2021年浙江省台州市温岭中学高考数学模考试卷(2021.04)(解析版)

2021年浙江省台州市温岭中学高考数学模考试卷（4月份）一、选择题（共10小题）.
1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|﹣3＜x＜4}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣3，2）B．（2，4）C．[2，4）D．[2，3）
2．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
3．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）
A．0B．4C．5D．3
4．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）
A．（7+2）πB．（10+2）πC．（10+4）πD．（11+4）π5．函数f（x）＝的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
6．设a＞1，b＞1，则“a＞b”是“be a＞ae b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．设a，b∈（0，），随机变量X的分布列如表所示（）
X02a1
P a b A．E（X）增大D（X）增大
B．E（X）增大D（X）减小
C．E（X）为定值，D（X）先增大后减小
D．E（X）为定值，D（X）先减小后增大
8．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的各棱长均相等，M是AB上的动点（不包括端点），N 是AD的中点，分别记二面角P﹣MN﹣C，P﹣AB﹣C，P﹣MD﹣C为α，β，γ，则（）
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜α＜γ
9．如图，焦点在x轴上的椭圆+＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆
上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|＝4，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
10．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣2恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．复数z＝x+yi（x，y∈R）的共轭复数为，已知z•＝4，z﹣＝4i（i为虚数单位），z 的虚部为，z＝．
12．已知（x+2）n＝a0+a1x+a2x2+……+a n x n（中n∈N*），且a0，a1，a3成等差数列，则n＝，a4＝．
13．已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x﹣my﹣1＝0平行，则m的值为，动直线l被圆x2+y2﹣2y﹣8＝0截得的弦长最短为．
14．如图，在△ABC中，D为BC边上靠近B的三等分点，AB＝，∠ADC＝30°，AD ＝，则BD＝，△ABC的面积等于．
15．马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行，每一列至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求），那么一共可以传递种不同的信息．（用数字作答）
16．已知x＞0，y＞0，且，则的最大值为．
17．在平面中，已知||＝5，||＝2，＝λ+2（1﹣λ）（λ∈R），点P在AB上，若||的最小值为4，则的最小值为．
三、解答题（共5小题，满分45分）
18．若函数f（x）＝2sin（x+）cos x．求函数f（x）的对称中心与单调递增区间．19．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5．E，F分别在AD，BC上．且AE＝1，BF＝3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上．
（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC；
（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．
20．正项等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝1，．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列c n＝，求最大整数n0，使得．
21．如图：已知抛物线C：y2＝x与P（12），Q为不在抛物线上的一点，若过点Q的直线
的l与抛物线C相交于AB两点，直线PA与抛物线C交于另一点M，直线PB与抛物线C交于另一点N，直线MB与NA交于点R．
（1）已知点A的坐标为（9，3），求点M的坐标；
（2）是否存在点Q，使得对动直线l，点R是定点？若存在，求出所有点Q组成的集合；
