【数学解析】山大附2018年期中上考试-高二数学

【难度】易
【答案】B
2π C．
3
5π D．
6
2. 已知正△ABC 的边长为 2，那么用斜二测画法得到的△ABC 的直观图△A’B’C’的面积为（ ）
A． 3
B． 3 2
【考点】斜二测法画直观图
C． 6 2
D． 6 4
【难度】易
【答案】D
3. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）
（2）以 C 为坐标原点，以 CA，CB，CP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则 P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），
∴ PA =（2，0，﹣1）， AB =（﹣2，1，0）， PF =（1，0，﹣1），
设平面
PAm
PA
0
【考点】由三视图求几何体的体积
【难度】易 【答案】C
7. 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=A1A1=2，M、N 分别是 BB1 和 B1C1 的中
点，则直线 AM 与 CN 所成角的余弦值等于（ ）
A． 5 2
B． 2 5 2
【考点】异面直线所成角的余弦值
2 C．
5
3 D．
5
【难度】中
-7-
-7--7-
19. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠ADC=60°，侧面 PDC 是正三角形，平面 PDC ⊥平面 ABCD，CD=2，M 为 PB 的中点 （1）求证：PA⊥平面 CMD； （2）求二面角 D−MC−B 的余弦值． 【考点】线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法 【难度】中 【答案】（1）见解析；（2） 10 5 【解析】（1）取 DC 的中点 O，连接 PO，OA， ∵侧面 PDC 是正三角形，平面 PDC⊥平面 ABCD．∴PO⊥底面 ABCD， ∵底面 ABCD 为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，则 OA⊥DC． 以 O 原点，分别以 OA，OC，OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角
A．若 m∥α，m∥β，则 α∥β
B．若 m∥α，α∥β，则 m∥β
C．若 m α ，m⊥β，则 α⊥β
D．若 m α ，α⊥β，则 m⊥β
【考点】点线面位置关系判定
【难度】易
【答案】C
4. 方程（a-1）x-y+2a+1=0（ a R ）所表示的直线（ ）
A．恒过定点（-2，3）
B．恒过定点（2，3）
的倾斜角的取值范围为
．
【考点】斜率计算公式
【难度】易
【答案】
0，4
[
3 4
,
)
15. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，A1B1 的中点是 P，过点 A1 作截面 PBC1 平行的截面，则
该截面的面积为
．
【考点】截面面积的求法
【难度】中
【答案】 2 6
16. 已知四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，点 E，F 分别是棱 PC，PD 的中点，
∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱长为 1，E、F 分别为 C1D1 与 AB 的中点，
∴ A1F CF
5 2
,
A1C
3，
1
26
∴ S△A1CF
2
3 2
4
，
设 B1 到平面 A1FC 的距离 d，
由三棱锥 B1﹣A1FC 的体积可得，VB1 A1CF VC A1B1F ，
即 1 6 d 1 1 111，解得 d= 6 ．
3
，在
Rt△ABQ
中可得
ABC
6
，即可得
BC=6；
取△ABC 的外接圆圆心为 O′，作 OO′∥PA，
6 ∴ sin120 =2r，解得 r=2 3 ；∴O′A=2 3 ，
3 取 H 为 PA 的中点，∴OH=O′A=2 3 ，PH= ，
2
由勾股定理得 OP=R= PH 2 OH 2 = 57 ， 2
2 12. 在三棱锥 P—ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC= 3 ，AP=3，AB= 2 3 ，Q 是边 BC 上的一动点，
