初三数学总复习——三角形

初三数学总复习——第六单元《三角形》
第一课时：《平行线与相交线》
一、直线、射线、线段
1、两点确定一条直线；两点之间，线段最短；
2、直线没有端点、射线有一个端点、线段有两个端点。

二、角
1、1周角＝2平角＝4直角＝︒360；/
601=︒，//
/
601=； 2、角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。

如图，即：OB DN OA DM AOB OC ⊥⊥∠，的平分线，且为DN DM =⇔ 3、互补：两个角的和等于︒180；互余：两个角的和等于︒90。

三、相交线
1、对顶角相等
2、垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；
③线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线.
如图，即：MB MA AB CD =⇔的垂直平分线是线段 四、平行线
1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
2、平行线的判定：
①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行. 3、平行线的性质：
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补.
例、（1）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（ ） （2）如图，AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数是 ． （3）如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 度
练习：
1、已知75A ∠=°，则A ∠的余角是 度，A ∠的补角是 度．
2、如图，“吋”是电视机常用尺寸，1吋约为大拇指第一节的长，则7吋长相当于（ ） A ．一支粉笔的长度 B ．课桌的长度 C ．黑板的宽度 D ．数学课本的宽度
3、如图，CA ⊥BE 于A ，AD ⊥BF 于D ，下列说法正确的是（ ） A ．α的余角只有∠B
B ．α的邻补角是∠DAC
C ．∠ACF 是α的余角
D ．α与∠ACF 互补
1
2 3
E
D
C
B
A
E
C
B
C′
F
C
D ′
A
4、如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，且︒=∠110A ，则=∠D 度．
５、如图，AB CD ∥，EF AB ⊥于E EF ，交CD 于F ，已知160∠=°，则2∠= 度． 6、如图，已知A B ∥CD,若∠A=20°，∠E=35
7、如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ，已知∠1=∠2=90°，GM 平分∠HGB 交直线CD 于点M ．则∠3= 度．
8、如图，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= ． 9、如下图，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中AOB ∠= .
10、下列图形中，由AB CD ∥，能得到12∠=∠的是（ ）
11、下列四个图形中2∠大于1∠的是（ ）
12、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（ ）
A ．110°
B ．115°
C ．120°
D ．130°
第二课时：《三角形与全等三角形》
一、三角形的分类
按边分类：不等边三角形、等腰三角形（又分为底和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）； 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

二、三角形的基本性质
1、三角形的三边关系定理及推论：三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
b
a （a
b ∥） A ．
1
2
1
2 B ．
（平行四边形） C ．
2
1
D ．
A C
B D
1 2 A C
B
D
1
2 A ．
B ．
1
2 A C
D
C ． B
D C A D ．
1
2
A D
C
B
D B
A E B
G C
D
M H F
1 2 3 A
O
B
A B D
C
1 2
3 1 A E
D
C
B
2、三角形内角和定理：三个内角的和等于180°；
3、三角形的外角定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和；
4、三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
5、三角形具有稳定性。

三、全等三角形：
1、性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；
2、判定：①边角边公理（SAS ）；②角边角公理（ASA ）③角角边定理（AAS ）；④边边边公理（SSS ）；⑤斜边、直角边公理（HL ）。

例1、（1）如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．
其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 （2）如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是（ ） （ ）
A ．5米
B ．10米
C ． 15米
D ．20米 （3）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．9或12
例2、如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD 于点O 。

（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明。

例3、如图，AB AD =，AC AE =，12∠=∠.求证：BC DE =.
C
A
B
D
O D
E
Ｄ
Ｃ
练习：一、填空或选择题
1、如图所示，BC ＝6，E 、F 分别是线段AB 和线段AC 的中点，那么线段EF 的长=
2、如图，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于O ，∠BAD=35°，∠BOD=76°，则∠C ＝ 度
3、将一付三角板拼成如图所示的图形，则∠ABC ＝ 度
4、如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，延长AE 交BC 于点D ，则图中全等三角形共有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对
(第1题图)
(第2题图)
(第3题图) (第4题图)
5、如图△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL ”判定，还需增加条件
6、如图，AE AD =，要使ABD ACE △≌△，请你增加一个．．
条件是
7、如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠0=65°，∠C =20°，则∠OAD = 度
8、如图，已知MB=ND ，∠MBA=∠NDC ，下列添加的条件中不能用于判定△ABM ≌△CDN 的是 ( ) A ．∠M=∠N; B ．AB=CD; C ．AM=CN; D ．AM ∥CN (第5题图) (第6题图) (第7题图) (第8题图)
9、如图，直线AB CD 、相交于点E ，DF AB ∥．若100AEC ∠=°，则D ∠等于 度 10、某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，他要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去配（填序号）.
二、解答题
1、已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE ＝EF 。

求证：AE ＝CE 。

F E
C
B A
O F
A D
B
C
D
A
B
C
D
M
N C A E
B F
D
2、如图，已知AC 平分∠BAD ，∠1=∠2，求证：AB=AD
3、如图，A E B D ，，，在同一直线上，在ABC △与DEF △中，AB DE =，AC DF =，AC DF ∥． （1）求证：ABC DEF △≌△；
（2）你还可以得到的结论是 （写出一个即可，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）．
第三课时：《等腰三角形与直角三角形》
一、等腰三角形
1、性质：①等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）.
2、等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（即等角对等边）； 二、直角三角形
1、性质：①直角三角形的两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；④勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方：即222c b a =+.
2、直角三角形的判定：①如果三角形的三边a 、b 、c 满足222c b a =+.那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

