2019届高三第二次质检数学(理)试题含解析
精品解析：【省级联考】陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
为（ ）
A.
B.
C.
D.【答案】A源自【解析】【分析】根据点在幂函数上，可求得幂函数解析式，进而判断大小即可。
【详解】因为点 在幂函数
图像上
所以 ，所以
即
，
，
，
即
为 R 上的单调递增函数 所以 所以选 A 【点睛】本题考查了指数幂与对数大小比较，函数单调性的简单应用，属于基础题。
8.要得到函数
的图象，只需将函数
【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数图像的平移变化，横坐标与平移量的关系，即可判断。
【详解】将函数
的图象经过两次变换而得到函数
的图象有两种方法：
方法一、先将
的图象向左平移 个单位，再将所得到图象上各点的横坐标缩短到原来的一半
方法二、先将
的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得到图象向左平移 个单位
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】 【分析】 根据复数模的定义求得 即可。 【详解】根据复数除法运算，可化简得
所以
所以选 D 【点睛】本题考查了复数模的求法，属于基础题。
3.已知实数 ， 满足约束条件
，则目标函数
的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线性约束条件，画出可行域，求可行域内到原点距离的最大值即可。
B.
C.
的准线方程为
，所以双曲线
D.
的左焦点
，从而
，把
代入
得
，所以 的面积为
，解得 ，所以离心率
，故选 D.
考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质.
2019年高三二模数学(理科)(含答案)
2019年高三二模数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.计算=（）A. B. i C. D. 12.已知集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2-4x＞0}，则A∩B=（）A. 5，B.C. D. 或3.已知{a n}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=（）A. B. C. D. 24.如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆．将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（A）=（）A. B. C. D.5.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A. B. C.D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的k=（）A. 7B. 8C. 9D. 107.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.8.为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位9.已知变量x，y满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为A. B. C. D.10.已知三棱锥S-ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.在的展开式中的x3的系数为（）A. 210B.C.D. 28012.函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.点P从（-1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为______．14.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= ______ ．15.已知数列{a n}中，a1=3，a2=7．当n∈N*时，a n+2是乘积a n•a n+1的个位数，则a2019=______．16.已知F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18、某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19、在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：;（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.20、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．求该椭圆的方程；过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．21、已知函数f（x）=4x2+-a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．22、已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质求值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，以及一元二次不等式的解法，是基础题目．化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2-4x＞0}={x∈R|x＜0或x＞4}，∴A∩B={5，6}．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=-， 故选B ． 4.【答案】C【解析】解：由图可知：正方形的边长为2， S 阴==，S 正=2×2=4，则P （A ）===，故选：C ．由扇形的面积得：S 阴==，由几何概型中的面积型得：则P （A ）===，得解．本题考查了扇形的面积及几何概型中的面积型，属简单题． 5.【答案】D【解析】解：若a ＞1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＞a ＞1，此时b-a ＞0，b ＞1，即（b-1）（b-a ）＞0，若0＜a ＜1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＜a ＜1，此时b-a ＜0，b ＜1，即（b-1）（b-a ）＞0， 综上（b-1）（b-a ）＞0， 故选：D ．根据对数的运算性质，结合a ＞1或0＜a ＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础． 6.【答案】C【解析】解：∵=-，∴s=++…+=1…+-=1-，由S≥得1-≥得≤，即k+1≥10，则k≥9，故选：C．由程序框图结合数列的裂项法进行求解即可．本题主要考查程序框图的应用，根据数列求和以及裂项法是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：令g（x）=x-lnx-1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．8.【答案】B【解析】解：由题意y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y=sin[2（x-）+]=sin （2x-）的图象，故选：B．先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x的系数的应用，以及诱导公式的应用．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值，关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过点C（1,1）时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（4+）≥2+=2+；当且仅当a=b，并且a+b=2时等号成立；故选A．10.【答案】C【解析】解：将该三棱锥补成正方体，如图所示；根据题意，2R=，解得R=；∴该三棱锥外接球的表面积为=4πR2=4π•=27π．S球故选：C．把该三棱锥补成正方体，则正方体的对角线是外接球的直径，求出半径，计算它的表面积．本题考查了几何体的外接球表面积的应用问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了分类讨论与转化的数学思想，属于基础题．由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，分类讨论求得展开式中的x3的系数．【解答】解：由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，在这7个因式中，有2个取-x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取-x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项；故含x3的项为××2×-××23=210-1120=-910.故选C.12.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围．本题考查了图象的平移和根据图象解决实际问题，是数型结合思想的应用，应熟练掌握．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则可使log2x图象左移大于1个单位即可，得出a＞1；若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=-2，解得a=-，∴a的范围为a＞1或a≤-，故选：D．13.【答案】（-，）【解析】解：如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则∠xOQ=，∴Q点坐标为（cos，sin），即（-，）．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出点Q的坐标．本题考查了单位圆与三角函数的定义和应用问题，是基础题．14.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.【解答】解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴3a+1=4，即a=1．故答案为1．15.【答案】1【解析】解：由题意得，数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥2时，a n+1是积a n a n-1的个位数；则a3=1，依此类推，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，数列{a n}是以周期T=6的周期数列，则a2019=a3+336×6=a3=1；故答案为：1．根据题意可得：由数列的递推公式可得a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】5【解析】解：∵F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点∴而|PA|+|PF|≥|AF|=5当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为：5．根据PA|+|PF|≥|AF|=5求得答案．本题考查了三点共线，距离公式，属于基础题17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知2cos C（a cos B+b cos A）=c，利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin[π-（A+B）]=sin C，∴2cos C sinC=sin C，∴cos C=，∵C为三角形ABC的内角，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5或a+b=-5（舍去）∴△ABC的周长为5+.【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．18.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），填表如下：根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为数学期望为，或（）．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；本题考查了频率分布直方图与独立性检验和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题．19.【答案】（I）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；（II）解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图,由（I）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD,以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意得：B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，，则，设平面MBC的法向量，则,即，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量，设直线AD与平面MBC所成角为θ，则，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.【解析】本题考查面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质,同时考查利用空间向量求线面角.（I）利用面面垂直的性质得AB⊥平面BCD,从而AB⊥CD；（II）建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面MBC的法向量,设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式即可得出.20.【答案】解：（1）由题意可知：椭圆+=l（a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2-c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x-）-，则，整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1-）-]x2+[k（x2-）-]x1=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．21.【答案】解：（1）函数f（x）=4x2+-a，则y=xf（x）=4x3+1-ax的导数为y′=12x2-a，由题意可得12-a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+-12，f′（x）=8x-，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，-7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x-1），即为y=7x-14；（2）由f（x）=4x2+-a，导数f′（x）=8x-，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3-a，由f（x）有两个零点，可得3-a=0，即a=3，零点分别为-1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=-1或，则f（x）=-1-b或f（x）=-b，由题意可得f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，则-1-b＞0，且-b＞0，即b＜-1且b＜，可得b＜-1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（-∞，2）．【解析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=-1或t=，即f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，由图象可得-1-b＞0，且-b＞0，即可得到所求a+b的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【解析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．。
