第二章 不等式练习(学生版)
数学必修一 第二章 (学生版)
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 等式、不等式与比较大小一、课堂练习1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤4002．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示( )A ．v ≤120(km/h)或d ≥10 (m)B.⎩⎪⎨⎪⎧v ≤120（km/h ）d ≥10 （m ） C ．v ≤120 (km/h) D ．d ≥10 (m)3.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h,正常行驶过程中,同一车道上的车间距d 不得小于50 m.用不等式表示为( )A.v ≤120 km/h 或d ≥50 mB.{v ≤120km/h,d ≥50mC.v ≤120 km/hD.d ≥50 m4.已知x<1,则x 2+2与3x 的大小关系为 . 二、课后作业：基础巩固1.若x 2+y 2=4,则xy 的最大值是( ) A.12 B.1 C.2 D.42.用不等式表示下列关系: (1)x 为非负数;(2)x 为实数,而且大于1不大于6;(3)x 与y 的平方和不小于2,而且不大于10.3.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“若领队买一张全票,则其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的,试根据该单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠?4.若A=a 2+3ab,B=4ab-b 2,则A,B 的大小关系是( )A.A ≤BB.A ≥BC.A>BD.大小关系不确定 5.下面能表示“m 与n 的和是非正数”的不等式为( )A.m+n<0B.m+n>0C.m+n ≤0D.m+n ≥06.一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2200 km,写成不等式为 ;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就要花9天多的时间,用不等式表示为 .7.设M=x 2,N=-x-1,则M 与N 的大小关系是( )A.M>NB.M=NC.M<ND.与x 的取值有关 8.已知0<a<1,则a 与1a 的大小关系为 .能力提升9.建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件就越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.10.已知x>1,比较x 3-1与2x 2-2x 的大小.第2课时 等式性质与不等式性质一、课堂练习1．设b<a,d<c,则下列不等式一定成立的是( )A.a-c>b-dB.ac>bdC.a+c>b+dD.a+d>b+c2.如果a>b,那么下列不等式一定成立的是( ) A.c-a>c-b B.-2a>-2b C.a+c>b+cD.a2>b23．若ab cd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜04．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．M ≥N二、课后作业：基础巩固1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b dD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b2．若1a <1b<0，则下列结论中不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |3.若0a b <<，则下列不等式错误的是（ ）A ．11a b > B ．11a b a >-C ．a b>D ．22a b >4.已知0a b >>，那么下列不等式中成立的是（ ） A ．a b ->-B ．a m b m +<+C ．22a b >D ．11a b > 5．若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a bd c <6.下列不等式中，正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+ B ．若a b >，则a c b c +<+C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a b c d >7．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.8．设a =，b =,a b 的大小关系为__________．能力提升9．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．10．已知0<a <b 且a ＋b ＝1，试比较： (1)a 2＋b 2与b 的大小； (2)2ab 与12的大小．2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式一、课堂练习1．下列不等式中，正确的是( )A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 32．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞ab B ．a ＞a ＋b2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b2＞b ＞ab D ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b3．已知x <0，则x ＋1x－2有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－44．3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．6 2 D ．62－3二、课后作业：基础巩固1．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．2a b a b +<<<B ．2a ba b +<<<C ．2a b a b +<<<D 2a b a b +<<< 2．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>．2b aa b +≥ 3．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =_______． 4．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12 D ．最小值645.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为________． 6．已知x >0，y >0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________． 7.若直线1(0x ya a b+=>，0)b >过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 8．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则1a ＋4b的最小值是( )A.72 D ．4 C.92D ．5能力提升9．(本小题满分12分)正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．10．(1)已知x <3，求y ＝4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．第2课时 基本不等式的实际应用一、课堂练习1.若x>0,则函数y=-x-1x( )A.有最大值-2B.有最小值-2C.有最大值2D.有最小值2 2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.53.若0<x<13,则函数y=2x (1-3x )的最大值为 .4.一批货物随17列货车从A 市以v km/h 的速度匀速直达B 市.已知两地路线长为400 km,为了安全,两列货车的间距不得小于(v 20)2km(货车长度忽略不计),那么这批货物全部运到B 市最快需要多少小时?二、课后作业：基础巩固1．某商场的某种商品的年进货量为10 000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次进货的运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金之和最省，每次进货量应为( )A ．200件 D ．5 000件 C ．2 500件 D ．1 000件2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y (单位:万元)与营运年数x 的函数关系为y=-(x-6)2+11(x ∈N *),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为( )A.3B.4C.5D.63．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大( )A．3 D．4 C．5 D．65．(本小题满分9分)某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？6．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．7.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.8.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?)（注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积能力提升9.某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2019年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？10．(本小题满分12分)某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元(50<x≤80)时，每天销售的件数为p＝105（x－40）2，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式一、课堂练习1．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－25x＋5>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是( )A．①B．② C．③ D．④2.已知集合M={x|x2-3x-4≥0},N={x|1<x<5},则集合(∁R M)∩N=( )A.{x|1<x<4}B.{x|1<x≤4}C.{x|-1<x≤5}D.{x|-1≤x≤5}3.式子√2−x−x2有意义时,x的取值集合是.4．解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0;(3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.二、课后作业：基础巩固1.如果二次方程ax 2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,那么ax 2+bx+c>0的解集为( ) A.{x|x>3,或x<-2} B.{x|x>2,或x<-3} C.{x|-2<x<3} D.{x|-3<x<2}2.不等式3x−12−x ≥1的解集是( ) A.{x |34≤x ≤2} B.{x |34≤x <2}C.{x |x ≤34,或x>2} D.{x|x<2}3.已知0<a<1,则关于x 的不等式(x-a)(x −1a )>0的解集为( )A.{x |x <a,或x >1a } B.{x|x>a} C.{x |x <1a ,或x>a}D.{x |x <1a }4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1a 5．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14B ．R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32D ．∅6．要使17－6x －x2有意义，则x 的取值范围为________．7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．7．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为______能力提升8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________．10．已知函数2()45()f x x x x R =-+∈. （1）求关于x 的不等式()2f x 的解集；（2）若不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.第2课时 一元二次不等式的实际应用一、课堂练习1.已知不等式ax 2+bx+c<0(a ≠0)的解集为R,则( )A.a<0,Δ>0B.a<0,Δ<0C.a>0,Δ<0D.a>0,Δ>0 2.若不等式x 2+ax+4<0的解集为空集,则a 的取值范围是( )A.{a|-4≤a ≤4}B.{a|-4<a<4}C.{a|a ≤-4,或a ≥4}D.{a|a<-4,或a>4} 3.已知不等式ax 2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则有( )A.a>0,且函数y=ax 2-x-c 的零点为-2,1B.a>0,且函数y=ax 2-x-c 的零点为2,-1C.a<0,且函数y=ax 2-x-c 的零点为-2,1D.a<0,且函数y=ax 2-x-c 的零点为2,-14.已知不等式2x 2+mx+n>0的解集是{x|x>3,或x<-2},则二次函数y=2x 2+mx+n 的解析式是( )A.y=2x 2+2x+12B.y=2x 2-2x+12C.y=2x 2+2x-12D.y=2x 2-2x-12 二、课后作业：基础巩固1..若集合A={x|ax 2-ax+1<0}=⌀,则实数a 的集合为 ( )A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a ≤4}D.{a|0≤a ≤4}2.若关于x 的不等式(x+1)(x-3)<m 的解集为{x|0<x<n},则实数n 的值为 .3.若关于x 的不等式组{x −1≥a 2,x −4<2a有解,则实数a 的取值范围是 .4.若式子√kx 2-6kx+(k+8)(k 为常数)在实数集R 上恒有意义,则k 的取值范围是 .5.已知不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x 2+bx+a<0的解集为( )A.{x |-1<x<12}B.{x |x <−1,或x >12}C.{x|-2<x<1}D.{x|x<-2,或x>1}6.若一元二次不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则实数k 的取值范围为( )A.-3<k ≤0B.-3≤k<0C.-3≤k ≤0D.-3<k<07.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是元.若使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则x的取值范围为( ) 1005x+1-3x,或x≥3}A.{x|x≥3}B.{x|x≤−15C.{x|3≤x≤10}D.{x|1≤x≤3}8.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是{x|-4≤x≤3}的子集,则a的取值范围是( )A.{a|-4≤a≤1}B.{a|-4≤a≤3}C.{a|1≤a≤3}D.{a|-1≤a≤3}能力提升9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B.(1)求A∪B;(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.10.设函数y=x2-ax+b.(1)若不等式y<0的解集是{x|2<x<3},求不等式bx2-ax+1>0的解集;(2)当b=3-a时,y≥0恒成立,求实数a的取值范围.。
高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法精品练习(含解析)新
