高考物理一轮复习第15章第66讲光的折射全反射学案含解析选修3_4

第66讲 光的折射 全反射
考点一 光的折射
1．光的折射 光从一种介质斜射入另一种介质时，□
01传播方向会改变，这种现象叫做光的折射。

如图所示。

2．折射定律 (1)内容：折射光线与入射光线、法线处在□
02同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比。

(2)表达式：sin i sin r
＝n 。

(3)在光的折射现象中，光路是□03可逆的。

如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，
光线就会逆着原来的入射光线发生折射。

3．折射率
(1)定义
光从□
04真空射入某种介质发生折射时，入射角i 的正弦与折射角r 的□05正弦之比，用n 表示。

(2)定义式：n ＝□06sin i sin r。

任何介质的折射率总□07大于1。

(3)意义：介质的折射率反映了介质对光的□
08折射本领。

(4)折射率与光速的关系
某种介质的折射率，等于光在真空中的□
09速度与光在这种介质中的□10速度之比，即□11n ＝c v 。

(5)决定折射率大小的因素：折射率的大小不仅与□
12介质本身有关，还与光的□13频率有关。

同一种介质中，频率越大的色光折射率越大，传播速度越小。

(6)同一种色光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但□
14频率相同。

1．关于折射率，下列说法正确的是( )
A ．根据sin i sin r
＝n 可知，介质的折射率与入射角的正弦成正比 B ．根据sin i sin r
＝n 可知，介质的折射率与折射角的正弦成反比 C ．根据n ＝c v 可知，介质的折射率与介质中的光速成反比
D ．同一频率的光由第一种介质进入第二种介质时，折射率与波长成正比
答案 C
解析 介质的折射率n 由介质本身及光的频率决定，与入射角、折射角无关，A 、B 错
误；光在不同介质中光速不同，这正是光发生折射的原因，n 与v 成反比，C 正确；把v ＝λf 代入n ＝c v 得n ＝c
λf ，即n 与λ成反比，D 错误。

2．[教材母题] (人教版选修3－4 P 47·例题)如图所示，一个储油桶的底面直径与高均为d 。

当桶内没有油时，从某点A 恰能看到桶底边缘的某点B 。

当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿AB 方向看去，恰好看到桶底上的点C ，C 、B 两点相距d 4。

求油的折射率和光在油中传播的速度。

[变式子题] 人站在距槽边D 为L ＝1.2 m 处，刚好能看到槽底B 的位置，人眼距地面的高度为H ＝1.6 m 。

槽中注满某透明液体时，人刚好能看到槽底中央O 点处。

求液体的折射率及光在液体中的传播速度。

答案 1.71 1.75×108 m/s
解析 由题意作图如图所示，连接人眼与B 点，延长CD 作为法线，从图中可以看出，折射角θ2＝∠CDB 。

连接D 与O 点，则入射角θ1＝∠CDO 。

因为sin θ2＝L L 2＋H 2＝35， 又因为sin θ1＝OC
OD ＝OC OC 2＋CD 2， 由sin θ2＝35＝BC BD ＝2OC BD
，得 BD ＝103OC ，CD ＝BD 2－BC 2，
代入得CD ＝83
OC ，所以 sin θ1＝OC
OC 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8OC 32
＝373。