深圳市2019年高三年级第二次调研考试数学(理科)试题(含答案)
学 （1）求 ABC 的大小；
（2）求△ ABC 的面积．
科 解：（1）(法一)依题意设 ABD = 2CBD = 2 ，
∵ AD = 2CD ， AC = 2 5 ，
∴ AD = 4 5 ， CD = 2 5 ，
育3
3
…………………………………………2 分
在△ BAD 中，由正弦定理，可得 AB = AD ，
Sn
Sn−1
令 bn
=
2n S
+
n
1
，则
bn
− bn−1
=
2（n
2 ），
数列{bn}是以 b1
=
3 S1
=
3 a1
= 1为首项，公差 d
=
2 的等差数列，
bn
=
2n
−1，即
2n +1 Sn
=
2n
−1 ，
Sn
=
2n +1 2n −1
，
S1S2
Sm
=
3
5 3
2m 2m
+1 −1
=
2m
+1
，
由 2m +1 2019 ，解得 m 1009 ，即正整数 m 的最小值为1009 ，故应填1009 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
理科数学试题答案及评分参考第2页（共13页）
市教育科
院
17．（本小题满分 12 分）
究
研 已知△ ABC 中，AB = 2BC ，AC = 2 5 ，点 D 在边 AC 上，且 AD = 2CD ，ABD = 2CBD ．
教 sin ADB sin ABD
四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学(理)试题含解析
四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|x≤-2或x≥1}，则A∩（∁U B）=（）A. B.C. D. 或2.已知双曲线C：＞的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知向量=（，），=（-3，），则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. D. 14.条件甲：a＞b＞0，条件乙：＜，则甲是乙成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（）A. B. C. D.6.若，，，且，，则sinβ=（）A. B. C. D.7.已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是（）A. 若平面，则B. 若平面，则，C. 存在平面，使得，，D. 存在平面，使得，，8.将函数f（x）的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. B.C. D.9.已知定义域R的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，则f（）=（）A. B. C. D.10.已知a R且为常数，圆C：x2+2x+y2-2ay=0，过圆C内一点（1，2）的直线l与圆C相切交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x-y=0，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 511.用数字0，2，4，7，8，9组成没有重复数字的六位数，其中大于420789的正整数个数为（）A. 479B. 480C. 455D. 45612.某小区打算将如图的一直三角形ABC区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观．已知AB=20m，AC=10m，则△DEF区域内面积（单位：m2）的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z=，a R，若z为纯虚数，则|z|=______．14.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=AD=1，BC=CD=BD=，则球O的表面积为______．15.在平面直角坐标系xOy中，定义两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的折线距离为d（A，B）=|x1-x2|+|y1-y2|．已知点O（0，0），C（x，y），d（O，C）=1，则的取值范围是______．16.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则|PF|+的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S，公比q＞1，且a2+1为a1，a3的等差中项，S3=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）记b n=a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.为了让税收政策更好的为社会发展服务，国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得2×2（）根据列联表，能否有的把握认为满意程度与年龄有关？（2）为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难，该企业拟员工贡献积分x（单位：分）给予相应的住房补贴y（单位：元），现有两种补贴方案，方案甲：y=1000+700x；方案乙：，＜，＜．已知这8名员工的贡献积分为2分，3分，6分，7分，7分，11分，12分，，＞12分，将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”．为了解员工对补贴方案的认可度，现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“A类员工”的概率．附：，其中n=a+b+c+d．参考数据：19.如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，（Ⅰ）证明：EF MC；（Ⅱ）求二面角M-AB-D的余弦值．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+2k2=0，求直线F1M的方程．21.已知函数，a R．（Ⅰ）若f（x）≥0，求实数a取值的集合；（Ⅱ）证明：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α倾斜角），曲线C的参数方程为（β为参数，β[0，π]），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线C恰有一个公共点P，求点P的极坐标．23.已知函数f（x）=|x-m|-|x+2m|的最大值为3，其中m＞0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b R，ab＞0，a2+b2=m2，求证：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∁U B={x|-2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）={x|-1＜x＜1}．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】D【解析】解：双曲线C：的焦距为4，则2c=4，即c=2，∵1+b2=c2=4，∴b=，∴双曲线C的渐近线方程为y=x，故选：D．先求出c=2，再根据1+b2=c2=4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题3.【答案】A【解析】解：由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴=．故选：A．本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4.【答案】A【解析】解：条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立不一定有条件甲：a＞b＞0成立所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．5.【答案】C【解析】解：甲的中位数为29，乙的中位数为30，故不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故正确，不正确．故选：C．根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．本题考查了茎叶图，属基础题．6.【答案】B【解析】解：，且，可得cosα=-=-．，可得sinαcosβ-cosαsinβ=-，可得cosβ+sinβ=-，即2cosβ+sinβ=-，sin 2β+cos 2β=1，解得sinβ=．故选：B ．利用同角三角函数基本关系式求出cosα，通过两角和与差的三角函数化简已知条件，转化求解sinβ即可．本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查． 7.【答案】C【解析】解：由a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，知： 在A 中，若c 平面α，则a 与α相交、平行或a α，故A 错误；在B 中，若c 平面α，则a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内，故B 错误； 在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c α，a α，b ∥α，故C 正确；在D 中，若存在平面α，使得c ∥α，a α，b α，则a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾，故D 错误． 故选：C ．在A 中，a 与α相交、平行或a α；在B 中，a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内；在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c α，a α，b ∥α；在D 中，a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8.【答案】C【解析】解：由图象知A=1，=-（-）=，即函数的周期T=π，则=π，得ω=2，即g（x）=sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ=π，得φ=，则g（x）=sin（2x+），将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，即f（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=sin（2x++）=cos（2x+），故选：C．根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵f（x）是奇函数，且图象关于x=1对称；∴f（2-x）=f（x）；又0≤x≤1时，f（x）=x3；∴．故选：B．根据f（x）的图象关于直线x=1对称，即可得出f（2-x）=f（x），从而得出，再根据f（x）是奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，从而得出．考查奇函数的定义，函数f（x）的图象关于x=a对称时，满足f（2a-x）=f（x），以及已知函数求值的方法．10.【答案】B【解析】解：化圆C：x2+2x+y2-2ay=0为（x+1）2+（y-a）2=a2+1，圆心坐标为C（-1，a），半径为．如图，由题意可得，过圆心与点（1，2）的直线与直线2x-y=0垂直．则，即a=3．故选：B．由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x-y=0垂直，再由斜率的关系列式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，有3种情况，将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，此时有3×A55=360种情况，即有360个大于420789的正整数，，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，有3种情况，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有3×A44=72种情况，即有72个大于420789的正整数，，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有A44=24种情况，其中有420789不符合题意，有24-1=23个大于420789的正整数，则其中大于420789的正整数个数有360+72+23=455个；故选：C．根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，分别求出每种情况下的六位数的数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：△ABC是直三角形，AB=20m，AC=10m，可得CB=，DEF是等边三角形，设∠CED=θ；DE=x，那么∠BFE=30°+θ；则CE=xcosθ，△BFE中由正弦定理，可得可得x=，其中tanα=；∴x≥；则△DEF面积S=故选：D．△ABC是直三角形，DEF是等边三角形，AB=20m，AC=10m，CB=，可得∠A=60°，∠B=30°；设∠CED=θ；DE=x，那么∠BFE=30°+θ；则CE=xcosθ，在三角形△BFE中利用正弦定理求解x的最小值，即可求解△DEF区域内面积的最小值．本题考查三角形的面积的求法，考查DEF边长的求法，角的表示求解最值问题，是中档题，解题时要注意正弦定理的合理运用．13.【答案】1【解析】解：∵z==是纯虚数，∴，即a=-1．∴z=i，则|z|=1．故答案为：1．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值，得到复数z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】3π【解析】解：如图，取CD中点E，连接BE，可得BE=，设等边三角形BCD的中心为G，则BG=，∴AG=，设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R，则R2=BG2+OG2，即，解得R=．∴球O的表面积为．故答案为：3π．由题意画出图形，解三角形求得三棱锥外接球的半径，代入棱锥体积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】【解析】解：d（O，C）=|x|+|y|=1，则≥=，．故答案为：．d（O，C）=|x|+|y|=1，利用≥即可得出．本题考查了基本不等式的性质、折线距离，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】6【解析】解：设直线l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：x2-4kx-4=0，可得：x1+x2=4k，x1x2=-4，|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+2+2=4k2+4．对x2=4y两边求导可得：y′=，可得切线PA的方程为：y-y1=（x-x1），切线PB的方程为：y-y2=（x-x2），联立解得：x=（x1+x2）=2k，y=x1x2=-1．∴P（2k，-1）．∴|PF|=．∴|PF|+=+，令=t≥2．则|PF|+=t+=f（t），f′（t）=1-=，可得t=4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）=6．当且仅当k=时取等号．故答案为：6．设直线l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立化为：x2-4kx-4=0，利用根与系数的关系可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+4．对x2=4y两边求导可得：y′=，可得切线PA的方程为：y-y1=（x-x1），切线PB的方程为：y-y2=（x-x2），联立解得P点坐标，可得代入|PF|+，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值、切线方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：（I）∵a2+1是a1，a3的等差中项，∴2（a2+1）=a1+a3，∴a1（q2+1）=2a1q+2，=14，化为2q2-5q+2=0，q＞1，解得q=2，∴a1=2．∴a n=2n．（II）b n=a n•log2a n=n•2n．∴数列{b n}的前n项和T n=2+2•22+3•23+……+n•2n．