2.2.3 一元二次不等式的解法必备知识基础练进阶训练第一层知识点一不含参数的一元二次不等式的解法1.不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 2．解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0；(4)－12x 2＋3x －5>0.知识点二含参数的一元二次不等式的解法3.若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <m B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >1m 或x <m C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >m 或x <1m D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m 4．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________．5．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}，若A B ，则a 的取值X 围是________.知识点三三个“二次”间的关系及应用6.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}7．若不等式2x 2＋mx ＋n ＞0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则m ，n 的值分别是( ) A ．2,12 B ．2，－2 C ．2，－12 D ．－2，－128．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值X 围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．不等式4x 2－12x ＋9≤0的解集是( ) A ．∅ B ．RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫322．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1}3．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．34．若不等式ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝ax 2－x －c 的图像为( )5．(易错题)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( )A ．－3<k <0B ．－3≤k <0C ．－3≤k ≤0 D．－3<k ≤06．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( )A ．0<x <2B ．－2<x <1C ．x <－2或x >1D ．－1<x <2 二、填空题7．不等式－1＜x 2＋2x －1≤2的解集是________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. 9．(探究题)关于x的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2，则m 的取值X 围是________________．三、解答题10．已知y ＝ax 2＋x －a .(1)若函数y 有最大值178，某某数a 的值；(2)若不等式y ＞－2x 2－3x ＋1－2a 对一切实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)＞0的解集可能为( )A ．∅B ．(－1，a )C ．(a ，－1)D ．(－∞，－1)∪(a ，＋∞) 2．关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值X 围是________．3．(学科素养—数学运算)已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.2．2.3 一元二次不等式的解法必备知识基础练1．解析：原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.答案：D2．解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅.3．解析：∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m，故选D. 答案：D4．解析：原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0， 方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}． 答案：{x |x <－a 或x >1}5．解析：A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}； 当a ≤1时，B ＝{x |a ≤x ≤1}，A B 不成立； 当a >1时，B ＝{x |1≤x ≤a }，若A B ，须a >2.答案：a >26．解析：由题意知，－b a ＝1，c a＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2. 答案：D7．解析：由题意知－2,3是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以－2＋3＝－m2，－2×3＝n2，∴m ＝－2，n ＝－12. 答案：D8．解析：由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.答案：D关键能力综合练．1．解析：原不等式可化为(2x －3)2≤0，故x ＝32.故选D.答案：D2．解析：令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2＜0， 即(t －2)(t ＋1)＜0.∵t ＝|x |≥0.∴t －2＜0.∴t ＜2. ∴|x |＜2，解得－2＜x ＜2. 答案：A3．解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知，－1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：A4．解析：因为不等式的解集为{x |－2<x <1}，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.答案：B5．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx－38<0对一切实数x 都成立的k 的取值X 围是－3<k ≤0. 答案：D6．解析：根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故x 的取值X 围为－2<x <1.答案：B7．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x ＞0，∴－3≤x ＜－2或0＜x ≤1. 答案：{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}8．解析：可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根， 且a <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，1×m ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝2(舍去)．答案：－3 －39．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值X 围是m <0.答案：{m |m <0}10．解析：(1)显然a ＜0，且－4a 2－14a ＝178，解得a ＝－2或a ＝－18.(2)由y ＞－2x 2－3x ＋1－2a ，得 (a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0.当a ＝－2时，不符合题意；当a ≠－2时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4a ＋2a －1＜0，解得a ＞2.综上，a 的取值X 围为(2，＋∞)．学科素养升级练1．解析：对于a (x －a )(x ＋1)＞0，当a ＞0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向上，与x 轴的交点为a 和－1， 故不等式的解集为x ∈(－∞，－1)∪(a ，＋∞)； 当a ＜0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向下， 若a ＝－1，不等式解集为∅；若－1＜a ＜0，不等式的解集为(－1，a )；若a ＜－1，不等式的解集为(a ，－1)； 综上，ABCD 都成立． 答案：ABCD2．解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x ＜－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0可得，(2x ＋5)(x ＋k )＜0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＞－52，－2<－k ≤3，解得－3≤k ＜2.答案：[－3,2)3．解析：∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立． 当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[(x ＋a －1)]<0. ∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。
第二章 第二节 基本不等式 学生版
6.已知0<x ≤3，则y ＝x ＋16x 的最小值为( ) A.253 B ．8 C ．20 D ．107．y ＝2＋x ＋5x (x <0) 的最大值为________．8．若x <0，则函数y ＝x ＋4x 有( ) A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最小值－4 D ．最大值－49．已知a <b ，则b －a ＋1b －a＋b －a 的最小值为( )A ．3B ．2C ．4D ．110．[2019·天津卷]设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．题型七基本不等式的实际应用1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．2.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，如右图所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域．现计划在正方形MNPO上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(如右图中黑色部分)铺花岗地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个灰色三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．4．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值．11。
(完整版)中职不等式练习题
第二章不等式复习测试题一、选择题：（每小题2分，共20分）1、已知0,0a b >>，则下列等式成立的是（ ）()1b b A a a >+ 1()b b B a a +> 11()C a b > ()2b aD a b+> 2、下列不等式正确的是（ ）32()A a a> ()32B a a > ()32C a a +>+ ()33D a a +>- 3、二次不等式2320x x -+<的解集为（ ）{}()0A x x ≠ {}()12B x x << {}()12C x x -<< {}()0D x x >4、不等式502x x +>-的解集是（ ）{}()52A x x -<< {}()52B x x x <->或 {}()5C x x <- {}()2D x x >5、不等式31x -<-的解集是（ ）()A φ {}()3B x x < {}()3C x x > ()D R6、在下列的不等式中解集是空集的是（ ）2()340A x x --≥ 2()440B x x -+≥ 2()340C x x -+≥ 2()340D x x -+<7、不等式2112x x +≤+的解集是（ ） {}()12A x x x ≥<-或 {}()1B x x <- {}()1C x x ≤ {}()21D x x -<≤8、不等式2384x x -+<的解集是（ ）2()23A x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 2()3B x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ 2()23C x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ {}()2D x x >9、若{}20A x x =<，{}20B x x =>。
则A B ⋃是（ ）{}()0A x x > {}(),0B x x R x ∈≠且 ()C R ()D φ10、若{}23A x x =-<，{}3B x x =≥。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B2、若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A3、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A4、不等式|5x −x 2|<6的解集为（ ）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x 2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A6、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7、关于x的方程x2+(m−2)x+2m−1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A．[12,32]B．(12,23]C．[12,2)D．(12,23]∪{6−2√7}答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-1因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f(0)⋅f(1)<0，(2m-1)(3m-2)<0，解得：12<m<23；②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，Δ=(m-2)2-8m+4=0，解得m=6±2√7，经检验，当m=6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D8、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B多选题9、若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a<b，则1a >1bB．若0<a<1，则a2<aC．若a>b>0且c>0，则b+ca+c >baD．a2+b2+1≥2(a−2b−2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；对于B，a2<a等价于a(a−1)<0，又0<a<1，故成立，故B正确；对于C，因为a>b>0且c>0，所以b+ca+c >ba等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；对于D，a2+b2+1≥2(a−2b−2)等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确. 故选：BCD.10、已知正实数a，b满足a+b=ab，则（）A．a+b≥4B．ab≥6C．a+2b≥3+2√2D．ab2+ba2≥1答案：ACD分析：根据特殊值判断B，利用ab⩽(a+b)24判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 对于B，当a=b=2时，满足a+b=ab，此时ab<6，B错误；对于A，ab⩽(a+b)24，则(a+b)24⩾a+b，变形可得a+b⩾4，当且仅当a=b=2时等号成立，A正确；对于C ，a +b =ab ，变形可得1a +1b =1，则有a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+2b a+ab ⩾3+2√2，当且仅当a =2b 时等号成立，C 正确； 对于D ，ab 2+ba 2=a 3+b 3a 2b 2=(a+b)(a 2+b 2−ab)a 2b 2=b a +ab −1⩾2−1=1，当且仅当a =b =2时等号成立，D 正确；故选：ACD11、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD填空题12、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}13、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+ 1>0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.解答题15、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误；C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9， 当且仅当3x −5=2时，等号成立， 故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ） A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8) 答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8 故选：B5、已知a,b >0，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（ ） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0， 解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12， 当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题． 答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值． 解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立 只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4． 解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值． 答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可， （2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9， 当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。
