第三讲对称的数学本质

关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
汽车、电车、轮船、飞机先后出现。
(2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。
3．交通通讯变化的影响 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ，出行 方式转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。
(3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活 多。姿多彩
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
把讨论“平面图形的对称”中形成的数学 思想提炼出来，用“子集的对称”的语言来统 一地描述任一客观事物的“对称”。
R
R2
o
O
R
4.1 集合上的可逆变换，子集的对称变换
设M是一个集合，则M到自身的一个映射称为“M上的一个变 换”；M到自身的一个可逆映射称为“M上的一个可逆变换”。
集合M上的可逆变换 使M中的每一元素都发生了“变 化”，但在整体上又保持M的不变。不过，对于M的某个子集
1、封闭律
a,b G, 有a b G;
2、结合律 a,b, c G,有(a b) c a (b c);
3、幺元律存在e G,使a G,有e a a e a, 称e为幺元； 4、逆元律a G, 存在b G，使b a a b e, 称b为a的逆元.
问 题：如何比较下列图形的对称性？或怎样“量 化”它们的对称性？
K
K
1
2
K 3
K 4
K
K
5
6
初中教科书关于对称图形的定义：
定义：如果一个平面图形沿着平面 上一条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形，这条直线称为它的对 称轴。
P
Q
O
l
2.1、在运动中看“对称”
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
N能，不情能况在就整不体一上样保了持，N不可变能：（N即) 在N整体上保持N不变；。也可

子集N的对称变换：N是M的一个子集，若 (是N )集合NM上的 可逆
R2
K
O
R
4.2、子集的对称集
集合M上的可逆变换 ，在变换集合M的同时，一般也变
“如果一个操作使体系从一个状态变换到另一 个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下 不变，我们就说这个体系对于这个操作是‘对 称的’，而这个操作叫做这个体系的一个‘对 称操作’。” ——德国数学家外尔（H.Weyl）
2.2、平面图形的“对称集”
保距变换：
在平面中，我们把反射、旋转、平移以及 它们的相继实施，统称为“保距变换”。特别 的，平面“不动”也是一种“保距变换”。通 常称为“恒等变换”。
1 23
12 3
123
李政道同毛泽东谈对称
对称这个概念绝不是静止的，它要比通常的 含义普遍很多，而且适用于一切自然现象，从宇宙的产 生到每个微观的亚核反应过程。
——李政道
“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意 义重大。数学则是它的根本”。
——德国数学家外尔（H.Weyl）
二、平面图形的对称性
“K1比K2更对称”。
S(K1)
S(K2) 8
S(K3) 12
S(K4) 6
S(K5) 2
S(K6) 1
三、对称的本质
“变中有不变”的性质，不仅是“平面图形对 称”的本质，也是各种客观事物对称性的本质。
四、对任意客观事物之对称性的描述： 子集的对称
进一步的任务：
O
P4- y,x
Px, y
x
P1x,- y
y x
参考文献： 顾 沛 《对称与群》 高等教育出版社 钱 鈱 陈伟斌 袁 渊 《学会抽象与建模》
理工大学出版社
大连
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
[串点成面·握全局]
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促 进中国社会发展。 (2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压 中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。 (3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
D．航空运输
解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务
运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商
办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意
义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。
答案：C
2. 右图是1909年《民呼日报》上登载的 一幅漫画，其要表达的主题是( ) A．帝国主义掠夺中国铁路权益 B．西方国家学习中国文化 C．西方列强掀起瓜分中国狂潮 D．西方八国组成联军侵略中国
C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信
息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度 远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现， 互联网出现在20世纪90年代。 答案：B
4．下列不属于通讯工具变迁和电讯事业发展影响的是( ) A．信息传递快捷简便 B．改变着人们的思想观念 C．阻碍了人们的感情交流 D．影响着人们的社会生活 解析：新式通讯工具方便快捷，便于人们感情的沟通和交流。 答案：C
描述平面图形对称性（及对称性强弱）的一种方 法:对称集的大小
把所有使平面图形K整体不变的“保距变换” 放在一起，构成一个集合，记为S(K)，并称S(K)
为“K的对称集”。
如果 S(K1) 中的元素个数
S(K1)
多于
S(K2)S中(K2)的 元 素S(K个1) 数S(K2)
,即，
就说“K1的对称性强于K2的对称性”，或者说
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
我们把平面图形对称集S（N）中保距 变换的“相继实施”，称作S（N）中元素的 一种“运算”，记作“○”，叫作“乘法”。
该乘法运算满足以下四条规律：
1. 封闭律 2. 结合律 3. 幺元律 4. 逆元律
5.2 群的概念
设G是一个带有运算“○”的非空集合，且其中的运算 满足以下四条，则称{G；○}是一个群。
单位圆
y
x, y
Pcos,sin
1

O -
x
六、 对称群的一个应用：诱导公式的推导
单位圆的对称性，以及单位圆上的点身兼角 与坐标两种性质的表示，揭示了诱导公式的得出，就是 反映了两种群表示之间的一个一一对应关系。
正方形对称群与8组诱导公式
y
P3y, x
yx
P2- x, y
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
换了M中我们所考察的子集N，使之成为 （N)
，但
有些可逆变换却使N整体上保持不变，(N即) N
。
我们称使N整体上保持不变的那些可逆变换为N的对称变
换S（，N并）且,S把(N所) 有这样(N的) “N对 称变换”放在一起，，称记S作（N）为
“N的对称集”。
五、对称群及群的概念
5.1 平面图形的对称变换群
出口价格同步变动的现象。与这一现象直接相关的近代事
业是
()
A．电报业
B．大众报业
C．铁路交通业 D．轮船航运业
[解析] 材料主要反映了信息交流的快捷，故选A。
[答案] A
[题组冲关]
3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
()
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息
解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状， 20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路 权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时 间上不一致。 答案：A
[典题例析] [例2] (2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销
中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海
第三讲对称的数学本质
一、身边的对称
数学中，许多数学公式（式子）都表现出对称性
1、海伦公式：S s(s a)(s b)(s c) 其中，s a b c
2
2、正弦定理 a b c sin A sin B sin C
3、对称多项式 f x2 x x x x2 x x x x 2
2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽
有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写
()
A．电话
B．汽车
C．电报
D．火车
解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。
答案：D
[典题例析]
[例1] 上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种
交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江
居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交 流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快 生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得 快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社 会生活。