必刷卷04-2020-2021学年高一数学下学期期末仿真必刷模拟卷(人教版)(解析版)

高一年级下学期期末仿真卷04
本试卷共22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。

1.已知一个k进制的数123与十进制的数38相等，那么k＝（）
A．7或5 B．﹣7 C．5 D．都不对
【答案】C
【分析】由k进制数与十进制数的转化方法可得k2+2k﹣35＝0，进而解得k的值．
【解答】解：，
所以k2+2k+3＝38，
即k2+2k﹣35＝0，
解得k＝5或k＝﹣7（舍去）．
故选：C．
【知识点】进位制
2.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记
为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6，7}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】基本事件总数n＝7×7＝49，|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，利用列举法求出他们“心有灵犀“包含的基本事件个数，由此能求出他们“心有灵犀”的概率．
【解答】解：甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，
再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6，7}，
基本事件总数n＝7×7＝49，
|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．
现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀“包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，
5），（5，4），
（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），（6，7），（7，6），（7，7），共19个，
∴现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为P＝．
故选：C．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
3.统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临
所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068﹣1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如表的统计表格：
分组（万贯）[0，0.5）[0.5，1）[1，3）[3，5）[5，10）[10，20）[20，40）≥40合计合计73359551301953311则宋神宗熙宁年间各州商税岁额（单位：万贯）的中位数大约为（）
A．0.5 B．2 C．5 D．10
【答案】B
【分析】由总频数得到中位数是所有数据从小到大第156个数据，由此能求出中位数大约值．
【解答】解：∵总频数为311，
∴中位数是所有数据从小到大第156个数据，
156﹣73﹣35＝48，
中位数大约在区间[1，3）的中点处，
∴中位数大约为2．
故选：B．
【知识点】分布和频率分布表
4.已知函数f（x）＝A sin（wx+φ）（A，w，φ是常数，A＞0，w＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．为
了得到函数f（x）的图象，可以将函数y＝sin x的图象（）
A．先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
B．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
C．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
D．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
【答案】D
【分析】首先根据函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
【解答】解：根据函数的图象得到A＝，
，解得ω＝2，
由于，0＜φ＜，
解得φ＝．
故f（x）＝，
所以要得到函数f（x）的图象，只需将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，横坐标缩短
为原来的，纵坐标不变即可．
故选：D．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
5.经统计某射击运动员随机射击一次命中目标的概率为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，
现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
9597，7424，7610，4281，7520，0293，7140，9857，0347，4373，
0371，6233，2616，8045，6011，3661，8638，7815，1457，5550．
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰有3次命中的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据20组随机数得出该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共8组，由此求出对应的概率值．【解答】解：根据随机模拟产生的20组随机数知，
该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：
7424，0347，6233，8045，3661，7815，1457，5550共8组；
根据以上数据计算该运动员射击4次恰好命中3次的概率为P＝＝．
故选：A．
【知识点】简单随机抽样
6.在平行四边形ABCD中，点E满足，且O是边AB中点，若AE交DO于点M．且，
