人教A版高中数学选修4-4讲义及题型归纳(提高)：坐标系

目录
第一讲：极坐标 (2)
题型一：直角坐标与极坐标的互化 (2)
题型二：直线与圆锥曲线极坐标转换 (5)
题型三：极坐标转换综合问题 (7)
课后综合巩固练习 (8)
第一讲：极坐标
1、极坐标系：
在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单 位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐 标系． 2、极坐标：
设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终 边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 3、极坐标与直角坐标的互化：
把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位． 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，，
有cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222
tan (0)x y y
x x ρθ⎧=+⎪
⎨=≠⎪
⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．
题型一：直角坐标与极坐标的互化
1．在极坐标系中，点(2,)6π到点7(1,)6
π
的距离是 ．
【分析】利用cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩把点(2,)6π和点点7(1,)6π
分别化为直角坐标，再利用两点之间的距离公式
即可得出．
【解答】解：把点(2,)6π和点7(1,)6π
分别化为直角坐标：1)
，(，1
)2．
所以点(2,)6π到点7(1,)6
π
．
．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力
2．已知曲线1C 的极坐标方程为2cos28ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为6
π
θ=
，曲线1C 、2C 相交于
A 、
B 两点．()p R ∈
（Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标；
（Ⅱ）曲线1C
与直线1(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩为参数）分别相交于M ，N 两点，求线段MN 的长度． 【分析】()I 由2cos 286ρθπ
θ⎧=⎪⎨=
⎪⎩得：2cos 83π
ρ=，即可得到ρ．进而得到点A ，B 的极坐标． ()II 由曲线1C 的极坐标方程2cos28ρθ=化为222(cos sin )8ρθθ-=，即可得到普通方程为
228x y -=
．将直线112x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩代入228x y -=
，整理得2140t +-=．进而得到||MN ． 【解答】解：（Ⅰ）由2cos 286ρθπ
θ⎧=⎪⎨=
⎪⎩得：2cos 83π
ρ=， 216ρ∴=，
即4ρ=±．
A ∴、
B 两点的极坐标为：(4,),(4,)66A B ππ-或7(4,)6
B π
．
（Ⅱ）由曲线1C 的极坐标方程2cos28ρθ=化为222(cos sin )8ρθθ-=， 得到普通方程为228x y -=．
将直线112x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩代入228x y -=，
整理得2140t +-=．
||MN ∴=
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、此时方程化为普通方程、弦长公式等基础知识与基本技能方法．
3．选修44-：极坐标与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线
1C 的极坐标方程为)4
π
ρθ=+
，曲线2C 的极坐标方程为sin (0)a a ρθ=>，射线
,,4
4
π
π
θϕθϕθϕ==+
=-
，2
π
θϕ=
+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．
（Ⅰ）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （Ⅱ）求||||||||OA OC OB OD +g g 的值．
【分析】（Ⅰ）把1C 、把2C 的方程化为直角坐标方程，根据因为曲线1C 关于曲线2C 对称，可得直线
y a =经过圆心(1,1)，求得1a =，故2C 的直角坐标方程．
（Ⅱ）由题意可得，||)4OA πϕ=+；||)2OB π
ϕϕ=+=；||OC ϕ=；
3
||)cos()44
OD ππ
ϕϕ=+
=+，再根据
||||||||8sin()sin 8cos()cos 8cos 444
OA OC OB OD πππ
ϕϕϕϕ+=+++=g g ，计算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）1C ：即2)2sin 2cos ρθθρθρθ==+， 化为直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=．
把2C 的方程化为直角坐标方程为y a =，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线y a =经过圆心(1,1)， 解得1a =，故2C 的直角坐标方程为1y =．
（Ⅱ）由题意可得，||)4OA πϕ=+；||)2OB π
ϕϕ=+=；||OC ϕ=；3
||)cos()44
OD ππ
ϕϕ=+
=+，
||||||||8sin()sin 8cos()cos 8cos[()]8444OA OC OB OD πππϕϕϕϕϕϕ∴+=+++=+-==g g ．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和差的余弦公式
题型二：直线与圆锥曲线极坐标转换
1．在极坐标系中，若点A 在圆:1C ρ=上，则点A 到直线:(cos sin )2l ρθθ+=距离的最大值为 ．
【分析】圆C 的直角坐标方程为：221x y +=，直线l 的直角坐标方程为：20x y +-=，问题转化为求圆心C 到直线l 的距离加上圆的半径，由点到直线的距离公式可得．
【解答】解：圆C 的直角坐标方程为：221x y +=，直线l 的直角坐标方程为：20x y +-=， 问题转化为求圆心C 到直线l 的距离加上圆的半径，