若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax﹣1，a∈R．
（Ⅰ）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）已知函数h（x）＝|f（x）|﹣a有3个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）求证：x3﹣x2＞．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|﹣3＜x＜4}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣3，2）B．（2，4）C．[2，4）D．[2，3）
解：集合A＝{x|y＝}＝{x|2﹣x≥0}＝{x|x≤2}，
所以∁R A＝{x|x＞2}，
又集合B＝{x|﹣3＜x＜4}，
所以（∁R A）∩B＝{x|2＜x＜4}＝（2，4）．
故选：B．
2．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
解：双曲线的离心率为，
可得＝，即，可得．
则该双曲线的渐近线方程为：x＝0．
故选：D．
3．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）
A．0B．4C．5D．3
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，A（2，1），
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为5．
故选：C．
4．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）
A．（7+2）πB．（10+2）πC．（10+4）πD．（11+4）π解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，
几何体的表面积为：＝（10+4）π．
故选：C．
5．函数f（x）＝的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，
当x＞0时，f（x）＜0，排除B，
故选：A．
6．设a＞1，b＞1，则“a＞b”是“be a＞ae b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：设f（x）＝，则f′（x）＝，
当x＞1时，f′（x）＝＞0，
∴当x＞1时，f（x）单调递增，
∴a＞b＞1⇔＞⇔be a＞ae b．
故选：C．
7．设a，b∈（0，），随机变量X的分布列如表所示（）
X02a1
P a b A．E（X）增大D（X）增大
B．E（X）增大D（X）减小
C．E（X）为定值，D（X）先增大后减小
D．E（X）为定值，D（X）先减小后增大
解：由题意可得a+b+＝1，所以b＝，
E（X）＝0×＝a+＝，
D（X）＝（）＝2a2﹣a+＝2（a﹣2+，因为a），所以当a）时，D（X）单调递减，当a时，D（X）单调递增，
故选：D．
8．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的各棱长均相等，M是AB上的动点（不包括端点），N 是AD的中点，分别记二面角P﹣MN﹣C，P﹣AB﹣C，P﹣MD﹣C为α，β，γ，则（）
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜α＜γ
【解答】解
连接AC，BD交于O，令AC交MN于E，
作OF垂直DM与F，连接PE，PF，
易知α＝∠PEO，β＝∠PMO，γ＝∠PFO，
tanα＝，
tanβ＝，
tanγ＝，
显然OM＞OE，OM＞OF，
∴tanβ最小，
∴β最小，
故选：D．
9．如图，焦点在x轴上的椭圆+＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆
上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|＝4，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
解：如图，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q
∴根据切线长定理可得|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1Q|，|PN|＝|PQ|
∵|AF1|＝|AF2|，
∴|AM|+|F1M|＝|AN|+|PN|+|PF2|，
∴|F1M|＝|PN|+|PF2|＝|PQ|+|PF2|，
∴|PQ|＝|F1M|﹣|PF2|，
则|PF1|+|PF2|＝|F1Q|+|PQ|+|PF2|＝|F1Q|+|F1M|﹣|PF2|+|PF2|＝2|F1Q|＝8，
即2a＝8，a＝4，
又b2＝3，
∴c2＝a2﹣b2＝13，则，
∴椭圆的离心率e＝．
故选：D．
10．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣2恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）
A．B．