北师大版八年级下册数学第二章 不等式应用专项练习(含答案解析)
北师大八下数学第二章不等式应用专项练习1（2015无锡）某工厂以80 元/箱的价格购进60 箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A 产品．甲车间用每箱原材料可生产出A 产品12 千克，需耗水4 吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A 产品比甲车间少2 千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A 产品售价为30 元/千克，水价为5 元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200 吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w 最大？最大利润是多少？（注：利润=产品总售价﹣购买原材料成本﹣水费）2 书生中学小卖部工作人员到路桥批发部选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒数量x（个）之间的函数关系如图所示，当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120 个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7 200 元.（1）根据图象，求y 与x 之间的函数关系式；（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货价；（3）若小卖部每销售1 个甲种品牌的文具盒可获利4 元，每销售1 个乙种品牌的文具盒可获利9 元，根据学校后勤部决定，准备用不超过6 300 元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种文具盒全部售出后获利不低于1 795 元，问小卖部工作人员有几种进货方案？哪种进货方案能使获利最大？最大获利为多少元？3.小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100 块，共花费5600 元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40 元/块．（1）两种型号的地砖各采购了多少块？（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60 块，且采购地砖的费用不超过3200 元，那么彩色地砖最多能采购多少块？4.“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B 型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？5.小李家装修，客厅共需某种型号的地砖100块，经市场调查发现，如果购买彩色地砖40块和单色地砖60块则共需花费5600元，如果购买彩色地砖和单色地砖各50块，则需花费6000元．（1）求两种型号的地砖的单价各是多少元/块？（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且购买地砖的费用不超过3400元，那么彩色地砖最多能采购多少决？6.某校为进行危房改造，政府最近将在某校搭建板房，从某厂调拔了用于搭建板房的板材5600m3和铝材2210m3，计划用这些材料在某校搭建甲、乙两种规格的板房共100间．若搭建一间甲型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如表所示：板房规格板材数量（m3）铝材数量（m3）甲型乙型40603020请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案．7.某加工厂投资兴建2 条全自动生产线和1 条半自动生产线共需资金26 万元，而投资兴建1 条全自动生产线3 条半自动生产线共需资金28 万元．（1）求每条全自动生产线和半自动生产线的成本各为多少万元？（2）据预测：2015 年每条全自动生产线的毛利润为26 万元，每条半自动生产线的毛利润为16 万元，这一年，该加工厂共投资兴建10 条生产线，若想获得不少于120 万元的纯利润，则2015 年该加工厂至少需投资兴建多少条全自动生产线？（纯利润=毛利润﹣成本）8.东风商场文具部出售某种毛笔每支25 元，书法练习本每本5 元．为促销，该商场制定了两种优惠．方案一：买一支毛笔就赠送一本练习本；方案二：按购买金额打九折销售．某校书法兴趣小组购买达种毛笔10 支，书法练习本x （x≥10）本．问：①若按方案一购买，则需要多少元，按方案二购买，需要多少元．（用含x 的代数式表示）②购买多少本书法练习本时，两种方案所花费的钱是一样多？③购买多少本书法练习本时，按方案二付款更省钱？9.北京昌平临川学校政教处刘颖华主任为初二女学生安排住宿，如果每间住4 人，那么将有30 人无法安排，如果每间住8 人，那么有一间宿舍不空也不满．求宿舍间数和初二女学生人数？10.我市某西瓜产地组织40 辆汽车装运完A，B，C 三种西瓜共200 吨到外地销售．按计划，40 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种西瓜，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：A B C每辆汽车运载量（吨）4 5 6每吨西瓜获利（百元）16 10 12（1）设装运A 种西瓜的车辆数为x 辆，装运B 种西瓜的车辆数为y 辆，求y 与x 的函数关系式；（2）如果装运每种西瓜的车辆数都不少于10 辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要是此次销售获利达到预期利润25 万元，应采取怎样的车辆安排方案？11.我县黄泛区农场有A、B两个果园，分别收获水果380件，320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两个销售点，每件运费如图所示。
高中数学(必修一)第二章 基本不等式练习题
高中数学（必修一）第二章 基本不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_____________一、解答题 1．已知a b ，比较2a ab +与23ab b -的大小，并证明.2．设a ，b 为正实数，求证：()()()2233338a b a b a b a b +++≥．3．求函数1(3)3y x x x =+>-的最小值.4．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？5．已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点(M . (1)求圆C 的方程；(2)已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；(3)若直线l 与圆C 相切，且l 与,x y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，求ABC 的面积最小时直线l 的方程.6．已知a ，b R +∈，求证：()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭．7．函数π()2sin()10,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭图像过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻对称轴间的距离为π2．(1)求,ωϕ的值；(2)已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2a =，求ABC 面积的最大值．8．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出）9．高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm ，其中长边 AD 为 x cm ，将BCD △沿BD 向ABD △折叠，BC 折过去后交AD 于点E ．(1)用 x 表示图1中BAE 的面积；(2)已知镀金工艺是2元/2cm ，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，A 为锐角，cos cos 3cos b A a B c A +=． (1)求cos A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值．11．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2≥；(3)若0ab <，则2b aa b+≤-．13．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥(2)若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知x ＞2，求函数4()2f x x x =+-的最小值．15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.16．如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为220m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？17．已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值．参考答案：1．见解析【解析】利用作差法比较大小. 【详解】解：223a ab ab b +>-，证明如下：()2222232()a ab ab b a ab b a b +--=-+=-.a b ≠2()0a b ∴-> 223a ab ab b ∴+>-【点睛】本题考查作差法比较两式的大小关系，属于基础题. 2．证明见解析【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为a ，b 为正实数，所以a b +≥222a b ab +≥，332a b +≥=当a b =时取等号，所以()()()223333228a b a b a b ab a b +++≥⨯=，即()()()2233338a b a b a b a b +++≥，当且仅当a b =时取等号；3．5【分析】式子化为1333x x +-+-，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为3x >， 所以30x ->，所以133353y x x =+-+≥=-， 当且仅当133x x -=-即4x =时取等号，此时取得最小值5.4．（1）当7x y ==时，x y +取得最小值14；（2）当6x y ==时，xy 取得最大值36【解析】（1）设0x >，0y >，49xy =，然后利用基本不等式求得x y +的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.（2）设0x >，0y >，12x y +=，然后利用基本不等式求得x y ⋅的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.【详解】（1）设0x >，0y >，49xy =，由均值不等式，得214x y xy +=， 当且仅当x y =时，取等号．由,49,x y xy =⎧⎨=⎩得7x y ==，即当7x y ==时，x y +取得最小值14．（2）设0x >，0y >，12x y +=，由均值不等式，得22123622x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当x y =时，取等号．由,12,x y x y =⎧⎨+=⎩得6x y ==．即当6x y ==时，xy 取得最大值36.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 5．(1)224x y +=(2)2(3)0x y +-【分析】（1）利用两点间距离公式可求得半径r ，由此可得圆C 方程； （2）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d ，可知最小值为d r -；（3）设():10,0x yl a b a b+=>>，由圆心到直线距离等于半径，结合基本不等式可知当a b ==ABC面积取得最小值，由此可得直线l 方程. （1）由题意知：圆心()0,0C ，半径2r CM ===，∴圆C 的方程为：224x y +=.（2）圆心到直线40x y +-=的距离d r ==，∴点P 到直线40x y +-=的距离最小值为2d r -=.（3）设直线():10,0x yl a b a b+=>>，即0bx ay ab ， 则圆心到直线l 距离2d ==，ab ∴=≥a b ==，解得：8ab ≥， ∴当a b ==ABC 面积取得最小值142ab =，则直线1l =，即0x y +-=. 6．见解析【分析】()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开并运用基本不等式即可得证.【详解】()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 7．(1)2ω=，π3ϕ=；(2)2+【分析】（1）由题干条件得到最小正周期，进而求出2ω=，待定系数法求出π3ϕ=；（2）先由32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出π6A =，利用余弦定理，基本不等式求出8bc ≤+. (1)由题意得：()f x 的最小正周期πT =，由于0>ω，故2ππω=，解得：2ω=，又2π32sin()11ϕ++=，所以2ππ,3k k Z ϕ+=∈，即2ππ,3k k Z ϕ=-∈，又π||2ϕ<，所以2πππ,32k k Z <∈-，解得：1766k <<，k Z ∈，故1k =，此时π3ϕ=，综上：2ω=，π3ϕ=； (2)2sin()33π12A f A ⎛⎫= ⎪⎝++=⎭，所以sin()1π3A +=，因为()0,πA ∈，所以ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ32A +=，解得：π6A =，又2a =，所以由余弦定理得：224cos 2b c A bc +-==，则224b c +=，由基本不等式得：222b c bc +≥，即42bc ≥，解得：8bc ≤+b c =时等号成立，故ABC 面积最大值为1sin 22bc A ≤8．（1）第三年；（2）第5年.【解析】（1）求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 【详解】（1）设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x ﹣[6x +x （x ﹣1）]﹣50＝﹣x 2+20x ﹣50（0＜x ≤10，x ∈N ）由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣＜x ＜，∈2＜10﹣＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出； （2）∈利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∈二手车出售后， 小张的年平均利润为(25)y x y x +-=＝19﹣（x +25x）≤19﹣10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立， ∈小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.9．(1)()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)当 AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元.【分析】（1）设ED a =cm ，根据条件可得222x x a x-+=，然后利用面积公式即得；（2）利用基本不等式即得.