福建省莆田第一中学2018届高三第四次月考数学理

莆田一中2018届第四次月考
理科数学试卷 2018.05.04
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{1,1}- C ．{1,0} D ．{1,1,0}-
2.复数
5
2
i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+ C ．2i -- D ．2i - 3. 以下有关命题的说法错误．．
的是（ ） A. 命题“若022=--x x ，则1-=x ”的逆否命题为“若1-≠x ，则022
≠--x x ”
B. “022=-+x x ”是“1=x ”成立的必要不充分条件
C. 对于命题R :0∈∃x p ，使得0102
0<+-x x ，则R :∈∀⌝x p ，均有012≥+-x x D. 若q p ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题
4.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A ．[4,2]- B ．[2,2]- C ．[2,4]- D ．[4,0]-
第4题图 第5题图
5.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）
A B C ． D ．
6.ABC ∆中，23B π
∠=，A 、B 是双曲线1:2222=-b y a x E 的左、右焦点，点C 在E 上，且
AB BC =，则E 的离心率为（ ）.
A 1
B 1 C.
12 D ．1
2
7.中国古代有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A ．174斤 B ．184斤 C.191斤 D ．201斤
8.已知奇函数)(x f ，当0>x 时单调递增，且0)1(=f ，若0)1(>-x f ，则x 的取值范围为（ ） A ．}210|{><<x x x 或 B ．}20|{><x x x 或 C. }30|{><x x x 或 D ．}11|{>-<x x x 或
9.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0到9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A ．
25 B ．310 C ．15
D ．1
10
10. 若0>ω，函数)3cos(π
ω+
=x y 的图像向右平移
3π
个单位长度后与函数x y ωsin =图像重合，
则ω的最小值为（ ） A ． 211 B ．25 C. 21 D ．2
3
11.在ABC ∆中，60B =︒，AC =AC 边上的高为2，则ABC ∆的内切圆半径r =（ ）
A ．．1)
C 1
D ．1)
12.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形
ABCD 的中心且AB =，设点M 、N 分别为线段PD 、PO 上的
动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点， 则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．92
π B ．
163
π
C ．
254πD ．649
π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧-≥≤+≥11y y x x y ，则y x z -=2的最大值是 ．
14. 若5
61⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x x x 的展开式的常数项是________．
15.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++=，且1a =，3b =，2c =，22a b a c b c ⋅+⋅+⋅=_____．
16.已知函数()51
,01
88ln ,1
x x f x x m x ⎧+<<⎪=⎨⎪+≥⎩，若R,∈∃a 使得函数()y f x ax =-有三个零点，则m 的取
值范围是_______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..
17. n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知n a ＞0，2212
1--=++n n n a a S ,且21=a ． （1）求{}n a 的通项公式（2）设2)1(n n n a c -=，求201821c c c ++的值. 18. 如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，45CAB ︒
∠=，
AB =E ，F 分别是11AB AC 的中点.
（1）求证：//EF 平面11BB C C ；
（2）若二面角1C EF B --的大小为90︒
，求直线11A B 与平面1B EF
所成角的正弦值.
19. 已知点)0,1(F ，圆8)1(:2
2=++y x E ，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线与半
径PE 相交于Q ．
（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；
（2）若直线l 与圆:O 12
2
=+y x 相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A 、B ．当→
→
⋅OB OA =λ，
且满足4
3
32≤≤λ时，求AOB ∆面积
S 的取值范围．
20.（12分）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：y bt a =+，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；
（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：
（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均值x 和样本方差2
s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且μ与2
σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及2
s 估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．
参考公式及数据：①回归方程y bx a =+，其中1
2
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-；
②
5
2
1
55i
i t
==∑，5
1
18.8i i i t y ==∑ 1.3≈；
③若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．
21.（12分）已知函数()()
()2R x
f x ax x a e a -=++∈.
（1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为
3
e
，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()()ln 1f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.
22.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕ
ϕ
=+⎧⎨
=⎩（ϕ为参
数，[)0,2ϕπ∈）．以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知点A 是射线():0l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α
在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上变化时，求OB OA 的最大值．
23. （10分）已知函数1
()||||f x x a x a a
=-+++（0a ≠）．
（1）证明：()f x ≥
（2）若(2)3f ≤，求实数a 的取值范围．
莆田一中2018届第四次月考理科数学参考答案
DBDA BDBA CBBB 2
1 5 13- 14
3ln <<m e
17. （1） 可得222
1--=-n n n a a S )2(≥n
两式相减得，n n n n n a a a a a +--=++12
212
即0)1)((11=--+++n n n n a a a a ，又0>n a
011=--∴+n n a a 即)2(11≥=-∴+n a a n n
由已知可得06222=--a a ，32=a
112=-∴a a 故{}n a 为等差数列，∴1n a n =+.