故液体的折射率n ＝sin θ2sin θ1＝735
≈1.71， 光在液体中的速度为v ＝c n ≈1.75×108
m/s 。

考点二 测定玻璃的折射率
1．实验原理
如图所示，用插针法确定入射角和折射角，根据n ＝sin θ1sin θ2
计算玻璃折射率。

2．实验器材
两侧面平行的玻璃砖、白纸、木板、大头针、图钉、量角器、刻度尺、铅笔。

3．实验步骤与数据处理
(1)把白纸用图钉钉在木板上。

(2)用刻度尺在纸面上作一条直线aa ′，过aa ′上一点O 作垂直于aa ′的线段NN ′，再过O 点作一条线段AO ，并使∠NOA 即θ1适当大些。

(3)在AO 线上竖直地插两枚大头针P 1、P 2，并使间距适当大些，在白纸上沿直线aa ′放上被测玻璃砖。

(4)沿玻璃砖的另一个侧面再作一条直线bb ′。

(5)在玻璃砖的bb ′一侧白纸上竖直地插一枚大头针P 3，使P 3恰好能同时挡住aa ′一侧所插的大头针P 2、P 1的像。

接着，在玻璃砖的bb ′一侧再竖直地插一枚大头针P 4，使P 4能挡住P 3本身以及P 1、P 2的像。

(6)标记下P 1、P 2、P 3、P 4的位置，移去玻璃砖，拔去大头针，过P 3、P 4作一条直线O ′B ，交bb ′于O ′点，连接OO ′就是入射光线AO 在玻璃砖内的折射光线，折射角为θ2。

(7)用量角器量出入射角θ1和折射角θ2的大小，记入表格内。

(8)用上述方法分别测出入射角是15°、30°、45°、60°和75°时的折射角，查出入射角和折射角的正弦值，记入表格里。

(9)数据处理
①计算法：n ＝sin θ1sin θ2
，并取平均值。

②图象法：作出sin θ1­sin θ2图象，如图甲所示，n ＝k 。

③辅助线段法：如图乙所示，作辅助线AB 垂直于OB ，量出A B 、O A ，作辅助线CD
垂直于OD ，量出C D 、O C ，则sin θ1＝A B O A ，sin θ2＝C D O C ，即可求出：n ＝sin θ1sin θ2＝A B ·O C O A ·C D。

④“单位圆”法：以入射点O 为圆心，以适当长度R 为半径画圆，交入射光线OA 于E 点，交折射光线OO ′于E ′点，过E 作NN ′的垂线EH ，过E ′作NN ′的垂线E ′H ′。

如图丙所示，sin θ1＝EH OE ，sin θ2＝E ′H ′OE ′，OE ＝OE ′＝R ，则n ＝sin θ1sin θ2＝EH E ′H ′。

4．注意事项与误差分析
(1)实验时，将大头针尽可能竖直地插在纸板上，并且使P 1和P 2之间、P 3与P 4之间距离适当大一些，这样可以减小确定光路方向时出现的误差。

(2)入射角θ1应适当大一些，以减小测量角度的误差，但入射角不宜太大，太大会导致反射光太强、折射光太弱，不易确定P 3、P 4的位置。

(3)在操作时，手不能触摸玻璃砖的光洁光学面，更不能把玻璃砖当尺子画界线。

(4)在实验过程中，玻璃砖与白纸的相对位置不能改变。

在“测定玻璃的折射率”的实验中，
(1)小朱同学在实验桌上看到方木板上有一张白纸，白纸上有如图甲所示的实验器材，他认为除了缺刻度尺还少了一种器材，请你写出所缺器材的名称：________。

老师将器材配齐后，他进行实验，图乙是他在操作过程中的一个状态，请你指出第四枚大头针应在图乙中的位置________(填“A ”“B ”或“C ”)。

(2)小红利用方格坐标纸测定玻璃的折射率，如图丙所示，AO 是画在纸上的直线，她在直线AO 适当位置竖直插上P 1、P 2两枚大头针，放上半圆形玻璃砖，使其圆心与O 重合，然后插上P 3、P 4两枚大头针，以确定折射光线。

