人教版高中数学选修3-4 第一讲 1 平面刚体运动 (共40张PPT)教育课件
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（2）任取平面α内的一点P′,存在平面 α 内的点P,使得P′是P在变换m作用下的象；
（3）任取平面α内的两点P1,P2,如果P1≠P2, 那么它们的象也是不同的,即m(P1)≠m(P2);
（4）任取平面α内的两点P,Q,使它们在m 下的象是P′,Q′即 P′=m(P),Q′=m(Q),那么|P′Q′|=|PQ|,即点 P′,Q′之间的距离与点P,Q之间的距离相 等．
想一想
你能举出一些平面刚体运动的例子吗？
实际上,我们在过去的学习中碰到 过许多平面刚体运动．例如,我们熟悉 的平移就是一平面刚体运动．
设α是一个平面,点O是α内的一个定 点,v是一个以O为起点的定向量,平移是 指平面内一个点到点的映射
t：P→P′,
t 把平面内的任意一点P映射到点P′,且满 足
OP OP v
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
口
罗
不
–
■
电
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角度 会
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
最后,我们讨论一类特殊的平面刚体运动. 设
m：平面α →平面α
是一个平面刚体运动,若在平面α内至少 存在一个点O,点O在m的作用下保持不动,即 m(O)=O,我们称m为有不动点的平面刚体运 动．
课堂小结
1.平面刚体运动的定义 设α是一个平面,映射 m：平面α →平面α 是一个一一映射,若m保持平面α内任 意两点间的距离不变,则称m是一个 平面刚体运动．
探究
设P,Q是平面内的任意两点,在旋转 （或反射）变换的作用下,它们的对应点 分别是P′,Q′.P′到Q′的距离与P到Q的距离 有什么关系？
结论
可以发现,反射变换和旋转变换有 一个共同的特点,即所谓的“保距性”. 也就是说,对于平面内的任意两点P和Q, 在反射（或旋转）变换的作用下的对应 点是P′和Q′,那么P′到Q′的距离等于P到 Q的距离．
将平面α内的直线映成直线,射线映成 射线,线段映成等长的线段．
证明：令l是平面α内的任意一条直线,设m
把l上所有的点映到点集l′.
在l上任取两点A,B,设m把它们分别映 到A′,B′.下面我们来证明l′是过点A′,B′的直 线．
在AB上任取一点C,设m把点C映射到点 C′.
（1）如下图,当点C在AB之间时,由平面刚体 运动的定义得
2.平面刚体运动的性质
平面刚体运动 m：平面α →平面α
将平面α内的直线映成直线,射线映成射线,
线段映成等长的线段．
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
P′
O
P
在看一下正方形的旋转,取正方形 ABCD的中心O为固定点,设ρ是以点O为 中心转180°的旋转．那么在ρ的作用下, 正方形上任意一点P被映到了正方形上另 一点P′,正方形的顶点A,B,C,D依次被映到 点C,D,A,B,正方形ABCD被映到正方形 CDAB,显然这两个正方形重合．
A(C) P B(D)
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
旧知回顾
对称图形有什么特点？
思考一
导入新课
A
在一张纸（平面）上画一
个等腰△ABC,在它的底边的垂
直平分线AD处放一面“双面
镜”,并使镜面与纸面垂直,在镜
面的反射下,△ABC被映射成了 B(C) D
C(B)
什么图形？这个图形与△ABC
有什么关系？
思考二
A(C)
D(B)
一个正方形ABCD
绕它的中心O逆时针旋
l
A
B
C
↓m
A′
B′
C′
l′
同理可证,当点C在BA的延长线上时,点 C′在线段B′A′的延长线上．
由点A,B,C的任意性可知,l′是一条直 线．