2T n=2×2+2•23+……+（n-1）•2n+n•2n+1．∴-T n=2+22+23+……+2n-n•2n+1=-n•2n+1．解得：T n=（n-1）•2n+1+2．【解析】（I）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得2（a2+1）=a1+a3，又a1（q2+1）=2a1q+2，=14，联立解得，即可得出．（II）b n=a n•log2a n=n•2n．利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）根据列联表可以求得K2的观测值：k==≈11.42＞6.635，故有99%的把握认为满意程度与年龄有关．（2）据题意，该8名员工的贡献积分及按甲乙两种方案所获补贴情况为：设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名”A类员工“的概率为P，则P==．【解析】（1）根据列联表可以求得K2的观测值，结合临界值可得；（2）先得积分表可得A类员工的人数，再根据古典概型的概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）由题意知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF AB，EF CD，∴折叠后，EF DF，EF CF，∵DF∩CF=F，∴EF平面DCF，又MC平面DCF，∴EF MC．解：（Ⅱ）∵平面BEFC平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD=EF，且EF DF，∴DF平面BEFC，∴DF CF，∴DF，CF，EF两两垂直，以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵DM=1，∴FM=1，∴M（1，0，0），D（2，0，0），A（1，0，2），B（0，1，2），∴=（0，0，2），=（-1，1，0），=（-1，0，2），设平面MAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面ABD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（2，2，1），∴cos＜，＞===，∴二面角M-AB-D的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出EF AB，EF CD，折叠后，EF DF，EF CF，从而EF平面DCF，由此能证明EF MC．（Ⅱ）以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AB-D的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（I）由题意可得：2b=4，=，a2=b2+c2．联立解得：b=2，c=1，a=3．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（II）A（-3，0），B（3，0），F1（-1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x=my-1，M（x1，y1），（y1＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（x2，y2）．∵F1M∥F2N，根据对称性可得：N（-x2，-y2）．联立，化为：（8m2+9）y2-16my-64=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵3k1+2k2=0，∴+=0，即5my1y2+6y1+4y2=0，联立解得：y1=，y2=，∵y1＞0，y2＜0，∴m＞0．∴y1y2=•=，∴m=．∴直线F1M的方程为x=y-1，即2x-y+2=0．【解析】（I）由题意可得：2b=4，=，a2=b2+c2．联立解出即可得出椭圆C的标准方程．（II）A（-3，0），B（3，0），F1（-1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x=my-1，M（x1，y1），（y1＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（x2，y2）．由F1M∥F2N，根据对称性可得：N（-x2，-y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（8m2+9）y2-16my-64=0，根据根与系数的关系及其3k1+2k2=0，+=0，联立解得m．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】（I）解：f′（x）=-=．（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=0．因此0＜x＜1时，f（x）＜0．当a＞0时，可得函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴x=a时，函数f（x）取得极小值即最小值，则f（a）=ln a+1-a≥0．令g（a）=ln a+1-a，g（1）=0．g′（a）=-1=，可知：a=1时，函数g（a）取得极大值即最大值，而g（1）=）．因此只有a=1时满足f（a）=ln a+1-a≥0．故a=1．∴实数a取值的集合是{1}．（II）证明：由（I）可知：a=1时，f（x）≥0，即ln x≥1-在x＞0时恒成立．要证明：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x，即证明：e x≥1+x2+（e-2）x，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．令h（x）=e x-1-x2-（e-2）x，x＞0．h′（x）=e x-2x-（e-2），令u（x）=e x-2x-（e-2），u′（x）=e x-2，令u′（x）=e x-2=0，解得x=ln2．可得：x=ln2时，函数u（x）在（0，ln2）内单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．即函数h′（x）在（0，ln2）内单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．而h′（0）=1-（e-2）=3-e＞0．h′（ln2）＜h′（1）=0．∴存在x0（0，ln2），使得h′（x0）=0，当x（0，x0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x（x0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．当x（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．又h（0）=1-1=0，h（1）=e-1-1-（e-2）=0，∴对∀x＞0，h（x）≥0恒成立，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．综上可得：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x，成立．【解析】（I）f′（x）=-=．（x＞0）．对a分类讨论即可得出单调性与极值，进而得出结论．（II）由（I）可知：a=1时，f（x）≥0，即lnx≥1-在x＞0时恒成立．要证明：e x+≥2-lnx+x2+（e-2）x，即证明：e x≥1+x2+（e-2）x，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．令h（x）=e x-1-x2-（e-2）x，x＞0．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（β为参数，β[0，π]），转换为直角坐标方程为：（x-4）2+y2=4（y≥0）．直线l的参数方程为（t为参数，α倾斜角），转换为极坐标方程为：θ=α．（2）由（1）可知：曲线C为半圆弧，若直线l与曲线C恰有一个公共点P，则直线l与半圆弧相切．设P（ρ，θ），由题意知：，故：，故：ρ2+22=42，解得：．所以：点P（，）．【解析】1（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）∵m＞0，∴f（x）=|x-m|-|x+2m|=，，＜＜，，∴当x≤-2m时，f（x）取得最大值3m．∴m=1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，a2+b2=1，∴+===-2ab．∵a2+b2=1≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．∴0＜ab，令h（t）=-2t，0＜t，则h（t）在（0，]上单调递减，∴h（t）≥h（）=1，∴当0＜ab时，-2ab≥1，∴+≥1．【解析】（Ⅰ）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（Ⅱ）将所证不等式转化为-2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学理试题(解析版)
合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学试题 (理科 )(考试时间： 120 分钟满分： 150 分 )第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.设复数 z 满足 z4i ，则 z 在复平面内的对应点位于1 iA. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限答案： A 考点 ：复数的运算及几何意义。
解析： z4i ＝ 4i (1 i ) 2 2i ，对应的点为（ 2,2），所以，在第一象限。
1 i 1 i 22.若集合 Ax20 ， Bx 1 x2，则ABx1xA. 2，2B. 1，1C.(-1 ， 1)D.(-1 ， 2)答案： C 考点 ：分式不等式，集合的运算。
解析：不等式x2≤ 0 ，等价于 ( x 2)( x 1) ≤ 0 且 x 1 0 ，解得 2 ≤ x 1 ，x 1即 A { x | 2 ≤ x 1} ，所以 A B( 1,1)．3．已知双曲线x 2y 21 ( a 0， b 0 )的一条渐近线方程为y 2x ，且经过点 P (6 ，4)，则双曲线的方a 2b 2程是A.x 2 y 2 1B.x 2 y 21x 2y 2 1 D. 2y 2 143234C.8x42答案： C 考点 ：双曲线的标准方程与性质。
解析：依题意可知b2, b2 ，故 x 2y 2 1，将 P(6,4)6 16 1，aaa 2 4a 2代入，得：4a 2a 2解得 a 22, b 2 8 ，所以双曲线的方程是x 2 y 2 1 ．284.在 ABC 中， BD1DC ，则 AD2A.1AB3ACB.2AB1ACC.1AB2ACD.1AB2AC4433 3 3 33答案： B 考点 ：平面向量的三角形法则。
解析： ADAB BDAB1BC AB 1 AC AB2AB1AC ．3 333AB D C5.下表是某电器销售公司2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80%-0.48% 3.82%0.86%则下列判断中不正确的是．．．A. 该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同C.该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低答案： B 考点：统计表格的阅读，比例的意义。
2019届高三数学二模考试试题理(含解析)
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知集合，则满足的集合的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，，所以集合可能是.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量，满足，，则（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解．【详解】因为向量，满足，，所以，①，②由①②得：，即，故选：．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；；当时，，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到经过第六次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选：．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（）A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D【解析】【分析】根据，，成等比数列可求公差，然后可得.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即有，解得，（舍），所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8.已知，为椭圆的左右焦点，点在上（不与顶点重合），为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据为等腰直角三角形可得，结合椭圆的定义可求离心率.【详解】由题意等腰直角三角形，不妨设，则，由椭圆的定义可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、4，由正视图知，三棱锥的高是4，该几何体的体积，故选：．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简函数，然后利用解析式的特点求解最大值.【详解】，因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，点､分别是圆和圆上的点，长为，长为，且与在平面的同侧，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弧长公式可得，，由异面直线所成角的作法可得为异面直线与所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知，，在底面圆周上去点且，则面，连接，，，则即为异面直线与所成角，又，，所以，故选：．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设，满足约束条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的取值范围．【详解】作出，满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．此时的最大值为，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列的前项和为，若，，，则______.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，设等差数列的公差为，则，解得，由得，解得.故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.【答案】1【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则且，解得；同理可得且，解得；故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求和；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的余弦函数值，然后求解的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为，代入，得，所以，，由正弦定理得，所以，.（2）把余弦定理代入，得，解得.再由余弦定理得.当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．18.一只红玲虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:温度21产卵数/7个为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.【详解】(1)当时，根据模型①，得，，根据模型②，得.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设为抛物线:的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得，则抛物线的方程可求；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与抛物线方程联立，求出，，可得四边形的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．由，得．△，设，、，，则；同理设，、，，，则．四边形的面积．当且仅当时，四边形的面积取得最小值32．线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.是自然对数的底数，已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你结论.【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。
