基于一节数学复习教学观摩课的思考

基于一节数学复习教学观摩课的思考
张　玉
（南京师范大学教师教育学院，２１００４６）
２０１６年４月，在青岛市举办了全国首届天元初
中数学名师课堂观摩与研讨活动．其中，来自南京市第五十中学的濮磊老师分享了“一次函数的图像及
其应用”的复习课．
复习课是初中数学教学中的一种重要的课型，也是教师教学的重要组成部分．复习是温故而知新的教学过程，通过复习，使学生对所学知识加深理解，系统掌握，全面提高，综合运用．同时，复习又是查漏补缺的重要过程，从教师角度看，复习课可以弥补平时教学的不足，针对性地发现学生学习的问题，从学生角度看，可以弥补平时学习中的漏缺环节．
本文分析的教学案例是“一次函数的图像及应
用”的复习课．
函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型，在中学数学中占有十分重要的地位，在现实生活中也有着广泛的应用．初中阶段，学生主要接触并学习三类函数，即一次函数、反比例函数和二次函数．最先学习的便是一次函数，在整个函数知识体系中，对于图象的感受、解读、分析特别是应用函数的图象解决问题是极其重要的内容，而一次函数图象的应用是学生在整个学习生涯中所接触的第一个相关内容，让学生从中体会“数形结合”的重要数学思想，对于后续其它函数图象应用的学习将积累宝贵的学习经验和经历．
１　教学过程简述
师：今天分享的课题是一次函数的图像及其应
用，今天的分享从生活中的情境说起．ＰＰＴ投影：一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．
问题一：想象一下，接下来会怎样？教师启发、引导学生分析两车运动的全过程．（１）首先，快车和慢车从甲乙两地同时出发，相向行驶，两车距离逐渐变小，直到在更靠近乙地的某
地相遇；（
２）相遇后，两车继续沿相反方向行驶，两车距离逐渐变大，直到快车先到达乙地；（３）之后，慢车继续向甲地行驶，两车距离依旧逐渐变大，但变
大速率小于之前即上述过程（
２）的速率．问题二：再想象一下，如果有数据，你能提出哪些问题？
学生提出的第一个问题：行驶多长时间两车相距１
０ｋｍ？教师对这一问题给出了“高大上”的评价，并让学生解释高大上的原因：在行驶过程中，相遇前后各有一次距离为１０ｋｍ．追问学生解决这一问题需要哪些数据．学生提出的第二个问题：快车和慢车相遇的时间．第三个问题：他们出发了两小时后有什么位置关系？之后，教师请同学们思考这三个问题是围绕哪三个量提出的？教师讲解是围绕时间，路程和速度这三个量展开的，这一情景背后的数量关系就是这三个量之间的数量关系．在这一过程中有等量关系，也可能有不等量关系，比如什么时候两车距离在１
０ｋｍ以内？问题三：你能从函数角度提出问题吗？教师先请学生回忆函数的概念作为引导．学生提出的一个问题：快车和慢车之间距离的函数关系式．要求学生再提出其他的关于函数的问题时学生面露难色，只想到了函数的表达式和图像．教师引导函数中要先有自变量和因变量，让学生在此基础上提一些有关函数的问题．在这一过程中选取时间为自变量，两车距离为因变量，函数可以刻画事情的全过程．结合学生之前想到函数的图像提问，提问能否画出表示时间和两车距离之间关系的图像？
问题四：设慢车行驶的时间为ｘ（ｈ），两车之间的距离为ｙ
（ｋｍ），你能想象一下整个过程的函数图像大致是什么样子么？
教师巡视学生的作图情况，提示学生审题，因变量距离指的是两车之间的距离．先就有的学生画出图像为曲线进行交流．对图像不可能为曲线进行解释．说
明，并非所有的时间与距离的图像都为直线，在匀速运动情况下才是．请同学在黑板上画出图像，学生给出图形．
教师请学生分享画出此图的原因．之后教师对照函数图像，结合运动过程中图像的实际意义对运动全过程和运动过程中的特殊点，转折点进一步阐
·
８３·
释，解释三段图像的斜率是由正在行驶中的车辆的速度决定的，并揭示了三段图像斜率的关系．教师给出数据：
Ｃ（０，９００），Ａ（４，０），Ｄ（１２，９００）．数学思考：一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为ｘ（ｈ），两车之间的距离为ｙ（ｋｍ），ｙ和ｘ之间的关系如图所示，请尽可能多的写出你获得的信息．给学生五分钟的时间，并要求学生将自己获得的信息与同伴分享．分享结束后请同学分组汇报．