如何证明平面刚体运动m：平面α → 平面α将平面α上的射线映成射线,线段映成 等长的线段？
下面,我们说明三角形在平面刚体运动的 作用下,形状和大小都保持不变．
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
–
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
•
■电 你是 否有 这样 经历 ，当 你 在做 某一 项工 作和 学习 的 时候 ，脑 子里 经常 会蹦 出各 种 不同 的需 求。 比如 你想 安 心 下来 看2 小时 的书 ，大 脑会 蹦出 口渴 想 喝水 ，然 后喝 水的 时候 自 然的 打开 电视 。。 。。 。。 ， 一个 小时 过去 了， 可 能书 还没 看2 页。 很多 时候 甚至 你自 己 都没 有意 思到 ，你 的大 脑 不停 地超 控你 的注 意力 ，你 就 这么 轻易 的被 你的 大 脑所 左右 。你 已经 不知 不觉 地 变成 了大 脑的 奴隶 。尽 管 你在 用它 思考 ，但 是你 要明 白你 不应 该隶 属于 你的 大脑 ， 而应该 是你 拥有 你的 大脑 ，并 且应 该是 你可 以控 制你 的大 脑才 对。 一切 从你 意识 到你 可以 控制 你的 大脑 的时 候， 会改变 你的 很多 东西 。比 如控 制你 的情 绪， 无论 身处 何种 境地 ，都 要明 白
我们可以对以O为中心转180°的旋 转进行推广,把旋转180°改为任意角度, 这样我们就可以定义一个映射,来表示平 面以一个固定点P为中心转任意给定角度 的旋转.这样定义的映射在数学上称为旋 转变换.
特别地,旋转角度为0°的旋转变换是把 平面上的所有点映射到它自身,这个映射使 整个平面上的每个点都保持不动,所以称为 恒等变换．
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
，
1
5
分
钟
后
你
还
没
有
弄
完
我
就
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
➢ 结合课本所给的例子,进行简绍．
【情感态度与价值观】
➢通过前后知识的对比,得出平面 刚体运动的定义及其性质,学习各 种变换的特点,使同学们体会到,探 索在某种变换下的不变量或不变关 系,是数学研究的重要问题．
教学重难点
重点
平面刚体运动的定义、性质
难点
不动点
我们知道,一个平面可以看成是点的集合,就像 我们把直线看成点的集合一样．
D(B)
注意
O
P′
若没有特别
说明,旋转的方向
都是指逆时针方
向．
C(A)
一般地,如果一个平面图形在影射ρ （以点O为中心转180°的旋转）的作用 下仍与原来的图形重合,我们就称这个平 面图形是一个中心对称图形．
按照这个定义,引言中的平行四边形、 正六边形、圆都是中心对称图形吗？这个 定义与引言中的定义2是等价的吗？
|A′C′|+|C′B′|=|AC|+|CB|
=|AB|=|A′B′| 所以点C′在线段A′B′上．
A
C
↓m
A′
C′
l B
B′
l′
（2）如下图,当点C在AB的延长线上时,我们 有
|A′B′|+|B′C′|=|AB|+|BC|
=|AC|=|A′C′|
所以点B′在线段A′C′上,即点C′在线段A′B′ 的延长线上．
180°
转180°后,变成了什么
图形？得到的图形与
原来的图形有什么关
系？
B(D)
C(A)
教学目标
【知识与能力】
➢了解平面刚体运动的定义,区分它 与对称定义的区别和联系．
➢掌握平面刚体运动的特点、性质． ➢学会寻找不动点．
【过程与方法】
➢通过丰富的实例,让学生合作探讨,老 师分析点评,与前面所学的知识进行对 比学习.经过对比掌握平面刚体运动的 定义和性质.
如下图,设△ABC是平面α内的任意一 个三角形,由已证命题可知,平面刚体运动
m：平面α →平面α
把线段AB,BC,AC依次映成线段 A′B′,B′C′,A′C′.
而且 AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.