新疆乌鲁木齐地区2019届高三第二次质量监测数学(理)试题(解析版)
新疆乌鲁木齐地区2019届高三第二次质量监测数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x＜1}，B={x|x2＜4}，则A∩B等于（）A. {x|−2<x<1}B. {x|1<x<2}C. {x|−1<x<2}D. {x|x<2}2.已知复数z=2−i1+i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A. −32B. −32i C. 12D. 12i3.图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是（）A. f(x)=cosx−1B. f(x)=x2+2C. f(x)=−1xD. f(x)=x34.若实数x，y满足{x−4y+3≤03x+5y−25≤0x≥1，则函数z=2x+y的最大值为（）A. 12B. 325C. 3D. 155.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”即是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A. 4−π2B. 8−π C. 8−4π3D. 8−2π6.已知实数a=2ln2，b=2+2ln2，c=（ln2）2，则a，b，c的大小关系是（）A. c<a<bB. c<b<aC. b<a<cD. a<c<b7.如图所示算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为（）A. 3B. 4C. 5D. 68.已知F1，F2是双曲线x2-y2=1的焦点，以F1F2为直径的圆与一条渐近线交于P，Q两点，则△F1PQ的面积为（）A. √22B. 1C. √2D. 29.若关于x的方程（sin x+cos x）2+cos2x=m在区间[0，π）上有两个根x1，x2，且|x1-x2|≥π4，则实数m的取值范围是（）A. [0,2)B. [0,2]C. [1,√2+1]D. [1,√2+1)10. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l 过F 1交椭圆C于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足F 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且∠CF 1F 2=30°，则椭圆的离心率为（ ）A. √33B. √36C. 13D. 1611. 已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC =60°，AC =2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥p 一ABC 的体积为V 1，三棱銋O 一ABC 的体积为V 2，若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为（ ）A.16π9B.64π9C. 3π2D. 6π12. f （x ）的定义域是（0，+∞），其导函数为f ′（x ），若f ′（x ）-f(x)x=1-ln x ，且f（e ）=e 2（其中e 是自然对数的底数），则（ ）A. f(2)<2f(1)B. 4f(3)<3f(4)C. 当x >0时，f(x)>0D. 当x >0时，f(x)−ex ≤0 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 在（x2+√x 3）8的展开式中，常数项为______．14. 已知sin （π6-α）=14，则cos （2α+2π3）的值为______．15. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y =x +m 与曲线y =a sin x +b cos x （a ，b ，m ∈R ）相切于点（0，1），则a+b m的值为______．16. 如图，在圆内接四边形ABCD 中，已知对角线BD 为圆的直径，AB =AC =2√2，AD =1．则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 记公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2，a 4是a 2与a 8的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{1S n}的前n 项和T n ．18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB =60°，PD =4，M 为PD 的中点，E 为AM 的中点，点F 在线段PB 上，且PF =3FB ． （Ⅰ）求证EF ∥平面ABCD ；（Ⅱ）若平面PDC ⊥底面ABCD ，且PD ⊥DC ，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．19. 某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如表：月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 24 6 8 10 12 收益14.2120.3131.831.1837.8344.67他们分别用两种模型①y =bx +a ，②y =ae bx 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值；x −y −∑6i=1x i y i∑6i=1xi 27301464.24364（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （Ⅱ）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （i ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程： （ⅱ）若广告投入量x =18时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），其回归直线=x +的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i ni=1y i −−yn x −∑x i 2n i=1−n x−2，=y −-x −．20. 已知拋物线C ：x 2=2py 经过点P （2，1），其焦点为F ，M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M 的直线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若△AMF 与△ABF 的面积相等，证明直线l 与抛物线C 相切．21. 已知函数f （x ）=e x +xtx−1（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当t =0时，求f （x ）的最值；（Ⅱ）若t ≠0时，f （x ）在（1t ，+∞）上的最小值为1，求实数t 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =3−t x=t，（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C 1与C 2相交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．23. 已知函数f （x ）=2|x +1|-|x -a |，a ∈R ．（Ⅰ）当a =1时，求不等式f （x ）＜0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）＜x 有实数解，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由B中不等式解得：-2＜x＜2，即B={x|-2＜x＜2}，∵A={x|x＜1}，∴A∩B={x|-2＜x＜1}，故选：A．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：复数z====．复数的虚部为：-．故选：A．通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a+bi的形式，即可得到复数的虚部，本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，是基本知识的考查．3.【答案】D【解析】解：根据题意，函数的图象关于原点对称，则该函数为奇函数，据此分析选项：对于A，f（x）=cosx-1，为偶函数，不符合题意；对于B，f（x）=x2+2，为偶函数，不符合题意；对于C，f（x）=-，是奇函数，但在其定义域中不是单调函数，不符合题意；对于，f（x）=x3，是奇函数即其图象关于原点对称且在定义域内单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（5，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×5+2=12．即目标函数z=2x+y的最大值为12．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.【答案】B【解析】解：由题意可得，几何体是正方体挖去一个半圆柱，如图：故它的体积为（4-）×2=8-π，故选：B．根据三视图，可得该几何体是正方体挖去一个半圆柱，利用三视图的数据求解即可．本题主要考查祖暅原理，利用三视图求几何体的体积，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：易知1＜2ln2＜2，2+2ln2＞2，0＜（ln2）2＜1，∴c＜a＜b．故选：A．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：当x=1时，x＞1不成立，则y=x+1=1+1=2，i=0+1=1，y＜20不成立，x=2，x＞1成立，y=2x=4，i=1+1=2，y＜20成立，x=4，x＞1成立，y=2x=8，i=2+1=3，y＜20成立，x=8，x＞1成立，y=2x=16，i=3+1=4，y＜20成立x=16，x＞1成立，y=2x=32，i=4+1=5，y＜20不成立，输出i=5，故选：C．根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：F1，F2是双曲线x2-y2=1的焦点，F1（-，0），以F1F2为直径的圆与一条渐近线交于P，Q两点，|PQ|=2c=2，左焦点到渐近线x=y的距离为：d==1，所以则△F1PQ的面积为：=．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，求出焦距，左焦点到渐近线的距离，然后求解三角形的面积．本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：关于x的方程（sinx+cosx）2+cos2x=m在区间[0，π）上有两个根x1，x2，方程即sin2x+cos2x=m-1，即sin（2x+）=，∴sin（2x+）=在区间[0，π）上有两个根x1，x2，且|x1-x2|．∵x∈[0，π），∴2x+∈[，），∴-≤＜，求得0≤m＜2，故选：A．直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，F1，（-c，0）．直线l过F1交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且∠CF1F2=30°，可得C（0，），则（c，）=（-c-x，-y），解得A（，-）．可得：即：，e∈（0，1）．解得e=．故选：A．利用已知条件求出C与A的坐标，把A点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】B【解析】解：如图，设△ABC的外接球球心为O′，其半径为r，球O的半径为R，由题意可知，=3，可得R=，∵2r==，∴r=，∴，∴=，当球心O在三棱锥P-ABC外时，结果不变．故选：B．根据题意作出图形关键部分，利用同底三棱锥体积比等于高的比可得R，r之间的关系，由正弦定理可得r，问题得解．此题考查了球内接几何体，同底三棱锥体积比等于高的比，正弦定理等，难度适中．12.【答案】D【解析】解：构造函数，则=，对其两边积分得，又f（e）=e2得，所以，即，令t=lnx，则二次函数的对称轴为t=1，即x=e，且图象开口向下，g（2）＞g（1），即，故f（2）＞2f（1），所以A项错误；g（3）＞g（4），所以4f（3）＞3f（4），故B项错误；根据开口向下的二次函数的图象可知，当x＞0时，f（x）＞0不正确，故C项错误；当x＞0时，要使f（x）-ex≤0成立，只需成立，显然二次函数在对称轴t=1处取得最大值e，很明显成立，故D项正确；故选：D．构造函数，则=，对其两边积分结合条件f（e）=e2的解析式，采用换元法，借助二次函数的图象与性质进行分析、求解．本题综合考查了导数运算法则、积分、二次函数的性质，是一道综合性很强的题目．13.【答案】7【解析】解：二项展开式的通项为令解得r=6∴展开式的常数项为故答案为：7利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出r的值，将其值代入通项求出展开式的常数项．解决二项展开式的特定项问题，利用的工具是二项展开式的通项公式．14.【答案】−78【解析】解：cos（2）=-cos（-2α）=-1+2sin2（-α）=-1+2×=．故答案为：-．利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可．本题考查二倍角的三角函数，诱导公式的应用，考查计算能力．15.【答案】2【解析】解：根据题意，若直线y=x+m与曲线y=asinx+bcosx（a，b，m∈R）相切于点（0，1），则点（0，1）为直线y=x+m与y=asinx+bcosx的交点，则有，解可得m=1，b=1，又由y=asinx+bcosx，则y′=acosx-bsinx，又由y′|x=0=acos0-bsin0=1，解可得a=1，则==2；故答案为：2．根据题意，分析可得点（0，1）为直线y=x+m与y=asinx+bcosx的交点，则有，解可得m、b的值，求出y=asinx+bcosx，利用导数的几何意义分析可得y′|x=0=acos0-bsin0=1，解可得a的值，将a、b、m的值代入中计算可得答案．本题考查利用导数分析曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．16.【答案】−409【解析】解：在Rt△ABD中，，所以BD=3，∴．在△ABC中，由余弦定理可知，AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB，即，解之得．在Rt △BCD 中，，所以==．故答案为：．先在Rt △ABD 中求出cos ∠ADB ，cos ∠ABD ，然后在△ABC 中根据余弦定理求出BC ，再在Rt △BCD 中求出 cos ∠CBD ，进而利用数量积计算的值．本题主要考查圆的性质、余弦定理、平面向量的数量积运算，综合性较强，难度较大．17.【答案】解：（Ⅰ）由已知，a 42=a 2⋅a 8，即（2+3d ）2=（2+d ）（2+7d ），解得：d =2（d ≠0）， ∴a n =2+2（n -1）=2n ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，S n =2n +n(n−1)×22=n(n +1)，∴1S n=1n(n+1)=1n −1n+1，∴T n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1=nn+1． 【解析】（Ⅰ）由等差数列的性质列式求得公差，则通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）写出等差数列的前n 项和，取倒数，再由裂项相消法求解． 本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）取MD 的中点N ，连结EN ，FN ，∵E 为AM 的中点，∴EN ∥AD ，又∵M 为PD 的中点，N 为MD 的中点，∴PN =3ND ， ∵PF =3FB ，∴FN ∥BD ，∵EN ∩FN =N ，AD ∩BD =D ， ∴平面ENF ∥平面ABCD ，∵EF ⊂平面ENF ，∴EF ∥平面ABCD ．