且直线 PQ 与平面 ABC 所成角的最大值为 ，则三棱锥 P—ABC 的外接球的表面积为（ ）
3
A． 45
B． 57
C． 63
D． 84
【考点】几何体外接球
【难度】难
对于（2）平面 PBC 与平面 PCD 所成角为钝角，故不正确； 对于（3）S△PAB=S△PCDcosθ，△PCD 的面积大于△PAB 的面积，故正确 对于（4）∵EF∥CD∥AB∴直线 AE 与 BF 不是异面直线，故不正确 故答案为（1）（3）
三、解答题（本大题共 4 小题，共 48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 直线 l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6，求直线 l 的方程．
坐标系 O﹣xyz，则 A（ 3 ，0，0），P（0，0， 3 ），B（ 3 ，2，0），C（0，1，0），
D（0，﹣1，0），∴M（ 3 ，1， 3 ），
2
2
∴ DM =（
3 2
，2，
3 2
）， PA
=（
3 ，0，﹣
3 ）， DC =（0，2，0），
∴ PA DM =
3×
3 +0×2+（﹣ 2
C．（2，0，0）或（-2，0，0）
【考点】空间直角坐标系中的距离公式 【难度】中 【答案】A
D．（ 2 ，0，0 ）或（ 2 ，0，0 ）
6. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位 cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． 1 cm3 3
B． 2 cm3 3
C． 4 cm3 3
D． 8 cm3 3
【考点】空间中线线、线面、面面间的位置关系
【难度】易 【答案】C 【解析】在 A 中，∵四边形 DEFC 是梯形，DE∥CF，∴CD 与 EF 相交，
∴CD 与平面 ABFE 相交，故 A 错误； 在 B 中，∵四边形 DEFC 是梯形，DE⊥CD， ∴DE 与 EF 不垂直，∴不存在某一位置，使得 DE⊥平面 ABFE，故 B 错误； 在 C 中，∵四边形 DEFC 是梯形，DE∥CF，CF⊄平面 ADE，DE⊂平面 ADE， ∴在翻折的过程中，BF∥平面 ADE 恒成立，故 C 正确； 在 D 中，∵四边形 ABFE 是梯形，AB⊥BF， ∴BF 与 FE 不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面 CDEF 不一定成立，故 D 错误．
【答案】D
8. 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱长为 1，E、F 分别为 C1D1 与 AB 的中点，B1 到平面 A1FCE
的距离为（ ）
A． 10 5
C． 3 2
B． 30 5
D． 6 3
【考点】点到平面的距离
【难度】中 【答案】D
-2-
-2--2-
【解析】点 B1 到平面 A1FCE 的距离即点 B1 到平面 A1FC 的距离，
AC>AD． 设 PC 与 DE 所成的角为 α，PD 与平面 ABC 所成角为 β，二面角 P−BC−A 为 γ，则（ ）
A．α<β<γ
B．α<γ<β
C．β<α<γ
D．γ<β<α
【考点】异面直线所成角、直线与平面所成的角、二面角
【难度】中 【答案】A
-3-
-3--3-
11. 如图 1，直线 EF 将矩形 ABCD 分为两个直角梯形 ABFE 和 CDEF，将梯形 CDEF 沿边 EF 翻折， 如图 2，在翻折的过程中（平面 ABFE 和平面 CDEF 不重合），下面说法正确的是（ ） A．存在某一位置，使得 CD∥平面 ABFE B．存在某一位置，使得 DE∥平面 ABFE C．在翻折的过程中，BF∥平面 ADE 恒成立 D．在翻折的过程中，BF⊥平面 CDEF 恒成立
，
m AB 0
2x z 0
∴ 2x y 0 ，令 x=1 可得 m =（1，2，2）．
∴cos＜ PF ， m ＞=
PF m PF m
=
1 = 2 ． 2 3 6
设 PF 与面 PAB 所成角为 θ，则 sinθ=|cos＜ PF ， m ＞|=
2．
6
∴PF 与面 PAB 所成角的正弦值为 2 ． 6
-6-
-6--6-
18. 如图，三棱锥 P-ABC 中，PC，AC，BC 两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G 分别是 AB，AC， AP 的中点． （1）证明：平面 GEF//面 PCB； （2）求直线 PF 与平面 PAB 所成角的正弦值．