其中她确定P 3大头针位置的方法应当是________。

操作完成后，她用圆规作了一个以O 为圆心、半径与玻璃砖半径相同的半圆(如图丙中虚线所示)，则她测出玻璃的折射率n ＝________。

解析 (1)实验器材还缺少大头针；依据光的折射定律，及玻璃砖上下表面平行，那么出射光线与入射光线相互平行，因此第四枚大头针应在图乙中的位置B 处。

(2)透过玻璃砖看，P 3大头针挡住P 1、P 2两枚大头针的像；如图，作出法线，过圆与入射光线、折射光线的交点作法线的垂线CA ′和DB ，由数学知识得，入射角和折射角的正弦值分别为：sin i ＝CA ′CO ，sin r ＝BD DO ，其中CO ＝DO ，则折射率n ＝sin r sin i ＝BD CA ′＝64
＝1.5。

答案 (1)大头针 B (2)挡住P 1、P 2的像 1.5
方法感悟
(1)平行玻璃砖的出射光线和入射光线平行。

(2)对半圆形玻璃砖，入射光线若沿半径，则折射角和入射角均为0°，即光线进入玻璃砖时方向不发生变化。

(3)过出射点作出法线，运用数学知识求出入射角和折射角的正弦值，再由折射定律求出折射率。

(2018·浙江模拟)在用插针法做“测定玻璃砖折射率”的实验中，某同学先在白纸上画出一直线并让待测玻璃砖一界面ab 与线重合放置，再进行插针观察，如图所示。

梯形abcd 是其主截面的边界线，而A 、B 、C 、D 为该同学在某次实验时插入的4枚大头针的位置情况。

(1)请在图中完成测量玻璃砖折射率的有关光路图，并标出入射角α和折射角β；
(2)用α和β写出计算折射率的公式n ＝________；
(3)若所画的cd 线比实际界面向外平移了一些，则测得的折射率将________(填“偏小”不变”或“偏大”)。

答案 (1)图见解析 (2)sin αsin β
(3)偏大 解析 (1)连接AB 作为入射光线，入射点为E ，连接CD 作为出射光线，出射点为F ，连接EF ，即为玻璃砖内的折射光线。

光路图如图所示：
(2)根据折射定律得：n ＝sin αsin β。

(3)根据光路图可知，若所画的cd 线比实际界面向外平移了一些，折射角β偏小，入
射角α不变，根据n ＝sin αsin β
，可知测得的折射率将偏大。

考点三 光的全反射
1．发生全反射的条件
(1)光必须从□
01光密介质射入□02光疏介质，例如从水中或玻璃中射入空气中。

(2)□
03入射角必须□04大于或等于临界角。

2．临界角：折射角等于□
0590°时的入射角。

若光从光密介质(折射率为n )射向真空或空气时，发生全反射的临界角为C ，则sin C ＝□061n。

3．全反射现象可以从能量的角度去理解：当光由光密介质射向光疏介质时，在入射角逐渐□
07增大的过程中，反射光的能量逐渐增强，折射光的能量逐渐减弱，当入射角□08等于临界角时，折射光的能量已经减弱为零，这时就发生了□
09全反射。

光导纤维就是利用了这一原理。

4．解决全反射问题的一般步骤
(1)确定光是从光密介质进入光疏介质。

(2)应用sin C ＝1n
确定临界角。

(3)根据题设条件，判定光在传播时是否发生全反射。

(4)如发生全反射，画出入射角等于临界角时的临界光路图。

(5)运用几何关系或三角函数关系以及反射定律等进行分析、判断、运算，解决问题。

1．在自行车的后挡泥板上，常常安装着一个“尾灯”，其实它不是灯，它是用一种透明的塑料制成的，其截面如图所示。

夜间，从自行车后方来的汽车灯光照在“尾灯”上时，“尾灯”就变得十分明亮，以便引起汽车司机的注意。

从原理上讲，它的功能是利用了( )
A ．光的折射
B ．光的全反射
C ．光的干涉
D ．光的衍射
答案 B
解析 全反射可以让反射光的强度更大一些，故B 正确。

2．[教材母题] (人教版选修3－4 P 53·T 6)如图是一个用折射率n ＝2.4的透明介质做成的四棱柱的横截面图，其中∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°。