解：（Ⅱ）∵平面PDC ⊥平面ABCD ，PD ⊥DC ，∴PD ⊥平面ABCD ，设AB 的中点为G ，以D 为坐标原点，DG 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （√3，1，0），C （0，2，0），P （0，0，4），则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√3，1，0），CP⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，4）， 设平面PBC 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y =0n⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +4z =0，取x =2，得n⃗ =（2，2√3，√3）， 同理得平面PAD 的法向量m⃗⃗⃗ =（√3，3，0）， 设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则cosθ=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=4√1919， ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为4√1919．【解析】（Ⅰ）取MD 的中点N ，连结EN ，FN ，推导出EN ∥AD ，FN ∥BD ，从而平面ENF ∥平面ABCD ，由此能证明EF ∥平面ABCD ．（Ⅱ）设AB 的中点为G ，以D 为坐标原点，DG 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由于模型①残差波动小，应该选择模型①；（Ⅱ）（i ）剔除异常数据，即组号为3的数据，剩下数据的平均数为x −=15（7×6-6）=7.2，y −=15（30×6-31.8）=29.64； ∑x i 5i=1y i −5x −y −=206.4，∑x i 25i=1−5x −2=68.8．∴，=29.64-3×7.2=8.04．∴所选模型的回归方程为；（ⅱ）若广告投入量x =18时，该模型收益的预报值是3×18+8.04=62.04． 【解析】（Ⅰ）根据残差图分析，得出模型①残差波动小，故选模型①；（Ⅱ）（i ）剔除异常数据，计算剩下数据的平均数，求出回归系数，写出回归方程；（ⅱ）把x=18代入回归方程，即可求得该模型收益的预报值． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线x 2=2py 过点P （2，1），∴4=2p ，解得p =2，∴抛物线的方程为x 2=4y ，其焦点坐标为（ 0，1），（Ⅱ）设（x 0，x 024），由△AFM 的面积等于△AFB 的面积，可得|MA |=|AB |，即A 是MB 的中点，∴A （x 02，0），B （0，-x 024），∴直线l 的方程为y =x 02（x -x 02）， 直线l 的方程与抛物线C 的方程联立得{y =x 02(x −x 02)x 2=4y，得x 2-2x 0x +x 02=0，得x =x 0，y =x 024， ∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点， ∴直线l 与抛物线相切，且切点为M ． 【解析】（Ⅰ）把P （2，1）代入抛物线可得p=2和焦点坐标； （Ⅱ）设（x 0，），由△AFM 的面积等于△AFB 的面积，可得|MA|=|AB|，由此求出 A ，B 的坐标后得直线l 的方程，再联立直线与抛物线解得交点只有一个M ，故相切．本题考查了抛物线的性质，属中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）当t =0时，f （x ）=e x -x ，则f ′（x ）=e x -1令f ′（x ）＞0解得x ＞0，函数f （x ）在（0，+∞）是增函数；令f ′（x ）＜0，解得x ＜0，函数f （x ）在（-∞，0）是减函数； 所以f （x ）有最小值，无最大值，且f （x ）max =f （0）=1． （Ⅱ）当t ＞0时，由x ＞1t ，所以tx -1＞0，f(x)=e x +xtx−1=e x +1t +1t(tx−1)＞e x +1t ＞1+1t ＞1，不符合题意； 当t ＜0时，f′(x)=e x −1(tx−1)2=e x(tx−1)2[(tx −1)2−e −x ]．令g （x ）=（tx -1）2-e -x (x ＞1t )，易知y =（tx -1）2，y =-e -x 在(1t ，+∞)上均为增函数， 所以g （x ）=（tx -1）2-e -x (x ＞1t )在(1t ，+∞)上也为增函数，且g （0）=0， 当1t ＜x ＜0时f ′（x ）＜0，当x ＞0时，f ′（x ）＞0， 故f （x ）min =f （0）=1，符合题意； 所以实数t 的取值范围为（-∞，0）． 【解析】（Ⅰ）先利用导数判断单调性，从而确定最值的存在情况，求出最值； （Ⅱ）对t 分类讨论，再根据最小值为1的条件，确定实数t 的取值范围． 本题考查了函数的最值，同时考查了分类讨论思想，属于中档题目． 22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C 1的参数方程为{y =3−t x=t，（t 为参数），∴C 1的普通方程为x +y -3=0，∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ， ∴C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-4y =0．（Ⅱ）原点O 到直线x +y -3=0的距离为d =3√2，C 2的标准方程为x 2+（y -2）2=4，表示圆心为C 2（0，2），半径r =2的圆， C 2到直线x +y -3=0的距离d 2=√22，∴|AB |=2√r 2−d 22=√14， ∴S △OAB =d2⋅|AB|=12×√14×√2=3√72．【解析】（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程能求出C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程转化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C 2的直角坐标方程． （Ⅱ）原点O 到直线x+y-3=0的距离为d=，C 2的标准方程为x 2+（y-2）2=4，表示圆心为C 2（0，2），半径r=2的圆，C 2到直线x+y-3=0的距离d 2=，求出|AB|=2=，由此能求出△OAB 的面积．本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=2|x +1|-|x -1|，当x ＜-1时，由f （x ）＜0得-2（x +1）+（x -1）＜0，即-x -3＜0，得x ＞-3，此时-3＜x ＜-1，当-1≤x ≤1，由f （x ）＜0得2（x +1）+（x -1）＜0，即3x +1＜0，得x ＜-13，此时-1≤x ＜-13， 当x ＞1时，由f （x ）＜0得2（x +1）-（x -1）＜0，即x +3＜0，得x ＜-3，此时无解， 综上-3＜x ＜-13，（Ⅱ）∵f （x ）＜x ⇔2|x +2|-x ＜|x -a |有解，等价于函数y =2|x +2|-x 的图象上存在点在函数y =|x -a |的图象下方，由函数y=2|x+2|-x与函数y=|x-a|的图象可知：a＞0或a＜-4．【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等式组，再相并；（Ⅱ）f（x）＜x⇔2|x+2|-x＜|x-a|有解，等价于函数y=2|x+2|-x的图象上存在点在函数y=|x-a|的图象下方，根据图象写出结果．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
(完整)2019年福州市高三下学期第二次市质检理科数学试卷(word版,有答案)
19.（12 分） 最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网 调查的一份数据显示，2018 年 7 月，大部分一线 城市的房租租金同比涨幅都在 10%以上．某部门
研究成果认为，房租支出超过月收入 1 的租户“幸 3
第 18 题 图
福指数”低，房租支出不超过月收入 1 的租户“幸 3
A. 2 3
B. 4 3
C.8 D. 8 3
7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几 何体的三视图，则该几何体的体积为
第 7 题图
数学（理科）试卷第 1 页，共 5 页
32
A.32 B.16 C.
3
80
D.
3
8. 已知函数
f (x) 2sinx
0,
图
象的相邻
两条对称轴
福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指 数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各 100 户
进行调查．甲小区租户的月收入以0，3 ，3，6 ，6，9 ，9，12 ，12，15（单位：千元）
分组的频率分布直方图如上： 乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：
数学（理科）试卷第 3 页，共 5 页
2019 年 福 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 质 量 检 测
数学（理科）试卷
（完卷时间：120 分钟；满分 150 分） 第 Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 1 i 设复数 z 满足 i z 1i ，则 z 的共轭复数为 A. B. 1 i C. 1 i D. 1 i
，则 a8
安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
合肥市2019年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案。
【详解】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题。
2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，然后与集合取交集即可。
【详解】由题意，，，则，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题。
3.已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线的渐近线为，可得到，又点在双曲线上，可得到，联立可求出双曲线的方程。
【详解】双曲线的渐近线为，则，又点在双曲线上，则，解得，故双曲线方程为，故答案为C.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的方程的求法，考查了计算能力，属于基础题。
4.在中，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在上分别取点,使得,可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案。
“超级全能生”陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
“超级全能生”陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−2<x<2}，N={x|log2x>0}，则M∩N为()A. (−2,2)B. (1,+∞)C. (1,2)D. (−2,+∞)【答案】C【解析】解：∵集合M={x|−2<x<2}，N={x|log2x>0}={x|x>1}，∴M∩N={x|1<x<2}=(1,2)．故选：C．分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知复数z满足z=−1+5i2，则|z|=()A. 3B. √26C. 4D. √262【答案】D【解析】解：由复数模的运算法则可得：|z|=|−1+5i2|=|−1+5i||2|=√262．故选：D．由题意结合复数模的运算法则计算z的模即可．本题主要考查复数的模的求解等知识，属于基础题．3.若实数x，y满足约束条件{x+y≤4y−x≥0x−1≥0，则目标函数z=√x2+y2的最大值为()A. √6B. √10C. 2√2D. √7【答案】B【解析】解：作出实数x，y满足约束条件{x+y≤4 y−x≥0 x−1≥0，所对应的可行域，而目标函数z=√x2+y2表示可行域内的点A到原点距离的平方，由：{x +y =4x=1，解得A(1,3)数形结合可得最大值为：√1+9=√10， 故选：B ．作出可行域，z =√x 2+y 2表示可行域内的点到原点距离，数形结合可得． 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．4. 已知命题p ：对∀x >0，总有x <sinx ；命题q ：直线l 1：ax +2y +1=0，l 2：x +(a −1)y −1=0若l 1//l 2，则a =2或a =−1；则下列命题中是真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∧(￢q)C. (￢p)∨qD. p ∨q【答案】D【解析】解：设f(x)=sinx −x ，则f′(x)=cosx −1≤0，则函数f(x)在x ≥0上为减函数， 则当x >0时，f(x)<f(0)=0，即此时sinx <x 恒成立，即命题p 是真命题， 若a =0，则两直线方程为l 1：2y +1=0，l 2：x −y −1=0，此时两直线不平行，不满足条件．若a ≠0，若两直线平行，则满足1a =a−12≠−11，由1a =a−12得a(a −1)=2，即a 2−a −2=0得a =2或a =−1，由1a ≠−1得a ≠−1，则a =2，即命题q 是假命题， 则p ∨q 是真命题，其余为假命题， 故选：D ．根据条件判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假的判断，根据条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键．5. 陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A. 23 B. 12 C. 15 D. 25【答案】B【解析】解：现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数n=C52=10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m=C51=5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为p=mn =510=12．故选：B．基本事件总数n=C52=10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m= C51=5，由此能求出取出的两种物质恰好是相克关系的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.如图是计算12+14+16+18+110值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A. k≥5B. k<5C. k>5D. k≤6【答案】C【解析】解：∵算法的功能是计算12+14+16+18+110值，共循环5次，∴跳出循环体的n值为12，k值为6，∴判断框内应填的条件是k>5或k≥6．故选：C．根据算法的功能确定循环的次数是5，确定跳出循环体的n值为12，k值为6，由此可得判断框内应填的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环体的k值是关键．7. 已知点(2,8)在幂函数f(x)=x n 图象上，设a =f((45)0.3),b =f((54)0.2),c =f(log 1254)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. b >a >cB. a >b >cC. c >b >aD. b >c >a【答案】A【解析】解：点(2,8)在幂函数f(x)=x n 图象上， ∴f(2)=2n =8，解得n =3，∴f(x)=x 3，设a =f((45)0.3),b =f((54)0.2),c =f(log 1254)，∴45<a =[(45)0.3]3=(45)0.9<(45)0=1，54>b =[(54)0.2]3=(54)0.6>(54)0=1， c =(log 1254)3<(log 121)3=0，∴a ，b ，c 的大小关系是b >a >c ． 故选：A ．