在汇报的过程中教师与学生讨论和解决了以下问题：甲乙两地的距离，快车和慢车的速度，三段函数解析式的求法，求出了Ｂ点的坐标解释了其实际意义，两车相距１０ｋｍ和两车距离小于１０ｋｍ的时间．
交流结束留给学生一个课后思考的问题：一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．若快车，慢车与甲地的距离分别为ｙ１（ｋｍ），ｙ２（ｋｍ），请你在同一个直角坐标系中画出ｙ１（ｋｍ），ｙ２（ｋｍ）关于时间ｔ的函数图像，并求出对应的函数关系式．课程最后教师就学生的数学学习提出了自己的期望：能够用数学的眼光观察世界，数学的语言去表达世界，用数学的思维去思考世界．
２　教学过程的整体分析
这是一节复习课，这节复习课的教学模式有别于传统的复习课的教学模式．传统的中学数学复习课常常包括三个环节：课前编印复习提纲和练习卷，课堂讲解类型题和复习卷，课后模仿性练习．很大程度上是一种以应试为目标，为考试而复习的题型复习法．这种复习模式将解题策略规则化，用大量模仿性练习加以强化，淡化了学生对数学知识本质的理解和解题思路策略的分析，忽视学生的数学思维过程，知识很难得到内化，整合和灵活应用．学生经过题型训练后，对相似的数学问题能够做出反应，然而这种程序化的反应，并不是建立在对数学知识本身的理解上，很容易产生负迁移，当学生遇到新的问题情景时，常常会感到束手无策．大量的题型训练与讲解也势必加重教师和学生的负担，结果却事倍功半．
这节复习课提供了一个很好的复习课模式的参考．教师给出一个实际的问题情境，让学生先想象这是一种怎样的情况，让学生自己去提出问题，说出解决问题需要的数据，最后师生通过分析交流一起解决问题．课堂学生的活动以独立思考为主，也有合作与交流，体现了建构学习过程中学生的主体地位．
３　教学过程的局部分析
３．１　精心创设的问题情境
数学问题情境是含有相关数学知识和数学思想方法的情境，同时也是数学知识产生的背景，它不仅能够激发数学问题的提出，也能为数学问题的提出和解决提供相应的信息和依据．在复习课中，通过创设新的数学问题情境，借助情境设计典型性，启发性，分层次和系统性的问题，让学生在利用已学知识综合解决问题的过程中更好地把握知识的逻辑系统，体会数学的本质，提高运用数学知识解决问题的能力，发展学生的数学思维能力．
问题情境是为知识学习和相关能力发展而服务的．濮老师创设的问题情境为两辆速度不同的列车匀速相向行驶的情况，在这一过程中考察两车之间的距离问题，这实际上是一个一次函数的模型，学生需要结合自己的生活经验来画出相应的图像．这个问题情境很好地和课堂复习的主题联系起来，又与学生的日常生活息息相关，学生能够借助日常的生活经验去思考和解决问题．３．２　开放性的问题设计
开放性问题是与封闭式问题相对的一类问题．目前为止，国内专家学者对开放性问题的界定还尚无定论．开放性问题一般具备以下特点：（１）结果开放，即对于同一问题可以有不同的结果．根据苏联学者奥加涅相的问题要素（条件，依据，方法和结论）的呈现方式，可以分为条件开放题，结论开放题以及方法开放题；（２）思路开放，即学生解决问题时的不同思考；（３）对象开放，即不同水平的学生解决问题的程度可以不一样．
开放式问题能够让学生自由发挥，最大限度地调动学生主动参与的积极性，使学生充分体验到数学问题与现实问题的密切相关性．本课例中，教师并没有在给出问题情境后，直接提供一系列数学问题让学生解答，而是在这个教学情境的基础上，让学生自己提出要解决的相关问题之后进一步缩小范围要求从函数角度提出问题，对于这两个开放性问题，不同学生给出了不同的答案．这些问题都属于提问开放的开放性问题，即没有明确的问题，此类问题要求学生自己去发现问题，提出问题，然后才是解决问题，旨在培养学生主动发现问题，提出问题，解决问题的能力．
当前，一线教师亟需切实转变教育理念，优化教学设计与课堂教学，在平常的教学中循序渐进地使
·
９３·