现有一条光线从图示的位置垂直入射到棱镜的AB 面上，画出光路图，确定射出的光线。

注意：每个面的反射光线和折射光线都不能忽略。

[变式子题] (2018·吉林长春质检)如图所示是一种折射率n ＝1.5的棱镜，用于某种光学仪器中。

现有一束光线沿MN 的方向射到棱镜的AB 界面上，入射角的大小为i (sin i ＝
0.75)。

求：
(1)光在棱镜中传播的速率；
(2)此束光线射出棱镜后的方向，写出推导过程并画出光路图(不考虑返回到AB 面上的光线)。

答案 (1)2.0×108
m/s (2)见解析
解析 (1)由折射率与光速的关系知 v ＝c n
＝2.0×108 m/s 。

(2)光路图如图所示，设光线进入棱镜后的折射角为r ，
由n ＝sin i sin r 得sin r ＝sin i n
＝0.5 解得r ＝30°。

光线射到BC 界面的入射角
i 1＝90°－(180°－60°－75°)＝45°。

由sin C ＝1n ＝23
<sin45°得，i 1>C ，光线在BC 面上发生全反射，光线沿DE 方向射到AC 边时，与AC 边垂直，故此束光线射出棱镜后方向与AC 界面垂直。

考点四光的色散与光路控制
1．光的色散
(1)含有多种颜色的光被分解为单色光的现象称为光的色散。

本讲只讨论光的折射中的色散，光的干涉、衍射中也有色散现象，详情见下讲内容。

(2)光折射时的色散
①现象：一束白光通过三棱镜后在屏上会形成彩色光带。

②成因：棱镜材料对不同色光的折射率不同，对红光的折射率最小，红光通过棱镜后的偏折程度最小，对紫光的折射率最大，紫光通过棱镜后的偏折程度最大，从而产生色散现象。

(3)各种色光的比较
2．平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制
(2015·重庆高考)虹和霓是太阳光在水珠内分别经过一次和两次反射后出射形成的，可用白光照射玻璃球来说明。

两束平行白光照射到透明玻璃球后，在水平的白色桌面上会形成MN和PQ两条彩色光带，光路如图所示。

M、N、P、Q点的颜色分别为 ( )
A．紫、红、红、紫 B．红、紫、红、紫
C．红、紫、紫、红 D．紫、红、紫、红
解析由题图可知，射到M点的光线进入玻璃球时的折射角小于射到N点的光线进入玻璃球时的折射角，所以玻璃对射到M点的光的折射率大于玻璃对射到N点的光的折射率，故M点的颜色为紫色，N点的颜色为红色；同理可得P点的颜色为红色，Q点的颜色为紫色，所以只有A项正确。

答案 A
方法感悟
根据白光中七种色光的频率大小关系、在介质中的折射率大小关系，并结合折射定律及全反射等知识进行分析，常常是解决光的色散问题的关键。

1．(多选)如图所示，从点光源S发出的一细束白光以一定的角度入射到三棱镜的表面，经过三棱镜的折射后发生色散现象，在光屏的ab间形成一条彩色光带。

下面的说法中正确的是( )
A．a侧是红光，b侧是紫光
B．在真空中a侧光的波长小于b侧光的波长
C ．三棱镜对a 侧光的折射率大于对b 侧光的折射率
D ．在三棱镜中a 侧光的速率比b 侧光小
E ．在三棱镜中a 、b 两侧光的速率相同
答案 BCD
解析 由题图可以看出，a 侧光偏折得较厉害，三棱镜对a 侧光的折射率较大，所以a 侧光是紫光，波长较短，b 侧光是红光，波长较长，因此A 错误，B 、C 正确；又v ＝c n ，所以三棱镜中a 侧光的传播速率小于b 侧光的传播速率，D 正确，E 错误。