推导出f(x)=x 3，从而45<a =[(45)0.3]3=(45)0.9<(45)0=1，54>b =[(54)0.2]3=(54)0.6>(54)0=1，c =(log 1254)3<(log 121)3=0，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8. 要得到函数y =sin(2x +π12)的图象，只需将函数y =sinx 的图象经过下列两次变换而得到的( )A. 先将y =sinx 的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，再将所得图象向左平移π6个单位B. 先将y =sinx 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移π24个单位C. 先将y =sinx 的图象向左平移π12个单位，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半D. 先将y =sinx 的图象向左平移π12个单位，再将所得图上各点的横坐标伸长为原来的2倍 【答案】C【解析】解：要得到函数y =sin(2x +π12)的图象，只需将函数y =sinx 的图象向左平移π12个单位，得到y=sin(x+π12)，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到y=sin(2x+π12)，故选：C．根据三角函数的图象变换关系进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为()A. 2B. 2√2C. √6D. √2【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：可知PA⊥底面ABC，三角形ABC是等腰三角形，AB⊥BC，可知PC是最长的棱长：√4+4=2√2．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长．本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．10.已知抛物线y2=4x的准线过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为32，则双曲线的离心率为()A. 32B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，∴双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为(−1,0)x=−1时，代入双曲线方程，由b2=1−a2，可得y=±1−a2a，∵△AOB 的面积为32， ∴12⋅1⋅2(1−a 2)a=32，∴a =12，∴e =ca =2． 故选：D ．求出抛物线y 2=4x 的准线方程，可得双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，求出x =−1时，y 的值，利用△AOB 的面积为32，求出a ，即可求双曲线的离心率．本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查三角形面积的计算，正确运用抛物线、双曲线的几何性质是关键．11. 一布袋中装有n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是( )A. 若n =9，则甲有必赢的策略B. 若n =11，则乙有必赢的策略C. 若n =6，则乙有必赢的策略D. 若n =4，则甲有必赢的策略【答案】A【解析】解：若n =9，则甲有必赢的策略， 必赢策略如下： 第一步：甲先抓1球，第二步：①当乙抓1球时，甲再抓3球时； ②当乙抓2球时，甲再抓2球时； ③当乙抓3球时，甲再抓1球时；第三步：这时还有4个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球， 则布袋中都会剩余1--3个球，第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜． 故选：A ．甲若想必胜，则必须最后取球时还剩1--3个球，通过简单的合情推理可以得解． 本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理，属简单题．12. 已知函数f(x)={xe x ,x ≥0−x,x <0，又函数g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A. (−∞,−e 2+1e )B. (e 2+1e ,+∞)C. (−e 2+1e ,−2)D. (2,e 2+1e )【答案】A【解析】解：由已知有f(x)=xe x (x ≥0)， f′(x)=1−x e x，易得0≤x <1时，f′(x)>0，x >1时，f′(x)<0， 即f(x)在[0,1)为增函数，在(1,+∞)为减函数， 设m =f(x)，则h(m)=m 2+tm +1， 设h(m)=m 2+tm +1的零点为m 1，m 2 则g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点等价于t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的交点有4个， 函数t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的位置关系如图所示， 由图知：0<m 2<1e <m 1， 即h(1e )<0，解得：t <−e 2+1e，故选：A ．由函数的零点与函数图象的交点问题得：g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点等价于t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的交点有4个，结合利用导数研究函数的图象可作出函数t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的位置， 由二次方程区间根问题得：h(1e )<0，解得：t <−e 2+1e，得解本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题、利用导数研究函数的图象及二次方程区间根问题，属中档题二、解答题（本大题共11小题，共102.0分）13. 若S 1=∫x 221dx,S 2=∫1x 21dx,S 3=∫e x 21dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为______． 【答案】S 2<S 1<S 3【解析】解：S 1=13×(23−13)=73， S 2=ln2−ln1=ln2， S 3=e 2−e ，其中0<S 2<1，2<S 1<3，S 3>3， 故答案为S 2<S 1<S 3运用微积分基本定理可解决此问题． 本题考查定积分的简单应用．14. 公比为√2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12=16，则log 2a 15=______． 【答案】6【解析】解：∵a 2a 12=a 72=16，∴a 7=4， ∴log 2a 15=log 2a 7q 8=log 24×(√2)8=6． 故答案为：6．等比中项结合对数的运算性质可得结果．本题考查了等比数列的性质及对数的运算性质，属基础题．15. 圆x 2+y 2=1的任意一条切线与圆x 2+y 2=4相交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，O为坐标原点，则x 1x 2+y 1y 2=______． 【答案】−2【解析】解：根据题意，设AB 与圆x 2+y 2=1相切于点P ，分析可得|OP|=1，|OA|=|OB|=2， 又由OP ⊥AB ，则∠BOP =60∘， 则∠AOB =120∘， 又由A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=|OA||OB|cos120∘=−2， 则x 1x 2+y 1y 2=−2； 故答案为：−2．根据题意，设AB 与圆x 2+y 2=1相切于点P ，由两个圆的方程分析可得|OP|=1，|OA|=|OB|=2，又由OP ⊥AB ，分析可得∠AOB =120∘；结合数量积的计算公式可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=|OA||OB|cos120∘=−2，即可得答案．本题考查直线与圆相交的性质，涉及圆与圆的位置关系以及数量积的计算公式，属于基础题．16. 在实数集R 中定义一种运算“∗”，具有性质：(1)对任意a ，b ∈R ，a ∗b =b ∗a ； (2)对任意a ，a ∗0=0；(3)对任意a ，b ∈R ，(a ∗b)∗c =c(ab)+(a ∗c)+(b ∗c)−5c ． 则函数f(x)=x ∗1x (x >0)的最小值为______． 【答案】−3【解析】解：根据定义的运算性质得：f(x)=x ∗1x =(x ∗1x )∗1 =1×(x ⋅1x )+(x ∗1)+(1x ∗1)−5×1=1+1∗x +1∗1x =x +1x −5，因为x >0，由均值不等式得f(x)=x +1x−5≥2√x ⋅1x−5=2−5=−3(当且仅当x =1时取“=”)， 即f(x)的最小值为−3． 故答案为−3．根据题目给出的新定义，写出函数的解析式f(x)=x +1x −5，然后运用基本不等式求最值．本题考查了函数值域的求法，考查了利用基本不等式求函数最值的方法，解答此题的关键是能够根据题目所给的新定义，正确写出熟悉的函数表达式．17. 某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道(不考虑宽度)，BE 为赛道内的一条服务通道，∠BCD =∠CDE =∠BAE =2π3，DE =4km ，BC =CD =√3km ．(1)求服务通道BE 的长度；(3)应如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长？【答案】解：(1)∵连接BD ，∠BCD =∠CDE =∠BAE =2π3，DE =4km ，BC =CD =√3km∴在△BCD 中，由余弦定理可得：BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CD ⋅cos∠BCD =3+3+2×√3×√3×12=9， ∴BD =3， ∵BC =CD ，∴∠CBD =∠CDB =π6， 又∵∠CDE =2π3，∴∠BDE =π2，在Rt △BDE 中，BE =√BD 2+DE 2=5． (2)在△BAE 中，∠BAE =2π3，BE =5，由余弦定理可得：BE 2=AB 2+AE 2−2AB ⋅AE ⋅cos∠BAE ，即：25=AB 2+AE 2+AB ⋅AE ，可得：(AB +AE)2−25=AB ⋅AE ≤(AB+AE 2)2， 从而34(AB +AE)2≤25，即：AB +AE ≤10√33，当且仅当AB =AE 时，等号成立，即设计为AB =AE 时，折线段赛道BAE 最长．【解析】(1)连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理可得BD 的值，由BC =CD ，可求∠CBD =∠CDB =π6，可求∠BDE =π2，利用勾股定理可求BE 的值． (2)在△BAE 中，∠BAE =2π3，BE =5，由余弦定理，基本不等式可求AB +AE ≤10√3，当且仅当AB =AE 时，等号成立，即可得解AB =AE 时，折线段赛道BAE 最长． 本题主要考查了余弦定理，勾股定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示 (1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润； (2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A ，B 两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表： 寿命类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其它成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：∑y i 6i=1=96,∑x i 6i=1y i =371．参考公式：回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂,其中b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)=96∑(n i=1x i −x −)2．【答案】解：(1)由折现图可知统计数据(x −,y −)共6组， 即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得x −=16(1+2+3+4+5+6)=3.5，y −=16∑y i 6i=1=16⋅96=16，故b ̂=371−6⋅3.5⋅1617.5=2，故a ̂=y −−b ̂x −=16−2⋅3.5=9， ∴x 关于y 的线性回归方程为y ̂=2x +9， 故x =11时，则y ̂=2×11+9=31，即预测公司2018年1月份(即x =7时)的利润为31百万元；(2)由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A 型材料利润的数学期望为(5−10)×0.2+(10−10)×0.35+(15−10)×0.35+(20−10)×0.1=1.75万元；B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴B 型材料利润的数学期望为(5−12)×0.1+(10−12)×0.3+(15−12)×0.4+(20−12)×0.2=1.50万元； ∵1.75>1.50， ∴应该采购A 型材料．【解析】(1)求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论； (2)分别计算相应的数学期望，即可得出结论．本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．19. 如图所示，等腰梯形ABCD 的底角∠BAD =∠ADC =60∘，直角梯形ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，且∠EDA =90∘，ED =AD =2AF =2AB =2． (1)证明：平面ABE ⊥平面EBD ；(2)点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．【答案】证明：(1)∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF =AD ，ED ⊥AD ，∴EAD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AD ， ∵AB =1，AD =2，∠BAD =60∘， ∴BD =√1+4−2×1×2cos60∘=√3， ∴AB 2+BD 2=AD 2，∴AB ⊥AD ，又BD ⊂平面BDE ，ED ⊂平面BDE ，BD ∩ED =D ， ∴AB ⊥平面BDE ，又AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面EBD ．解：(2)以B 为坐标原点，以BA ，BD 为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,0，0)，C(−12,√32,0)，D(0,√3,0)，E(0,√3,2)，F(1,0，1)，则CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，EF ⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,−1)， 设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF ⃗⃗⃗⃗ =(λ,−√3λ,−λ)，(0≤λ≤1)， 则BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,√3−√3λ,2−λ)， 设平面CDE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，平面ABM 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x +√32y =02z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)， {n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x =0λx +(√3−√3λ)y +(2−λ)z =0， 取y =2−λ，得n ⃗ =(0,2−λ,√3λ−√3)，∵平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=|2−λ|2√4λ2−10λ+7=√34， 解得λ=12，∴点M 中线段EF 中点时，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．