（1）因为AD x =cm ，所以()2AB x =-cm ， 设 ED a = cm ，则()AE x a =-cm ，因为AEB C ED '∠=∠，EAB DC E '∠=∠，AB DC '=， 所以Rt Rt BAE DC E '≌△△，所以BE ED a ==cm ， 在Rt BAE △中，由勾股定理得222BA AE BE +=， 即()()2222x x a a -+-=， 解得222x x a x-+=，所以22x AE x a x-=-=， 所以BAE 的面积()()22112232223cm 1222x x x S AB AE x x x x x x --+-⎡⎤⎛⎫=⋅=-⋅==-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以BAE 的面积()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）设一个会徽的镀金费用为y 元，则(26212312336BAE y Sx x ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⨯-+≤⨯-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当2xx=，12x <<，即x所以当AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元． 10．(1)1cos 3A =；【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式求cos A 的值；（2）由同角三角函数间的基本关系求sin A 的值，根据余弦定理和基本不等式求bc 的最大值，最后根据三角形的面积公式求ABC 面积的最大值即可． (1)因为cos cos 3cos b A a B c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A +=， 所以()sin 3sin cos A B C A +=，所以sin 3sin cos C C A =． 在ABC 中，sin 0C ≠， 所以1cos 3A =；(2)由（1）知1cos 3A =，由22sin cos 1A A +=，A 为锐角，得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-=，因为2a =， 所以2233122b c bc +-=， 所以22212336bc b c bc +=+≥，所以3bc ≤，当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =△所以ABC 11．当32x =时，y 取得最大值494【解析】根据基本不等式，求得y 的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时x 的值.【详解】∈(2,5)x ∈-，∈20,50x x +>->，∈22549(2)(5)24x x y x x ++-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭． 当且仅当25x x +=-，即32x =时，取等号．即当32x =时，y 取得最大值494．【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12．(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. （1）取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥不成立； （2）0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. （3）0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式证明即可；（2）由112111⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b ab 利用基本不等式求最值即可.（1）因为a ，b ，c 都是正数，所以 ()()()(1122++=+++++≥⎡⎤⎣⎦a b c a b b c a c=，当且仅当a b c ==时，等号成立，所以a b c ++≥ （2）211111122211111119142a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时等号成立. ∈11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 14．6【解析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】解：∈2x >，∈20x ->，故44()222622f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当4x =时等号成立，故()f x 的最小值为6.15．(1)24y x =(2)1x y =±+【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，根据焦点弦的性质得到12||AB x x p =++，从而求出p ，即可得解； （2）设:1l x ty =+，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到M y ，从而得到M x ，则()1||12DEM M S DE x =⋅+最后利用基本不等式求出最小值，即可得解； （1）解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知12||43AB x x p p p =++=+=时，2p =，故抛物线方程为24y x =；（2）解：设:1l x ty =+，联立抛物线方程得2440y ty --=，∈1222M y y y t +==，2121M M x ty t =+=+，而21,D t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21,E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()21141||1224||822||||DEM M S DE x t t t t ⎛⎫=⋅+=⋅⋅+=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当||1t =时等号成立，故直线l 的方程为1x y =±+．16．(1)长为9m 2，宽为18m 5(2)长为5m ，宽为4m【分析】（1）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，可得出4536x y +=，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，利用基本不等式可求得钢筋网总长45x y +的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论.（1）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，由已知可得4536x y +=，由基本不等式可得()2211458145m 202025x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当454536x y x y =⎧⎨+=⎩，即当92185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为9m 2，宽为18m 5时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，钢筋网总长为()4540m x y +≥=，当且仅当4520x y xy =⎧⎨=⎩，即当54x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 17．2 【分析】将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ ， 又由54x <，则540x ->，则()154254x x -+≥-， 当且仅当15454x x -=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2.。
第二章 不等式含答案
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ b a －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0)．2.等式的性质性质1：如果a =b ，那么b =a ；性质2：如果a =b ，b =c ，那么b =c ； 性质3：如果a =b ，那么a ±c=b ±c ； 性质4：如果a =b ，那么a c=bc ； 性质5：如果a =b ，c 0≠那么cbc a =；3.不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(可加性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则) 性质4 a b >，0c >⇒ __________，(可乘性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性) 性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向可加性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(同正同向可乘性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(可乘方性)性质8 ①a >b ，ab >0⇒1a < 1b . ②a <0<b ⇒1a < 1b.（可倒性）典例例1 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．例2 已知a ，b +例3 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b <B 2ab b < C ．11a b> D ．22ac bc > 例4 已知1025m <<，3015n -<<-，求m+n ，m n -与mn 的取值范围．例5 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．课时作业1.设a ,b ∈R ,若a -|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) A.b -a>0 B.a 3+b 3<0 C.a 2-b 2<0 D.b+a>02、当1x ≤时，比较大小：33x 231x x -+．3、设1≤a －b ≤2, 2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．4、已知a ∈R ,且a ≠1,比较a+2与31-a的大小.2.2 基本不等式1. 重要的不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．2．基本不等式：ab ≤a ＋b2:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．（a+b ≥2ab ）注意：(1)此结论运用前提：一正、二定、三相等典例例1．（1）函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞）C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) （2）．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243（3）.已知x ＜0，则y ＝2＋4x＋x 的最大值为_______例2、当x ＞0时，则y ＝2xx 2＋1的最大值为________．例3、若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．例4、已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．例5、函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2例6 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？课时作业一、选择题1、已知x ＞0，函数y=x+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．82、当x ∈R 时，x+的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣4]B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C ．[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）3、已知x ＞0，y ＞0，且2x+y=1，则xy 的最大值是( ) A ．B ．C ．4D ．84、的最小值为）（函数)0(2>+=ab abb a y A ．B．12C ．4D ．65、函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为A ．5B ．6C 7 D.86、已知正数x,y 满足431x y +=，则x+3y 的最小值为A ．5B ．12C ．13D ．25 7、设，，若，则的最小值为 A ． B ．6 C ． D ．8、已知y=，其中x≥0，则y 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．9.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|=x (x>1),求公园ABCD所占面积S 关于x 的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计?1a >0b >2a b +=121a b+-3+2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一、形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 二、“三个二次”之间的对应关系设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为1x ，2，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆0<∆c bx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2三、一元二次不等式的解法： （1）化二次项系数为正；（2）令左边=右边，求出两根x 1 , x 2; （当0<∆时，需另作考虑） （3）大于取两根之外，小于取两根之间。
第二章 不等式章节测试
高一数学 第二章章节测试卷（本卷满分100分，适用于2个春季班）班级： 姓名： 学号：一．选择题：（共13题，每题2分，共26分） （ ）1. 若a>0，ab<0，则A. b>0B. b ≥0C. b<0D. b ∈R（ ）2. 不等式-2x>-6的解集为A. {}3>x xB. {}3->x xC. {}3-<x xD. {}3<x x（ ）3. 不等式（x+1）（x-3）>0的解集为A. {}3>x xB. {}1-<x xC. {}31<<-x xD. {}13-<>x x x 或（ ）4. 不等式x （x+2）≤0的解集为A. {}0≥x xB. {}2-≤x xC. {}02≤≤-x xD. {}2-0≤≥x x x 或（ ）5. 若b a >，且b<0，则下列各式中成立的是A. a+b>0B. a+b<0C. b a <D. b-a>0（ ）6.下列不等式中成立的是A. x 2>0B. x 2+x+1>0C. x 2-1<0D. -a>a（ ）7.下列不等式与x<1同解的是A. -2x>-2B. mx>mC. x 2(x-1)>0D. (x+1)2(1-x)>0 （ ）8.不等式13-x <1的解集为A. RB. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><32x 0或x x C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<320x x （ ）9. 若a<b<0，则A. a 2<ab<0B. a 2>ab>b 2C. a 2<b 2<0D. b 2>a 2>0（ ）10.若不等式组⎩⎨⎧>->-ax x 8211的解集为（5，+∞），则a 等于A. 0B. 1C. 2D. 3（ ）11. 不等式24>+x 的解集为A. （-6,6）B. （-2,2）C. （-∞，-2）∪（2，+∞）D. （-∞，-6）∪（-2，+∞）（ ）12. 不等式（2-x ）（x+3）>0的解集为A. （-2,3）B. （-3,2）C. （-∞，-3）∪（2，+∞）D. （-∞，-2）∪（3，+∞）（ ）13.不等式6x 2-x-1<0的解集为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->31x x B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<21x x C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<21x 31或x x 二．填空题：（共20空，每空1分，共20分） 1. 若a<-2a,则a 0；若a>2a ，则a 0. 2. 若a>b,c+1<0,则ac bc ；ac 2 bc 2.3. 比较大小：97 117；85 118；a 2 0.4. 集合｛x 3x <｝用区间表示为 ；区间（-3，]1用集合表示为 .集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠32x x 用区间表示为 ；区间（1，+∞）用集合表示为 .5. 不等式x+1>0的解集是 ；（用区间表示）不等式2x <3解集是 .（用区间表示）6. 如果x-3<5，那么x< ；(运用了性质 )如果-2x>6，那么x< ；(运用了性质 ).7. 不等式x+1>0的解集为 ；不等式x-8<0的解集为 ；不等式组⎩⎨⎧<->+0801x x 的解集为 .三．解答题：（共18题，每题3分，共54分）1.解不等式：(1) 4x+1≤5 (2) 3x+2≥5(3) ⎩⎨⎧>+<052x 0x -1 (4) ⎩⎨⎧-≥+>512x 23x -11(5) 3121<+x (6) 021x >-+(7) 132≥-x (8) 543<-x(9) 3x 2-2x-1≥0 (10) -x 2-2x+3≥0(11) x 2+6x+9≥0 (12) x 2-2x-15≥0(13) -x 2-x+6>0 (14) x 2+x+1<0(15) ⎩⎨⎧>≤+52x --257x (16) ⎩⎨⎧≥->1152x 155x2.比较大小： （1）（x+1）(x+5)与(x+3)2 (2) (x 2+1)2与x 4+x 2+1。
