江苏省镇江市2021届新高考数学五月模拟试卷含解析

江苏省镇江市2021届新高考数学五月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使得()3n
x n N
+⎛
∈ ⎝
的展开式中含有常数项的最小的n 为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B 【解析】
二项式展开式的通项公式为r -
n 3x n r
r C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5
=2
n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用．
2．已知抛物线2
20y x ＝的焦点与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双
曲线截得的线段长为
9
2
，那么该双曲线的离心率为（ ）
A ．
54 B ．
53
C ．
52
D 【答案】A 【解析】 【分析】
由抛物线2
20y x ＝的焦点(5,0)得双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦点(5,0)±，求出5c ＝，由抛物线
准线方程5x =-被曲线截得的线段长为92，由焦半径公式229
2
b a =，联立求解.
【详解】
解：由抛物线2
20y x ＝，可得220p ＝，则10p ＝
，故其准线方程为5x =-， Q 抛物线2
20y x ＝的准线过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点， 5c ∴＝．
Q 抛物线220y x ＝的准线被双曲线截得的线段长为
9
2
，
2292
b a ∴=，又22225
c a b +＝＝，
4,3a b ∴＝＝，
则双曲线的离心率为5
4
c e a ==． 故选：A ． 【点睛】
本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
3．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A ．
314
B ．
1114
C ．
114
D ．27
【答案】B 【解析】 【分析】
分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】
从“八音”中任取不同的“两音”共有2
828C =种取法；
“两音”中含有打击乐器的取法共有22
8422C C -=种取法；
∴所求概率22112814
p =
=. 故选：B . 【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.
4．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n
n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数
为偶数，则6a =( )
A ．16
B ．25
C ．28
D ．33
【答案】C 【解析】 【分析】
依次递推求出6a 得解. 【详解】
n=1时，2134a =+=， n=2时，32419a =⨯+=， n=3时，49312a =+=， n=4时，5212125a =⨯+=， n=5时，625328a =+=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8 B ．7
C ．6
D ．5
【答案】B 【解析】
根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）B （丁）C （乙）； A （甲，丁）B （丙）C （乙）； A （甲）B （丙，丁）C （乙）；A （甲）B （丁）C （乙，丙）；A （甲）B （丙）C （丁，乙）；共7种，选B.
6．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）
A ．
32
3
B ．
643
C ．16
D ．32
【答案】A 【解析】
几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是21
13244323
⨯⨯⨯=，选A.
7．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）
A ．直线EF
B ．直线GH
C ．直线EH
D ．直线1A B
【答案】C 【解析】 【分析】
充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据
1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据
11//A B D C ，判断D 的正误.
【详解】
在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.
因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确. 因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.
因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.
8． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】
模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】
循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；
8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】
本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．
9．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红
C ．小金
D ．小金或小明
【答案】B 【解析】 【分析】
将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.
【详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示：
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，
故选：B.
【点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.
10．下列命题为真命题的个数是（）（其中π，e为无理数）
3
2
>；②
2
ln
3
π<；③
3
ln3
e
<.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数
()2
ln,0
3
f x x x
=->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()
f f e
π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln,0
f x e x x x
=->，利用导数求得函数的最大值为()0
f e=，进而得到()30
f<，即可判定是正确的.
【详解】
由题意，对于①中，由2
39
,() 2.25
24
e
===，可得 2.25
e>，根据不等式的性质，
3
2
>成立，所以是正确的；
对于②中，设函数()
2
ln,0
3
f x x x
=->，则()10
f x
x
'=>，所以函数为单调递增函数，
因为e
π>，则()()
f f e
π>
又由()
221
ln10
333
f e e
=-=-=>，所以()0
fπ>，即2
ln
3
π>，所以②不正确；
对于③中，设函数()ln,0
f x e x x x
=->，则()1
e e x
f x
x x
-
'=-=，
当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=， 所以()3ln330f e =-<，即ln33e <，即3
ln 3e
<，所以是正确的. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
11．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能
【答案】B 【解析】 【分析】
根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】
Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，
∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离
1d =
<，
1>．
也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】