【解析】(1)推导出EAD ⊥平面ABCD ，ED ⊥AD ，AB ⊥AD ，由此能证明AB ⊥平面BDE ，从而平面ABE ⊥平面EBD ．(2)以B 为坐标原点，以BA ，BD 为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M 中线段EF 中点时，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角的余弦值的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，点P(2,3)为其上一点，且|PF 1|+|PF 2|=8． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y =kx −4交椭圆C 于A ，B 两点，且原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，试求k 的取值范围．【答案】解：(1)由题意可得{4a 2+9b 2=12a =8，解得a 2=16，b 2=12，∴椭圆的方程为x 216+y 212=1， (2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由{x 216+y 212=1y =kx −4得(4k 2+3)x 2−32kx +16=0， ∴x 1+x 2=32k4k 2+3，x 1x 2=164k +3，由△>0，即(−32k 2)−4×16(4k 2+3)>0，解得k >12或k <−12.① ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ >0， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1−4)(kx 2−4)=(k 2+1)x 1x 2−4k(x 1+x 2)+16=(k 2+1)⋅164k 2+3−4k ⋅32k 4k 2+3+16=16(4−3k 2)4k 2+3>0解得−2√33<k <2√33.② 由①②解得实数k 的范围是(−2√33,−12)∪(12,2√33). 【解析】(1)由题意可得{4a 2+9b 2=12a =8，解得a 2=16，b 2=12求椭圆C 的方程． (2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，通过原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，推出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，然后求解k 的范围即可． 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21. 函数f(x)=ln(x +t)+ax ，其中t 、a 为实常数．(1)若t =0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)t =0时，不等式f(x)≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若g(x)=e x +ax ，当t ≤2时，证明：g(x)>f(x)． 【答案】解：(1)当t =0时，f(x)=lnx +ax ，x >0， ∴f′(x)=1x −ax 2=x−a x 2，当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a >0时，若0<x <a ，则f′(x)<0，函数单调递减，若x >a ，则f′(x)>0，函数单调递增，∴f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)单调递增， (2)∵不等式f(x)≥1在x ∈(0,1]上恒成立，∴a≥x−xlnx，设h(x)=x−xlnx，x∈(0,1]∴h′(x)=1−1−lnx=−lnx≥0恒成立，∴h(x)在(0,1]上单调递增，∴h(x)max=h(1)=1，∴a≥1(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，∴x+t>0，∴x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，∴m′(x)=e x−1，当x>0时，m′(x)>0，函数m(x)单调递增，当x<0时，m′(x)<0，函数m(x)单调递减，∴m(x)>m(0)=1−1>0，∴e x>x+1，要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，∴φ′(x)=1−1x+t =x+t−1x+t，令φ′(x)=0，解得x=1−t>−1，当x>1−t时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增，当−t<x<1−t时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减，∴φ(x)min=φ(1−t)=2−t≥0，∴g(x)>f(x)．【解析】(1)当t=0时，f(x)=lnx+ax ，x>0，f′(x)=1x−ax2=x−ax2，对a分类讨论即可得出函数的单调性．(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，可得a≥x−xlnx，设h(x)=x−xlnx，x∈(0,1]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，由x+t>0，可得x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，利用导数研究函数的单调性可得e x>x+1.因此要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：x2+y2−x=0，C2：x2+y2−2y=0．(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数，写出曲线C2的参数方程；(2)直线l过原点，且与曲线C1，C2分别交于A，B两点(A,B不是原点)，求|AB|的最大值．【答案】解：(1)如图，C 1：x 2+y 2−x =0，即(x −12)2+y 2=14， 是以C 1(12,0)为圆心，12为半径，且过原点的圆，设∠PC 1x =α(0≤α<π)． 则{x =12+12cosαy =12sinα， 由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0≤θ<π，而α=2θ， 所以圆的参数方程为：{x =12+12cos2θy =12sin2θ(θ为参数，且0≤θ<π)． (2)根据已知C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ=cosα，ρ=2sinα(ρ>0)， 故|AB|=|ρ1±ρ2|=|2sinα±cosα|=√5|sin(α±φ)|≤√5，其中tanφ12． 故当|sin(α±φ)|=1时，等号成立． 综上，|AB|的最大值为√5．【解析】(1)先设出圆C 2的参数方程的标准形式，再根据两个参数之间的关系可得； (2)利用极坐标方程的极径的几何意义可求得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 已知对任意实数x ，都有|x +2|+|x −4|−m ≥0恒成立．(1)求实数m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，当正实数a ，b 满足4a+5b +13a+2b =n6时，求4a +7b 的最小值． 【答案】解：(1)对任意实数x ，都有|x +2|+|x −4|−m ≥0恒成立； 因为|x +2|+|x −4|≥|(x +2)−(x −4)|=6， 所以6≥m ，即m ≤6， 实数m 的取值范围是m ≤6；(2)由(1)知n =6，所以4a+5b +13a+2b =n6=1， 所以4a +7b =(4a +7b)(4a+5b +13a+2b )=[(a +5b)+(3a +2b)](4a +5b +13a +2b)=4+1+4(3a+2b)a+5b+a+5b 3a+2b ≥5+2√4(3a+2b)a+5b ⋅a+5b3a+2b =9，当且仅当b =5a ，即a =313，b =1513时取“=”； 所以4a +7b 的最小值为9．【解析】(1)不等式化为|x+2|+|x−4|≥m恒成立，利用绝对值不等式求出|x+2|+ |x−4|的最小值，即可得出m的取值范围；(2)由(1)知n=6，得4a+5b +13a+2b=n6=1，则4a+7b=(4a+7b)(4a+5b+13a+2b)，再利用基本不等式求出它的最小值．本题考查了绝对值不等式以及基本不等式的应用问题，是中档题．。
2019届高三数学二模考试试题理(含解析)
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集定义直接求解即可．【详解】∵集合，，∴．故选：B．【点睛】本题考查集合交集的运算，考查交集定义，属于基础题．2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】∵，∴，∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. -4B. -2C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时最小，由，解得．代入目标函数，得，∴目标函数的最小值是.故选：．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．4.抛物线的焦点为，点是上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.5.已知等比数列的首项为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可得，再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出答案．【详解】设等比数列的公比为，∵，∴，解得．∴．故选C．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查推理能力与计算能力，解题时注意整体思想的运用，属于中档题．6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性排除，；根据函数零点选A.【详解】因为函数为奇函数，排除，；又函数的零点为和，故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.【详解】已知四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，，，该学生这次考试成绩的中位数为，则所以平均数：，可知不可能为本题正确选项：【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.8.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果.【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示：即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体则三棱柱体积；三棱锥体积所求体积本题正确选项：【点睛】本题考查组合体体积的求解，关键是通过三视图准确还原几何体.9.已知函数部分图像如图所示，则下列判断正确的是（）A. 直线是函数图像的一条对称轴B. 函数图像的对称中心是，C.D. 函数的最小正周期为【答案】C【解析】【分析】先根据对称轴求得，再根据正弦函数性质求对称轴、对称中心、周期以及函数值，最后作判断.【详解】由图可知，是函数的对称轴，所以解得，因为，所以，，,函数的最小正周期为,由得对称轴方程为，由得对称中心为，，故选：C.【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及正弦函数性质，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.10.已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为，公差为的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值.【详解】由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A.【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与相切，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】符合条件的渐近线方程为，与圆相切，即d=r，代入公式，即可求解【详解】双曲线C的渐近线方程为，与圆相切的只可能是，所以圆心到直线的距离d=，得，所以，故选B。
长春市普通高中2019届高三质量监测二理科试题及详细解析
长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷及答案详析（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷与答题卡，满分150分，考试时间为120分钟。
2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题12上小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的1、已知复数z=,则在复平面内，z对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、集合A=, B={-1,0,1,2,3},则A B=A. {-1,0,1,2}B. {-1,0,1,}C. {0,1,2}D.{1,2,3}3、命题A=的否定是A. B.C. D.4、下列是函数中，在（0，）内单调递减的是A. B. C. D.5、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.32 B、 C. D.86、等差数列{}中，是它的前n项和，，则该数列的公差为A.2B.3C.4D.6长春市普通高中2019届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. D4. A5.B6. C7. C8. D9. D 10. C 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】B 1z i =-+.故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】A {|2},{1,0,1A x x A B=≤=-.故选A. 3. 【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.【试题解析】D 易知. 故选D.4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】A 易知. 故选A.5. 【命题意图】本题考查三视图的相关知识.【试题解析】B 易知. 故选B.6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 1625252318,2()8,4a a a a d a a a a d +=+==+-+==.故选C 7. 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】C 易知①②③正确.故选C.8. 【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识.【试题解析】D由题意可知21tan(45)2,tan ,cos 22cos 13αααα+︒===- 2241tan 15α-=+.故选D. 9. 【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识.【试题解析】D 由数量积的几何意义可知EF AE ⊥，由E 是BC 中点，所以52AF =.故选D.10. 【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用.【试题解析】C 画出切线l 扫过的区域，如图所 示，则不可能在直线上的点为(1,2)-.故选C. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由题意可知2||,||,||,2b F A b AB OA a ===所以222b a =，从而e =故选B.12. 【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由0x π≤≤，有666x πππωωπ-≤-≤-，所以066ππωππ≤-≤+，从而1463ω≤≤. 