C．D．解：由题意，函数f（x）＝可转化为
f（x）＝．
函数y＝f（x）﹣2恰有两个零点，即分段函数y＝f（x）的图象与直线y＝2有两个交点．
①当a＜0时，分段函数f（x）在R上连续且单调递增，
此时分段函数y＝f（x）的图象与直线y＝2最多只有1个交点，不满足题意；
②当a＝0时，f（x）＝，图象如下：
此时分段函数y＝f（x）的图象与直线y＝2也只有1个交点，不满足题意；
③当a＞0时，分段函数f（x）在（﹣∞，﹣1]为增函数，在上为减函数，在
上为增函数．
∵x→﹣∞，f（x）→a2+2a﹣1且f（x）＝2恰有两个零点，
∴f（﹣1）＝2，或，或，
解得，或1≤a＜2．
故选：B．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．复数z＝x+yi（x，y∈R）的共轭复数为，已知z•＝4，z﹣＝4i（i为虚数单位），z 的虚部为2，z＝2i．
解：因为复数z＝x+yi且z•＝4，z﹣＝4i，
则，，
所以，解得x＝0，y＝2，
所以z＝2i，z的虚部为2．
故答案为：2；2i．
12．已知（x+2）n＝a0+a1x+a2x2+……+a n x n（中n∈N*），且a0，a1，a3成等差数列，则n＝8，a4＝1120．
解：通项公式T k+1＝，
∴a0＝2n，a1＝×2n﹣1，a3＝2n﹣3，
∵a0，a1，a3成等差数列，
∴2×2n﹣1＝2n+2n﹣3，
化为：n（n﹣2）＝48，
解得n＝8，n∈N*，
a4＝×28﹣4＝×24＝1120．
故答案为：8，1120．
13．已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x﹣my﹣1＝0平行，则m的值为﹣1，动直线l被圆x2+y2﹣2y﹣8＝0截得的弦长最短为2．
解：因为两直线平行，所以m＝，解得m＝±1，当m＝1时，两直线重合，所以m＝﹣1；
圆方程整理为：x2+（y﹣1）2＝9，圆心坐标为（0，1），半径r＝3，
当过P（0，﹣1）的直线与P与圆心的连线垂直时，
直线l被圆x2+y2﹣2y﹣8＝0截得弦长最小，为2＝2．
故答案为：﹣1；2．
14．如图，在△ABC中，D为BC边上靠近B的三等分点，AB＝，∠ADC＝30°，AD ＝，则BD＝1，△ABC的面积等于．
解：因为在△ABD中，AB＝，∠ADC＝30°，AD＝，
所以∠ADB＝150°，由余弦定理AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB，
可得7＝3+BD2﹣2×（﹣），整理可得BD2+3BD﹣4＝0，解得BD＝1（负值舍去），
因为在△ABC中，D为BC边上靠近B的三等分点，
所以BC＝3，
因为在△ABD中，cos B＝＝＝，可得sin B＝
＝，
所以S△ABC＝AB•BC•sin B＝×＝．
故答案为：1，．
15．马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行，每一列至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求），那么一共可以传递34种不同的信息．（用数字作答）
【解答】解；由题意紫色小方格最多3个，所以可分为4类，一类有3紫方格时共有＝6个信息，二类有2紫方格时共有＝18个信息，
三类有1紫方格时共有9个信息，四类有0紫方格时共有1个信息，则由加法原理6+18+9+1＝34．
故答案是34．
16．已知x＞0，y＞0，且，则的最大值为．解：令t＝，
因为x＞0，y＞0，且，
所以x+8y＝（x+8y）（）＝（10+）＝，当且仅当
即x＝4y时取等号，
所以x+8y+3，
所以t，
解得t≥6或t≤﹣3（舍），
则＝＝，即最大值为．
故答案为：．
17．在平面中，已知||＝5，||＝2，＝λ+2（1﹣λ）（λ∈R），点P在AB上，若||的最小值为4，则的最小值为﹣．
解：如图，
设＝2，||＝4，
则＝λ+（1﹣λ），∴B，G，D三点共线，
当AG取最小值时，AG⊥BD，
在Rt△ABG和Rt△ADG中，DG＝4，BG＝3，
在△ABD中，||2＝||2+|2﹣2||•|•cos∠BAD，
∴49＝25+32﹣2||•|•cos∠BAD，∴||•|•cos∠BAD＝4，
∴||•||•cos∠BAD＝2，
设＝k，则＝（1﹣k），＝﹣＝﹣k，
∴•＝（1﹣k）•（﹣k）＝（1﹣k）•﹣k（1﹣k）
＝（1﹣k）||•||•cos∠BAD﹣25k（1﹣k）＝25k2﹣27k+2，
当k＝时，•的最小值为﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题（共5小题，满分45分）
18．若函数f（x）＝2sin（x+）cos x．求函数f（x）的对称中心与单调递增区间．解：f（x）＝2（）cos x＝＝
＝+，
令2x+＝kπ，（k∈Z），可得对称中心为（），k∈Z，
令，（k∈Z），
解之得，（k∈Z），
递增区间为[]，（k∈Z）．
19．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5．E，F分别在AD，BC上．且AE＝1，BF＝3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上．
（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC；