本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 12．已知α是第二象限的角，3
tan()4
πα+=-
，则sin 2α=( ) A ．
1225
B ．1225
-
C ．
2425
D ．2425
-
【答案】D
【解析】 【分析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】
因为3tan()4
πα+=-
, 由诱导公式可得,sin 3
tan cos 4
ααα==-, 即3
sin cos 4
αα=-
, 因为22sin cos 1αα+=, 所以2
16cos 25
α=
, 由二倍角的正弦公式可得,
23
sin 22sin cos cos 2
αααα==-,
所以31624
sin 222525
α=-⨯=-. 故选:D 【点睛】
本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在边长为2的正三角形ABC 中，,,0,0,21BD xBA CE yCA x y x y ==>>+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则CD BE ⋅u u u r u u u r
的取值范围为______. 【答案】3(2,]2
-- 【解析】 【分析】
建立直角坐标系，依题意可求得2224CD BE xy x y ⋅=++-u u u r u u u r
，而0x >，0y >，1x y +=，故可得
1y x =-，且(0,1)x ∈，由此构造函数2()222f x x x =-+-，01x <<，利用二次函数的性质即可求得
取值范围． 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
则(1,0)A -，(1,0)B ，C ，设1(D x ，0)，2(E x ，2)y ，
根据BD xBA =u u u r u u u r
，即1(1x -，0)(2x =-，0)，则112x x =-，
CE yCA =u u u r u u u r
，即2(x ，23)(1y y -=-，3)-，则2x y =-，233y y =-+，
所以122(3)(1,,)CD BE x x y ⋅=-⋅-u u u r u u u r
，
122(1)3(12)(1)3(1)2224x x y x y y xy x y =--=-----+=++-，
0x Q >，0y >，1x y +=，
1y x ∴=-，且(0,1)x ∈，
故22(1)22(1)4222CD BE x x x x x x ⋅=-++--=-+-u u u r u u u r
，
设2
()222f x x x =-+-，01x <<，易知二次函数()f x 的对称轴为12
x =
， 故函数()f x 在[0，1]上的最大值为13
()22
f =-
，最小值为(0)(1)2f f ==-， 故CD BE ⋅u u u r u u u r 的取值范围为3(2,]2
--．
故答案为：3
(2,]2
--．
【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题． 14．如图，在矩形中，
为边
的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径
作圆弧EB 、EC （
在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边
所围成的平面图形绕直线
旋转一
周，则所形成的几何体的体积为 .
【答案】
【解析】
由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为
；则所求几何体
的体积为
.
考点：旋转体的组合体.
15．如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点,E EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：
2··AB BE BD AE AC =-
【答案】证明见解析． 【解析】
试题分析：,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅，又△ABC ∽△AEF ，所以
AB AC
AE AF
=，即AB AF AE AC ⋅=⋅，得证．
试题解析：
A ．连接AD ，因为A
B 为圆的直径，所以AD BD ⊥， 又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆， 所以BD BE BA BF ⋅=⋅． 又△AB
C ∽△AEF ， 所以
AB AC
AE AF
=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴()2
BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．
16．直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24
m n
+的最小值是______. 【答案】322+ 【解析】 【分析】
求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【详解】
圆C ：2
2
2210x y x y +---=的标准方程为22
(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ， 由题意20m n +-=，即2m n +=，
∴
24122()()333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=+2m n n m =
，即1),2(2m n ==-时等号成立，
故答案为：3+ 【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()ln f x x x x =+，()x
x
g x e =
. （1）若不等式()()2
f x
g x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()()1f x x g x +->.
（3）设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()
00,1,
,,
f x x x x F x
g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩若存在1x ，()21,x ∈+∞，12x x <，使得()()12F x F x =，证明：()()2012F x F x x <-.
【答案】（1）1
e
（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意可得，ln 1x x a e +≤，令()ln 1
x
x k x e
+=，利用导数得()k x 在[)1,+∞上单调递减，进而可得结论；
（2）不等式转化为11ln x x x e +>，令()1ln t x x x =+，()1
x h x e
=，利用导数得单调性即可得到答案； （3）由题意可得0
01
ln x x e =
，进而可将不等式转化为()()1012F x F x x <-，再利用单调性可得0
1
011122ln x x x x
x x e --<，记()0
022ln x x x x m x x x e --=-，01x x <<，再利用导数研究单调性可得()m x 在()
01,x 上单调递增，即()()00m x m x <=，即0101
1122ln x x x x x x e
--<，即可得到结论. 【详解】
（1）()()2
f x
g x ax ≥，即()2
ln x x x x x ax e +⋅
≥，化简可得ln 1x x a e
+≤. 令()ln 1x
x k x e +=，()()1
ln 1x
x x k x e -+'=，因为1
x ≥，所以11x ≤，ln 11x +≥. 所以()0k x '≤，()k x 在[
)1,+∞上单调递减，()()11k x k e
≤=. 所以a 的最小值为
1e
. （2）要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x
x
x x x e +>
>. 两边同除以x 可得11ln x x x e
+
>. 设()1ln t x x x =+
，则()22111x t x x x x
-'=-=. 在()0,1上，()0t x '
<，所以()t x 在()0,1上单调递减.
在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11t x t ≥=. 设()1
x
h x e =
，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=. 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->.