A
A′
C′
m
B
C
B′
由于
AB+BC>AC, 故
A′B′+B′C′>A′C′,
所以A′B′,B′C′,C′A′构成了一个以 A′,B′,C′为顶点的三角形,而且△ABC与 △A′B′C′是全等的．
P
P′
O
v
这个映射在数学上称为平移变换. 在平移变换t的作用下,平面内的所有点 沿着定向量v的方向,移动了距离|v|．
平面刚体运动m：平面→平面有 哪些性质呢？保持距离不变是m的一个 很强的性质．可以证明,只要知道不共 线的3个点A,B,C在m下的象A,B,C,m就 完全确定下来了．
命题
平面刚体运动 m：平面α →平面α
现在,我们考虑整个平面内一个固定点逆 时针转180°的旋转,准确地说,设α是一个平 面内所有点构成的集合,O是平面α内的一个 固定点,定义点集（平面） α到其自身的一个 映射
ρ:P→P′
把平面 内的任意一点P绕点O旋转 180°后映到点P ′,这个映射称为以点O为中 心转180°的旋转．
180°
定义
设α是一个平面,映射 m：平面α →平面α
是一个一一映射,若m保持平面α内任 意两点间的距离不变,则称m是一个平 面刚体运动．
下面我们对上述定义作一个简单的解释。 任意一个平面刚体运动m： 平面α →平面 α ,都满足下面四条：
（1） 对于平面α内的任意一点P,在平面α 内存在唯一的一点P′与之对应,记作 P′=m(P),P′叫做P在m作用下的象；
我们现在用整个平面来代替思考一当中的等腰 三角形,来考察整个平面关于“双镜面”的反射．
设α是一个由平面内的所有点组成的集 合,l是这个平面内的一条直线,定义点集α （平面） 到其自身的一个映射
r： P →P′ ,
r 把平面α内的任意一点P 映到点P关 于直线 l 的对称点P′,我们把这个映射称为 平面α关于直线 l 的反射.数学上,把这样定 义的反射称为平面α的一个反射变换．
（3）任取平面α内的两点P1,P2,如果P1≠P2, 那么它们的象也是不同的,即m(P1)≠m(P2);
（4）任取平面α内的两点P,Q,使它们在m 下的象是P′,Q′即 P′=m(P),Q′=m(Q),那么|P′Q′|=|PQ|,即点 P′,Q′之间的距离与点P,Q之间的距离相 等．
想一想
你能举出一些平面刚体运动的例子吗？
实际上,我们在过去的学习中碰到 过许多平面刚体运动．例如,我们熟悉 的平移就是一平面刚体运动．
设α是一个平面,点O是α内的一个定 点,v是一个以O为起点的定向量,平移是 指平面内一个点到点的映射
t：P→P′,
t 把平面内的任意一点P映射到点P′,且满 足
OP OP v
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
口
罗
不
–
■
电
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角度 会
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
最后,我们讨论一类特殊的平面刚体运动. 设
m：平面α →平面α
是一个平面刚体运动,若在平面α内至少 存在一个点O,点O在m的作用下保持不动,即 m(O)=O,我们称m为有不动点的平面刚体运 动．
课堂小结
1.平面刚体运动的定义 设α是一个平面,映射 m：平面α →平面α 是一个一一映射,若m保持平面α内任 意两点间的距离不变,则称m是一个 平面刚体运动．
探究
设P,Q是平面内的任意两点,在旋转 （或反射）变换的作用下,它们的对应点 分别是P′,Q′.P′到Q′的距离与P到Q的距离 有什么关系？
结论
可以发现,反射变换和旋转变换有 一个共同的特点,即所谓的“保距性”. 也就是说,对于平面内的任意两点P和Q, 在反射（或旋转）变换的作用下的对应 点是P′和Q′,那么P′到Q′的距离等于P到 Q的距离．
将平面α内的直线映成直线,射线映成 射线,线段映成等长的线段．
证明：令l是平面α内的任意一条直线,设m
把l上所有的点映到点集l′.