学生接触开放性的情境与问题，渗透一些开放性的思想，引入有研究性和探索性的问题，并充分调动学生参与数学活动的热情与信心，让学生主动参与学习的全过程；注重引导，鼓励学生敢于提出问题，勇于探索求异，发表自己对问题的不同看法，善于运用数学思想去解决一些实际问题，充分发挥数学学科的育人价值．
３．３　注重展现思维过程
思维是对知识经验进行的一系列复杂的心智操作过程．数学是思维的科学，数学教学是思维的教学．新课程标准强调：数学教学要重视揭示获取知识和运用知识的思维过程，在此过程中，使学生获得对数学的理解，并在思维能力，情感态度与价值观等方面得到进步和发展．然而这种教育理念在实际教学实践中，并未得到重视与贯彻．主要表现在在教学中，为追求所谓的效率与教学进度，忽视问题的发现过程，概念的形成过程，忽视数学知识的本质，而偏重结论性的东西和机械模仿训练．
然而，学生的想法不是凭空而来的，作为教师，去了解他们是如何想的，以及是如何得到错误的想法或者结论都是至关重要的．很多教师常常只把目光放到了正确的答案上来，从他们的角度或者说从正面的角度来看，结果是顺理成章，但是为什么学生的想法是错误的，他们常常置之不理．比如，很多教师在讲解根据三角函数图像来求解三角函数解析式时，一味的强调在代入解析式求参数值时要代入最大值点或最小值点，否则会产生增解．在基本不等式中强调的“一正二定”的规则也容易让学生摸不着头脑．这种讲解只是告诉学生正确的操作方式，但是至于为什么，学生就不得而知了．
本节复习课中，教师很关注学生的思维过程．在快慢两车行驶的这一问题情境中教师所问的第一个问题：想象一下，（快慢车出发后）接下来会怎样？这一问题不是直接的数学问题，而有些教师上课很赶进度，解决一个个预先设定好的数学问题才算完成了教学任务，未免有些功利．这一问题看似不是数学问题，但是是接下来提出和解决一系列问题前提和基础．学生只有从整体上先了解这一运动过程，才能再此基础上解决数学问题，这一运动过程也是这一数学问题的实际意义．
通过这些问题能对学生进行很好的启发与引导．数学教学应该是交流的过程，数学思维的展现也是交流的过程．如果只是单一的问与答，教师没有及时地对学生的想法给予一个恰当的反馈，那学生很少有机会暴露自己真实的想法和思维过程，教师接受到的信息只是学生对这问题是否掌握，以及掌握如何．
以下结合课例中的一个教学片断，来分析授课教师是如何关注学生的数学思维过程的．
教师提出问题三：你能从函数角度提出问题吗？就这一问题与学生交流讨论．
师：回忆一下我们学习过的函数的概念，来，同学们再交流一下好嘛．每个人给周围的同学提一个函数方面的问题．（学生讨论）来分享一下你的想法．（走到学生身边）不要拘谨，跟他们说一下好不好，你提出什么问题，函数方面的，（与学生私语，生：分段函数可以嘛，师：可以呀，那你的具体问题是什么呢？生：就是甲、乙两车之间距离的函数关系式，师：好，好，来，我看大家在这样一个场合好像有点不愿意交流，但是我感觉到很多同学他们是有很多想法的．在刚才他们交流的过程中，我在听也在和他们探讨，所以我需要大家不要在意这样的场合，而是把自己的想法说出来，好不好？来，我们先请一位同学说说看，我们就请你，有想法啊？
生１０：（面露难色未说话）
师：这时候老师想补充一个问题，就是谈到函数的时候，你想到什么？就是看到这样的问题的时候，你一下子想到的是什么？
生１０：我想到函数的表示．
师：哦，他想到函数的表达式，还有么？
生１０：……（沉默）
师：没啦？好，谈到函数的时候，你还能想到什么？来随机的问．
生１１：我想到函数的图像，还有……没了．
师：还有没了．（笑）其实就像这位同学所说的一样，函数的图像，函数的表达式，这是残存在我们头脑中间对函数的一个认识．其实这些都可以刻画一件事情的全过程．他（生１０）刚才讲的多好啊，他见到函数的表达式，那我就像你所说的一样，我提一个问题嘛．但是在我提问之前，函数中间必须要先有什么呀？要先有什么？
生１０：先有变量．
师：哦，先有变量，自变量因变量这些量，是不是？好，那也就是说，要先有变量，你在中间选一个变量嘛？
生１０：时间．
师：嗯，你把自变量设为是时间，还有吗？
生１０：因变量是速度（下转第４２页）
·
０４·
学生已对本节课的知识有了明确的认识，那么如何提高他们应用新知的迫切感和成就感呢？就此抛出第四个问题，让学生进一步加深理解：正比例函数的一般形式是什么？比例系数ｋ必须满足什么条件？自变量的指数是多少？