则λ+μ＝（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，结合图形用、表示向量即可求出λ、μ的值，再求和．
【解答】解：如图所示，
平行四边形ABCD中，，O是边AB中点，
所以＝+
＝+（+）
＝++
＝+﹣
＝+﹣（+）
＝（1﹣）+﹣
＝+﹣×
＝+﹣
＝+，
且，
所以λ＝，μ＝，
λ+μ＝+＝．
故选：B．
【知识点】平面向量的基本定理
7.计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应．现有一个2019
位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第k个0和第k+1个0之间有2k+1个1（k∈N*），
即，则该数的所有数字之和为（）
A．1973 B．1974 C．1975 D．1976
【答案】C
【分析】根据题意，将计算转化为等差数列的求和问题．设出第n个0之后第n+1个0之前的1的个数为2n+1，求出第k+1个0之前的数字的个数M，第k+1个0之前的所有数字的和N，令M≤2019，得到k的范围，取最大的k，即第2019个数位在第k+1个0之后，并能够计算从第k+1个0之后到第2019个数位的1的个数，和N相加即可．
【解答】解：设第n个0之后，第n+1个0之前的1的个数为a n＝2n+1，则第k+1个0之前所有数的个数为1+3+……+2k+1+k＝k2+2k个，令k2+2k≤2019，解得k≤43，即第44个0之前所有1的和为432+43＝1892，因为该数共有2019个数位，故第44个0之后还有2019﹣（432+2×43）﹣1＝83个，所以所有数的和为1892+83＝1975．
故选：C．
【知识点】进位制
8.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，若存在0≤x1＜x2≤π，满足
，则cos（x1﹣x2）＝（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图象求出函数解析式，结合对称性求出x2＝﹣x1，然后利用三角函数的诱导关系进行转化求解即可．
【解答】解：由图象知函数的周期T＝2×（﹣）＝2×＝π，即，得ω＝2，f（）＝f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，
即+φ＝2kπ+，
即φ＝2kπ﹣，k∈Z，
当k＝0时，φ＝﹣，
即f（x）＝sin（2x﹣），
∵存在0≤x1＜x2≤π，满足，
∴﹣≤2x1﹣≤，则θ1＝2x1﹣，θ2＝2x2﹣关于对称，
即＝，得x2＝﹣x1，且sin（2x1﹣）＝
则cos（x1﹣x2）＝cos（2x1﹣），
设2x1﹣＝α，则2x1＝+α，即sinα＝
则cos（x1﹣x2）＝cos（2x1﹣）＝cos（+α﹣）＝cos（α﹣）＝sinα＝
故选：C．
【知识点】两角和与差的三角函数
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。

9.已知，若sin2θ＝m，cos2θ＝n且m≠n，则下列选项中与恒相等的有（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】结合两角差的正切公式及同角基本关系对所求式子进行化简，然后结合选项即可判断．
【解答】解：由＝＝＝
＝＝．
由＝＝＝＝＝．
故选：AD．
【知识点】两角和与差的三角函数
10.如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）
A．sin（x+）B．sin（﹣2x）
C．cos（2x+）D．cos（﹣2x）
【答案】BC
【分析】根据图象先求出函数的周期，和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解答】解：由图象知函数的周期T＝2×（﹣）＝π，即＝π，即ω＝2，
由五点对应法得2×+φ＝π，
得φ＝，
则f（x）＝sin（2x+）＝cos（﹣2x﹣）＝cos（﹣2x﹣）＝cos（2x+）＝sin
（﹣2x﹣）＝sin（）
故选：BC．
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
11.四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2AD＝2DC，，则下列表示正确的是
（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据图象以及三角形法则分别求出对应选项的向量，即可判断选项是否正确．
【解答】解：由已知四边形ABCD如图所示：
由图可得：＝++＝﹣++＝+，所以A错误，
＝＝（+）＝+）＝+＝
＝+＝，B正确，
＝＝﹣＝，C错误，
＝＝＝﹣，D正确，
故选：BD．
【知识点】平面向量的基本定理
12.某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况（该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃
圾为主），随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据（单位：千克）统计如表：
“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾的总投放质量/千克400100100
可回收物的总投放质量/千克3024030
其他垃圾的总投放质量/千克202060
根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（）
A．厨余垃圾投放正确的概率为
B．居民生活垃圾投放错误的概率为
C．该小区这三类垃圾中．其他垃圾投放正确的概率最低
D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、”可回收物”箱，”其他垃圾”箱的投放量的方差是20000
【答案】ACD
【分析】以频率代替概率，逐一计算选项ABC中提到的对应概率；先计算平均数，再计算方差，可判断选项D．
【解答】解：选项A，厨余垃圾投放正确的概率为＝，即A正确；
选项B，居民生活垃圾投放正确的概率为＝，所以错误的概率为1﹣＝，
即B错误；
选项C，可回收物投放正确的概率为＝，其他垃圾投放正确的概率为
＝，