第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习
第二章 一元二次函数、方程和不等式章节练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合*{|2}N M x x =∈≤，则以下关系正确的是（ ） A ．0M ∈ B ．2M ∉ C ．{0,1,2}M ⊆D ．{0,1,2}M2．设R x ∈，则“0x >”是“3x >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又非必要条件3．比较()23x -与()()24x x --的大小（ ） A ．无法比较大小 B ．()()()2324x x x ->-- C ．()()()2324x x x -=--D ．()()()2324x x x -<--4．不等式()()130x x ++<的解集是（ ） A ．RB ．∅C ．{31}xx -<<-∣ D ．{3xx <-∣，或1}x >- 5．已知1a >，则41a a +-的最小值是（ ） A．5B ．6C ．D ．6．已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（ ） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤17．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥8．已知对于任意实数2,20x kx x k -+>恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k > B ．11k -<< C ．1k <-D ．1k >-二、多选题9．已知0,0a b <>，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A ．0b a -> B ．a b > C ．2a ab >D ．11ab<10．与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（ ） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥D ．220x x +->11．以下结论正确的是（ ）A ．函数21x y x+=的最小值是2B ．若a ，R b ∈且0ab >，则2b aa b+≥C ．若x ∈R ，则22132x x +++的最小值为3D ．函数()120y x x x=++<的最大值为0 12．下列说法正确的是( )A ．已知0＜x 12＜，则x (1﹣2x )的最大值为18B ．当43x <时，13134y x x =-+-的最大值是1 C ．若13a <<，25b <<，则231a b -+的取值范围是14<<-x D ．若()227M a a =-+，()()23N a a =--，则M N <三、填空题13．不等式262x x -->的解集为______． 14．(4)(3)0x x --≥的解集是_______. 15．不等式013≤+-x x 的解集是_____. 16．已知23M x x =-,233N x x =-+-，则M ,N 的大小关系是 _____．四、解答题17．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++； （2）2(3)x -与(2)(4)x x --；18．求下列不等式的解集(1)2560x x --> (2)2690x x -+>(3)230x x -+-> (4) 0)3)(2(<-+x x19．求下列不等式的解集：(1)2690x x ++>； (2)230x x ->； (3)325x x ->-．20．已知正数,a b 满足1a b +=. (1)求ab 的取值范围； (2)求28a b+的最小值.21．设集合{}1A x x a =-<<，{}260B x x x =+-<，全集R U =.(1)若4a =，求A B ；(2)若A B A =，求a 的取值范围.22．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x 米，宽为y 米.(1)若菜园面积为36平方米，则x ，y 为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，求2x yxy +。
新北师大版八年级数学下第二章不等式与不等式组测试题
不等式与不等式组一、选择题1. 如果a 、ｂ表示两个负数,且a <b ,则( ）． (A)1>b a （Ｂ)b a <１ﻩ(C)b a 11< （Ｄ）ab <１2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( ）.(Ａ)若ａ>b ,则a ２>b 2 (B ）若a 2>b ２,则a >b（C)若a ≠ｂ,则|ａ|≠|b | （Ｄ)若｜a |≠|b |，则a ≠b3. |a ｜+ａ的值一定是( ).（A)大于零ﻩ(B)小于零 （Ｃ)不大于零 (D)不小于零4. 若由x ＜y 可得到ax >ay ,应满足的条件是( )．(A ）a ≥0ﻩ(B)a ≤0 (C)a ＞0ﻩ(D)a ＜05. 若不等式(ａ+1）x >a +1的解集是x <1，则a 必满足( ）.(A ）a <0ﻩ(B)a >－1 (C ）a <－1 (D)a <16. 九年级(1)班的几个同学,毕业前合影留念,每人交0.７0元.一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.５0元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下,这张相片上的同学最少有( )．(A)2人ﻩ(B)3人ﻩ(C)4人ﻩ(Ｄ)5人7. 若不等式组⎩⎨⎧>≤<k x x ,21有解,则k 的取值范围是( )． (Ａ)k <2ﻩ(B)k ≥２ﻩ(C)k <1(D ）1≤k <2 8. 不等式组⎩⎨⎧+>+<+1,159m x x x 的解集是x ＞２,则m 的取值范围是( )．(A ）m ≤2ﻩ(B ）m ≥2 (C)m ≤１(D ）m ≥1 9. 对于整数ａ,ｂ，c ，ｄ,定义bd ac c d b a -=，已知3411<<d b ，则b +d 的值为_________. 10. 如果a 2ｘ>a 2y (ａ≠0）．那么x ＿_____ｙ．11. 若ｘ是非负数，则5231x -≤-的解集是＿＿____. 12. 已知(x －2）2＋|2x -3ｙ-a ｜=0，y 是正数，则a 的取值范围是_＿____.13. 6月1日起,某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋,每只售价分别为1元、2元和3元,这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3千克、5千克和8千克.6月7日,小星和爸爸在该超市选购了３只环保购物袋用来装刚买的20千克散装大米,他们选购的3只环保购物袋至少．．应付给超市_＿＿___元． 14. 若m ＞5,试用m 表示出不等式(5-m ）ｘ>1-m 的解集＿__＿__．15. 乐天借到一本７2页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页,那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天要读x 页，列出的不等式为_＿___＿．16. ｋ满足_＿_＿_＿时，方程组⎩⎨⎧=-=+4,2y x k y x 中的x 大于１,ｙ小于1． 二、解下列不等式17. ⋅-->+22531x x ⋅-≥--+612131y y y18. .151)13(21+<--y y y ﻩ .15)2(22537313-+≤--+x x x 三、解不等式组19. ⎪⎩⎪⎨⎧⋅>-<-322,352x x x x ﻩ ⎪⎩⎪⎨⎧->---->-.6)2(3)3(2,132x x x x 四、变式练 20. ．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x >y ，求p 的取值范围.21. 已知方程组⎩⎨⎧-=++=+②①m y x m y x 12,312的解满足x ＋y <０,求m 的取值范围. 22. 当310)3(2k k -<-时,求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集. 23. 已知Ａ=２x 2+3ｘ+2,Ｂ＝2x 2－４x －5，试比较A 与Ｂ的大小.24. （类型相同)已知⎩⎨⎧+=+=+122,42k y x k y x 中的x ，ｙ满足0<y －x <1,求k 的取值范围. 25. 已知ａ是自然数,关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-02,43x a x 的解集是x >２,求a 的值.26. 关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-123,0x a x 的整数解共有5个,求a 的取值范围．27. 若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有４个整数解,求a 的取值范围．五、解答题28. 某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的产量就超过了原来20天的产量,求原来每天最多能生产多少辆汽车?29. 某次数学竞赛活动，共有16道选择题,评分办法是:答对一题给6分，答错一题倒扣2分,不答题不得分也不扣分.某同学有一道题未答,那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上?30. 某种商品进价为15０元，出售时标价为２2５元,由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于1０%,那么商店最多降价多少元出售商品?31. 某工人加工３0０个零件，若每小时加工5０个就可按时完成；但他加工2小时后，因事停工40分钟．那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件?32. 一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m 3的土方．在前两天共完成了1２0m ３后，接到要求要提前2天完成掘土任务.问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方？33. 某城市平均每天产生垃圾70０吨,由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃圾55吨,需花费550元;乙厂每小时处理45吨，需花费４95元．如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用的和不能超过７１50元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾?34.若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有2０人无法安排住处;若每间住8人,则有一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间？35.某零件制造车间有20名工人,已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元,每制造一个乙种零件可获利2６0元.在这20名工人中,车间每天安排ｘ名工人制造甲种零件,其余工人制造乙种零件．(1)若此车间每天所获利润为ｙ(元），用x的代数式表示ｙ.(2)若要使每天所获利润不低于2400０元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?36.某单位要印刷一批宣传资料，在需要支付制版费６00元和每份资料０．３元印刷费的前提下,甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过200０份的，超过部分的印刷费可按9折收费;乙印刷厂提出：凡印刷数量超过300０份的，超过部分印刷费可按8折收费.(1)若该单位要印刷2400份宣传资料，则甲印刷厂的费用是_____＿,乙印刷厂的费用是_＿___＿.(2)根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠？37.某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有4２座和6０座客车，４2座客车的租金为每辆３20元,60座客车的租金为每辆4６０元．(1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱?(2)若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省租金,请选择最节省的租车方案．38.--39.(1)。
高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.1 第1课时 不等式及其性质精品练习(含解析
第1课时 不等式及其性质必备知识基础练进阶训练第一层知识点一用不等式表示不等关系1.下面表示“a 与b 的差是非负数”的不等关系的是( )A ．a －b ＞0B ．a －b ＜0C ．a －b≥0D ．a －b≤02．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h 满足关系为( )A ．h ＜4.5B ．h ＞4.5C ．h≤4.5D ．h≥4.5知识点二作差法比较大小3.设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( )A ．a>bB ．a<bC ．a≥bD ．a≤b4．若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋5＋a ＋8(a>－5)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P<QB ．P ＝QC ．P>QD ．不能确定5．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A≤B B ．A≥BC ．A<B 或A>BD ．A>B知识点三用不等式的性质判断或证明6.下列命题正确的是( )A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若1a ＞1b，则a ＜b D ．若a ＜b ，则a ＜b7．给出下列命题： ①若ab>0，a>b ，则1a <1b ；②若a>b ，c>d ，则a －c>b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a<b ，则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．8．(1)已知a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．按照神州十一号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，要求神州六号飞船返回舱的温度在(21±4) ℃之间(包含端点)，则该返回舱中温度t(单位：℃)的取值X 围是( )A ．t≤25B ．t≥17C ．17≤t≤25D ．17<t<252．已知a ＋b>0，b<0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a>b>－b>－aB ．a>－b>－a>bC ．a>－b>b>－aD ．a>b>－a>－b3．已知a>b ，c>d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是( )A ．ad>bcB ．ac>bdC ．a ＋c>b ＋dD ．a －c>b －d4．已知a ，b ，c 均为正实数，若c a ＋b ＜a b ＋c ＜ba ＋c，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a5．已知x ＞y ＞z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy ＞yzB ．xz ＞yzC ．xy ＞xzD ．x|y|＞z|y|6．已知a ，b∈(0,1)，记M ＝ab ，N ＝a ＋b －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定二、填空题7．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．