在l上任取两点A,B,设m把它们分别映 到A′,B′.下面我们来证明l′是过点A′,B′的直 线．
在AB上任取一点C,设m把点C映射到点 C′.
（1）如下图,当点C在AB之间时,由平面刚体 运动的定义得
2.平面刚体运动的性质
平面刚体运动 m：平面α →平面α
将平面α内的直线映成直线,射线映成射线,
线段映成等长的线段．
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
P′
O
P
在看一下正方形的旋转,取正方形 ABCD的中心O为固定点,设ρ是以点O为 中心转180°的旋转．那么在ρ的作用下, 正方形上任意一点P被映到了正方形上另 一点P′,正方形的顶点A,B,C,D依次被映到 点C,D,A,B,正方形ABCD被映到正方形 CDAB,显然这两个正方形重合．
A(C) P B(D)
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
旧知回顾
对称图形有什么特点？
思考一
导入新课
A
在一张纸（平面）上画一
个等腰△ABC,在它的底边的垂
直平分线AD处放一面“双面
镜”,并使镜面与纸面垂直,在镜
面的反射下,△ABC被映射成了 B(C) D
C(B)
什么图形？这个图形与△ABC
有什么关系？
思考二
A(C)
D(B)
一个正方形ABCD
绕它的中心O逆时针旋
l
A
B
C
↓m
A′
B′
C′
l′
同理可证,当点C在BA的延长线上时,点 C′在线段B′A′的延长线上．
由点A,B,C的任意性可知,l′是一条直 线．
如何证明平面刚体运动m：平面α → 平面α将平面α上的射线映成射线,线段映成 等长的线段？
下面,我们说明三角形在平面刚体运动的 作用下,形状和大小都保持不变．
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
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成
我
自
己
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你
和
尔
东
口
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其
实
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是
•
■电 你是 否有 这样 经历 ，当 你 在做 某一 项工 作和 学习 的 时候 ，脑 子里 经常 会蹦 出各 种 不同 的需 求。 比如 你想 安 心 下来 看2 小时 的书 ，大 脑会 蹦出 口渴 想 喝水 ，然 后喝 水的 时候 自 然的 打开 电视 。。 。。 。。 ， 一个 小时 过去 了， 可 能书 还没 看2 页。 很多 时候 甚至 你自 己 都没 有意 思到 ，你 的大 脑 不停 地超 控你 的注 意力 ，你 就 这么 轻易 的被 你的 大 脑所 左右 。你 已经 不知 不觉 地 变成 了大 脑的 奴隶 。尽 管 你在 用它 思考 ，但 是你 要明 白你 不应 该隶 属于 你的 大脑 ， 而应该 是你 拥有 你的 大脑 ，并 且应 该是 你可 以控 制你 的大 脑才 对。 一切 从你 意识 到你 可以 控制 你的 大脑 的时 候， 会改变 你的 很多 东西 。比 如控 制你 的情 绪， 无论 身处 何种 境地 ，都 要明 白
我们可以对以O为中心转180°的旋 转进行推广,把旋转180°改为任意角度, 这样我们就可以定义一个映射,来表示平 面以一个固定点P为中心转任意给定角度 的旋转.这样定义的映射在数学上称为旋 转变换.
