重庆市中考数学一轮复习 第四章 三角形 第3节 全等三角形练习册-人教版初中九年级全册数学试题

第3节全等三角形
(建议答题时间：60分钟)
基础过关
1. 如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝( )
A. ∠B
B. ∠A
C. ∠EMF
D.∠AFB
第1题图第2题图
2. (人教八上第44页11题改编)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A. AB＝DE
B.AC＝DF
C. ∠A＝∠D
D.BF＝EC
3. 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
第3题图第4题图第5题图
4. 注重开放探究(2017某某)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：____________________________，使得△ABC≌△DEC.
5. 如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝________.
6. 如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为________．
第6题图
7. (2017某某)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A ＝∠D.
第7题图
8. (2017某某)如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．
第8题图
9. (2017某某)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE＝CF，AE＝BF，求证：AC∥BD.
第9题图
10. (2017某某巴南区期中检测)如图，在四边形ABCD中，点E在对角线AC上，AB∥DE，
∠ACB＝∠ADE，AB＝EA，求证：AC＝ED.
第10题图
11. (人教八上第44页4题改编)如图所示，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件，证明：AB ＝AC.
(1)你添加的条件是________________；
(2)请写出证明过程．
第11题图
12. (2017某某一中期中考试)如图，AF∥DE，点B、C在线段AD上，且∠E＝∠F，连接FC、EB，延长EB交AF于点G.
(1)求证：BE∥CF；
(2)若CF＝BE，求证：AB＝CD.
第12题图
13. (2017某某)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
第13题图
14. (2017某某)已知，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.
(1)如图①，求证：AE＝BD；
(2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．
第14题图
满分冲关
1. (2017滨州)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论：(1)PM ＝PN 恒成立；(2)OM ＋ON 的值不变；(3)四边形PMON 的面积不变；(4)MN 的长不变，其中正确的个数为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
第1题图第2题图
2. (2018原创) 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF .给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AC ＝3BF ，其中正确的结论共有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3. (2017某某建设兵团)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中： ①∠ABC ＝∠ADC ； ②AC 与BD 互相平分；
③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角；
④四边形ABCD 的面积S ＝1
2
AC ·BD ，正确的是________．(填写所有正确结论的序号)
第3题图
4. (2017某某)如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
第4题图
5. (2017某某)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．
第5题图
6. (2017某某)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的
中点．
(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；
(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．
第6题图
7. (2017德阳)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G.
(1)证明：△CFG≌△AEG；
(2)若AB＝4，求四边形AGCD的对角线GD的长．
第7题图
8. (2017)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
第8题图
9. (2018原创)已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．
(1)如图①，当AC⊥DE，且AD＝2时，求线段BC的长度；
(2)如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF ＝EG.
第9题图
答案
基础过关 1. A 2. C
3. D 【解析】∵AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴CD ＝BD ，∠BDO ＝∠CDO ＝90°，
在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC AD ＝AD BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD (SSS )，∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，AE
＝CE ，在△AOE 和△COE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧OA ＝OC OE ＝OE AE ＝CE
，∴△AOE ≌△COE (SSS )；
在△BOD 和△COD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠BDO＝∠CDO OD ＝OD ，∴△BOD ≌△COD (SAS )；在△AOC 和△AOB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AC ＝AB OA ＝OA OC ＝OB ，
∴△AOC ≌△AOB (SSS )． 4. AB ＝DE (答案不唯一)
5. 4 【解析】∵AB ∥CF ，∴∠ADE ＝∠CFE ，∵E 是DF 的中点，∴DE ＝EF ，在△ADE 与△CFE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠ADE ＝∠CFE DE ＝FE ∠AED＝∠CEF ，∴△ADE ≌△CFE (ASA )，∴AD ＝CF ，∵AB ＝10，CF ＝6，∴BD ＝AB －AD
＝10－6＝4.
6. 120° 【解析】∵△ACD 和△BCE 均为等边三角形，∴∠DCA ＝∠BCE ＝60°，AC ＝DC ，
BC ＝EC ，∴∠DCB ＝∠DCA ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE (SAS )，∴∠CDB
＝∠CAE ，∴∠AOB ＝∠DAO ＋∠ADO ＝∠DAC ＋∠CAE ＋∠ADC －∠CDB ＝∠ADC ＋∠DAC ＝120°. 7. 证明：∵BE ＝CF ， ∴BC ＝EF ，
在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝DE AC ＝DF BC ＝EF ，
∴△ABC ≌△DEF (SSS )， ∴∠A ＝∠D .
8. 解：CD ∥AB ，CD ＝AB .
证明： ∵CE ＝BF ，
∴CF ＝BE ，
又∵∠CFD ＝∠BEA ，DF ＝AE ，
∴△CFD ≌△BEA (SAS )，
∴CD ＝AB ，∠C ＝∠B ，
∴CD ∥AB .
9. 证明：∵DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，
∴∠BED ＝∠AFC ＝90°，
又∵AE ＝BF ，
∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ，
∴AF ＝BE .
