人教备战中考数学圆的综合的综合复习及详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y.
（1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ；
（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.
【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=
+y x 02<≤x 1422
=x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =122
x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD
==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．
详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°．
∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ．
∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ，
∴AC =AM ．
（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ．
∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ．
∵DE ∥AB ，∴
DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =122x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD
==， ∴22
DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜
（3）（i）当OA=OC时．∵
111
222
DM BM OC x
===．在Rt△ODM
中，
222
1
2
4
OD OM DM x
=-=-．
∵
2
1
2
12
2
4
x
DM x
y
OD x
x
=∴=
+
-
，．解得142
2
x
-
=，或
142
2
x
--
=（舍）．
（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞
∠AOC，∴此种情况不存在．
（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．
即：当△OAC为等腰三角形时，x的值为
142
2
-
．
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．
2．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，AEO C
=
∠∠，OE交BC于点F.
（1）求证：OE∥BD；
（2）当⊙O的半径为5，
2
sin
5
DBA
∠=时，求EF的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为
21
2
【解析】
试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；
（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.
试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.
∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .
（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25
BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒
∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .
∴
BD CD BO EO
= ∴252EO =. ∵OE ∥BD ，CO =OD ，
∴CF =FB .
∴122
OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=
3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，BD ＝BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E
(1) 求证：BE 是⊙O 的切线
(2) 若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA
【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA 35
=
【解析】 分析：（1）连接OB ，OD ，根据线段垂直平分线的判定，证得BF 为线段AD 的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF 是矩形，即∠EBF=90°，可得出结论.
（2）根据中点的性质求出OF 的长，进而得到BF 、DE 、OB 、OD 的长，然后根据等角的三角函数求解即可.
详解：证明：(1) 连接BO 并延长交AD 于F ，连接OD
∵BD ＝BA ，OA ＝OD
∴BF为线段AD的垂直平分线
∵AC为⊙O的直径
∴∠ADC＝90°
∵BE⊥DC
∴四边形BEDF为矩形
∴∠EBF＝90°
∴BE是⊙O的切线
(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点
∴OF＝1
2CD＝
3
2
∵BF＝DE＝1＋3＝4
∴OB＝OD＝35
4
22
-=
∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝
3
3
2
55
2
OF
OD
==
点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.
4．如图1，四边形ABCD为⊙O内接四边形，连接AC、CO、BO，点C为弧BD的中点．（1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO；
（2）如图2，点E在OC上，连接EB，延长CO交AB于点F，若∠DAB=∠OBA+∠EBA．求证：EF=EB；
（3）在（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB，CE=2，AB=13，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=7．
【解析】
试题分析：（1）如图1中，连接OA，只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，由点C是=，推出∠BAC=∠DAC，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO；
BD中点，推出CD CB
（2）想办法证明∠EFB=∠EBF即可；
（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF 于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．首先证明△EFB是等边三角形，再证明△ACK≌△ACT，Rt△DKC≌Rt△BTC，延长即可解决问题；
试题解析：（1）如图1中，连接OA，
∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，
∵OA=OB，∴∠2=∠ABO，∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，
∵点C是BD中点，∴CD CB
=，∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACO+∠ABO．
（2）如图2中，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB，∠COB=2∠BAC，∴∠BAD=∠BOC，
∵∠DAB=∠OBA+∠EBA，∴∠BOC=∠OBA+∠EBA，
∴∠EFB=∠EBF，∴EF=EB．
（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF 于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．
∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°，
∵∠EFB=∠EBF，∴∠G=∠HOF，
∵∠HOF=∠EOG，∴∠G=∠EOG，∴EG=EO，
∵OH ⊥AB ，∴AB=2HB ，
∵OE+EB=AB ，∴GE+EB=2HB ，∴GB=2HB ，
∴cos ∠GBA=12HB GB = ，∴∠GBA=60°， ∴△EFB 是等边三角形，设HF=a ， ∵∠FOH=30°，∴OF=2FH=2a ， ∵AB=13，∴EF=EB=FB=FH+BH=a+