特别地,旋转角度为0°的旋转变换是把 平面上的所有点映射到它自身,这个映射使 整个平面上的每个点都保持不动,所以称为 恒等变换．
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
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里
尼
拍
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一
部
戏
时
就
穿
戴
得
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
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底
层
爬
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我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
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西
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所
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什
么
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多
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候
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现
场
我
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想
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你
可
但
是
当
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己
➢ 结合课本所给的例子,进行简绍．
【情感态度与价值观】
➢通过前后知识的对比,得出平面 刚体运动的定义及其性质,学习各 种变换的特点,使同学们体会到,探 索在某种变换下的不变量或不变关 系,是数学研究的重要问题．
教学重难点
重点
平面刚体运动的定义、性质
难点
不动点
我们知道,一个平面可以看成是点的集合,就像 我们把直线看成点的集合一样．
D(B)
注意
O
P′
若没有特别
说明,旋转的方向
都是指逆时针方
向．
C(A)
一般地,如果一个平面图形在影射ρ （以点O为中心转180°的旋转）的作用 下仍与原来的图形重合,我们就称这个平 面图形是一个中心对称图形．
按照这个定义,引言中的平行四边形、 正六边形、圆都是中心对称图形吗？这个 定义与引言中的定义2是等价的吗？
|A′C′|+|C′B′|=|AC|+|CB|
=|AB|=|A′B′| 所以点C′在线段A′B′上．
A
C
↓m
A′
C′
l B
B′
l′
（2）如下图,当点C在AB的延长线上时,我们 有
|A′B′|+|B′C′|=|AB|+|BC|
=|AC|=|A′C′|
所以点B′在线段A′C′上,即点C′在线段A′B′ 的延长线上．
180°
转180°后,变成了什么
图形？得到的图形与
原来的图形有什么关
系？
B(D)
C(A)
教学目标
【知识与能力】
➢了解平面刚体运动的定义,区分它 与对称定义的区别和联系．
➢掌握平面刚体运动的特点、性质． ➢学会寻找不动点．
【过程与方法】
➢通过丰富的实例,让学生合作探讨,老 师分析点评,与前面所学的知识进行对 比学习.经过对比掌握平面刚体运动的 定义和性质.
如下图,设△ABC是平面α内的任意一 个三角形,由已证命题可知,平面刚体运动
m：平面α →平面α
把线段AB,BC,AC依次映成线段 A′B′,B′C′,A′C′.
而且 AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.
A
A′
C′
m
B
C
B′
由于
AB+BC>AC, 故
A′B′+B′C′>A′C′,
所以A′B′,B′C′,C′A′构成了一个以 A′,B′,C′为顶点的三角形,而且△ABC与 △A′B′C′是全等的．
P
P′
O
v
这个映射在数学上称为平移变换. 在平移变换t的作用下,平面内的所有点 沿着定向量v的方向,移动了距离|v|．
平面刚体运动m：平面→平面有 哪些性质呢？保持距离不变是m的一个 很强的性质．可以证明,只要知道不共 线的3个点A,B,C在m下的象A,B,C,m就 完全确定下来了．
命题
平面刚体运动 m：平面α →平面α
现在,我们考虑整个平面内一个固定点逆 时针转180°的旋转,准确地说,设α是一个平 面内所有点构成的集合,O是平面α内的一个 固定点,定义点集（平面） α到其自身的一个 映射
ρ:P→P′
把平面 内的任意一点P绕点O旋转 180°后映到点P ′,这个映射称为以点O为中 心转180°的旋转．
180°
定义
设α是一个平面,映射 m：平面α →平面α
是一个一一映射,若m保持平面α内任 意两点间的距离不变,则称m是一个平 面刚体运动．
下面我们对上述定义作一个简单的解释。 任意一个平面刚体运动m： 平面α →平面 α ,都满足下面四条：
（1） 对于平面α内的任意一点P,在平面α 内存在唯一的一点P′与之对应,记作 P′=m(P),P′叫做P在m作用下的象；
我们现在用整个平面来代替思考一当中的等腰 三角形,来考察整个平面关于“双镜面”的反射．
设α是一个由平面内的所有点组成的集 合,l是这个平面内的一条直线,定义点集α （平面） 到其自身的一个映射
r： P →P′ ,
r 把平面α内的任意一点P 映到点P关 于直线 l 的对称点P′,我们把这个映射称为 平面α关于直线 l 的反射.数学上,把这样定 义的反射称为平面α的一个反射变换．