8．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．9．(探究题)给定下列命题：①a>b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a>b ；③a>b ⇒b a <1；④a>b，c>d ⇒ac>bd ；⑤a>b，c>d ⇒a －c>b－d.其中错误的命题是________(填写相应序号)．三、解答题10．(易错题)已知实数x ，y 满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求9x －3y 的取值X 围．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)给出四个选项能推出1a ＜1b的有( )A ．b ＞0＞aB ．0＞a ＞bC ．a ＞0＞bD ．a ＞b ＞02．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c)，那么P 与Q 的大小关系是( )A ．P>QB ．P≥QC ．P<QD ．P≤Q3．(情境命题—生活情境)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？2．2.1 不等式及其性质第1课时 不等式及其性质必备知识基础练1．解析：“a 与b 的差是非负数”用不等式表示为a －b ≥0.故选C. 答案：C2．解析：“限高4.5米”即h ＜4.5，故选A. 答案：A3．解析：a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以a ≥b . 答案：C4．解析：P 2＝2a ＋13＋2a ＋6a ＋7，Q 2＝2a ＋13＋2a ＋5a ＋8，因为(a ＋6)(a ＋7)－(a ＋5)(a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－(a 2＋13a ＋40)＝2>0， 所以a ＋6a ＋7>a ＋5a ＋8，所以P 2>Q 2，所以P >Q . 答案：C5．解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .答案：B6．解析：对于A ，若c ＜0，其不成立；对于B ，若a ，b 均小于0或a ＜0，其不成立；对于C ，若a ＞0，b ＜0，其不成立；对于D ，其中a ≥0，b ＞0，平方后显然有a ＜b .答案：D7．解析：对于①，若ab >0，则1ab>0，又a >b ，所以a ab >b ab ，所以1a <1b，所以①正确； 对于②，若a ＝7，b ＝6，c ＝0，d ＝－10， 则7－0<6－(－10)，②错误； 对于③，对于正数a ，b ，m ， 若a <b ，则am <bm ， 所以am ＋ab <bm ＋ab ， 所以0<a (b ＋m )<b (a ＋m )， 又1bb ＋m >0，所以a b <a ＋m b ＋m，③正确． 综上，真命题的序号是①③. 答案：①③8．证明：(1)证法一：∵a <b <0，∴－a >－b >0， ∴0<－1a <－1b， ①∵0<－b <－a, ② ①②相乘，b a <a b.证法二：b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝b ＋a b －aab，∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴b ＋ab －aab ＜0，故b a ＜ab .(2)∵1a ＜1b，∴1a －1b＜0，即b －a ab＜0，又a ＞b ，∴b －a ＜0， ∴ab ＞0.关键能力综合练1．解析：由题意知21－4≤t ≤21＋4，即17≤t ≤25.答案：C2．解析：解法一 ∵a ＋b >0，∴a >－b ， 又b <0，∴a >0，且|a |>|b |， ∴a >－b >b >－a .解法二 设a ＝3，b ＝－2，则a >－b >b >－a . 故选C. 答案：C3．解析：由a >b ，c >d 得a ＋c >b ＋d ，故选C. 答案：C 4．解析：∵ca ＋b ＜ab ＋c，∴c (b ＋c )＜a (a ＋b )，bc ＋c 2＜a 2＋ab ，移项后因式分解得，(a －c )(a ＋b ＋c )＞0，∵a ，b ，c 均为正实数，∴a ＞c ，同理b ＞a .∴c ＜a ＜b ，故选A.答案：A5．解析：因为x ＞y ＞z ，x ＋y ＋z ＝0， 所以3x ＞x ＋y ＋z ＝0,3z ＜x ＋y ＋z ＝0，所以x ＞0，z ＜0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞z ，可得xy ＞xz .故选C.答案：C6．解析：M －N ＝ab －(a ＋b －1)＝ab －a －b ＋1 ＝(a －1)(b －1)．∵a ，b ∈(0,1)，∴a －1<0，b －1<0， ∴M －N >0，∴M >N . 答案：B7．解析：由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km ，则8(x ＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km ，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即8x x －12＞9(x >12)．答案：8(x ＋19)＞2 2008xx －12＞9(x >12) 8．解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝a 3＋b 3－ab 2－a 2b a 2b 2.∵a 2b 2＞0，所以只需判断a 3＋b 3－ab 2－a 2b 的符号．a 3＋b 3－ab 2－a 2b＝a 2(a －b )＋b 2(b －a ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )≥0， 等号当a ＝b 时成立，所以a b2＋b a2≥1a ＋1b.答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，ba<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤10．解析：设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10， 又－4≤x －y ≤－1， ∴－6≤9x －3y ≤9.学科素养升级练1．解析：1a ＜1b ⇔b －aab＜0⇔ab (a －b )＞0，A ．ab ＜0，a －b ＜0，ab (a －b )＞0成立B ．ab ＞0，a －b ＞0，ab (a －b )＞0成立C ．ab ＜0，a －b ＞0，ab (a －b )＜0，不成立，D ．ab ＞0，a －b ＞0，ab (a －b )＞0成立故选ABD. 答案：ABD2．解析：∵P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2(a ＋b ＋c ) ＝a 2－2a ＋1＋b 2－2b ＋1＋c 2－2c ＋1 ＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2≥0，又∵a ，b ，c 为不全相等的实数，∴等号取不到， ∴P >Q ，故选A. 答案：A3．解析：设寝室到教室的路程为s ，步行速度为v 1，跑步速度为v 2，则甲用时t 1＝12s v 1＋12s v 2，乙用时t 2＝2s v 1＋v 2，t 1－t 2＝s 2v 1＋s 2v 2－2s v 1＋v 2＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 1＋v 22v 1v 2－2v 1＋v 2＝v 1＋v 22－4v 1v 22v 1v 2v 1＋v 2·s ＝v 1－v 22·s 2v 1v 2v 1＋v 2>0， ∴甲用时多．∴乙先到达教室．。
第二章不等式练习卷
第二章 不等式练习卷
一、考纲要求
1．了解不等式基本性质，会用作差法比较两个实数或代数式的大小。
2.理解区间的概念，会用区间表示连续的实数集；会用区间表示不等式的解集；会进行区间的交、并、补运算。
3. 掌握形如()()0(00)ax b cx d a c ++>>>,的不等式，理解形如20ax bx c ++>或20(0)ax bx c a ++<≠（不含参数讨论）的一元二次不等式。
了解一元二次不等式在简单实际问题中的应用。
4．了解形如ax b c +>或ax b c +<(0)c >的含绝对值的不等式。
二、专项训练
★,2a b a <+设则 2,1b a +- 1,1b a -- 1b +，a 3- b 3- ★比较两式的大小：2211(0)x x x x ++->与
★已知，用区间可以表示A 为
★不等式378x -<的解集是：
★已知集合[][)2,3,5,1,A B A B =-=-⋃=
则 ★已知集合()[)2,7,1,9,A B A B =-=⋂=则
★已知全集[]()1,11,1I I A =--=，集合A=，则C
★已知集合()[),6,2,+,A B A B =-∞=∞⋂=
则 ★不等式(1)(3)0x x --≤的解集是？
★不等式2320x x -+>的解集是？
{A x x =≤
★不等式2560
+-≤的解集是？
x x
≤的解集为？
★不等式2x
x-<的解集为？
★不等式22。
人教版高中数学第二章第2节《基本不等式》训练题 (2)(含解析)
第二章第2节《基本不等式》训练题 (2)一、单选题1．已知两正数x 、y 满足1x y +=，则11z x y x y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ）．A B ．2C ．4D ．2542．已知f (x )＝221x x x-+，则f (x )在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．12B ．43C ．－1D ．03．下列说法不正确的是（ ）A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B 2的最小值是2C 2D ．若x >0，则2－3x －4x的最大值是2－4．设1,0a b b +=>，则19||||a a b+的最小值是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．45．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金（ ） A ．大于10克 B ．小于10克 C ．等于10克 D ．不能判断大小6．若x >0，则8x x+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．7．①命题命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是“2000,3210x R x x ∃∈-+≤”；②已知直线1x ya b +=不经过第三象限，且过定点(2，3)，则223a b +的最小值为3＋③若实数x ，y 满足约束条件02030x y x y x -≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则54y z x -=-的取值范围为6,105⎡⎤⎢⎥⎣⎦．上述说法正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．当0x >时，82x x+的最小值为（ ） A ．2 B．C ．4D ．89．《几何原本》卷II 的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以直接完成的无字证明为 （ ）A ．222a b ab +≥(0,0)a b >>B．2a b+≥(0,0)a b >> C．2a b +≤(0,0)a b >> D．2aba b≤+(0,0)a b >> 10．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >11．某单位为节约成本，进行了技术更新，可以把细颗粒物进行处理.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21100800002y x x =-+，则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（ ） A ．100元B ．200元C ．300元D ．400元12．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的取值范围是（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎛ ⎝⎭C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭13．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，代数的很多公理或定理都能够通过图形实现证明，称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +≤>> 14．若a ，b 为非零实数，则以下不等式：①222a b ab +≥；②222()42a b a b ++≤；③2a b ab a b +≥+；③2b aa b+≥.其中恒成立的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．115．已知01x <<，则(33)x x -的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．34D ．2316．下列不等式恒成立的是（ ）A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥D ．a b +≥-二、多选题17．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >时，2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245y x x =-+-的最小值为5D ．当0x >，0y >时，2x yy x+≥18．下列函数中，最小值是 ）A ．2y xx=+B ．y =C ．22244y x x =+++ D ．2x x y e e -=+19．若,(0,)a b ∈+∞，则下列选项成立的是（ ） A ．(6)9a a -≤B ．若3ab a b =++，则9ab ≥C ．2243a a ++的最小值为1 D ．若2a b +=，则1232a b +≥20．已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．1ab ≤B ．112a b+≤ C ．lg lg 0a b +≥D ．2a b +≤21．下列函数中最大值为12的是（ ）A ．22116y x x =+B ．[]0,1y x x =∈C ．241x y x =+D ．4,22y x x x =+>-+ 22．已知a ，b 均为正实数，且a +b =1，则（ ） A ．22a b +的最小值为12B ．1ab ab+的最小值为2C D ．11a b+的最大值为4A ．若0x >，则12x x +≥=.B ．若0x <，则()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.C ．2b a a b +≥=D ．12a a +≥= 24．下列命题中正确的是（ ） A ．1(0)y x x x=+<的最大值是-2 B ．2y =的最小值是2C ．423(0)y x x x=-->的最大值是2-D ．2y =的最大值225．设正实数x ，y 满足23x y +=，则下列说法正确的是（ ）A ．3y x y+的最小值为4 B ．xy 的最大值为98C D ．224x y +的最小值为92三、填空题26．若正实数mn ，满足26m n mn ++=，则mn 的最小值是__________. 27．已知正实数a ，b ，c 满足1,1a b ab bc ac +=++=，则c 的取值范围是______________． 28．若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为______. 29．已知正实数,x y 满足()24,xyx y +=则2x y +的最小值为_______________.30．已知2x >，求()122f x x x =+-的最小值__________．31．已知0a b >>，且4ab =，则22a b a b+-的最小值为_______.32．若0x y >>，且1412x y x y+=-+，则x y +的最小值是__. 33．已知0x >，0y >，且4x yxy x y +=+，则11x y+的最小值为________. 34．设0,0x y >>，且21x y +=，求11x y+的最小值_______________． 35．已知0a b >>，则41a ab a b+++-的最小值为__________． 36．已知4x >，则14x x +-的最小值_________. 37．已知正数a ，b 满足1ab =，则49a b +的最小值为_______. 38．函数1()ln ln f x x x=+的值域为_____.39．设0,0a b >>，且26a b +=_________． 40．已知0,0x y >>，且8x y +=，则(1)(1)x y +⋅+的最大值为_____．41．已知正数x ，y 满足49x y xy +=且224x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是______. 42．如图，正方形OABC 的边长为a ，()1a >，函数23y x =与AB 交于点Q ，函数12y x -=与BC 交于点P ，当||||AQ CP +最小时，a 的值为_______．43．