接下来鼓励学生自主选择合适条件将题目补充完整并解答，学生对这个问题充满了兴趣，尝试热情极高．通过问题４，既让学生在编题的过程中认识知识点中的细节，达到巩固新知的目的，又让教师及时、准确地掌握学生对重点内容的把握是否到位，对概念的理解是否存在漏洞，一举两得！同时，通过自主编题、解题、展示，一来提高了学生提出问题、分析问题的能力，二来也增强了学生学习的自信心．
５　问题五：巩固反思
例２　已知ｙ与ｘ成正比例，且ｘ＝２时，ｙ＝－６．求出ｙ与ｘ之间的函数解析式；
（１）启发学生讨论：你认为求出函数解析式最关键的是什么？怎样求出函数解析式？
（２）汇报讨论结果：确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数．可先设函数解析式为ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０），再利用已知条件把ｘ＝２、ｙ＝－６代入确定ｋ的值．板书学生讨论结果：确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数．
想一想：已知正比例函数中两个变量的一组对应值，一定能求出函数解析式吗？
设计说明：由正比例函数中两个变量的一组对应值完全确定这个正比例函数；求这个函数解析式的常用方法是待定系数法．再通过题后的“想一想”，让学生从感性到理性形成一般认识，并且体会到，由于正比例函数解析式中只有一个待定系数，因此确定一个正比例函数只需一个独立条件．问题是数学的心脏！问题在数学学习中有举足轻重的作用，有了问题，思维才有方向；有了问题，思维才有动力；有了问题，思维才有创新．本节课的设计，以五个问题为主线，每个问题层层深入，从不同角度深化内容的学习，让学生有了挥洒灵性和智慧的空间．在每个问题的教学过程中，都需要学生进行一定时间的课堂学习，师生、生生之间的交流活动，学生在不知不觉中形成基于自己理解的，开放、多元的探索未知的学习意识，知识也自然得到掌握和应用．
因此，在教学中，教师应根据学生的认知规律和教学内容来设计问题，让学生在问中悟；用问题促使知识生长，让学生在问中探；用问题激发智慧潜能，让学生在问中明
檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸
．
（上接第４０页）
师：因变量是速度，嗯，那么请问？（指ＰＰＴ题目）匀速，看到了吗？速度不会随着时间的变化而变化，还可以选什么为因变量？
生１０：距离．
师：两车之间的距离，那由此，你现在能不能试着去提一个问题？
生１３：（思考片刻）在时间为多少的时候，两车的距离是２００千米？
第三个问题提出后，教师没有直接让学生回答，而是让学生先回忆函数的概念，作为回答这一问题的基础，并且给学生提供了交流的时间与空间，数学教学中教师不能够代替学生的思考．同学们提出了函数和函数解析式这两个问题，接下来教师循循善诱引导学生找到有关函数的自变量、因变量．这一部分的教学，师生的对话过程是一个很好的相互交流，积极引导的过程，并且也体现了学生的思维过程．他们一开始只是比较含糊笼统的想到函数的解析式和图像．那函数是刻画世界变化规律的数学模型，怎样通过具体的函数解析式或者函数图像来刻画这一运动过程呢．教师引导学生得出需要有函数的要素，也就是自变量，因变量等，使学生找到了建立数学函数的方向，即需要有自变量和因变量，之后找到合适的变量，从而为接下来问题的提出和解决建立数学基础．
４　对数学复习课的思考
教师是教学的主导者，在学生学习中的引导作用至关重要．但是很多教师对于复习课的认识和理解存在很大的缺陷和偏差．这是很多复习课千篇一律注重讲题练题的重要原因，教师要从优秀的案例中汲取经验和新的教学模式，引导学生主动探究，乐于思索，精心设计合理的问题情境和数学问题，关注学生的思维过程，使数学教学真正为促进学生发展服务，而不是使数学知识成为考核学生的工具．
参考文献：
［１］涂荣豹，宁连华，徐伯华．中学数学教学案例研究［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１１．
·
２４·。