高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第4课时 直线与平面垂直的性质学案 苏教版必修2

第4课时 直线与平面垂直的性质
学习目标 1.掌握空间中线面垂直的性质定理.2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.掌握线面垂直的判定与性质的综合应用.
知识点 直线与平面垂直的性质定理
思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？ 梳理
文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线______
符号语言
⎭
⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b
图形语言
类型一 线面垂直的性质定理及应用
例1 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面
A 1DC .求证：MN ∥AD 1.
引申探究
若本例的条件不变，求证：M 是AB 的中点.
反思与感悟证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证明两条直线共面且无公共点.
(2)利用三线平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直.
跟踪训练1 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
类型二线面垂直的综合应用
命题角度1 线面垂直中的探索性问题
例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.
(1)求证：AE⊥DA1；
(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.
反思与感悟探索性问题主要有两种类型：一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立
的条件.二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”.
跟踪训练2 如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，CC1＝5，M是棱CC1上一点，是否存在这样的点M，使得BM⊥平面A1B1M？若存在，求出C1M的长；若不存在，请说明理由.
命题角度2 线线、线面垂直的相互转化
例3 如图所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.
(1)求证：SC⊥AF；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
反思与感悟(1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可.
(2)证明的转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直.
跟踪训练3 如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
1.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是________.
2.线段a和b在正方体ABCD—A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________.(填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.
3.如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________.
4.如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F.求证：EF⊥PC.
1.空间线面垂直与线线垂直经常相互转化.判定定理是将一条直线与平面内的两条相交的直线的垂直关系转化为直线与平面的垂直关系；同样直线与平面的垂直的定义也揭示了这两类垂直关系的转化.
2.垂直关系与平行关系也可以相互转化.
(1)线面平行的性质定理a⊥α，b⊥α⇒a∥b；
(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α；(需要利用线面垂直的定义证明)
(3)a⊥α，b∥α⇒a⊥b；(需要证明)
(4)a⊥α，a⊥b，b⊄α⇒b∥α.(需要证明)
答案精析
问题导学 知识点 思考 平行． 梳理 平行 题型探究
例1 证明 因为ADD 1A 1为正方形， 所以AD 1⊥A 1D .
又因为CD ⊥平面ADD 1A 1， 所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D ∩CD ＝D ， 所以AD 1⊥平面A 1DC . 又因为MN ⊥平面A 1DC ， 所以MN ∥AD 1. 引申探究
证明 连结ON ，在△A 1DC 中，
A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON 綊1
2CD 綊12
AB ，
∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，
∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM .
∵ON ＝12AB ，∴AM ＝1
2AB ，
∴M 是AB 的中点． 跟踪训练1
证明 连结AB 1，B 1C ，BD ，B 1D 1，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，B1C∩AC＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥AC，EF⊥A1D，
又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
例2 (1)证明连结AD1，BC1，
由正方体的性质可知，
DA1⊥AD1，DA1⊥AB，
又AB∩AD1＝A，
∴DA1⊥平面ABC1D1.
又AE⊂平面ABC1D1，
∴DA1⊥AE.
(2)解所求G点即为A1点，证明如下：
由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，
可证DF⊥平面AHE，
∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.
又DF∩A1D＝D，
∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.
跟踪训练2 解 假设存在点M 使得BM ⊥平面A 1B 1M ，并设C 1M ＝x ， 则有Rt△B 1C 1M ∽Rt△BMB 1. ∴
C 1M B 1M ＝B 1M BB 1
，∴4＋x 2
＝5x ， ∴x ＝4或x ＝1. 当C 1M ＝1或4时， 使得BM ⊥平面A 1B 1M .
例3 证明 (1)∵SA ⊥平面ABCD ，
BC ⊂平面ABCD ，
∴SA ⊥BC .
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . 又AB ∩SA ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ，
又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AE . 又SB ⊥AE ，SB ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面SBC ，
又∵SC ⊂平面SBC ，∴AE ⊥SC . 又EF ⊥SC ，EF ∩AE ＝E ， ∴SC ⊥平面AEF . 又AF ⊂平面AEF ， ∴SC ⊥AF .
(2)∵SA ⊥平面ABCD ，
CD ⊂平面ABCD ，
∴SA ⊥CD .
又四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD . 又SA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面SAD . 又AG ⊂平面SAD ，∴CD ⊥AG . 由(1)可知，SC ⊥平面AEF ， ∵AG ⊂平面AEF ，∴AG ⊥SC ， 又SC ∩CD ＝C ，∴AG ⊥平面SCD ， 又SD ⊂平面SCD ，∴AG ⊥SD .
跟踪训练3 证明 (1)在平面ABC 内任取一点D ，作DF ⊥AC 于点F ，作DG ⊥AB 于点G .
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.
∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.
同理可证DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC. (2)连结BE并延长交PC于点H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.
又∵AE⊥平面PBC，∴PC⊥AE.
∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，
∴PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．当堂训练
1．平行 2.①②③ 3.平行
4．证明∵PA⊥平面ABC，
BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA.
又BC⊥AB，AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAB.
又∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC.
又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC.
又AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，
又EF⊂平面AEF，
∴EF⊥PC.。