2．(多选)频率不同的两束单色光1和2以相同的入射角从同一点射入一厚平行玻璃砖，单色光1、2在玻璃砖中折射角分别为30°和60°，其光路如图所示，下列说法正确的是
( )
A ．出射光线1和2一定是平行光
B ．单色光1的波长大于单色光2的波长
C ．在玻璃中单色光1的传播速度大于单色光2的传播速度
D ．图中单色光1、2通过玻璃砖所需的时间相等
E ．单色光1从玻璃射到空气的全反射临界角小于单色光2从玻璃射到空气的全反射临界角
答案 ADE
解析 光线在平行玻璃砖上表面的折射角等于在下表面
的入射角，由光路可逆性原理可知，出射光线的折射角等于入射光线的入射角，因此出射光线1和2相互平行，A 正确；在上表面，单色光1比单色光2偏折程度大，则单色光1的折射率大、频率大、波长短，B 错误；根据v ＝c n 知，单色光1在玻璃砖中的传播速度小，C 错误；设入射角为i ，玻璃砖的厚度为d ，单色光1、单色光2折射角分别为r 1＝30°，r 2
＝60°，由n ＝sin i sin r ，光在玻璃中传播距离l ＝d cos r ，光在玻璃中的传播速度v ＝c n
，可知光在玻璃中传播时间t ＝l v ＝
d sin i c sin r cos r ＝2d sin i c sin2r ，又sin2r 1＝sin60°＝32，sin2r 2＝sin120°＝32，所以单色光1与单色光2通过玻璃砖所需时间相等，D 正确；根据sin C ＝1n
知，单色光1的折射率大，则临界角小，E 正确。

课后作业
[巩固强化练]
1．(多选)如图所示，MN 是介质1和介质2的分界面，介质1、2的绝对折射率分别为n 1、n 2，一束细光束从介质1射向介质2中，测得θ1＝60°，θ2＝30°，根据你所学的光学知识判断下列说法正确的是( )
A ．介质2相对介质1的相对折射率为 3
B ．光在介质2中的传播速度小于光在介质1中的传播速度
C ．介质1相对介质2来说是光密介质
D ．光从介质1进入介质2可能发生全反射现象
E ．光从介质1进入介质2，光的波长变短
答案 ABE
解析 光从介质1射入介质2时，入射角与折射角的正弦之比叫做介质2相对介质1
的相对折射率，所以有n 21＝sin60°sin30°＝3，A 正确；因介质2相对介质1的相对折射率为3，可以得出介质2的绝对折射率大，因n ＝c v ，所以光在介质2中的传播速度小于光在介质1中的传播速度，B 正确；介质2相对介质1来说是光密介质，C 错误；光从光密介质射入光疏介质时，有可能发生全反射现象，D 错误；光从介质1进入介质2，光的频率不变，速度变小，由v ＝λf 可知，光的波长变短，E 正确。

2.一束只含红光和紫光的复色光P 垂直于三棱镜的一个侧面射入，后分为两束沿OM 和ON 方向射出，如图所示。

由图可知( )
A ．OM 为红光，ON 为紫光
B ．OM 为紫光，ON 为红光
C ．OM 为红光，ON 为红、紫色复色光
D ．OM 为紫光，ON 为红、紫色复色光
答案 C
解析 因紫光的折射率大于红光的折射率，紫光全反射的临界角小于红光的临界角，入射角相同，发生全反射的一定是紫光，所以OM 为红光，红光折射的同时有一部分要发生反射，所以ON 应为含有红光和紫光的复色光，C 正确。

