有理指数(二)

教 案
授课日期授课班级
授课课时授课形式
授课章节
名 称
有理指数(二)使用教具
教学目的
1. 了解根式的概念和性质； 理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．
2. 会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．
教学重点
分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．
教学难点对分数指数幂概念的理解．内容更删
课外作业
教学后记
这节课主要采用问题解决教学法．
在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．
考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推
证．
教 学 过 程
环节教学内容师生互动设计意图
导入1．整数指数幂的概念．
a n＝a×a×a×…×a (n个a连
乘)；
a0＝1 (a≠0)；
a－n＝1an (a≠0，n N+)．
2．运算性质：
a m a n＝a m+n；
(a m)n＝a mn；
(ab)m＝a m b m．
师：上节课
我们把正整指数
幂推广到了整数
指数幂，那么我
们能不能把整数
指数幂推广到分
数指数幂，进而
推广到有理指数
幂和实数指数幂
呢？这节课我们
就来探讨这个问
题．
师：首先来
复习一下上节课
所学的内容．
学生回答教
师提出的问题，
教师及时给予评
价．
以旧
引新提出
问题，引
入本节课
题．
复习
上节所学
内容．
新
教师板书课
题．
学生理解方
根概念．
引入
方根的概
念为下一
步引入分
数指数做
基础．
课
新课
一、根式有关概念
定义：一般地，若x n＝a (n＞
1，n N)，则x 叫做a 的n 次方
根．
例如：
(1) 由32＝9知，3是9的二次方根
(平方根)；
由(－3)2＝9知，－3也是9的二
次方根(平方根)；
(2) 由(－5)3＝－125知，－5是－
125的三次方根(立方根)；
(3) 由64＝1 296知，6是1 296 的4
次方根．
有关结论：
(1) 当n为奇数时：正数的n次方根
为正数，负数的n次方根为负
数．记作：
x＝na．
(2) 当n为偶数时，正数的n次方根
有两个(互为相反数)．记作：
x＝±na．
(3) 负数没有偶次方根．
(4) 0的任何次方根都为0．
当na有意义时，na叫做根
式，n叫根指数．
正数a的正n次方根叫做a的n
教师通过举
例让学生进一步
理解方根的概
念．
学生在教师
的引导下进一步
理解根式的概
念．
学生重新构
建根式、根指数
的概念，教师强
调当na有意义
时，na叫做根
式．
学生理解根
式的性质，通过
实例演示，将性
质应用到运算之
使学
生加深对
方根概念
的理解，
为总
结出结论
作铺垫．
由方
根的概念
引入其数
学记法，
为引入根
式的概念
作准备．
引入
根式、根
指数的概
念．
将数
学语言(符
号)转化为
文字语
新课次算术根．
例如：32叫做2的3次算术
根；4－2不叫根式，因为它是没
有意义的．
二、根式的性质
(1) (na)＝a．
例如，(327)＝27，(5－3)＝－
3．
(2) 当n为奇数时，nan＝a；
当n为偶数时，nan＝|a| ＝
a（a≥0）－a（a＜0）).
例如：3(－5)3＝－5，＝2；
52＝5，4(－3)4＝|－3|＝3．
观察下面的运算：
(a)3＝a3＝a ①
(a)3＝a3＝a2 ②
上面两式的运算，用到了法
则(a m)n＝a mn，但无法用整数指
数幂来解释，但是①式的含义是a
连乘3次得到a，所以a可以看作
是a的3次方根；②式的含义是a连
乘3次得到a2，所以a可以看作
是a2的3次方根．
因此我们规定
a＝3a，a＝3a2，
以使运算合理．
三、分数指数幂
一般地，我们规定：
a＝na (a＞0)；
a＝nam＝(na)m (a＞
0，m，n N+，且mn 为既约分
数)．
a＝1 a (a＞
0，m，n N+，且mn 为既约分数)
．
中．
教师用语言
叙述根式性质：
(1) 实数a的n次方
根的n次幂是它本
身；
(2) n为奇数时，
实数a的n次幂的n
次方根是a本
身；n为偶数时，
实数a的n次幂的n
次方根是a的绝对
值．
学生认真观
察．
在教师的引
导下，学生寻找
解惑途径．
学生在教师
的引导下，由特
殊到一般，积极
构建分数指数幂
的概念．
言，使学
生加深对
性质的理
解．
设置
障碍，使
学生积极
寻找解决
途径，从
而调动学
生思维的
积极性．
通过
教师引
导，学生
找到使运
算合理的
途径．
引入
正分数指
数幂的概
念．
类比
负整数指
数幂的定
四、实数指数幂的运算法则
(1) aαaβ＝aα+β；
(2) (aα) β＝aα β；
(3) (a b) α＝a α b α．
以上aα，aβ中，a＞0，b＞0，且α，β为任意实数．
练习1
8×8 ＝8＝81＝8；
8＝(8)2＝22＝4；
33×33×63＝3×3×3×3＝3
1＋＋＋＝32＝9；
(ab)3＝(a)3·(b)3＝a2b．
例1利用函数型计算器计算(精确到0.001)：
(1) 0.21.52； (2) 3.14－2； (3) 3.1．
例2利用函数型计算器计算函数值．
已知 f (x)＝2.71x，求 f (－3)，f (－2)，f(－1)，f (1)，f (2)，f (3) (精确到0.001)．
请同学们结合教材在小组内合作完成．
练习2
教材 P 98，练习A组第3题，练习B组第3题．
师：负整数
指数幂是怎么定
义的？如何来定
义负分数指数幂
呢？
学生在教师
的引导下，类比
负整指数幂的定
义，形成负分数
指数幂的概念．
师：至此，
我们把整数指数
幂推广到了有理
指数幂．有理指
数幂还可以推广
到实数指数幂．
使学生形成实数
指数幂的概念．
学生做练
习．
教师讲解例1
义，引入
负分数指
数幂的概
念．
将有
理指数幂
推广到实
数指数
幂，并给
出实数指
数幂的运
算法则．
加深
对有理指
数幂的理
解，并使
学生进一
步掌握指
数幂的运
算法则．
使学
生掌握函
数型计算
器的使
用．
第(1)题的操作方
法．
学生结合教
材，完成例1第
(2)、(3)题，学习
用计算工具来求
指数幂a b 的值．
使学
生进一步
巩固函数
计算器的
使用方
法．
小结1．
2．
3．利用函数型计算器求a b 的
值．
学生在教师
的引导下回顾本
节课的主要内
容，加深理解根
式和分数指数幂
的概念；理顺实
数指数幂的推广
过程；回顾计算
器的使用方法．
简洁
明了地概
括本节课
的重要知
识，便于
学生理解
记忆．
理顺
本节指数
幂的推广
思路，使
学生思维
清晰．
作业必做题：教材 P 98，练习 B 组第
1题；
选做题：教材 P 98，练习 B 组第
2题．
针对
学生实
际，对课
后书面作
业实施分
层设置，
安排基本
练习题和
选做题两
层．
根式
分数指数幂
正整指数幂
零指数幂
负整指数幂
整数指数幂
分数指数幂
有理指数幂
实数指数幂。