11+=．
1．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程
2．已知在直角坐标系xOy 中，抛物线2
4:(4x t M t y t ⎧=⎨=⎩
为参数）的焦点为F ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20k k ρθρθ--=，若直线l 与曲线M 交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，||5AF =，(|||)AF BF >则BCF ∆与ACF ∆的面积之比
BCF
ACF
S S ∆∆= ． 【分析】将M 化为普通方程，l 化为直角坐标方程，利用||5AF =求得4A x =，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可求得1B x =且24k =，利用两点间距离公式可求得||AC 和||BC ，根据BCF ACF S BC
S AC
∆∆=
求得结果． 【解答】解：由M 参数方程可得其普通方程为：24y x =，则(1,0)F 直线l 的直角坐标方程为：20kx y k --=，即 2(0,2)y kx k C k =-∴- 设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，则||154A A AF x x =+=⇒= 由224y kx k y x
=-⎧⎨=⎩得：2222(44)40k x k x k -++= 2244
A B k x x k +∴+=
，41A B B x x x =∴= 22
44
5A B k x x k
+∴+==，解得：24k =
||AC ∴=
||BC
∴
||1
||4
BCF ACF S BC S AC ∆∆===． 故答案为：
14
． 【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化．解决本题的关键是能够将问题转化为线段长度的比值．属中档题．
3．在极坐标系中，已知点(1,)2
A π
，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线
cos 10ρθ+=的距离为d ，则||PA d +的最小值为 ．
【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点A 的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得||||||||PA d PF PA AF +=+…，当A ，P ，F 三点共线时，其和最小，再求出||AF 的值即可．
【解答】解：点(1,)2
A π
的直角坐标为(0,1)A ，
曲线曲线2sin 4cos ρθθ=的普通方程为24y x =，是抛物线． 直线cos 10ρθ+=的直角坐标方程为10x +=，是准线．
由抛物线定义，点P 到抛物线准线的距离等于它到焦点(0,1)A 的距离， 所以当A ，P ，F 三点共线时，其和最小，
最小为||AF =
．
【点评】本小题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化、抛物线的简单性质，解题的关键是抛物线的定义解题．
题型三：极坐标转换综合问题
1．在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为( )
A ．2
B ．
C ．
D ．4
【分析】由2cos 12sin 1
x y θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得22(1)(1)4x y ++-=，∴曲线C 的轨迹是以(1,1)-为圆心，2为半
径的圆，再根据勾股定理以及基本不等式可得．
【解答】解：由2cos 1
2sin 1
x y θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得22(1)(1)4x y ++-=，
∴曲线C 的轨迹是以(1,1)-为圆心，2为半径的圆，
圆心(1,1)-到直线20x ty -+=的距离
d =
=
，
||AB ∴===， 当且仅当1t =-时取等． 故选：B ．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程 2．在极坐标系中，曲线C 的方程为223
12sin ρθ
=
+，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的
正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(,)P x y 为曲线C 上一动点，则x y +的取值范围为
【分析】先根据互化公式把曲线C 化成直角坐标方程，在根据参数方程设P 的坐标，然后根据三角函数的性质可得．
【解答】解：由曲线C 的方程为22
3
12sin ρθ
=
+得2222sin 3ρρθ+=g 可得曲线C 的直角坐标方程为2
2
33x y +=，即2
213
x y +=．
设x α=，sin y α=，
sin 2()[23
x y sim π
ααα+=+=+∈-，2]．
故答案为：[2-，2]．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程
3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1(
x y α
αα
⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数）
，以坐标原点为极点，
以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4π
ρθ+=．设点P 在1C 上，
点Q 在2C 上，则||PQ 的最小值为 ．
【分析】先将直线与圆的方程化成直角坐标方程，然后将||PQ 的最小值等于圆心到直线的距离减去半径可得．
【解答】解：由1C 的参数方程消去参数α得曲线1C 的普通方程为：22(1)2x y ++=， 由曲线2C 的极坐标方程以及互化公式可得2C 的普通方程为：40x y +-=， 依题意可得||PQ 的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，
||
min PQ ∴=
．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程
课后综合巩固练习
1.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos ,