132， ∴OE=EF ﹣OF=FB ﹣OF=
132﹣a ，OB=OC=OE+EC=132﹣a+2=172﹣a ， ∵NE=12EF=12a+134
， ∴ON=OE=EN=（
132﹣a ）﹣（12a+134）=134﹣32
a ， ∵BO 2﹣ON 2=EB 2﹣EN 2， ∴（172﹣a ）2﹣（134﹣32a ）2=（a+132）2﹣（12a+134
）2， 解得a=
32
或﹣10（舍弃）， ∴OE=5，EB=8，OB=7， ∵∠K=∠ATC=90°，∠KAC=∠TAC ，AC=AC ，∴△ACK ≌△ACT ，∴CK=CT ，AK=AT ， ∵CD CB =，∴DC=BC ，∴Rt △DKC ≌Rt △BTC ，∴DK=BT ，
∵FT=12
FC=5，∴DK=TB=FB ﹣FT=3，∴AK=AT=AB ﹣TB=10，∴AD=AK ﹣DK=10﹣3=7．
5．已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ．点E 为CD 边上一点，AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形ABCD 是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，并以AB 为直径作⊙O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O 交边AD 于点F ，连接BF ，交AE 于点G ，若AE=4，sin ∠AGF=45
，求⊙O 的半径．
【答案】（1）当AD=BC 时，四边形ABCD 是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的
图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．
【解析】
分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．
详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：AD=BC；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF=4
5
AE AB ，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆O的半径为2.5．
点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
6．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；
（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式．
【答案】（1）233384y x x =-
++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为334y x =+或334
y x =--. 【解析】
【分析】
（1）设出交点式，代入C 点计算即可 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式
PC PD BC OB =，得到PD=45PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+45
PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=
185，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q ，∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个；此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，利用cos ∠QFT 求出QG ，分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可
【详解】
解：（1）∵抛物线与x 轴交点为A （﹣2，0）、B （4，0）
∴y ＝a （x+2）（x ﹣4）
把点C （0，3）代入得：﹣8a ＝3
∴a ＝﹣38
∴抛物线解析式为y ＝﹣
38（x+2）（x ﹣4）＝﹣38x 2+34x+3 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D
∴∠CDP ＝∠COB ＝90°
∵∠DCP ＝∠OCB
∴△CDP ∽△COB ∴PC PD BC OB
= ∵B （4，0），C （0，3）
∴OB ＝4，OC ＝3，BC
∴PD ＝45
PC ∴5PA+4PC ＝5（PA+
45PC ）＝5（PA+PD ） ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小
∵A （﹣2，0），OC ⊥AB ，AE ⊥BC
∴S △ABC ＝
12AB•OC ＝12BC•AE ∴AE ＝631855
AB OC BC ⨯== ∴5AE ＝18
∴5PA+4PC 的最小值为18．
（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆
当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90°
∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个
此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G
∴∠FQT ＝90°
∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点
∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3
∵T （﹣4，0）
∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝35
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝
35FG FQ = ∴FG ＝35FQ ＝95
∴x Q ＝1﹣9455=-，QG 125==
①若点Q 在x 轴上方，则Q （41255-，） 设直线l 解析式为：y ＝
kx+b
∴404125
5k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线l ：334
y x =+ ②若点Q 在x 轴下方，则Q （41255--，
） ∴直线l ：334
y x =-- 综上所述，直线l 的解析式为334y x =+或334
y x =--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q 点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论
7．如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=60°,☉O 是△ABC 的外接圆,BC 是☉O 的直径,过点B 作☉O 的切线BD ,与CA 的延长线交于点D ,与半径AO 的延长线交于点E ,过点A 作☉O 的切线AF ,与直径BC 的延长线交于点F.
(1)连接EF ,求证:EF 是☉O 的切线;
(2)在圆上是否存在一点P ,使点P 与点A ,B ,F 构成一个菱形?若存在,请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）过O作OM⊥EF于M,根据SAS证明△OAF≌△OBE，从而得到OE=OF,再证明EO平分∠BEF，从而得到结论;
（2）存在，先证明△OAC为等边三角形，从而得出∠OAC=∠AOC=60°,再得到AB=AF，再证明AB=AF=FP=BP，从而得到结论.
【详解】
(1)证明:如图,过O作OM⊥EF于M,
∵OA=OB,∠OAF=∠OBE=90°,∠BOE=∠AOF,
∴△OAF≌△OBE,
∴OE=OF,
∵∠EOF=∠AOB=120°,
∴∠OEM=∠OFM=30°,
∴∠OEB=∠OEM=30°,即EO平分∠BEF,
又∠OBE=∠OME=90°,
∴OM=OB,
∴EF为☉O的切线.
(2)存在.
∵BC为☉O的直径,
∴∠BAC=90°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ABC=30°,
又∵∠ACB=60°,OA=OC,
∴△OAC为等边三角形,即∠OAC=∠AOC=60°,
∵AF为☉O的切线,
∴∠OAF=90°,
∴∠CAF=∠AFC=30°,
∴∠ABC=∠AFC,
∴AB=AF.
当点P在(1)中的点M位置时,此时∠OPF=90°,
∴∠OAF=∠OPF=90°,
又∵OA=OP,OF为公共边,
∴△OAF≌△OPF,
∴AF=PF,
∠BFE=∠AFC=30°.
又∵∠FOP=∠OBP=∠OPB=30°,
∴BP=FP,
∴AB=AF=FP=BP,
∴四边形AFPB是菱形.
