高二数学2月10日讲义

直线与圆锥曲线
模块一 圆锥曲线大题攻略
【知识点睛】
1．圆锥曲线大题常规考法 ⑴基本条件：一条（带参数的）直线与圆锥曲线交于两点 A，B； ⑵核心条件：与两交点相关的几何量（弦长、面积、角度、斜率、比例等）或向量表达式； ⑶设问方式：
①求几何量或表达式的值； ②求几何量或表达式的最值； ③由几何量或表达式的值求直线参数； ④证明几何量为定点或表达式为定值．
2．圆锥曲线大题基本套路 ⑴设直线方程：将直线方程设为恰当形式； ⑵联立、消元、韦达定理：将直线方程与圆锥曲线方程联立，消掉 x 或 y，转化为关于另一坐标的 一元二次方程，列出韦达定理； ⑶表达几何量：将几何量用两根和与两根积表达出来； ⑷代入求解：代入韦达定理，将几何量表示为原始参数的函数，利用代数的方法解决相应问题．
直线与圆锥曲线 \4/
【知识点睛】
针对共线线段的弦长比例问题，通常有以下思路：
如图，设 = AP ，根据平面向量，可以得到： = yA − yP ， = xA − xP ，
PC
yP − yC
xP − xC
结合韦达定理代入求解参数值或取值范围．
特别地，当点 P 位于 x 轴或 y 轴时，可以得到： yA = − yC ， xA = − xC ．
【精讲精练】
【例 3】设椭圆 ：
的右焦点为 ，过 的直线 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为
．
设 为坐标原点，证明：
．
直线与圆锥曲线 \3/
【例 4】已知 、 分别是椭圆 交于不同的两点 ， ，且
的左、右焦点．设过定点
的直线 与椭圆
为锐角(其中 O 为坐标原点)，求直线 的斜率 的取值范围．
1．向量角度转化 当 A，P，B 三点不共线时： ⑴ APB 为直角 PA PB = 0 ；
特别地，点 P 在以 AB 为直径的圆周上 APB = 90 PA PB = 0 ； ⑵ APB 为锐角 PA PB 0 ； ⑶ APB 为钝角 PA PB 0 ．
2．斜率转化 顶点在坐标轴上的角相等或互补一般转化为斜率来处理．
【精讲精练】
【例 5】已知椭圆
点 ．设
，
，过左焦点 点的直线 交椭圆于 、 两点，交 轴的正半轴于
，求证：
为定值．
直线与圆锥曲线 \5/
【精讲精练】
【例 1】若
则
为(
A．
，
) B．
，过点 的直线与椭圆 ： C．
相交于 、 两点， D．不是定值
直线与圆锥曲线 \1/
【例 2】已知椭圆 的方与直线 的斜率分别为 ， ，若
且与椭圆 相交于 ， ．求证：直线 恒过某定点．
直线与圆锥曲线 \2/
【知识点睛】