2020年湖南省长沙市博才实验中学高三数学文联考试卷含解析

2020年湖南省长沙市博才实验中学高三数学文联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“A?B”是“a=3”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】集合A={1，a}，B={1，2，3}，由“A?B”，可得：a=2或3．即可判断出结论．【解答】解：集合A={1，a}，B={1，2，3}，由“A?B”，可得：a=2或3．
∴“A?B”是“a=3”的必要不充分条件．
故选：B．
2. “”是“”的（）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
参考答案：
A
3. 如图, 有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于轴的直线
经过原点向右平行移动,在移动过程中扫过平面图形的面积为(图
中阴影部分), 若函数的大致图象如图, 那么平面图形的形状不可能是（）
A． B． C． D ．
参考答案：
C
考点：函数图像
【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
4. 函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．
【解答】解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，
∴其图象必过点（1，1）．
故排除A、B，
又∵g（x）=21﹣x=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得
故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，
故排除D
故选C
5. 建立从集合到集合的所有函数，从中随机的抽取一个函数，其值域是B的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
6. 执行如图的算法框图，如果输入p=5，则输出的S等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
7. 有两张卡片，一张的正反面分别写着数字与，另一张的正反面分别写着数字与
，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是
A． B． C．
D．
参考答案：
C
8. 如下图，是把二进制数化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填入的条件是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．14 B．15 C．16 D．17
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．
【解答】解：第一次循环：，n=2；
第二次循环：，n=3；
第三次循环：，n=4；
…
第n次循环：=，n=n+1
令解得n＞15
∴输出的结果是n+1=16
故选：C．
【点评】本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．10. 下列命题是真命题的
是
( )
A.是的充要条件
B.，是的充分条件
C.，＞
D.，＜0 参考答案：
B
A.是的充要条件，错误，若，当c=0时，不成立；
C.，＞，错误，例如：x=2时，=；
D.，＜0，错误，对于，>0。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列的通项公式为，前项和为，则
．
参考答案：
1011
12. 已知定义在R上的函数g（x）=2x+2﹣x+|x|，则满足g（2x﹣1）＜g（3）的x的取值范围是．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵g（x）=2x+2﹣x+|x|，
∴g（﹣x）=2x+2﹣x+|﹣x|=2x+2﹣x+|x|=g（x），
则函数g（x）为偶函数，
当x≥0时，g（x）=2x+2﹣x+x，
则g′（x）=ln2（2x﹣2﹣x）+1，
则当x≥0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，
则不等式g（2x﹣1）＜g（3）等价为g（|2x﹣1|）＜g（3），
即|2x﹣1|＜3，
即﹣3＜2x﹣1＜3，
解得﹣1＜x＜2，
即x的取值范围是（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．
13. 下列四个命题：
①直线与圆恒有公共点；
②为△ABC的内角，则最小值为；
③已知a，b是两条异面直线，则过空间任意一点P都能作并且只能作一条直线与a，b都垂直；
④等差数列{}中，则使其前n项和成立的最大正整数为2013;
其中正确命题的序号为。

（将你认为正确的命题的序号都填上）
参考答案：
①③
略
14. 已知角的终边经过点（-4,3），则cos=__________
参考答案：
－
略
15. 函数的定义域是______________.
参考答案：
{x | x >1 }
略
16. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0(x1≠x2)，有>0.则f(－2)，f(1)，f(3)从小到大的顺序是________．
参考答案：
f(3)<f(－2)<f(1)
17. 如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为
．。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分）在某校高中学生的校本课程选课过程中，规定每位学生必选一个科目，并且只选一个科目．已知某班一组与二组各有6位同学，选课情况如下表：
人．
（Ⅰ）求选出的4人均选科目乙的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4个人中选科目甲的人数，求X的分布列和数学期望．
参考答案：
（Ⅰ）设“选出的4人均选科目乙”为事件A，
即事件A为“一组的确良人和二组的2人均选科目乙”，
根据题意，得P（A）===．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）===，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）===，
∴随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴EX==1．
19. 已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量，
,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若向量,试求的取值范围.
参考答案：
解：(Ⅰ)由题意得，…2分
即. ……3分.
由余弦定理得,
. ……………………5分
(Ⅱ), ……………………6分
…………………8分
. ……………………10分
所以，故. ……………………12分
略
20. 已知,,分别为△三个内角,,的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若,且△的面积为,求的值.
参考答案：
（Ⅰ）由正弦定理得：
…………2分
由于，∴，∴
即
…………4分
∵，∴
∴
∴…………6分
（Ⅱ）由：可得∴…………8分
由余弦定理得：
…………10分∴…………12分
21. 已知椭圆的左、右顶点为，点P为椭圆C上
一动点，且直线AP，BP的斜率之积为.
（Ⅰ）求a，b及离心率e的值；
（Ⅱ）若点M，N是C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON 的面积为定值.
参考答案：
解：（1）由左、右顶点分别为，，知，
又知，
又，得，
所以椭圆的方程为.离心率.
（2）设直线的直线方程为，设坐标，，
由，，，得，即得坐标关系
；
直线的方程与椭圆方程联立，得
，
利用韦达定理可得，，
，
代入，可得，
而，
将代入化简得.
的面积为定值1.
22. 16．（本小题满分13分）
已知集合={-2，0，2}，={-1，1}.
（Ⅰ）若M={|,}，用列举法表示集合；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的集合M内，随机取出一个元素，求以为坐标的点位于区域D：内的概率.
参考答案：
解：（Ⅰ）M ={(-2, -1)，(-2,1)，(0, -1)，(0,1)，(2, -1)，(2,
1)}. ……………6分
（Ⅱ）记“以(x，y)为坐标的点位于区域D内”为事件A.
集合M中共有6个元素，即基本事件总数为6，区域D含有集合M中的元素4个，
所以.
故以(x，y)为坐标的点位于区域D内的概率为. ……………………………13分
略。