 北山
不合格商品表Ｓ
表 本店商品表Ｒ
2013-5-22 18
① 本店中的合格商品表
品牌 106001 205008 302034
名称 奶粉 白糖 食盐
表 新关系Ｒ－Ｓ
厂家 天南 南山 西山
2013-5-22
19
② 本店内不合格的商品表
品牌 103026
名称 奶粉
2013-5-22
37
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
R
S
AθB
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和 列的角度进行运算。
2013-5-22 38
例：
A a1 a1 a2 a2
B b1 b2 b3 b4
C 5 6 8 12
B b1 b2 b3
b3 b5 S
E 3 7 10
2 2
R
2013-5-22
2013-5-22
7
例：
通过并运算，可以实现关系数据库中记录的插入
2013-5-22 8
参加并操作的两个关系必须满足如下条件： 两个关系具有相同数目的属性，即属性集相同 两个关系的各个属性的类型（即域）必须匹配 两个关系的属性次序完全相同。如果它们的次 序不同，那么在进行并操作之前，必须对两个 关系的列进行排序。
2.7.4
投影（Projection）
关系R上的投影运算：从R中选择若干属性列形成 新的关系，即对关系R进行垂直分割，获取一个 可能包含有重复行的表，然后删去重复的元组， 形成新的关系，其结果关系是列的子集。 A(R) = {t[A]|t∈R} 其中A为R关系属性集的子集
数据库系统原理与设计(第2版)-万常选版-第2章-关系模型与关系代数--课后答案
;3.简述如下概念，并说明它们之间的联系与区别:。
（1）域，笛卡尔积，关系，元组，属性答：域：域是一组具有相同数据类型的值的集合。
笛卡尔积：给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。
这组域的笛卡尔积为：D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜diDi，i＝1，2，…，n ｝其中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（n-tuple）或简称元组（Tuple）。
元素中的每一个值di叫作一个分量（Component）。
关系：在域D1，D2，…，Dn上笛卡尔积D1×D2×…×Dn的子集称为关系，表示为R（D1，D2，…，Dn）元组：关系中的每个元素是关系中的元组。
属性：关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域。
由于域可~以相同，为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）。
（2）超码，主码，候选码，外码答：超码：对于关系r的一个或多个属性的集合A，如果属性集A可以唯一地标识关系r中的一个元组，则称属性集A为关系r的一个超码 (superkey) 。
候选码：若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码（Candidate key）。
主码：若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（Primary key）。
外码：设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码，如果F与基本关系S 的主码Ks相对应，则称F是基本关系R的外码（Foreign key），简称外码。
基本关系R称为参照关系（Referencing relation），基本关系S称为被参照关系（Referenced relation）或目标关系（Target relation）。
关系R和S可以是相同的关系。
(3)关系模式，关系，关系数据库}答：关系模式：关系的描述称为关系模式（Relation Schema）。
第2章 关系代数与关系数据库理论
01 传统的集合运算（举例）
R和S ➢ 具有相同的目n（即两个关系都有n个属性） ➢ 相应的属性取自同一个域
23
01 传统的集合运算（举例）
24
关系代数及其运算
关系的数学定义 关系代数概述 传统的集合运算 专门的关系运算
01
PART ONE
01 专门的关系运算
专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。 为了叙述上的方便，先引入几个记号： (1)设关系模式为R(A1，A2，…，An)，它的一个关系设为R， t∈R 表示t是R的一个元组，t[Ai]表示元组t中相应于属性Ai 上的一个分量。 (2)若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1， A2，…，An中的一部分，则A称为字段名或域列。 t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组 t 在字段名 A 上诸 分量的集合。 Aഥ 表示{A1，A2，…，An)中去掉{Ai1，Ai2，…， Aik}后剩余的属性组。
10
01 关系的数学定义