故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 414.64315.16. ； 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法.【试题解析】解：（1）由题意可知2(12)(1)(36)d d d -+=-+-+， 可得2,23n d a n ==-.（6分）（2）由（1），212342122n n n T a a a a a a n -=-+-++-+=.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68.（4分）（2）①A 企业[2000,5000)中三个不同层次人数比为1:2:4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在[3000,4000)的人数为2. X 的取值为0,1,2，因此252710(0)21C P X C ===，11522710(1)21C C P X C ===， 22271(2)21C P X C ===，X的分布列为：（9分）② A 企业的员工平均收入为： 1(25005350010450020550042650018750038500195001)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5260=B 企业的员工平均收入为： 1(250023500745002355005065001675002)5270100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 参考答案1：选企业B ，由于B 企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业A ，A 企业员工的平均收入只比B 企业低10元，但是A 企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的. 参考答案3：选企业B ，由于B 企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少. （如有其它情况，只要理由充分，也可给分） （12分） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）在直角梯形中，cos cos BD BDC DBA =∠=∠， 在BCD ∆中，由余弦定理，BC =，又2PB PD ==，有,PCD PCB ∆∆是等腰三角形，所以,PC MD PC MB ⊥⊥，PC ⊥平面MDB ，所以平面PBC ⊥ 平面BDM .（6分）（2）以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，P，(0,0,0),(1,0,0),A B C D，有(1,0,PB =(2,2,2),(0,2,PC PD =-=，令平面PBD 的法向量为n ，由00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(2,1,1)n =，由（1）可知平面BDM 的一个法向量为PC =，所以经计算M BD P --的余弦值为12. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识.【试题解析】解：（1）由题意知，213,,2,22c b a b a a ====所以22143x y +=. （4分） （2）设(0,),:M t l y kx t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由条件可得，||||cos 3,3OA OB AOB OA OB ∠=-⋅=-，联立直线l 和椭圆C ，有22143y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有222(34)84120k x ktx t +++-=， 由1212()()3x x kx t kx t +++=-，由韦达定理可得7t =. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e b '=+，当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0b <时，()ln(),0x b f x '≥->，()f x 在(ln(),)b -+∞上单调递增；()ln(),0x b f x '<-<，()f x 在(,ln())b -∞-上单调递减.（4分）（2）令()()11ln ,x x g x e bx x g x e b x '=+--=+-，易知()g x '单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为00,()0x g x '=，即0000110,x x e b b e x x +-==-，故若有()g x 有两个零点，需满足()00g x <， 即00000000000011ln ()1ln ln 0x x x x x e bx x e e x x e e x x x +--=+---=--< 令1()ln ,()0x x x h x e e x x h x e x x'=--=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，由(1)0h =，所以0000ln 0x x e e x x --<的解集为(1,)+∞，由001x b e x =-，所以1b e <-当1b e <-时，1ln ln x e bx x x bx x +-->+-，有()ln (1)b b b b b g e e be e b e b >+-=+-， 令()(1)(1)(1)1x x g x x e x x e =+-=+-+，由于1x e <-，所以120,1x x e e +<-<<，故()(1)0x g x x e x =+->，所以()0b g e >，故0()()0bge gx <，()g x 在0(0,)x 上有唯一零点，另一方面，在0(,)x +∞上，当x →+∞时，由x e 增长速度大，所以有()0g x >， 综上，1b e <-. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】（1）直线l的普通方程为)y x a =-，曲线C 的极坐标方程可化为2222cos 3ρρθ+=，化简可得2213y x +=. （5分） （2）当1a =时，直线l0y -=.有点P 的直角坐标方程2213y x +=，可设点P的坐标为(cos )P θθ因此点P 到直线l 的距离可表示为cos sin 1|)1|4d πθθθ==--=+-当cos()14πθ+=-时，d取最大值为2.（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想. 【试题解析】（1）2(2)()()|2||2|4(22)2(2)x x f x f x x x x x x - <-⎧⎪+-=++-+= -⎨⎪ >⎩≤≤由()6f x ≥，则(,3][3,)x ∈-∞-+∞. （5分）（2）5(3)(4)(1)|2||3|21(32)5(2)x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=-- -⎨⎪- >⎩≤≤由(4)(1)f x f x kx m --+>+的解集为(,)-∞+∞可知：0k =，即5k m +<-. （10分）。
新疆维吾尔自治区2019届高三数学下学期第二次诊断性测试试卷 理(含解析)
新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
已知集合2|03x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{|}B x x t =<,若A B ⊆，则实数t 的取值集合是（ ) A 。
(2,)+∞ B 。
[2,)+∞ C. (3,)+∞ D 。
[3,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】先求集合A ，再根据A B ⊆可得t 的范围. 【详解】由203x x +≤-，32<≤-x ,所以{}23A x x =-≤<,因为A B ⊆,{}B x x t =<， 所以3t ≥, 故选D.【点睛】本题考查子集关系的应用,解分式不等式,属于基础题.2。
设x R ∈，则“1x ="是“复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 。
充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：由复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数为纯虚数，则210{10x x -=+≠解得1x =，“1x ="是“复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件,选C 。
考点:复数的概念，充分条件、必要条件的定义。
3.正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2396150a a a +-+=，则11S （ ）A 。
35 B. 36 C. 45 D 。
55【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质2396150a a a +-+=可化为2662150a a -+=，求得6a ，再利用等差数列的求和公式得11611S a =，求解.【详解】由{}n a 是等差数列，得3962a a a +=，因为2396150a a a +-+=，所以2662150a a -+=，65a =，63a =-，又0n a >，得65a =，所以1111161()1111552S a a a =+⋅==， 故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列前n 项和的求法等基础知识,考查运算求解能力，属于基础题. 4。
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数学（理科）
第I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的 .
1. 已知集合
，则集合 中元素个数为（
）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域可解得 x 的范围，结合
.
9. 已知
同时满足下列三个条件：
①
时，
的最小值为
②
是偶函数：
③
若 在 有最小值，则实数 的取值范围可以是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 【分析】
先由① 求出最小正周期，得出
，再由② 求出 的可能值，并由③ 确定 的取值，从而求出函数解析式，
然后由函数由最小值且左端点取不到，所以图像必过最低点列出不等式解出
上， ， 分别为双曲线 的左右焦点
，若
外接
圆面积与其内切圆面积之比为
. 则双曲线 的离心率为（
）
A.
B. 2
C. 或
D. 2 或 3
【答案】 D
【解析】
【分析】
是直角三角形，其外接圆的半径是斜边的一半，根据等面积法可用
外接圆面积与其内切圆面积之比为
可得双曲线 的离心率 .
【详解】由于
为直角三角形，故外心在斜边中线上 . 由于
a、b、 c 表示出内切圆的半径，再由
“瓷”“都”两个字都取到记为事件
，用随机模拟的方法估计事件 发生的概率 . 利用电脑随机产生整数 0，1，
2， 3 四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，
经随机模拟产生了以下 18 组随机数：
232
321
230
023
123
021
132
220
001
和 i 的值，根据循环的周期，得到退出循
8. 已知正四面体 所得截面的面积为 A. 【答案】 C 【解析】
的内切球的表面积为
，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体
B.
C.
D.
，则
【分析】 先由内切球表面积求出其半径，结合图像，找出球心半径，用相似三角形列方程求出正四面体边长，再求出所 需截面即可 .
，即可求出 A 中元素的个数。
【详解】由题意得
，即
，解得
，又
，
所以满足条件的 x 为 1,2,3,4,5 ，共 5 个，故选 C
【点睛】本题考查函数的定义域问题，考查了一元二次不等式的解法，属基础题，
2. 若 A. 第一象限 【答案】 D 【解析】 【分析】 化简可得 【详解】由题意得
（
， 为虚数单位） ，则复数
021,001,130,031,103 ，共 5 组，故所求概率为
，故选 C
【点睛】本题考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属基础题
4. 设函数 A. 【答案】 C 【解析】
，若角 的终边经过
，则
B. 1
C. 2
。的值为（
）
D. 4
【分析】
由题意得
，代入分段函数，即可求解。
【 详 解 】因 为角 的 终 边经 过
）过点
，当
取最小值时直线 的斜率为（
）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】 A 【解析】 【分析】
将点带入直线可得
，利用均值不等式“ 1”的活用即可求解。
【详解】因为直线 过点
，所以
，即
，
所以
当且仅当
，即
时取等号
所以斜率
，故选 A
【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题。
7. 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（
的范围，得到符合的选项 .
【详解】解：因为函数最大值为 2，最小值为－ 2，由① 知，相邻最高最低点即
所以
，
又因为
为偶函数
所以
，即
又因为
所以
所以
当
时，
此时函数由最小值，所以 只有选项 D 满足 故选： D. 【点睛】本题考查了三角函数
，即
的解析式的求法，正弦型函数的图像与性质，属于中档题
.
10. 已知点 在双曲线
【详解】解：由内切球的表面积
，得内切球半径
如图，过点 作
平面 ，则点 为等边
的中心
连接 并延长交 于点 ，且点 为 中点，连接
记内切球球心为 ，过 作
，设正四面体边长为
则
，
，
，
又因为
，所以
由Hale Waihona Puke ，得，即，解得
因为
过棱 和球心 ，所以
且
故选： C.
即为所求截面
【点睛】本题考查了空间几何体的内切球，找到球心求出半径是解题关键
）
A.
B.
C.
D. 4
【答案】 B 【解析】 【分析】 执行框图，写出每次循环得到的 【详解】开始 =4， i=1 ，
和 i 的值，得到 取值的周期，当 i=2019 时，退出循环，输出 即可得答案。
执行第一次循环， = ， i=2 ，
执行第二次循环， = ，i=3 ， 执行第三次循环， =4， i=4 故 的取值周期为 3，由于 2019=607 3，可得 当 i=2019 时，退出循环，此时输出 的值为 ，故选 B 【点睛】本题考查循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的 环时的 的值，属基础题。
【详解】解：如图，画出不等式组
代表的可行域如图中阴影部分
因为
，可画出目标函数所代表直线
且过点 A 处目标函数最小
如图中虚线所示，
由
，解得
代入目标函数 故选： B.
，得
【点睛】本题考查了简单线性规划，目标函数中含有参数时可先观察其所代表的直线特点画出其可能的图像， 然后分析其最优解 .
6. 若直线
（
，
在复平面内对应的点所在的象限为（
）
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
，根据两复数相等的原则，解出 ，
a，b，即可得结果
所以
，
所以
，所以复数
在复平面内对应的点为（ 3， -2 ）在第四象限
【点睛】本题考查两复数相对的概念，即两复数实部与实部相等，虚部与虚部相等，属基础题。
3. 袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后
231
130
133
231
031
320
122
103
233
由此可以估计事件 发生的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】
【分析】
事件 A 即为表中包含数字 0 和 1 的组，根据表中数据，即可求解
【详解】事件 A 包含“瓷”“都”两字，即包含数字
0 和 1，随机产生的 18 组数中，包含 0,1 的组有
，所以
，所以
，故选 C 【点睛】本题考查三角函数的概念，分段函数求值，考查计算化简的能力，属基础题。
，则
5. 已知实数 ， 满足不等式组
A. 3
B. 5
【答案】 B
【解析】
，若 C. 8
的最小值为 9，则实数 的值等于（
）
D. 9
【分析】 先由不等式组画出可行域，再画出目标函数确定在点
取得最小值，代入求解出 即可 .