3.(多选)一束光从某介质进入真空，方向如图所示，则下列判断中正确的是( )
A ．该介质的折射率是33
B ．该介质的折射率是 3
C ．该介质相对真空发生全反射的临界角小于45°
D ．光线按如图所示的方向入射，无论怎样改变入射方向都不可能发生全反射现象
E ．如果光从真空射向介质，则不可能发生全反射现象
答案 BCE
解析 上面是介质，下面是真空，入射角i ＝30°，折射角r ＝60°，则折射率n ＝sin r sin i ＝sin60°sin30°＝3，A 错误，B 正确；sin C ＝1n ＝33<22
，则C <45°，C 正确；光线按如图所示的方向入射，当入射角大于临界角时，就会发生全反射现象，D 错误；光从真空射向介质，不可能发生全反射现象，E 正确。

4.(多选)a 、b 两种单色光组成的光束从玻璃进入空气时，其折射光束如图所示，则关于a 、b 两束光的说法正确的是( )
A ．玻璃对a 光的折射率小于对b 光的折射率
B ．增大入射角时，a 光首先发生全反射
C ．a 光的频率大于b 光的频率
D ．在真空中a 光的波长大于b 光的波长
E ．分别用这两束光照射双缝干涉实验装置，在光屏上都能出现干涉条纹，a 光的相邻条纹间距大于b 光
答案 ADE
解析 a 光的偏折程度小于b 光，所以玻璃对a 光的折射率小于对b 光的折射率，增大入射角，b 光首先发生全反射，A 正确，B 错误；折射率大的光频率大，所以a 光的频率小于b 光的频率，C 错误；根据c ＝λf 知，a 光的波长长，再由Δx ＝l d
λ，a 光的相邻条纹间距大于b 光，D 、E 正确。

5.(多选)如图，一束光沿半径方向射向一块半圆形玻璃砖，在玻璃砖底面上的入射角为θ，经折射后射出a 、b 两束光线。

则( )
A ．在玻璃中，a 光的传播速度小于b 光的传播速度
B ．在真空中，a 光的波长小于b 光的波长
C ．玻璃砖对a 光的折射率小于对b 光的折射率
D ．若改变光束的入射方向使θ角逐渐变大，则折射光线a 首先消失
E ．分别用a 、b 光在同一个双缝干涉实验装置上做实验，a 光的干涉条纹间距大于b 光的干涉条纹间距
答案 ABD
解析 从光路图看，入射角相同，a 光的折射角较大，所以玻璃砖对a 光的折射率较大，a 光的频率较大、波长较短，B 正确，C 错误；根据n ＝c v
知v a <v b ，A 正确；随着入射角增大，a 光的折射角先达到90°，所以a 光首先消失，D 正确；在同一个双缝干涉实验装置上做实验，由Δx ＝l d λ知a 光的波长短，干涉条纹间距小，E 错误。

6.如图所示，在坐标系的第一象限内有一横截面为四分之一圆周的柱状玻璃体OPQ ，OP ＝OQ ＝R ，一束单色光垂直OP 面射入玻璃体，在OP 面上的入射点为A ，OA ＝R 2
，此单色光通过玻璃体后沿BD 方向射出，且与x 轴交于D 点，OD ＝3R ，求该玻璃体的折射率是多少。

答案 3 解析 如图所示，设入射角为θ1，折射角为θ2，则sin θ1＝OA OB ＝12
，即θ1＝30°。

过B 点作OD 的垂线交于E 点，∠BOE ＝θ1＝30°，
又cos ∠BOE ＝32＝OE OB
， 可得OE ＝
32·OB ＝32R ，所以ED ＝OD －OE ＝3
2
R ， 则tan ∠BDE ＝BE
ED ＝
3
3
，可得∠BDE ＝30°， 由几何关系可得θ2＝60°，折射率n ＝sin θ2
sin θ1
＝3。

7.如图所示，一束平行于直径AB 的单色光照射到玻璃球上，从N 点进入玻璃球直接打在B 点，在B 点反射后从P 点射出玻璃球(P 点未画出)。

已知玻璃球的半径为R ，折射率n ＝3，光在真空中的传播速度为c ，求：
(1)入射点N 与出射点P 间的距离；
(2)此单色光由N 点经B 点传播到P 点的时间。