在△ACF 和△BDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝BE ∠AFC＝∠BED CF ＝DE
，
∴△ACF ≌△BDE (SAS )，
∴∠A ＝∠B ，
∴AC ∥BD .
10. 证明：∵AB ∥DE ，
∴∠BAC ＝∠AED ，
在△ABC 和△EAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB ＝∠ADE ∠BAC＝∠AED AB ＝EA
，
∴△ABC ≌△EAD (AAS )，
∴AC ＝ED .
11. (1)解：∠B ＝∠C 或∠ADB ＝∠ADC 等；
(2)证明：若添加的条件为∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠C ∠1＝∠2AD ＝AD
，
∴△ABD ≌△ACD (AAS )，
∴AB ＝AC ；
若添加的条件为∠ADB ＝∠ADC ，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AD ＝AD ∠ADB＝∠ADC
，
∴△ABD ≌△ACD (ASA )，
∴AB ＝AC .
12. 证明：(1)∵AF ∥DE ，
∴∠E ＝∠AGE ，
∵∠E ＝∠F ，
∴∠F ＝∠AGE ，
∴BE ∥CF ；
(2)∵AF ∥DE
∴∠A ＝∠D ，
在△ACF 和△DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D
∠F＝∠E CF ＝BE
，
∴△ACF ≌△DBE (AAS )，
∴AC ＝DB ，
∴AB ＝CD .
13. (1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ，
∴∠AOD ＝∠BOE ，
在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B ，
∴∠BEO ＝∠2，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO ，
∴∠AEC ＝∠BED ，
在△AEC 和△BED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B AE ＝BE ∠AEC＝∠BED
，
∴△AEC ≌△BED (ASA )；
解：(2)∵△AEC ≌△BED ，
∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE ，
在△EDC 中 ，∵EC ＝ED ，∠1＝42°，
∴∠C ＝∠EDC ＝69°，
∴∠BDE ＝∠C ＝69°.
14. (1)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，
∴∠BCD ＝∠ACE ，
∴△ACE ≌△BCD (SAS )，
∴AE ＝BD ；
(2)解：△ACB ≌△DCE ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE ，△NCB ≌△MCE .
满分冲关
1. B 【解析】如解图，过点P 分别作OA 、OB 的垂线PC 、PD ，根据角平分线的性质可得PC ＝PD ，∵OP 一定，∴OC ＝OD .∵∠AOB 是定角，∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN 也为定角．∵∠CPD 与∠AOB 也互补，∴∠MPN ＝∠CPD ，∴∠MPC ＝∠NPD ，∴△MPC ≌△NPD (ASA )，∴CM ＝DN ，MP ＝NP .故(1)正确；∵OM ＋ON ＝OC ＋CM ＋OD －DN ，∴OM ＋ON ＝OC ＋OD ，∵OC ＝OD 为定长，∴OM ＋ON 为定长．故(2)正确；∵△MPC ≌△NPD ，∴S 四边形MONP ＝S △CMP ＋S 四边形CONP ＝S △NPD ＋S 四边形CONP ＝S 四边形CODP .∴四边形MONP 面积为定值．故(3)正确；∵Rt △MPC 中，MP 为斜边，CP 为直角边，∴可设MP ＝kCP ，∴PN ＝kDP ，∵∠MPN ＝∠CPD ，∴△MPN ∽△CPD ，其相似比为k ，∴MN ＝kCD ，当点M 与点C 重合，点N 和点D 重合时，MN ＝CD ，当点M 与点C 不重合，点N 与点D 不重合时，MN ≠CD ，∴MN 的长度在发生变化．故(4)错误．
第1题解图
2. A 【解析】∵BF ∥AC ，∴∠C ＝∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC ＝∠CBF ，∴∠C ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD ＝CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，在△CDE 与△BDF
中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠CBF CD ＝BD ∠EDC＝∠BDF
，
∴△CDE ≌△BDF (ASA )，∴DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①正确；∵AE ＝2BF ，∴AC ＝3BF ，故④正确．故选A .
3. ①④ 【解析】在△ABC 与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD BC ＝DC AC ＝AC
，∴△ABC ≌△ADC (SSS )，
∴∠ABC ＝∠ADC ，故①正确；∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA ，∴AC 平分∠BAD 、∠BCD ，故③错误；又∵AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，∴OB ＝OD ，∴AC ，BD 互相垂直，
但不平分，故②错误；∵AC ，BD 互相垂重，∴四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BO ＋12AC ·OD ＝12
AC ·BD .故④正确，综上所述，正确的结论是①④.
4. (1)证明：∵AC ＝AD ，
∴∠ACD ＝∠ADC ，
∴∠BCD －∠ACD ＝∠EDC －∠ADC
即∠BCA ＝∠EDA ，
在△ABC 与△AED 中，BC ＝ED ，∠BCA ＝∠EDA ，AC ＝AD ，
∴△ABC ≌△AED (SAS )；
(2)解：∵△ABC ≌△AED ，
∴∠E ＝∠B ＝140°，
∵五边形ABCDE 内角和为(5－2)×180°＝540°，
∴∠BAE ＝540°－2×90°－2×140°＝80°.