➢ 基数（Cardinal number） • 若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为 mi（i＝1，2，…，n} • 则D1×D2×…×Dn的基数M为：
➢ 笛卡尔积的表示方法 • 笛卡尔积可表示为一个二维表。 • 表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一 个域。
11
例1：查询学生的学号和姓名。 ➢πSno，Sname(Student)或π1，2(Student) ➢ 查询结果：
37
01 专门的关系运算
连接（Join） ➢ 连接也称为θ连接 ➢ 连接运算的含义： • 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条 件的元组 • A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 • θ：比较运算符 ➢ 从R和S的笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值 与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组。
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2.2 特殊的关系运算
有R和S两个关系
作业一
关系A
A a1 a2 a1 B a2 a1 a1 C a2 a1 a2
关系B
A b1 b3 b2 B b2 b1 b3 C b2 b1 b1
计算下列关系代数的值:
(1) ∏A,B,C(A)
(2)
A"b1" B "b1" ( B)
(3) ∏A,B,C（A×B）
贯籍 内蒙古 北京 北京 上海
040101 江鑫 男 040102 赵盘 男 040103 刘鹏 男 040104 李鑫 女
关系：学生2
学 生
姓名 性别 出生年月 1983-01-09 1983-02-04 1983-03-08 1983-04-10
贯籍 海南 上海 北京 上海
040201 江一 女 040202 赵二 男 040203 刘三 女 040204 李四 男
2.2 特殊的关系运算
1.条件连接：从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条 件的元组。 2.相等连接：从关系R与S的笛卡尔积中选取满足等值条件的元 组。 3.自然连接：也是等值连接，从两个关系的笛卡尔积中，选取
公共属性满足等值条件的元组，但新关系不包含重复的属性。
4.外连接：是在连接条件的某一边添加一个符号“*”，其连 接结果是为符号所在边添加一个全部由“空值”组成的行。
2.2 特殊的关系运算
连接运算
连接是根据给定的条件，从两个已知关系R和S的笛卡尔积中，选取 满足连接条件（属性之间）的若干元组组成新的关系。记作(R) F是选择条件。 相互匹配的那些行合并起来。 在关系代数中，连接运算是由一个笛卡尔积运算和一个选取运算构
F
(S)
在水平方向上合并两个表，其方法是：将两个表中在共同数据项上
A B = {x x A x B} A B B A
2.1 集合运算
∪ ∪
= =
（学号，姓名，年龄）∪（学号，班级）=（学号， 姓名，年龄，班级）
2.1 集合运算
交运算
定义:
集合A和B的交，由集合A和B的公共元素组成的集合 记作：A∩B 逻辑描述: 如果R∩S=X ,那么对任意的一个元素a有,如果a属于R并 且a属于S,那么a一定属于X。
1)) (4)新关系= 学号,姓名( 性别"女"籍贯"北京" (学生
(5)新关系= 性别"女" (学生2)
作业四
关系R
A a1 a1 a2 B b1 b2 b1 C 3 4 5
关系S
B b1 b1 b2 D 3 7 6
计算下列关系代数的值:
(1) R
C<D
S
(2) R
R.B=S.B
作业三
一.计算下列关系代数的值。
(1)A∪B (2)A∩B (3)A－B
(4)A×B
二.实现以下功能并完成计算 (1)将两个班合并一个班 (2)两个班所有女同学的信息 (3)两个班所有籍贯是上海的女同学的信息
(4) 0401班籍贯是北京同学的信息
(5)0402班所有女同学的信息
作业三
(1)新关系=（学生1）∪（学生2） (2)新关系= 性别"女" (学生1 学生2) (3)新关系= 性别"女"籍贯"上海" (学生1 学生2)
习 题
4.关系数据操作的基础是关系代数，关系代数的运算 可以分为两类：传统的集合运算和专门的关系运算。 下列运算中不属于传统集合运算的是[ ]。 A）交运算 B）投影运算 C）差运算 D）并运算 5. “商品”与“顾客”两个实体之间的联系一般是 [ ]。 A）一对一 B）一对多 C）多对一 D）多对一
成的。首先用笛卡尔积完成对两个数据集合的乘运算，然后对生成的结
果集合进行选取运算，确保只把分别来自两个数据集合并且具有重叠部 分的行合并在一起。连接的全部意义在于在水平方向上合并两个数据集 合（通常是表），并产生一个新的结果集合，其方法是将一个数据源中 的行与另一个数据源中和它匹配的行组合成一个新元组。
投影运算