【考点】面面平行的判定，线面角计算
【难度】中
山西大学附中 2018~2019 学年第一学期高二期中考试
数学试题（理）
考试时间：90 分钟 满分:100 分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题 目要求的）
1. 直线 3x y 1=0 的倾斜角大小（ ）
π A．
6
π B．
3
【考点】斜率与倾斜角的关系
【答案】B
【解析】三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，直线 PQ 与平面 ABC 所成角为 θ，
PA 3 如图所示；则 sinθ= PQ = PQ ，且 sinθ 的最大值是
3 2
，
∴（PQ）min=2 3 ，∴AQ 的最小值是 3 ，即 A 到 BC 的距离为 3 ，
∴AQ⊥BC，∵AB=2
34
32
3
6 ∴B1 到平面 A1FCE 的距离为 ．
3
9. 过正方形 ABCD 的顶点 A，引 PA⊥平面 ABCD． 若 PA=BA，则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面
角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【考点】二面角的大小的求法
【难度】易 【答案】B
10. 在三棱锥 P−ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC=90°，D，E 分别是 BC、AB 的中点，AB≠AC，且
【考点】待定系数法求直线的截距式方程
【难度】易 【答案】2x+y﹣4=0 或 x+y﹣3=0 【解析】设直线 l 的横截距为 a，由题意可得纵截距为 6﹣a，
∴直线 l 的方程为 x y 1 ， a 6a
∵点（1，2）在直线 l 上， ∴ 1 2 1，
a 6a 解得：a1=2，a2=3， 当 a=2 时，直线的方程为 2x+y﹣4=0，直线经过第一、二、四象限； 当 a=3 时，直线的方程为 x+y﹣3=0，直线经过第一、二、四象限． 综上所述，所求直线方程为 2x+y﹣4=0 或 x+y﹣3=0．
3 ）×
3 =0， 2
PA DC = 3 ×0+0×2+（﹣ 3 ）×0=0，
∴ PA DM ， PA DC ，∴PA⊥DM，PA⊥DC，
∵DM∩DC=D，∴PA⊥平面 DMC．
（2） CM =（
3 ，0，
3
）， CB
=（
3 ，1，0），
2
2
设平面 B MC 的法向量为 n =（x，y，z），
则：
①棱 AB 与 PD 所在直线垂直；
②平面 PBC 与平面 ABCD 垂直；
③△PCD 的面积大于△PAB 的面积；
④直线 AE 与平面 BF 是异面直线．
以上结论正确的是
．(写出所有正确结论的编号)
-5-
-5--5-
【考点】直线与平面垂直的性质，异面直线的判定和平面与平面垂直的判定
【难度】中 【答案】①③ 【解析】对于（1）棱 AB⊥面 PAD，PD⊂面 PAD，∴棱 AB 棱 AB 与 PD 所在的直线垂直，故正确；
【答案】（1）见解析；（2） 2 6
【解析】（1）证明：∵E，F，G 分别是 AB，AC，AP 的中点，
∴EF∥BC，又 BC⊂平面 PBC，EF⊄平面 PBC，∴EF∥平面 PBC，
同理可得：GF∥平面 PBC，又 EF⊂平面 GEF，GF⊂平面 GEF，GF∩EF=F，
∴平面 GEF∥平面 PBC．
∴三棱锥 P﹣ABC 的外接球的表面积是
-4-
-4--4-
S=4πR2=4×
57 2
2
=57π．
故选：B．
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）
13. 已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则它的体积是
．
【考点】圆锥的体积计算
【难度】易 【答案】 3
3
14. 已知直线 l 经过点 P（1，0）且与以 A（2，1），B（3，-2）为端点的线段 AB 有公共点，则直线 l
C．恒过定点（-2，3）和（2，3）
D．都是平行线
【考点】恒过定点的直线
【难度】易
【答案】A
-1-
-1--1-
5.
在空间直角坐标系中，已知点
P1（ 0 ， 2，3 ），P2（ 0 ，1，1），点
P
在
x
轴上，若
PP 1
=2
PP 2
，
则点 P 的坐标为（ ）
A．（1，0，0）或（-1，0，0）
B．（ 7 ，0，0 ）或（ 7 ，0，0 ）