(2) 2222220182120195432+-+-+-=++ c c c
20391892019432=+++= 18. （Ⅰ）连接1AC ，1BC ,则1F AC ∈且F 为1AC 的中点， 又
E 为AB 的中点，1//E
F BC ∴，
又1BC ⊂平面11BB C C ，EF ⊄平面11BB C C ，故//EF 平面11BB C C . （Ⅱ）因为
111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，
得1AC CC ⊥.因为AC BC ⊥，45CAB ︒
∠=，
AB =故2AC BC ==.以C 为原点，分别以CB ，1CC ，
CA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系.
设12(0)CC λλ=>，则(1,0,1)E ，(0,,1)F λ，1(2,2,0)B λ，
(1,0,1)CE =，(1,,0)EF λ=-，1(2,,1)FB λ=-.
取平面CEF 的一个法向量为(,,)m x y z =，
由00CE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x z x y λ+=⎧⎨-+=⎩
：令1y =，得(,1,)m λλ=-，
同理可得平面1B EF 的一个法向量为(,1,3)n λλ=，
二面角1C EF B --的大小为90︒，2
2
130m n λλ∴⋅=+-=，
解得λ=
，得2,1,n ⎛= ⎝⎭
，又11(2,0,2)AB AB ==-， 设直线11A B 与平面1B EF 所成角为θ，则11sin cos ,n A B θ=<>1111
6
n A B n A B ⋅=
=
. 19. (Ⅰ)连接QF ，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|=22(>|EF|=2)，
∴点的轨迹是以E(-1，0) 、F(1，0)为焦点，长轴长222=a 的椭圆，
即动点Q 的轨迹Γ的方程为12
22
=+y x ； ……4分 (Ⅱ)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为n my x +=(R m ∈)． ∵直线l 即0=--n my x 与圆O:122=+y x 相切， ∴
11
||2=+m n 得122+=m n ． ……5分
又∵点A 、B 的坐标(1x ，1y )、(2x ，2y )满足：⎩
⎨⎧=-++=0222
2y x n
my x 消去整理得022)2(222=-+++n mny y m ，
由韦达定理得22221+-=+m mn
y y ，2
22221+-=m n y y ．
其判别式8)2(8)2)(2(44222222=+-=-+-=∆n m n m n m ， ……7分 ∵λ=→
→
⋅OB OA =21212121))((y y n my n my y y x x +++=+
=+--=++++=2223)()1(2222
21212
m m n n y y mn y y m 2
122++m m ∈[32，43
]．……9分
()212
2124112
1
y y y y m AB S AOB
-+⋅+=⋅=∆2
1
21222
2+⋅++⋅=m m m ． ……10分 ∵12121222=++++m m m ，且λ2
122++=m m ∈[32，43
]．
∴=∆AOB S )1(2λλ-⋅⋅∈[
4
6，32
]． ……12分 20.
21.解：（1）由题意，()()()
221x x
f x ax e ax x a e --'=+-++
()2
121x e ax a x a -⎡⎤=-+-+-⎣⎦
()()11x e x ax a -=--+- ………2分 （ⅰ）当0a =时，()()1x
f x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >，
所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减所以()f x 的极大值为()13
1f e e
=
≠，不合题意. …………3分 （ⅱ）当0a >时，111a -
<，令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得1
1x a
<-或1x >， 所以()f x 在11,1a ⎛⎫-
⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭，()1,+∞单调递减，
所以()f x 的极大值为()213
1a f e e
+=
=，得1a =. 综上所述1a =. …………5分 （2）令()()2
1x
x g a e
x
a xe --=++，(],0a ∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，()210x e x -+≥，
则()()ln 1g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()0ln 1g a g b x ≤≤+， 即()ln 1x
xe
b x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立. …………7分
（ⅰ）当0b ≤时，()0,x ∀∈+∞，()ln 10b x +<，0x
xe
->，此时()ln 1x xe b x ->+，不合题意.
…………8分
（ⅱ）当0b >时，令()()ln 1x
h x b x xe -=+-，[)0,x ∈+∞，
则()()()2111x x x
x
b be x h x e xe x x e
--+-'=--=++，其中()10x x e +>，[)0,x ∀∈+∞， 令()[)2
1,0,x
p x be x x =+-∈+∞，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，
①1b ≥时，()()010p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，()0h x '≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增，
所以对任意[)0,x ∈+∞，()()00h x h ≥=，即不等式()ln 1x
b x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立.
…………10分
②01b <<时，由()010p b =-<，()10p be =>及()p x 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =，且()00,x x ∈时，()00p x <. 从而()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减， 则()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()ln 1x
b x xe -+<，不符合题意.
综上所述，1b ≥ .…………12分
22.解：（1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭ 曲线2C 的普通方程为()2
2
24x y -+=，即22
40x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为
4cos ρθ=． ……………………4分
（2） 由（1）知1
,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ
==
==+，
()()
4cos cos sin 21cos2sin2224OB
OA παααααα⎛
⎫∴
=+=++=++ ⎪⎝
⎭¡­ 由02
π
α≤≤
知
52+
4
4
4π
π
πα≤≤
，当242
ππ
α+=，
即8
π
α=
时，
OB OA
有最大值2+10分
23.
·11·。