（3）证明：方程()()f x g x x -=在区间()1,+∞上的实根为0x ，即0
01
ln x x e =
，要证 ()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <-.
当01x x <<时，()ln F x x x =，()1ln 0F x x '=+>，因而()F x 在()01,x 上单调递增. 当0x x >时，()x x F x e =
，()10x
x
F x e
-'=<，因而()F x 在()0,x +∞上单调递减. 因为()101,x x ∈，所以0102x x x ->，要证()()1012F x F x x <-. 即要证01
01
1122ln x x x x x x e --<
.
记()0022ln x x x x
m x x x e
--=-
，
01x x <<. 因为001ln x x e =，所以0000ln x x x x e =，则()00000ln 0x x
m x x x e
=-=.
()0000022212121ln 1ln x x x x x x
x x x x
m x x x e e e ---+--'=++=++-.
设()t t n t e =，()1t t
n t e
-'=，当()0,1t ∈时，()0n t '>.
()1,t ∈+∞时，()0n t '<，故()max 1n t e
=
. 且()0n t >，故()10n t e <<
，因为021x x ->，所以0
02120x x x x
e e ---<<. 因此()0m x '
>，即()m x 在()01,x 上单调递增. 所以()()00m x m x <=，即0101
1122ln x x x x x x e
--<. 故()()2012F x F x x <-得证. 【点睛】
本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.
18．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222
(1)()0n n S n n S n n -+--+=
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=
+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜
5
64
. 【答案】（1）2;n a n =（2）见解析 【解析】 【分析】 【详解】 （1）因为数列的前项和
满足：
，
所以当时，
，
即
解得或，
因为数列都是正项， 所以，
因为，
所以，
解得或，
因为数列都是正项， 所以，
当时，有
，
所以，
解得，
当
时，
，符合
所以数列的通项公式
，;
（2）因为，
所以
，
所以数列的前项和为：
，
当时，
有，
所以
，
所以对于任意
，数列
的前项和
.
19．如图，已知抛物线E ：24y x =与圆M ：()2
223 x y r -+= （0r >）相交于A ，B ，C ，D 四个点，
（1）求r 的取值范围；
（2）设四边形ABCD 的面积为S ，当S 最大时，求直线AD 与直线BC 的交点P 的坐标. 【答案】（1）223r <<（2）点P 的坐标为1
(,0)3
- 【解析】 【分析】
()1将抛物线方程24y x =与圆方程()2223 x y r -+=联立,消去y 得到关于x 的一元二次方程, 抛物线
E 与圆M 有四个交点需满足关于x 的一元二次方程在()0,∞+上有两个不等的实数根,根据二次函数的有
关性质即可得到关于r 的不等式组,解不等式即可.
()2不妨设抛物线E 与圆M 的四个交点坐标为11(,2
A x x ，11(,2)
B x x -，22(,2
C x x -，
2(D x ，据此可表示出直线AD 、BC 的方程,联立方程即可表示出点P 坐标,再根据等腰梯形的面
积公式可得四边形ABCD 的面积S 的表达式,
令t =
由t =()1知01t <<,对关于t 的面
积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出四边形ABCD 的面积取得最大值时t 的值,进而求出点P 坐标. 【详解】
（1）联立抛物线与圆的方程()2222
4,
3,
y x x y r ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 消去y ，得22290x x r -+-=.
由题意可知22290x x r -+-=在()0,∞+上有两个不等的实数根.
所以()2
2
4490,90,
r r ⎧∆=-->⎪⎨->⎪⎩
解得3r <<，
所以r
的取值范围为()
r ∈.
（2）根据（1）可设方程22290x x r -+-=的两个根分别为1x ，2x （120x x <<），
则1(A x
，1(,B x -
，2(,C x -
，2(D x ，
且122x x +=，2
129x x r =-，
所以直线AD 、BC 的方程分别为
)112y x x -=
-，
)112
y x x +=
-,
联立方程可得,点P
的坐标为()
， 因为四边形ABCD 为等腰梯形, 所以()(
)(()212
111
22
S AB CD x x x
x =
+⋅-=-
==
，
令()0,1t =，则()()(
)()2
2
3
242244321f t S t t t
t t ==+-=-+--，
所以()()
()()2
'3232132131f t t t t t =-+-=-+-，
因为01t <<,所以当103t <<
时,()0f t '>；当1
13
t <<时,()0f t '<， 所以函数()f t 在1(0,)3
上单调递增，在1
(,1)3上单调递减，
即当1
3
t =
时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值， 因为12x x t -=-,点P 的坐标为()
12,0x x -,
所以当四边形ABCD 的面积S 取得最大值时,点P 的坐标为1(,0)3
-. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
20．某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.