设0x >，0y >，23x y +=24x y--____________.四、解答题44．已知a ，b ，c 都是正实数．（1）若232a b c ++=，求216a b c++的最小值； （2）求证：22282718a b c bc ac ab++≥．45．（1）已知2x <，求142x x +-的最大值 （2）已知x ，y 均为正实数，若45x y xy ++=，求xy 的最大值46．（1）若,a b 是正常数，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+ (当且仅当ay bx =时等号成立)．（2）求函数2251()(0)122f x x x x =+<<-的最小值，并求此时x 的值． 47．已知函数()|1||22|f x x x =++-，设()f x 的最小值为m . （1）求m ；（2）若正实数,,a b c 满足a b c m ++=，求ab bc ca ++的最大值.48．第三届进口博览会将于11月5日至10日在上海青浦国家会展中心举行，某参展企业为了制作一份精美的宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为2625cm ，如图所示：其中上边，下边和左边各留宽为2cm 的空白，右边留宽为7cm 的空白，中间阴影部分为文字宣传区域；设矩形画册的长为cm a ，宽为cm b ，文字宣传区域面积为2cm S .（1）用a ，b 表示S ；（2）当a ，b 各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？ 49．若0x >，0y >，22x y +=.（1）求xy 的最大值.（2）求21x y+的最小值.五、双空题 50．若1x >则141x x +-的最小值为_____________，此时x =_________．【答案与解析】1．D 【解析】 转化条件为22z xy xy=+-，换元后由对勾函数的性质即可得解. 由题意，21111()222y x x y xy z x y xy xy xy x y xy x y xy xy xy ⎛⎫+-⎛⎫=++=+++=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令t xy =，则21024x y t xy +⎛⎫<=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立，又函数22y t t =+-在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， 所以当14t =时，函数22y t t =+-取最小值1258244+-=， 所以z 的最小值为254. 故选：D ．关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为22z xy xy=+-，再结合对勾函数的性质即可得解. 2．D 【解析】将函数()f x 化为积为定值后，利用基本不等式可求得最小值.f (x )＝221x x x-+＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1③1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以f (x )在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是0.故选：D易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．B 【解析】由二次根式的性质及基本不等式成立的条件逐项判断即可得解.对于A ，当0x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立，故A 正确；对于B 22=≥=，222>，故B 错误；对于C 22=≥，当0x =时，等号成立，故C 正确；对于D ，44232322x x x x ⎛⎫--=-+≤-=- ⎪⎝⎭当且仅当x =时，等号成立，故D 正确. 故选：B.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．C 【解析】由条件可得19||9||9||||||||||a ab a b a a a b a b a b a ++=+=++利用均值不等式结合a 符号可得答案. 由1,0a b b +=>，则10,b a =->则1a <且0a ≠19||9||9||||||||||a ab a b a a a b a b a b a ++=+=++因为0,0b a >>，所以9||6||b a a b +≥=当且仅当3b a =时，取得等号. 当01a <<时，有19||9||9||617||||||||a ab a b a a a b a b a b a ++=+=++≥+= 当且仅当3b a =，即1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号 当0a <时，有19||9||9||615||||||||a ab a b a a a b a b a b a ++=+=++≥-= 当且仅当3b a =，0a <，即1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号 综上可得19||||a a b+的最小值为5 故选：C易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．A【解析】设天平的左右臂长分别为,m n (m n ≠)，第一次加黄金x 克，第二次加黄金y 克，则根据物理知识可得5m xn =，5my n =，根据基本不等式可得10x y +>克.设天平的左右臂长分别为,m n (m n ≠)，第一次加黄金x 克，第二次加黄金y 克，则根据物理知识可得5m xn =，且(5)(5)y m x n +=+，即5my n =，所以555()510m n m n x y n m n m +=+=+≥⨯，当且仅当m n =时等号成立，因为m n ≠，所以等号不成立，所以10x y +>克.故选：A易错点点睛：本题在利用基本不等式时，容易忽视等号成立的条件导致错选C .6．D【解析】利用基本不等式的性质即可得出结果．0x，则8x x +≥=8x x =时取等号，即x =8x x ∴+的最小值为故选：D易错点睛：利用基本不等式求最值时，注意满足“一正二定三相等”.7．D【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，可判定①正确；根据基本不等式，可判定②正确；作出约束条件所表示的可行域，结合几何意义，可判定③正确.对于①中，全称命题的否定是特定命题，可得命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是“2000,3210x R x x ∃∈-+≤”，所以①正确：对于②中，将定点()2,3代入得231a b +=，所以2223433232332a b a b b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 由直线1x y a b+=不经过第三象限，所以0,0a b >>，所以4332b a a b +≥=232a b =+=+时取等号；所以2323a b +≥+ 对于③中，画出约束条件所02030x y x y x -≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域为图中三角形ABC 部分，如图所示， 目标函数54y z x -=-表示可行域内的点(),x y 与点()4,5P 连线的斜率，由图可得，当点()4,5P 与点(1,1)A --连线时，斜率最小，最小值为min 5(1)64(1)5z --==--， 当点()4,5P 与点(3,5)B -连线时，斜率最大，最大值为max 5(5)104(3)z --==-． 所以z 的范围是6,105⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故③正确． 故选：D ．根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+ 转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+ ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值； （2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如y b z x a -=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.．8．C【解析】由基本不等式求得最小值．∵0x >，∴842x x +≥=，当且仅当82x x =即4x =时等号成立． 故选：C ．关键点点睛：该题考查的是有关利用基本不等式求最值的问题，在解题的过程中，关键点是注意其条件.9．C【解析】 由图形可知：122a b OF AB +==，2a b OC -=．在Rt OCF 中，由勾股定理可得：F C =CF OF 即可得出． 解：由图形可知：122a b OF AB +==，2a b OC -=． 在Rt OCF 中，由勾股定理可得：CF ==． CF OF ， ∴2222a ba b ++(,0)a b >． 故选：C ．10．C【解析】设图中直角三角形的边长分别为a ，b ，根据图象关系，可得222ab a b ≤+即可得答案.设图中全等的直角三角形的边长分别为a ，b ，则四个直角三角形的面积为1422a b ab ⨯⨯⨯=，正方形的面积为222a b =+， 由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积，所以222ab a b ≤+，当且仅当a b =时等号成立，所以对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立.故选：C11．C【解析】 求得每吨细颗粒物的平均处理成本为1+100,[300,600]280000y x x x x=-∈，利用基本不等式，即可求得答案. 由题意得每吨细颗粒物的平均处理成本为21100,[300,600]2110080000800002y x x x x x xx ==+-∈-+，所以1100100380000020y x x x =+-≥=（元）， 当且仅当1800002x x =，即400x =时，等号成立， 故选：C12．A【解析】由题可得()2212x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即可求出. 221x y xy ++=，()2212x y x y xy +⎛⎫∴+-=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当 x y =等号成立， 则()243x y +≤，x y ≤+≤ 故选：A.13．D【解析】 设AC a =，BC b =，可表示出OF ，OC 的长，根据勾股定理得出CF ，根据CF OF ≥可得结论. 由图形可知：122a b OF AB +==，2a b OC -=， 在Rt OCF 中，由勾股定理可得：CF ==． ∵CF OF ≥，∴,0)2a b a b +≤>． 故选：D14．C【解析】①②由基本不等式可得到结果，③④举反例可得结论不成立.解：对于①，由重要不等式222a b ab +≥可知①正确； 对于②，()2222224a b a b ++= ()()222222244a b a b a b ab +++++=≥22()42a b a b ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，故②正确；对于③，当1a b ==-时，不等式的左边为12a b +=-，右边为12ab a b =-+，可知③不正确； 对于④，令1,1a b ==-可知④不正确．故恒成立的个数为2个.故选：C.15．C【解析】易知10,0x x ->>，结合基本不等式，可得()11x x =+-≥从而可求出(33)x x -的最大值.因为01x <<，所以10,0x x ->>， 所以()1x x +-≥1x x =-，即12x =时，等号成立， 所以1，整理得()114x x -≤，即3(33)4x x -≤. 所以(33)x x -的最大值为34. 故选：C.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．B【解析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确，对选项B 化简可得()20a b +≥，由此即可判断B 是否正确；对选项C 、D 通过举例即可判断是否正确.A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确；C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b =-=-时，不等式不成立，故D 不正确.故选：B.17．AD【解析】利用基本不等式和等号成立时取最值对选项逐一判断即可.选项A 中，0x >≥=1x =时等号成立，故正确；选项B 中，2x >时，12x x +≥=， 当且仅当1x x =时，即1x =时取等号， 但是2x >，取不到最小值2，故错误；选项C 中，54x <时，450x -<，则540x ->，故1142=5433=14554y x x x x ⎛⎫=-+--++≤- ⎪--⎝⎭， 当且仅当15454x x-=-时，即541x -=时等号成立，取得最大值1，不存在最小值，故错误；选项D 中，当0x >，0y >时，0,0x y y x >>，故 2x y y x +≥=，当且仅当x y y x=时等号成立，故正确. 故选：AD.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．BD【解析】利用基本不等式的使用法则：“一正、二定、三等”即可判断出正误．对A ，0x <时，0y <，无最小值，故A 错误；对B ，22y=，当且仅当x =B 正确；对C ，222242(4)(4y x x x =+++=+22244x x +=+时等号成立，显然不可能取到，故C 错误；对D ，2222x x x x y e e e e --=+=0x =时取等号，故D 正确．故选：BD ．易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方19．ABD【解析】A. 利用怍差法判断；B.由33ab a b =++≥判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由2a b +=，利用“1”的代换结合基本不等式判断.A. 因为()229(6)6930a a a a a --=-+=-≥，故正确；B.因为33ab a b =++≥，所以230-≥3≥，所以9ab ≥，当且仅当3a b ==取等号，故正确；C. 因为2222443333a a a a +=++-++，233a +>，则由对勾函数的性质得224333t a a =++-+在()3,+∞上递增，所以其最小值为43，故错误； D.因为2a b +=，则()121122333221122b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=，当且仅当22a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩，即)(21,22a b ==时，取等号，故正确； 故选：ABD20．AD【解析】 利用基本不等式逐一分析结论的正误，可得答案，对于B 可以举反例. ∵2212a b ab +≤=，()()222222242a b a b ab a b a b +=++≤+=⇒+≤，∴A ，D 都成立. 又∵当12a =，b =112a b +>，此时B 不成立. 又∵lg lg lg 0a b ab +=≤，∴C 不成立.故选：AD21．BC【解析】利用基本不等式逐项判断即可.解：对A，2211162y x x =+≥=， 当且仅当22116x x =，即12x =±时取等号，故A 错误； 对B，221122x x y x +-==≤=，当且仅当221x x =-，又[]0,1x ∈，即2x =时取等号，故B 正确； 对C ，242211112x y x x x ==≤++， 当且仅当221x x =，即1x =±时等号成立，故C 正确； 对D ，44222222y x x x x =+=++-≥=++， 当且仅当422x x +=+ ，又2x >- ，0x ∴=时取等号，故D 错误. 故选：BC. 22．AC【解析】由22211()22a b a b +≥+=可判断A ； 由已知得210()24a b ab +<≤=，由22211(1)2a b ab ab ab ab ab+-+==+，可判断B ；由22()2a b ≤+=可判断C ；由1111()()2b a a b a b a b a b+=++=++，可判断D ． 对于A ，222110,0,1,(),22a b a b a b a b >>+=∴+≥+=当且仅当12a b ==等号成立，故A 正确；对于B ，由已知得210()24a b ab +<≤=，222211(1)11724(1)244a b ab ab ab ab ab +-∴+==+≥-+=，故B 错误；对于C，由22()2a b ≤+=12a b ==等号成立，故C 正确； 对于D ，由已知得1111()()2224b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当12a b ==等号成立，故11a b+的最小值为4，故D 错误. 故选：AC.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．AB 【解析】利用基本不等式判断AB ；利用特例法判断CD.