5. (1)证明：∵点E 是CD 的中点，
∴DE ＝CE ，
∵AB ∥CF ，
∴∠BAF ＝∠AFC ，
在△ADE 与△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠CFE ∠AED＝∠FEC DE ＝CE
，
∴△ADE ≌△FCE (AAS )；
(2)解：由(1)知CD ＝2DE ，
∵DE ＝2，
∴CD ＝4，
在Rt △ABC 中，点D 为AB 的中点，
∴AB ＝2CD ＝8，AD ＝CD ＝12
AB . ∵AB ∥CF ，
∴∠BDC ＝180°－∠DCF ＝180°－120°＝60°，
∴∠DAC ＝∠ACD ＝12∠BDC ＝12
×60°＝30°， ∴在Rt △ABC 中，BC ＝12AB ＝12
×8＝4. 6. (1)证明：∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，
在△BDG 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ∠BDG＝∠ADC DG ＝DC
，
∴△BDG ≌△ADC (SAS )，
∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C ，
∵∠ADB ＝∠ADC ＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 的中点，
∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12
AC ＝AF ，
∴DE ＝DF ，∠EDG ＝∠EGD ，∠FDA ＝∠FAD ，
∴∠EDG ＋∠FDA ＝90°，
∴DE ⊥DF ；
(2)解：∵AC ＝10，
∴DE ＝DF ＝5，
由勾股定理得，EF ＝DE 2＋DF 2
＝5 2.
7. (1)证明：∵E 是AB 的中点，且CE ⊥AB ，
∴CA ＝CB .
∵F 是BC 的中点，且AF ⊥BC ，
∴AB ＝AC ，
∴AB ＝AC ＝BC ，
∴12AB ＝12
BC ，∴AE ＝CF ， 在△CFG 和△AEG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CGF ＝∠AGE ∠CFG＝∠AEG CF ＝AE
，
∴△CFG ≌△AEG (AAS )；
(2)解：如解图，连接GD ，
第7题解图
∵AB ＝AC ＝BC ，
∴△ABC 为等边三角形，从而△CAD 也为等边三角形，
∵AF ⊥BC ，
∴∠GAC ＝∠EAF ＝30°，
又∵AE ＝12
AB ＝2，
∴在Rt △AEG 中，AG ＝2
3AE ＝433
， ∵∠GAD ＝∠GAC ＋∠CAD ＝90°，
∴在Rt △ADG 中，根据勾股定理得：GD 2＝AG 2＋AD 2
，
即GD 2＝(433
)2＋42， ∴GD 2＝643
， ∴GD ＝833
. 8. 解：(1) ∵∠ACP ＝90°，
∴在Rt △ACP 中，∠CAP ＋∠APC ＝90°，
∵HQ ⊥AP ,
∴在Rt △HPQ 中，∠Q ＋∠HPQ ＝90°，
又∵∠APC ＝∠HPQ ，∠CAP ＝α，
∴∠Q ＝α，
又∵在等腰Rt △ABC 中，∠B ＝∠BAC ＝45°，
∴∠AMQ ＝∠B ＋∠Q ＝45°＋α；
(2)PQ ＝2BM .
证明：如解图，连接AQ ，过点M 作MN ⊥BQ 于点N .
第8题解图
∵∠ACP ＝90°，CQ ＝CP ，∠CAP ＝α，
∴∠CAQ ＝∠CAP ＝α，AP ＝AQ ，PQ ＝2CP ，
又∵∠BAC ＝45°，
∴∠MAQ ＝∠BAC ＋∠CAQ ＝45°＋α＝∠AMQ ，
∴AQ ＝MQ ，
又∵MN ⊥BQ ，
∴∠ACP ＝∠QNM ＝90°.
在Rt △APC 和Rt △QMN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAP ＝∠NQM ∠ACP＝∠QNM＝90°AP ＝MQ
，
∴Rt △APC ≌Rt △QMN (AAS )，
∴CP ＝MN ，∴PQ ＝2MN ，
又∵在Rt △BMN 中，∠B ＝45°，
∴BM ＝2MN ，∴PQ ＝2BM .
9. (1)解：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，AC ⊥DE ，AD ＝2，
∴BC ＝AC ，DE ＝AD ＝2，DF ＝12
DE ＝1，AF ＝CF ， ∴AF ＝AD 2－DF 2
＝3，
∴AC ＝2AF ＝23，∴BC ＝23；
(2)证明：连接CE ，FG ，如解图所示：
第9题解图
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B ，D ，E 同一在一条直线上． ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠AED ＝60°，
∴∠ADB ＝120°，∠BAD ＝∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE
，
∴△ABD ≌△ACE (SAS )，
∴BD ＝CE ，∠AEC ＝∠ADB ＝120°，
∴∠CED ＝∠AEC －∠AED ＝60°，
∴∠DCE ＝30°，
∴DE ＝12
CE ， ∵线段BC 的中点为F ，线段DC 的中点为G ， ∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，
∴FG ∥DE ，FG ＝DE ，
∴四边形DFGE 是平行四边形，
∴DF ＝EG .。