（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；
（2）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）14
；（2）20. 【解析】 【分析】
（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；
（2）X 的可能取值为：0，10，20，30，1．分别求出X 取各个值时的概率，即可求出分布列和数学期望. 【详解】
（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，
所以1名顾客摸球2次摸奖停止的概率11
3111
431
4
C C P C C ==． （2）X 的可能取值为：0，10，20，30，1．
()()()111111111211121111111111
443434321
110,10,20466
C C C C C C C C P x P x P x C C C C C C C C ========+=, ()()
()1
11111111
1
2211
32111111111432
43211
130,4064
C C C C C C C C C P x P x C C C C C C C +==
==== ∴随机变量X 的分布列为： X 0 10 20 30 1 P
数学期望()11111
0102030402046664
E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
21．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．
（I ）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式；
（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，
b 的值；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望.
【答案】（1）0.5,0200
{0.860,200400140,140
x x y x x x x ≤≤=-<≤->；（2）0.0015a =，0.0020b =；（3）见解析.
【解析】
试题分析: （1）根据题意分段表示出函数解析式;（2）将260y =代入（1）中函数解析式可得400x =，即()4000.80P x ≤=，根据频率分布直方图可分别得到关于,a b 的方程,即可得,a b ;（3）x 取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用y 值,对应得出每组电费的概率,即可得到Y 的概率分布列,然后求出Y 的期望.
试题解析:（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；
当当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-；
当当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为
0.5,0200
{0.860,200400140,140
x x y x x x x ≤≤=-<≤->.
（2）由（1）可知，当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知
0.121000.30.8{1000.050.2
b a +⨯+=+=，∴0.0015a =，0.0020b =
（3）由题意可知X 可取50，150，250，350，450，550， 当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==， 当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，
当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，
当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故Y 的概率分布列为
所以随机变量X 的数学期望
250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
22．已知直线1l ：y x b =+与抛物线2:2(0)C y px p =>切于点P ，直线2l ：2210x my m --+=过定点Q ，且抛物线C 上的点到点Q 的距离与其到准线距离之和的最小值为2
. （1）求抛物线C
的方程及点P 的坐标；
（2）设直线2l 与抛物线C 交于(异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为12k k 、，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2
4y x =，（1，2）；（2）存在，83
【解析】 【分析】
（1）由直线2l 恒过点点及抛物线C 上的点到点Q
物线的方程，再由直线1l 与抛物线相切，即可求得切点的坐标；
（2）直线2l 与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线PA ，PB 的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数λ使得斜率之和为定值. 【详解】
（1）由题意，直线2l 变为2x+1-m(2y+1)=0，所以定点Q 的坐标为11,22⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ 抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点坐标,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由抛物线C 上的点到点Q 的距离与到其焦点F
，
可得QF ==，解得2p =或4p =-（舍去）， 故抛物线C 的方程为2
4y x =
又由2
y 4x b y x
=+⎧⎨
=⎩消去y 得22
2(2)0x b x b +-+=， 因为直线1l 与抛物线C 相切，所以()2
2
2240b b ⎡⎤∆=--=⎣⎦
，解得1b =， 此时1x =，所以点P 坐标为（1，2）
（2）设存在满足条件的实数λ，点1122(,),(,)A x y B x y ，
联立222104x my m y x
--+=⎧⎨=⎩，消去x 得2
4220y my m --+=，
则12124,.22y y m y y m +==-，
依题意，可得2
(4)4(22)0m m ∆=-->，解得m<-1或1
2
m >， 由（1）知P （1，2）， 可得
1111111
222(2)
1123(21)12
y y y k x my m my m ---=
==
-+-+--，
同理可得2222(2)
23
y k my m -=
+-，
所以[]12121222
121212243(1)()4(3)22)22)
232342(3)()(3)my y m y y m y y my m my m m y y m m y y m λ-++----=
+=+-+-+-++-（（ =[]
2222
24(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3m m m m m m m m m m m m m m m --+----+==-+-+---+，
故存在实数λ=8
3
满足条件. 【点睛】
本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos 2sin x y α
α=+⎧⎨
=⎩
(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅. 【答案】（1）(x －1)2＋y 2＝4,直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0；（2）3. 【解析】 【分析】
(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解. 【详解】
(1)由曲线C 的参数方程
(α为参数)
(α为参数)，
两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4； 由直线l 的极坐标方程可得ρcosθcos －ρsinθsin ＝ρcosθ－ρsinθ＝2，
即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.
(2)由题意可得P(2，0)，则直线l 的参数方程为 (t 为参数)．
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA|·
|PB|＝|t 1|·|t 2|， 将 (t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋t －3＝0，
则Δ>0，由韦达定理可得t 1·
t 2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.。