投影是选择关系R中的若干属性组成新的关系，并去掉了重复 元组，是对关系的属性进行筛选。记作∏Ａ（Ｒ） 其中A是选择条件,是属性组合 投影运算又叫筛选运算,在关系中选取相应的属性列并删去重复 行，组成一个新关系，它是对给定关系在垂直方向上进行的选取。 如果新关系中包含重复元组，则要删除重复元组
C 3 3 4 5 5
S.B b1 b1 b2 b1 b1
D 3 7 6 3 7
作业四
(3) R
S
A a1 a1 a1 a2 a2
B b1 b1 b2 b1 b1
C 3 3 4 5 5
D 3 7 6 3 7
习 题
一、选择题
1. 把E-R模型转换为关系模型时，A实体（“一”方）和B实 体（“多”方）之间一对多联系在关系模型中是通过 [ ]。 A）将A关系的关键字放入B关系中 B）建立新的关键字 C）建立新的关系 D）建立新的实体 2. 关系S和关系R集合运算的结果中既包含 S中元组也包含R 中元组，但不包含重复元组，这种集合运算称为[ ]。 A）并运算 B）交运算 C）差运算 D）积运算 3. 设有关系R1和R2，经过关系运算得到结果 S，则S是一个 [ ]。 A）字段 B）记录 C）数据库 D）关系
(3) ∏A,B,C（A×B）
A.A a1 a1 a1 a2 a2 a2 a1 a1 a1 A.B a2 a2 a2 a1 a1 a1 a1 a1 a1 A.C a2 a2 a2 a1 a1 a1 a2 a2 a2 B.A b1 b3 b2 b1 b3 b2 b1 b3 b2 B.B b2 b1 b3 b2 b1 b3 b2 b1 b3 B.C b2 b1 b1 b2 b1 b1 b2 b1 b1
习 题
二、填空题
1. 关系的数据模型是一个 _______ 。 2. 关 系 中 可 以 起 到 确 保 关 系 元 组 惟 一 的 属 性 称为 _______。 3. 关系S和关系R集合运算的结果由属于S但不属于R 的元组构成，这种集合运算称为_______。 4. 关系中两种类型的关键字分别是 _______和______。 5. 在关系模型中，把数据看成是二维表，每一个二维 表称为一个_______。
姓名
张三 李四
学号 １００１２ １００１２ ０２００５
姓名 张三 张三 李四 李四 刘蕾 刘蕾
课程名称 财务会计 高等数学 财务会计 高等数学 财务会计 高等数学
学分 3 4 3 4 3 4
０９０２５
刘蕾
S
课程名称
财务会计 高等数学
学分
3 4
０２００５ ０９０２５ ０９０２５
2.2 特殊的关系运算
2.2 特殊的关系运算
选择运算
选择是根据给定的条件选择关系R中的若干元组组成新的关系，
是对关系的元组进行筛选。记作δF(R)
其中F是选择条件,是对属性的限制或者选择条件 选择运算是横向运算,是根据选择条件F选择出符合条件的元组 重新组合,元组属性不变,关系模式不变
2.2 特殊的关系运算
δ（评价=优）
A B {x x A x B}
A-B=B-A
2.1 集合运算
－ －
（学号，姓名，年龄） 年龄）
= =
－（学号，班级）=（姓名，
2.1 集合运算
－ －
（学号，班级）
= =
－（学号，姓名，年龄）=（班级）
2.1 集合运算
有序对与笛卡儿积
有序对，就是有顺序的数组，如<x,y>，x,y 的位置是确定的，不能随 意放置.
作业二
关系A
A a b c B 2 1 3 C a2 b1 c3
关系B
A 1 a 3 c B a1 2 b3 3 C a a2 b c3
计算下列关系代数的值: (1)A∪B (2)A∩B (3)A－B (4)A×B
作业三
关系：学生1
学 生
姓名 性别 出生年月 1983-01-09 1983-02-04 1983-03-08 1983-04-10
2.2 特殊的关系运算
∏(红色,兰色)
2.2 特殊的关系运算
∏(年龄, 成绩,特长)
学号 年龄 性别 班级 成绩 评价 特长 101 22 男 01 90 优 数学 102 21 女 01 91 良 外语 103 21 男 01 90 优 数学 201 21 男 02 90 优 数学 202 22 女 02 91 良 外语 203 22 男 02 90 优 数学 301 21 男 03 90 优 数学 302 21 女 03 91 良 外语 303 22 男 03 90 优 数学
学号 年龄 性别 班级 成绩 评价 特长 101 22 男 01 90 优 数学 102 21 女 01 91 良 外语 103 21 男 01 90 优 数学 201 21 男 02 90 优 数学 202 22 女 02 91 良 外语 203 22 男 02 90 优 数学 301 21 男 03 90 优 数学 302 21 女 03 91 良 外语 303 22 男 03 90 优 数学
A B {x x A x B}
A B B A
2.1 集合运算
∩ ∩
= =
（学号，姓名，年龄）∩（学号，班级）=（学号）
2.1 集合运算
差运算
定义:
集合A与B的差集，由属于A，而不属于B的所有元素组成 的集合 记作：A-B 逻辑描述: 如果R-S=X ,那么对任意的一个元素a有,如果a属于R并且 A不属于S,那么a一定属于X。
2.2 特殊的关系运算
有R和S两个关系 ２）查询关系 １）查询关系 ３）查询关系R中属性B C 与关系 与 小于关系 S S 中属性 关系 中属性 S中属性 BE 相等的相等连接。 的连接。 B相等的自然连接。