（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．
【解答】（I）证明：∵A′E∥B′F，A′E⊄平面B′FC，B′F⊂平面B′FC．
∴A′E∥平面B′FC，
由DE∥FC，同理可得DE∥平面B′FC，
又∵A′E∩DE＝E．
∴平面A′ED∥平面B′FC，
∴A′D∥平面B′FC．
（II）解：如图，过E作ER∥DC，过E作ES⊥平面EFCD，
分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）．
∵F（2，2，0），，B′F＝3．
∴解得．
∴B′（0，1，2）．
∴．
∴＝．
设平面A′DE的法向量为，又有．
∴得，令x＝1，则z＝1，y＝0，得到．又∵平面CDEF的法向量为．
设二面角A′﹣DE﹣F的大小为θ，显然θ为钝角
∴＝．
∴θ＝135°．
20．正项等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝1，．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列c n＝，求最大整数n0，使得．
解：（I）设正项等差数列{a n}的公差为d≥0，等比数列{b n}的公比为q．
∵，
∴n＝1时，＝2﹣，
又a1＝1，可得b1＝2．
n≥2时，++……+＝2﹣，
相减可得：＝，
n＝2，3时，＝＝，＝＝，d≥0．
解得：d＝1，q＝2，．
∴a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n．
（II）c n＝＝＝﹣．∴S n＝﹣+﹣+……+﹣
＝1﹣．
令1﹣＜，
化为：2n+1﹣（n+1）＜2021，
令f（x）＝2x﹣x，x≥2．
f′（x）＝2x ln2﹣1＞0，x≥2．
∴f（x）在[2，+∞）上单调递增，
而f（9）＝210﹣10＝1014，f（10）＝2037，
∴最大整数n0＝9，使得．
21．如图：已知抛物线C：y2＝x与P（12），Q为不在抛物线上的一点，若过点Q的直线的l与抛物线C相交于AB两点，直线PA与抛物线C交于另一点M，直线PB与抛物线C交于另一点N，直线MB与NA交于点R．
（1）已知点A的坐标为（9，3），求点M的坐标；
（2）是否存在点Q，使得对动直线l，点R是定点？若存在，求出所有点Q组成的集合；
若不存在，请说明理由．
解：（1）设A（a2，a），B（b2，b），M（m2，m），N（n2，n），
因为A，P，M三点共线，
所以＝，解得m＝5，
所以点M（25，5）．
（2）直线AM的方程为（a+m）y＝x+am，
将点P代入可得2（a+m）＝1+am，
解得m＝，
同理可得n＝，
再将直线AN和BM联立，得，
解得y R＝，
代入得y R＝＝
＝＝，
因为直线AB的方程为（a+b）y＝x+ab过点Q（s，t），
则（a+b）t＝s+ab，
解得b＝，
代入上式得，y R＝＝为常数，
只需要＝＝＝k，
即（k∈R且k≠2），
所以存在点Q满足的集合为{（x，y）|x＝，y＝}（k∈R且k≠2）．22．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax﹣1，a∈R．
（Ⅰ）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）已知函数h（x）＝|f（x）|﹣a有3个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）求证：x3﹣x2＞．
解：（Ⅰ）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，
即2xlnx≤x2+ax﹣1在[1，+∞）恒成立，即a≥2lnx﹣x+，（x≥1），
记F（x）＝2lnx﹣x+，（x≥1），则a≥F（x）max，
又F′（x）＝﹣1﹣＝﹣≤0，
故F（x）在[1，+∞）上单调递减，故F（x）max＝F（1）＝0，
故a的取值范围是[0，+∞）；
（Ⅱ）（i）令h（x）＝0，得|f（x）|＝a，
问题转化为y＝|f（x）|的图像和y＝a的图像有3个不同的交点，
而f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，
令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
而x→0时，f（x）→0，f（）＝﹣，x→+∞时，f（x）→+∞，
画出函数y＝|f（x）|的图像，如图示：
结合图像，a的取值范围是（0，）；
（ii）证明：令P（x）＝2xlnx﹣x2+1，（x＞0），则P′（x）＝2（lnx+1）﹣2x＝2（lnx ﹣x+1），
P″（x）＝2（﹣1）＝，
令P″（x）＞0，解得：0＜x＜1，令P″（x）＜0，解得：x＞1，
故P′（x）在（0，1）递增，在[1，+∞）递减，P′（x）≤P′（1）＝0，
故P（x）在[1，+∞）递减，P（x）≤P（1）＝0，故0≤xlnx≤，
0＜x＜1时，≤xlnx＜0，故|xlnx|≤，画出草图，如图示：
设直线y＝a和y＝在x＞0时的交点横坐标为x4，x5，结合图像，
x3﹣x2＞x5﹣x4，而由，解得：x4＝，x5＝，
故x3﹣x2＞﹣，原结论成立．。