由于＞＞，所以其他垃圾投放正确的概率最低，即C正确；
选项D，平均数为×（400+100+100）＝200，
方差为×[（400﹣200）2+（100﹣200）2+（100﹣200）2]＝20000，即D正确．
故选：ACD．
【知识点】极差、方差与标准差
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.将二进制数110转化为十进制数的结果是．
【答案】6
【分析】将二进制数从右开始，第一位数字是几，再乘以2的0次幂，第二位数字是几，再乘以2的1次幂，以此类推，进行计算即可．
【解答】解：1102＝1×22+1×2+0＝4+2＝6．
故答案为：6．
【知识点】进位制
14.某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如表：
年龄段[22，35）[35，45）[45，55）[55，59）人数（单位：人）180********
约定：此单位45岁～59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．则抽出的青年观众有人．
【答案】18
【分析】先求出中年人和青年人的人数，则可得抽出的青年观众的人数．
【解答】解：根据题意可得中年人的人数为160+80＝240，青年人的人数为180+180＝360，则抽出的青年观众有30×＝18人，
故答案为：18．
【知识点】分层抽样方法
15.正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交
于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为﹣．
【答案】-7
【分析】建立坐标系，根据，求出P点坐标，设出M，N坐标分别为（a，﹣2），（﹣a，2），将转化为关于a，λ的函数，即可得到其最小值．
【解答】解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y 轴建立坐标系，
则B（2，﹣2），C（2，2），
∴2＝+（1﹣λ）＝λ（2，﹣2）+（1﹣λ）（2，2）＝（2，2﹣4λ），∴＝（1，1
﹣2λ）
即P点坐标为（1，1﹣2λ），
设M（a，﹣2），则N（﹣a，2），﹣2≤a≤2，
∴＝（a﹣1，2λ﹣3），＝（﹣a﹣1，2λ+1）
∴＝（a﹣1）（﹣a﹣1）+（2λ﹣3）（2λ+1）＝1﹣a2+4λ2﹣4λ﹣3，
当a＝±2且λ＝﹣＝时，有最小值﹣7．
故答案为：﹣7．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
16.关于函数有下列三个结论，
①是函数f（x）的周期；
②函数f（x）在x∈[0，π]的所有零点和为；
③函数f（x）的值域[﹣1，1]．
其中所有正确结论的编号是．
【答案】①③
【分析】根据三角函数的性质，函数零点的定义，以及值域的求法即可判断各结论的真假．
【解答】解：对①，因为函数y＝|cos（2x﹣）|．y＝|sin（2x﹣）|的周期都为，所以是函数f （x）的周期，①正确；
对②，令f（x）＝0，∴tan（2x﹣）＝±1，解得，2x﹣＝±+kπ，即x＝+或
x＝，
而x∈[0，π]，∴x＝或x＝或x＝或x＝，即函数f（x）在x∈[0，π]的所有零
点和为，②错误；
对③，设y＝|cos（2x﹣）|﹣|sin（2x﹣）|，y2＝1﹣2|cos（2x﹣）||sin（2x﹣）|≤1，
即﹣1≤y≤1，③正确．
故答案为：①③．
【知识点】命题的真假判断与应用、三角函数的周期性
四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考生根据要求作答。

17.（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数．
（2）用秦九韶算法求多项式f（x）＝3x5+2x3﹣8x+5在x＝2时的值．
【分析】（1）用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数；
（2）首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（a[n]x+a[n﹣1]）x+a[n﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]
的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，求出函数的值．【解答】（1）解：1995＝228×8+171，
228＝171×1+57，
171＝57×3
因此57是1995与228的最大公约数．﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）解：f（x）＝3x5+2x3﹣8x+5＝（（（（3x+0）x+2）x+0）x﹣8）x+5﹣﹣﹣（1分）
当x＝2时，
v0＝3，
v1＝3×2＝6，
v2＝6×2+2＝14，
v3＝14×2＝28，
v4＝28×2﹣8＝48，
v5＝48×2+5＝101﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
所以，当x＝2时，多项式的值是101．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
【知识点】秦九韶算法
18.已知向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）．
（1）求3+﹣2；
（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．
【分析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式计算即可得答案．
（2）根据题意，求出（+k）和（2﹣）的坐标，由向量平行的坐标计算公式可得2×（3+4k）
﹣（﹣5）×（2+k）＝0，解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1），
则3+﹣2＝3（3，2）+（﹣1，2）﹣2（4，1）
＝（0，6）；
（2）向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1），
则（+k）＝（3+4k，2+k），（2﹣）＝（﹣5，2），
若（+k）∥（2﹣），则2×（3+4k）﹣（﹣5）×（2+k）＝0，