(1sin x y ααα=⎧⎨=+⎩
为参数）
，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ--=，圆心C 到直线l 的距离为 ．
【分析】先将圆和直线化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可求得． 【解答】解：由cos 1sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩得圆C 的普通方程为：22(1)1x y +-=，
由cos sin 10ρθρθ--=得10x y --=，
所以圆心(0,1)到直线的距离
d ==
．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程
2．在极坐标系下，点(1,)2
P π
与曲线2cos ρθ=上的动点Q 距离的最小值为 ．
【分析】将点P 的极坐标化成直角坐标，圆的极坐标方程化成直角坐标后，PQ 的最小值等于点P 到圆心的距离减去半径．
【解答】解：点(1,)2P π
的直角坐标为(0,1)，曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，其
圆心为(1,0)，半径为1，
点(0,1)P 与圆心(1,0)
||1min PQ ∴=．
1．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程
3．以双曲线22
:113
x y C -=的左焦点为极点，x 轴正方向为极轴方向
（长度单位不变）建立极坐标系，则双曲线C 的一条倾斜角为锐角的渐近线的极坐标方程是 ．
【分析】由双曲线22
:113
x y C -=可得倾斜角为锐角的渐近线方程为：y =，左焦点(2,0)-．以双
曲线C 的左焦点为极点（变为坐标原点），x 轴正方向为极轴方向（长度单位不变）建立极坐标系，
则渐近线的方程变为：2)y x =-，化为极坐标方程即可．
【解答】解：由双曲线22
:113
x y C -=可得倾斜角为锐角的渐近线方程为：y =，左焦点(2,0)-．
以双曲线C 的左焦点为极点（变为坐标原点），x 轴正方向为极轴方向（长度单位不变）建立极坐标系，
则渐近线的方程变为：2)y x =-，∴极坐标方程为sin θρθ-=，
化为sin()3π
ρθ-．
故答案为：sin()3
π
ρθ-．
【点评】本题考查了双曲线的标准及其性质、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力
4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22(14x t
t y t =+⎧⎨=+⎩
为参数）
，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为3cos ρθ=，则曲线C 被直线l 截得的弦长为 ．
【分析】将直线的参数方程化为标准形式，代入圆方程，利用参数的几何意义，即可求弦长．
【解答】解：曲线C 的极坐标方程为3cos ρθ=，化为直角坐标方程为2230x y x +-=，
直线l 的参数方程为22(14x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数）
，化为标准形
式21x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入圆方程可
得210t -=
设方程的根为1t ，2t
，12t t ∴+=，121t t =-
∴曲线C 被直线l
截得的弦长为12||3t t -==．
故答案为：3．
【点评】本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力
5．在极坐标系中，曲线:2C ρ=被直线:cos 1l ρθ=所截得的弦长为 ．
【分析】求出曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线:1l x =，从而圆心(0,0)到直线:1l x =的距离为1d =，由此能求出所求弦长． 【解答】解：Q 曲线:2C ρ=，
∴曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，
Q 直线:cos 1l ρθ=，
∴直线:1l x =，
∴圆心(0,0)到直线:1l x =的距离为1d =， ∴
所求弦长为=
故答案为：
【点评】本题考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力
6．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l
的参数方程是()112x t t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩为参数
，M ，直线l 与曲线C 的公共
点为P ，Q ，则11||||
PM QM += 【分析】求出曲线C 的直角坐标方程，把直线l
的方程化为12x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入曲线C 的直角坐标方程，然后利用参数m 的几何意义求解．
【解答】解：由曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，得22sin 4cos 0ρθρθ+=， 即曲线C 的直角坐标方程为24y x =-．
由直线l
的参数方程是()112x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，消去参数t ，可得直线l
0y -+=． 化直线l
的普通方程为参数方程12x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入24y x =-，
得2320120m m ++=． ∴12203
m m +=-，124m m =． ∴20
11||||53||||||||43
QM PM PM QM PM QM ++===g ． 故答案为：53
． 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题．
7．在极坐标系中，已知A ，B 两点的极坐标分别为(4,),(1,)36
ππ
，则AOB ∆（其中O 为极点）的面积为 ．
【分析】由题意画出图形，求得AOB ∠，再由正弦定理求面积．
【解答】解：如图，
Q (4,),(1,)36ππ，∴6
AOB π∠=， ∴114sin 126
AOB S π∆=⨯⨯⨯=． 故答案为：1．
【点评】本题主要考查极坐标和参数方程的基础知识．体现直观想象、运算能力、逻辑推理的核心素养。