答案 (1)3R (2)6R
c
解析 (1)在B 点的反射光线与入射光线NB 关于AB 对称，则可知从P 点射出的光线与原平行于AB 的入射光线平行对称，作出光路图如图所示。

由光路图知θ1＝2θ2， 由折射定律得n ＝sin θ1
sin θ2，
解得cos θ2＝
3
2
，即θ2＝30°，θ1＝60°， 则d ＝R sin θ1，所以入射点N 与出射点P 间的距离为2d ＝3R 。

(2)该束光线在玻璃球中的路程
s ＝2·N B ＝2·2R cos θ2＝23R ，
光在玻璃球中的速度v ＝c n
＝c
3
，
光在玻璃球中的时间t ＝s v ＝
6R
c。

[真题模拟练]
8．(2018·全国卷Ⅰ)如图，△ABC 为一玻璃三棱镜的横截面，∠A ＝30°。

一束红光垂直AB 边射入，从AC 边上的D 点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为________。

若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D 点射出时的折射角________(填“小于”“等于”或“大于”)60°。

答案
3 大于
解析 根据题述和图示可知，折射角i ＝60°，入射角r ＝30°，由折射定律，玻璃对
红光的折射率n ＝sin i
sin r ＝3。

若改用蓝光沿同一路径入射，由于玻璃对蓝光的折射率大于玻
璃对红光的折射率，则光线在D 点射出时的折射角大于60°。

9．(2018·福建省毕业质量检查模拟(一))如图所示，一束平行的绿光从半圆形玻璃砖的平面垂直入射，OC 为中心线，已知在半圆弧上的入射点A 的入射光线经折射后与OC 的交点为点B ，∠AOB ＝30°，∠ABC ＝15°，则绿光在该玻璃中的折射率为________，圆形玻璃砖中有光从半圆面透射区域的圆心角为________；若将入射光改为红光，则光从半圆面透射区域的圆心角将________(选填“变小”“不变”或“变大”)。

答案
2 90° 变大
解析 在A 点，由几何知识可得 入射角i ＝∠AOB ＝30° 折射角r ＝∠AOB ＋∠ABC ＝45°
则绿光在该玻璃中的折射率为n ＝sin r
sin i
＝2。

设光线恰好射到半圆面上D 点时发生全反射，其入射角等于临界角C ，由sin C ＝1
n
得C
＝45°
在D 点以下有光从半圆面透射而出，则由对称性可知，圆形玻璃砖中有光从半圆面透射区域的圆心角为90°。

红光的折射率小于绿光，临界角大于绿光，则若将入射光改为红光，则发生全反射的临界点向边缘移动，即光从半圆面透射区域的圆心角将变大。

10．(2018·全国卷Ⅱ)如图，△ABC 是一直角三棱镜的横截面，∠A ＝90°，∠B ＝60°，一细光束从BC 边的D 点折射后，射到AC 边的E 点，发生全反射后经AB 边的F 点射出。

EG 垂直于AC 交BC 于G ，D 恰好是CG 的中点。

不计多次反射。

(1)求出射光相对于D 点的入射光的偏角；
(2)为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？ 答案 (1)60° (2)233≤n <2
解析 (1)如图，光线在BC 面上折射，由折射定律有sin i 1＝n sin r 1①
式中，n 为棱镜的折射率，i 1和r 1分别是该光线在BC 面上的入射角和折射角。