对于A ，因为0x >，所以12x x +≥，当1x x =即1x =时等号成立，正确；对于B ，因为0x <，所以0x ->，则()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当4x x-=-，即2x =-时等号成立，正确；对于C ，当,a b 异号时，2b aa b +≤-，故不正确；对于D ，当0a <时，12a a+≤-，故不正确，故选：AB.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 24．AC 【解析】由题设条件结合基本不等式逐项判断即可得解.对于A ，112y x x x x ⎛⎫=+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭， 当且仅当1x =-时，等号成立，故A 正确；对于B 、D ，22y ==≥，=即221x +=不成立，所以22y =>，故B 、D 错误；对于C ，44232322y x x x x ⎛⎫=--=-+≤-=- ⎪⎝⎭ 当且仅当43x x=时，等号成立，故C 正确. 故选：AC.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 25．ABD 【解析】由23x y +=可得23224y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥=，98xy ≤，然后可判断出CD 的正误.因为23x y +=所以23224y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥=，当且仅当y x x y=，即1x y ==时等号成立，故A 正确因为23x y +=≥98xy ≤，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时等号成立，故B 正确因为22336x y =++=+≤+，C 错误因为()22299249494824x y xy y x xy =+-=-≥-⋅=+ 所以D 正确 故选：ABD易错点睛：运用基本不等式求解最值时，要验证是否满足“一正二定三相等”，否则容易出错. 26．18【解析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得mn 的最小值.依题意266mn m n =++≥，当且仅当26m n ==时等号成立，化简得60mn -≥，即0≥，由于,m n 为正实数，0,18mn ≥≥. 故答案为：18 27．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据1,1a b ab bc ac +=++=,得到1c ab =-,然后根据a ，b ，c 是正实数,利用基本不等式求解. 因为1a b +=,所以()1ab bc ac ab b a c ab c ++=++=+=, 所以1c ab =-, 因为a ，b ，c 是正实数, 所以1c <,231124a b c ab +⎛⎫=-≥-= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时,取等号,故c 的取值范围是3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为:3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭28． 【解析】设两直角边为,a b ，则100ab =，利用基本不等式进行求解即可 设两直角边为,a b ，则100ab =，利用基本不等式，222200a b ab +≥=，当且仅当10a b ==时成立，此时，该直角三角形的斜边的最小值为c =故答案为：29．【解析】根据22340x y xy -=+，利用一元二次方程的解法结合0x >,0,y >得到2y x =-2x y +=. 因为正实数,x y 满足()24xyx y +=，所以22340x y xy -=+，解得2y x ==-± 因为0x >，0,y >所以2y x =-所以2x y +==当且仅当12x y =-=，取等号，所以2x y +的最小值为故答案为：关键点点睛：本题关键是利用方程思想，由条件解得x ，将问题转化为2x y +=解决. 30．4+【解析】()1122(2)422f x x x x x =+=-++--，然后利用基本不等式可求得其最小值 解：因为2x >，所以20x ->，所以()1122(2)44422f x x x x x =+=-++≥+=+--当且仅当12(2)2x x -=-，即22x =+时取等号，所以()122f x x x =+-的最小值为4+故答案为：4+31．【解析】将所求式子进行整理228a b a b a b a b+=-+--，然后利用基本不等式，即可求出结果. 因为a b >，所以0a b ->，又4ab =，所以()222228a b aba bab a b a b a ba ba b a b-++==-+=-+≥=----即22a b a b+≥-8a b a b -=-，即a =b 时取等号．故答案为：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.32 【解析】先将x y +变形为1[()2(2)]3x y x y -++，再利用基本不等式求得其最小值即可.0x y >>，0x y ∴->，又1412x y x y+=-+， 1[()2(2)]3x y x y x y ∴+=-++114[()2(2)]()32x y x y x y x y =-+++-+12(2)4()[9]32x y x y x y x y+-=++-+1(923+=2(2)4()21412x y x yx y x yx y x y+-⎧=⎪-+⎪⎨⎪+=⎪-+⎩，即2x =13y =-时取“=“)， 故答案为：93+. 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 33．3 【解析】由条件4x y xy x y +=+可知114x y x y +=+，先求()211114x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的最小值即可.由0x >，0y >，4x yxy x y +=+可得114x y x y xy x y++==+， 所以()2511114459y x x x x x y y y y +++≥+⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，当且仅当4y x x y =，即11,2x y ==等号成立， 所以113x y+≥， 即11x y+的最小值为3， 故答案为：3易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 34．3+【解析】()11112x x x y y y ⎪++=⎛⎫ ⎝⎭+展开利用基本不等式即可求最值. ()223111133y x x y x x x y y y ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩是等号成立，所以11x y+的最小值是3+故答案为：3+易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 35．【解析】由0a b >>可知0a b +>，0a b ->，414122a b a b a a b a b a b a b+-++=++++-+-，利用基本不等式即可求最值.因为0a b >>，所以0a b +>，0a b ->，414122a b a b a a b a b a b a b+-++=++++-+-22≥=⨯=当且仅当a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩即2a =，b =故答案为：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 36．6 【解析】将原式变形为()()14444x x x -++>-，再使用基本不等式即可． ③4x >，③40x ->， ③()11444644x x x x +=-++≥=--， 当且仅当144x x -=-，又4x >，即5x =取等号． 37．12【解析】利用基本不等式由49a b +≥.因为4912a b +≥==. 当且仅当491a b ab =⎧⎨=⎩，即32a =，23b =时取等号，所以49a b +的最小值为12， 故答案为：1238．(,2][2,)-∞-+∞【解析】令ln t x =，则0t ≠，原函数等价于1y t t=+，用基本不等式的性质求值域即可.解：()1ln ln f x x x =+，令ln t x =，则0t ≠，原函数等价于1y t t =+， 当0t >时，12y t t=+≥，当且仅当1t =时取等；当0t <时，112y t t tt ⎛⎫=+=---≤- ⎪⎝⎭，当且仅当1t =-时取等； 综上所述，()1ln ln f x x x=+的值域为：(][),22,-∞-+∞.故答案为：(][),22,-∞-+∞.易错点睛：换元之后考虑t 的范围，0t >和0t <分别求值域，再综上即可.39．【解析】由基本不等式可得(2222⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦，验证等号成立即可得解.因为0,0a b >>，且26a b +=，所以(()222222411250a b ⎡⎤≤+=+++=⎢⎥⎣⎦，=即231,48a b ==时，等号成立，0>故答案为：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 40．25 【解析】将8x y +=化为(1)(1)10x y +++=后，根据基本不等式可求得结果. 因为0,0x y >>，且8x y +=，所以(1)(1)10x y +++=≥(1)(1)25x y ++≤， 当且仅当4x y ==时，等号成立. 所以(1)(1)x y +⋅+的最大值为25. 故答案为：25易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 41．(,1)(25,)-∞-⋃+∞ 【解析】不等式224x y m m +<-有解，即()2min 24x y m m +<-，巧用均值不等式求最值即可.由已知得：491y x+=，4949()()131325x y x y x y y x y x +=++=++≥=，当且仅当15,10x y ==时取等号； 由题意：()2min 24x y m m +<-，即22425m m ->， 解得：1m <-或25m >， 故答案为：(,1)(25,)-∞-⋃+∞.方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.③一正：关系式中，各项均为正数；③二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.42【解析】由题意可知12AQ CP a -===，再利用基本不等式求||||AQ CP +的最小值，从而可求出a 的值，解：由题意可知12AQ CP a -===， 因为1a >，所以AQ CP +=≥==a =所以当||||AQ CP +最小时，a43 【解析】24x y--=，然后利用双勾函数的知识求解即可.因为23x y +=≥2x y =，即33,42x y ==时等号成立24228x y xy x y---++===4=24x y --12。
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专题二
不等式
【章节练习】
一、选择题
1．已知x＞y，下列不等式一定成立的是（）
A．ax＞ay B．3x＜3y C．﹣2x＜﹣2y D．a2x＞a2y
2．若a≠0，a，b互为相反数，则不等式ax+b＜0的解集为（）
A．x＞1B．x＜1C．x＜1或x＞1D．x＜﹣1或x ＞﹣1
3．已知不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（）
A．a≤2B．a＜2C．a=2D．a＞2
4．贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）
A．18＜t＜27B．18≤t＜27C．18＜t≤27D．18≤t≤27
5．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）
A．m+2＞n+2B．2m＞2n C．＞D．m2＞n2
6．不等式2x+3≥5的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
7．下列不等式中，正确的是（）
A．m与4的差是负数，可表示为m﹣4＜0
B．x不大于3可表示为x＜3
C．a是负数可表示为a＞0
D．x与2的和是非负数可表示为x+2＞0
8．某次数学竞赛中出了10道题，每答对一题得5分，每答错一题扣3分，若答题只有对错之分，如果至少得10分，那么至少要答对（）
A．4题B．5题C．6题D．无法确定
9．如果不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（）
A．m≥2B．m≤2C．m=2D．m＜2
10．不等式组的整数解共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．D．
12．不等式的负整数解有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．如图，已知直线y1=x+m与y2=kx﹣1相交于点P（﹣1，1），关于x的不等式x+m＞kx﹣1的解集是（）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
14．若a＜b，则下列各不等式中一定成立的是（）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣a＜﹣b C．D．ac＜bc
15．不等式2（x+1）＜3x的解集在数轴上表示出来应为（）
A．B．C．D．
16．若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围是（）
A．m≥﹣8B．m≤﹣8C．m＞﹣8D．m＜﹣8
17．若a＜b，则下列各式中不成立的是（）
A．a+2＜b+2B．﹣3a＜﹣3b C．2﹣a＞2﹣b D．3a＜3b
18．已知a＜b，下列四个不等式中正确的是（）
A．3a＞3b B．﹣a＜﹣b C．a+3＜b+3D．a﹣6＞b﹣6
19．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．D．
20．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（）
A．x＞3B．x＜3C．x＞﹣1D．x＜﹣1
二、填空题
21．直线y=2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式2x+b≥0的解集为．
22．已知函数y1=k1x+b1与函数y2=k2x+b2的图象如图所示，则不等式y1＜y2的解集是．
三、解答题
23．解下列不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上
（1）．
（2）．
24．解不等式2（x﹣1）﹣3＜1，并把它的解集在数轴上表示出来．
25．解不等式组，并写出不等式组的整数解．
26．已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小正整数解是方程3x﹣ax=6的解，求a的值．27．在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过（2，7），求不等式kx﹣6≤0的解集．28．解不等式组：．
29．解不等式组：．
30．计算
（1）解不等式（1）3﹣x≤2x+6；
（2）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
31．在信宜市某“三华李”种植基地有A、B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多2元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需20元．
（1）问A、B两种树苗每株分别是多少元？
（2）为扩大种植，某农户准备购买A、B两种树苗共360株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．
32．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品B种产品
成本（万元/件）25
利润（万元/件）13
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
33．某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．
（1）分别写出甲、乙两厂的收费y
甲（元）、y
乙
（元）与印制数量x（本）之间的关系式；
（2）问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．
34．某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？
35．某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：
（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y
甲（元），乙旅行社收费为y
乙
（元），两家旅行社
的收费各是多少？
（2）哪家旅行社收费较为优惠？
36．某商店用进货款1620元购进钢笔40支，文具盒60个，其中钢笔的进货单价比文具盒的进货单价多3元．
（1）求钢笔和文具盒的进货单价分别是多少？
（2）已知钢笔的售价为23元/个，若使这批商品全部售完后利润不低于500元，则文具盒的销售单价最少应该是多少元？。