【点睛】
考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，BD AD
=，DE⊥BC，垂足为E．
（1）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）ED与O相切.理由见解析；（2）
2
=3
3
Sπ-
阴影
【解析】
【分析】
（1）连结OD，如图，根据圆周角定理，由BD AD
=得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（2）作OH ⊥BC 于H ，易得四边形ODEH 为矩形，所以OD =EH =2，则CH =HE ﹣CE =1，于是有∠HOC =30°，得到∠COD =60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可．
【详解】
（1）直线ED 与⊙O 相切．理由如下：
连结OD ，如图，∵BD AD =，∴∠BAD =∠ACD ．
∵∠DCE =∠BAD ，∴∠ACD =∠DCE ．
∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，而∠OCD =∠DCE ，∴∠DCE =∠ODC ，∴OD ∥BC ．
∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；
（2）作OH ⊥BC 于H ，则四边形ODEH 为矩形，∴OD =EH ．
∵CE =1，AC =4，∴OC =OD =2，∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1．在Rt △OHC 中，∵OC =2，CH =1，∠OHC =90°，∠HOC =30°，∴∠COD =60°，∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD
260233604π⋅⋅=-•22 23
=π3-．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．
9．如图，已知在△ABC 中，AB=15，AC=20，tanA=12
，点P 在AB 边上，⊙P 的半径为定长.当点P 与点B 重合时，⊙P 恰好与AC 边相切；当点P 与点B 不重合时，⊙P 与AC 边相交于点M 和点N ．
（1）求⊙P 的半径；
（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．
【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；
（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出
MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的
长，然后求出AM
MP
、
PN
NC
的值，得出
AM
MP
=
PN
NC
，利用两边对应成比例且夹角相等的两
三角形相似即可证明.
【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，
∵⊙P与边AC相切，
∴BD就是⊙P的半径，
在Rt△ABD中，tanA= 1BD
2AD =，
设BD=x，则AD=2x，
∴x2+(2x)2=152，
解得：5
∴半径为5
（2）相似，理由见解析，
如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
在Rt△AHP中，tanA=1
2
PH
AH =，
设PH=y，AH=2y，
y2+（2y）2=（52解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，
在Rt△MPH中，
()22
356
-，
∴MN=2MH=6，
∴AM=AH-MH=12-3=9，
NC=AC-MN-AM=20-6-9=5， ∴935535AM MP ==，355PN NC =， ∴AM MP =PN NC
， 又∵PM=PN ，
∴∠PMN=∠PNM ，
∴∠AMP=∠PNC ，
∴△AMP ∽△PNC.
【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.
10．已知：BD 为⊙O 的直径，O 为圆心，点A 为圆上一点，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，点C 为⊙O 上一点，且AB ＝AC ，连接BC 交AD 于点E ，连接AC ．
(1)如图1，求证：∠ABF ＝∠ABC ；
(2)如图2，点H 为⊙O 内部一点，连接OH ，CH 若∠OHC ＝∠HCA ＝90°时，求证：CH ＝12
DA ； (3)在(2)的条件下，若OH ＝6，⊙O 的半径为10，求CE 的长．
【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）
215
. 【解析】
【分析】
()1由BD 为O 的直径，得到D ABD 90∠∠+=，根据切线的性质得到FBA ABD 90∠∠+=，根据等腰三角形的性质得到C ABC ∠∠=，等量代换即可得到结论；
()2如图2，连接OC ，根据平行线的判定和性质得到ACO COH ∠∠=，根据等腰三角形的性质得到OBC OCB ∠∠=，ABC CBO ACB OCB ∠∠∠∠+=+，根据相似三角形的性质即可得到结论；
()3根据相似三角形的性质得到AB BD 2OH OC
==，根据勾股定理得到22AD BD AB 16=-=，根据全等三角形的性质得到BF BE =，AF AE =，根据射影
定理得到2
12AF 916
==，根据相交弦定理即可得到结论． 【详解】
()1BD 为O 的直径，
90BAD ∴∠=，
90D ABD ∴∠+∠=，
FB 是O 的切线，
90FBD ∴∠=，
90FBA ABD ∴∠+∠=，
FBA D ∴∠=∠，
AB AC =，
C ABC ∴∠=∠，
C D ∠=∠，
ABF ABC ∴∠=∠；
()2如图2，连接OC ，
90OHC HCA ∠=∠=，
//AC OH ∴，
ACO COH ∴∠=∠，
OB OC =，
OBC OCB ∴∠=∠，
ABC CBO ACB OCB ∴∠+∠=∠+∠，
即ABD ACO ∠=∠，
ABC COH ∴∠=∠，
90H BAD ∠=∠=，
ABD ∴∽HOC ，
2AD BD CH OC
∴==， 12
CH DA ∴=； ()3由()2知，ABC ∽HOC ， 2AB BD OH OC
∴==， 6OH =，O 的半径为10，
212AB OH ∴==，20BD =，
16AD ∴==，
在ABF 与ABE 中，
90ABF ABE AB AB BAF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=
⎩
， ABF ∴≌ABE ，
BF BE ∴=，AF AE =，
90FBD BAD ∠=∠=，
2AB AF AD ∴=⋅，
2
12916
AF ∴==， 9AE AF ∴==，
7DE ∴=
，15BE ==， AD ，BC 交于E ，
AE DE BE CE ∴⋅=⋅，
9721155
AE DE CE BE ⋅⨯∴===． 【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键．。