例1、（1）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB （2）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ ）
A ．
32
B ．
23
C ．
12
D ．
34
（3）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝，小孔到图中边AB 距离为1㎝，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h ㎝，则h 的最小值大约为_________㎝.
（精确到个位，参考数据：2.2≈）
（4）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分△BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△BDE 的周长是
( )
B
C
D A ．7+5 B ．10 C ．4+25 D ．12
例2、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD DC ==，AC AB ⊥，将CB 延长至点F ，使BF CD =．
（1）求ABC ∠的度数；（2）求证：CAF △为等腰三角形．
例3、如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．
一、填空与选择题
1、一个等腰三角形的两边分别为8cm 和6cm ，则它的周长为 cm ．
2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ） (A)60︒ (B)120︒ (C)60︒或150︒ (D)60︒或120︒
3、如图，等腰三角形ABC 的顶角为1200，腰长为10，则底边上的高AD=
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝48°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC ＝ °
5、如图，ABC △为等边三角形，D E F ，，分别在边BC CA AB ，，上，且AE CD BF ==，则DEF △为 三角形．
6、某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．
A
B
C D
A
D C
P
B
60° A
B 1
5
6
吸D A
B
B
C A
30°
C A
B
G
F E
D 15°
30°
23米
7、如图，在A 处用测角仪（离地高度1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，则旗杆EG 的高度＝ 米
8、如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC ＝6，则DF 的长是（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）
2
5
（D ）4 9、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ） A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o
10、如图，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（ ） A ．20
B ．30
C ．35
D ．40
11、如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，
则△BEC 的周长为（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
12、利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名
的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．
二、解答题
1、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 在边BC 上，且BD=CE ．求证：AD=AE ．
C
B
A D
C
A
D E
2、已知：如图，AB ＝AC ，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，求证：BD ＝CE .
3、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。

第四课时：《相似三角形》
1、在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果满足
d
c
b a =（或b
c a
d =），那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段
2、相似三角形（多边形）的性质：
①相似三角形（多边形）的对应角相等；②相似三角形（多边形）的对应边成比例（即对应边的比相等）；③相似三角形（多边形）的周长之比等于相似比；④相似三角形（多边形）的面积比等于相似比的平方.
3、相似三角形的判定：
⑴判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
⑵判定定理2：在两个三角形中，如果三条对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（类似“SSS ”定理）
⑶判定定理3：在两个三角形中，如果两条对应边的毕相等，且它们的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似；（类似“SAS ”定理）
⑷判定定理4：两个三角形中，如果两组对应角相等，那么这两个三角形相似. 4、位似变换
⑴位似的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ⑵画位似图形的方法（即将图形放大或缩小）。

⑶位似在平面直角坐标系中的应用：如果两个位似图形的相似比为k ，则对应顶点的横坐标与纵坐标的比等于k 或－k .
例１、⑴如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③
AC AB
CD BC
=
；④2AC AD AB = ．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
⑵如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE =1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CD E 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有： A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
⑶三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子（如图所示）.现测得20cm 50cm OA OA '==，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．
⑷如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则BF ＝ ．
例2、如图，∠AED ＝∠C ，DE ＝4，BC ＝12，CD ＝15，AD ＝3，求AE 、B E 的长.
例3、如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ． （1）求证： ∆ADE ∽∆BEF ；
（2）设正方形的边长为4， AE ＝x ，BF ＝y ．当x 取什么值时，y 有最大值?并求出这个最大值．
练习：一、填空与选择题
1、小明身高为1.6m ，他的影长为2m ，同一时刻学校旗杆影长为15m ，则旗杆高 m.
2、下列比例式中，不能由bc ad =变形得到的是（ ）
A D
B
C E
A 、a c b d =
B 、d b c a =
C 、c d b a =
D 、c
d a b = 3、下列命题中，真命题是（ ）
A 、两个钝角三角形一定相似；
B 、两个等腰三角形一定相似；
C 、两个直角三角形一定相似；
D 、两个等边三角形一定相似
4、如图，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，若△ABC 的周长为20cm ，则△DEF 的周长为 cm
5、如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为______________．
6、在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，CB ＝6，AB ＝10，则CD 的长为
7、两个相似三角形的相似比为2∶3，若较大的三角形面积为36cm 2，则较小的三角形面积为 8、如右图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，请你增一个条件使△ADE ∽△ABC ，你增添的条件是
9、如图，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，EC ＝5，AB ＝10，则DB ＝ 、DE ＝
10、如图，是小孔成像原理的示意图，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm.
11、如图，∠C ＝∠E ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AE ＝2，则AD ＝_
12、在平面直角坐标系中，ABC △顶点A 的坐标为
(23)，，若以原点O 为位似中心，画ABC △的位似图形A B C '''△，使ABC △与A B C '''△的位似比等于
1
2
，则点A '的坐标为 ． 二、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 与△A ′ B ′ C ′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点0；(2)求出△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比；
三、利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度3m CD =，标杆与旗杆的水平距离15m BD =，人的
7
9
876512346
54321A C
B A
O
y
x
E
D C
B
A A
B C D E
234
眼睛与地面的高度 1.6m EF =，人与标杆CD 的水平距离2m DF =，求旗杆AB 的高度．
四、如图，放一水平的平面镜, 光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处,已知 AB ⊥BD ，CD ⊥BD , 且测得AB =1.2米，BP =1.8米，PD =12米,那么古城墙的高度是多少？
*五、如图，平行四边形ABCD
中，4AB =，3BC =，120BAD = ∠，E 为BC 上一动点（不与B
重合），作EF AB ⊥于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE x =，DEF △的面积为S ． （1）求证：BEF CEG △∽△；
（2）求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； （3）当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？
F D
H
A C
B D E
F G
C。