光线在AC 面上发生全反射，由反射定律有i 2＝r 2② 式中i 2和r 2分别是该光线在AC 面上的入射角和反射角。

光线在AB 面上发生折射，由折射定律有n sin i 3＝sin r 3③
式中i 3和r 3分别是该光线在AB 面上的入射角和折射角。

由几何关系及②式得i 2＝r 2＝60°，r 1＝i 3＝30°④
F 点的出射光相对于D 点的入射光的偏角为
δ＝(r 1－i 1)＋(180°－i 2－r 2)＋(r 3－i 3)⑤ 由①③④⑤式得δ＝60°⑥
(2)光线在AC 面上发生全反射，在AB 面上不发生全反射，有
n sin i 2≥n sin C >n sin i 3⑦
式中C 是全反射临界角，满足n sin C ＝1⑧
由④⑦⑧式知，棱镜的折射率n 的取值范围应为23
3
≤n <2。

11．(2018·全国卷Ⅲ)如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O 点)，然后用横截面为等边三角形ABC 的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC 边上。

D 位于AB 边上，过D 点作AC 边的垂线交AC 于F 。

该同学在D 点正上方向下顺着直线DF 的
方向观察，恰好可以看到小标记的像；过O 点作AB 边的垂线交直线DF 于E ；DE ＝2 cm ，EF ＝1 cm 。

求三棱镜的折射率。

(不考虑光线在三棱镜中的反射)
答案
3
解析 过D 点作AB 边的垂线NN ′，连接OD ，则∠ODN ＝α为来自O 点的光线在D 点的入射角；设该光线在D 点的折射角为β，如图所示。

根据折射定律有n sin α＝sin β① 式中n 为三棱镜的折射率 由几何关系可知β＝60°② ∠EOF ＝30°③
在△OEF 中有EF ＝OE sin ∠EOF ④ 由③④式和题给条件得OE ＝2 cm ⑤
根据题给条件可知，△OED 为等腰三角形，有α＝30°⑥ 由①②⑥式得n ＝3。

12．(2017·全国卷Ⅱ)一直桶状容器的高为2l ，底面是边长为l 的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD ′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示。

容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料。

在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D 点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率。

答案 1.55
解析 设从光源发出直接射到D 点的光线的入射角为i 1，折射角为r 1。

在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C ，连接C 、D ，交反光壁于E 点，由光源射向E 点的光线，反射后沿ED 射向D 点。

设光线在D 点的入射角为i 2，折射角为r 2，如图所示。

设液体的折射率为n ，由折射定律有
n sin i 1＝sin r 1① n sin i 2＝sin r 2②
由题意知r 1＋r 2＝90°③ 联立①②③式得n 2
＝
1
sin 2
i 1＋sin 2i 2
④
由几何关系可知sin i 1＝
l
24l 2
＋
l
2
4
＝
117
⑤
sin i 2＝
32
l 4l 2
＋
9l 2
4
＝35⑥ 联立④⑤⑥式得n ≈1.55。

13．(2017·全国卷Ⅰ)如图，一玻璃工件的上半部是半径为R 的半球体，O 点为球心；下半部是半径为R 、高为2R 的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。

有一平行于中心轴OC 的光线从半球面射入，该光线与OC 之间的距离为0.6R 。

已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)。

求该玻璃的折射率。

答案 1.43
解析 如图，根据光路的对称性和光路可逆性，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C 点反射。

设光线在半球面的入射角为i ，折射角为r 。

由折射定律有sin i ＝n sin r ① 由正弦定理有sin r
2R
＝
i －r
R
② 由几何关系，入射点的法线与OC 的夹角为i 。

由题设条件和几何关系有sin i ＝L R
③
式中L 是入射光线与OC 的距离。

由②③式和题给数据得sin r ＝6
205
④ 由①③④式和题给数据得n ＝ 2.05≈1.43。

14．(2017·全国卷Ⅲ)如图，一半径为R 的玻璃半球，O 点是半球的球心，虚线OO ′表示光轴(过球心O 与半球底面垂直的直线)。

已知玻璃的折射率为1.5。

现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)。

求：
(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值； (2)距光轴R
3的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O 点的距离。

答案 (1)2
3
R (2)2.74R
解析 (1)设光线在球面上发生折射时的入射角为i ，当i 等于全反射临界角i c 时，对。