解可得k＝﹣；
故k＝﹣．
【知识点】平面向量的坐标运算、平行向量（共线）
19.已知．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）利用“和差公式”展开，即可解得tanα．
（2）由（1）可得：tan2α．利用“弦化切”即可得出．
【解答】解：（1）∵＝，解得tanα＝．
（2）由（1）可得：tan2α＝．
＝＝＝﹣1．
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值、两角和与差的三角函数、同角三角函数间的基本关系
20.某单位对三个车间的人数统计情况如表：用分层抽样的方法从三个车间抽取30人，其中三车间有12人．
一车间二车间三车间
男职工200100250
女职工600k550
（1）求k的值．
（2）为了考察职工加班情况，从编号000～199中的一车间男职工中，用系统抽样法先后抽取5人的全年加班天数分别为75，79，82，73，81．已知73对应的编号为145，则75对应的编号是多少？并求这五个人加班天数的方差．
【分析】（1）根据对应关系得到关于k的方程，解出即可；
（2）求出75对应的编号，并求这五个人加班天数的方差即可．
【解答】解：（1）由题意得＝，解得k＝300；
（2）由题意得，抽取间距d＝＝40，
设75对应的编号是m，则145＝m+（4﹣1）×40，m＝25，
所以75对应的编号是25，
故＝（75+79+82+73+81）＝78，
s2＝[（75﹣78）2+（79﹣78）2+（82﹣78）2+（73﹣78）2+（81﹣78）2]＝12．
【知识点】系统抽样方法、分层抽样方法、极差、方差与标准差
21.某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学
年进行了一次网络模拟考试．全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．
（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）
（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．
【分析】（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，解得a，b，由中位数公式，即可得出答案．（2）设在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为[140，
150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，用列举法，结合古典概率模型，即可得出答案．【解答】解：（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，
解得a＝0.020，b＝0.026，
中位数为≈112.31．
（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A
由题意知，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，
在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），
（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），
（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种，
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），
（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2）共8种，
所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为．
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率、频率分布直方图
22.已知向量ωx，ωx），ωx，cosωx）（其中0＜ω≤1），记f（x）＝，且
满足f（x+π）＝f（x）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程3•[f（x）]2+m•f（x）﹣1＝0在[﹣]上有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用平面向量的数量积和三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，从而求出ω和f（x）的解析式；
（2）由题意求得函数y＝f（x）的值域，设t＝f（x），把问题转化为关于t的方程3t2+mt﹣1＝0
在两个区间上分别有实数根，再构造函数g（t）＝3t2+mt﹣1，讨论该函数的零点应用问题，从
而求得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝•﹣
＝sinωx cosωx+cos2ωx﹣
＝sin2ωx+cos2ωx
＝sin（2ωx+），
由f（x+π）＝f（x），得π是函数f（x）的一个周期，
所以，f（x）的最小正周期为T＝≤π，解得ω≥1；
又由已知0＜ω≤1，得ω＝1；
因此，f（x）＝sin（2x+）；
（2）由﹣≤x≤，得≤2x+≤；
故：﹣≤sin（2x+）≤1；
因此函数y＝f（x）的值域为[﹣，1]；
设t＝f（x）＝sin（2x+），
要使关于x的方程3•[f（x）]2+mf（x）﹣1＝0在[﹣，]上有三个不相等的实数根，
当且仅当关于t的方程3t2+mt﹣1＝0在[，1）和[﹣，）上分别有一个实数根，
或有一个实数根为1，另一实数根在区间[，1）上；
令g（t）＝3t2+mt﹣1，
①当关于t的方程3t2+mt﹣1＝0在（，1）和[﹣，）上分别有一个实数根时，
，解得﹣2＜m≤﹣；
②当方程3t2+mt﹣1＝0的一个根是时，m＝，
另一个根为﹣∉[﹣，），不满足条件；
③当方程3t2+mt﹣1＝0的一个根是1时，m＝﹣2，
另一个根为﹣∉[，1），不满足条件；
因此，满足条件的实数m的取值范围是（﹣2，﹣]．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算。