全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全doc资料

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集
1.如图,直线11与12是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是
A,点B 、D 在直线11上
(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点,
M 在1 1上的射影
点是 N,且 |BN|=2|DM|.
(I )建立适当的坐标系,求动点 M 的轨迹C 的方程.
求点G 的横坐标的取值范围. 11
上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程.
2
4 1(a b 0)
b
的一条准线方程是
(n )过点 H 满足： uuur
AG
D 且不与 uuu r AD( 11、1 2垂直的直线 uuui R)； G
E uiu r
GF 1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G uu 1r uur uuui 2GH
； GH EF 0.
2.设椭圆的中央是坐标原点,焦点在 e
x 轴上,离心率 点P (°,3) 到这个椭圆
12
2 C .X_
C
1
:
2
3.椭圆 a
25
,
4
其左、右顶点分别
2 2
c :土
L
C 2 - 2
,2
是A 、B;双曲线
a
b
1
的一条渐近线方程为 3x — 5y=0.
(I )求椭圆C i 的方程及双曲线 .的离心率； (n)在第一象限内取双曲线
Q 上一点P,连结AP 交椭圆.于点M,连结PB 并延长交椭圆
C 于点 N,假设 AM MP .求证：MN ?AB 0.
4.椭圆的中央在坐标原点 O,右焦点F (c,0 )到相应准线的距离为
1,倾斜角为45°的直线
交椭圆于A, B 两点.设AB 中点为M,直线AB 与OM 的夹角为
a.
(1)用半焦距c 表示椭圆的方程及tan ; (2)假设2<tan <3,求椭圆率心率 e 的取值范围.
y
、6
2
e -
b (a>b>0)的离心率 3 ,过点A (0, -b)和B (a, 0)的直线
与原点的距离为 2 (1)求椭圆的方程
(2)定点E (-1 , 0),假设直线y=kx + 2 (kw0)与椭圆交于 C D 两点 问：是否存在 k 的值,使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由
2
x
2
5.椭圆a
两点G,M 同时满足以下条件:
(1)求ABC 的顶点C 的轨迹方程;
(2)过点 P (3,°) 的直线।与(1)中轨迹交于
7 .设x ,y R , i ,j 为直角坐标平面内x 轴.y 轴正方向上的单位向
a xi (y 2)j,
b xi (y 2)j ,且 |a| |b| 8 (I)求动点 M(x,y)的轨迹C 的方程；
(n)设曲线C 上两点A. B,满足⑴直线AB 过点(0, 3), (2)假设0P OA OB , 为矩形,试求AB 方程.
6.在直角坐标平面中,
ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为A( 1,°), B(1,0),
平面内
① GA GB GC
°；
MA MB MC
// AB
E ,F
两点,求PE PF 的取值范围
贝U OAPB
2
8 .抛物线C ： y m(x n ),(m 0,n 0)的焦点为原点,C 的准线与直线
1 : kx y 2k 0(k
0)
的交点 M 在 x 轴上,1与C 交于不同的两点 A 、B,线段AB 的垂直
平分线交x 轴于点N ( p, 0). (I)求抛物线C 的方程； (n)求实数p 的取值范围；
(出)假设C 的焦点和准线为椭圆 Q 的一个焦点和一条准线,试求Q 的短轴的端点的轨迹方程.
9 .如图,椭圆的中央在原点,长轴 AA 在x 轴上.以A 、A 为焦点的双曲线交椭
圆于
D 、C I 四点,且|CD| = 2 |AA I |.椭圆的一条弦 AC 交双曲线于E,设EC 时,求双曲线的离心率 e 的取值范围.
.2
2
10 .三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4x 5y 80
上,且点A 是椭圆短轴的一个端
点(点A 在y 轴正半轴上).
假设三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线
BC 的方程；
假设角A 为90 0, AD 垂直BC 于D,试求自D 的轨迹方程.
AE
2
,当3
C 、
D 、
2
11 .如图,过抛物线x 4y的对称轴上任一点P(0,m) (m 0)作直线与抛物线交于A,B 两点,点Q是点P关于原
点的对称点.
uuu uuu uuu uuu
(1)设点P分有向线段AB所成的比为,证实：QP (QA QB);
(2)设直线AB的方程是x 2y 12 0,过A, B两点白^圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.
2
12 R
12.动点P (p, -1), Q (p, 2 ),过Q作斜率为2的直线l , P Q中点M的轨迹
为曲线C.
(1)证实：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；
(2)假设(1)中的其中一个公共点为A,证实：AP是曲线C的切线；
(3)设直线AP的倾斜角为,AP与l的夹角为,证实：或是定值.
13.在平面直角坐标系内有两个定点
F
1
、F 2和动点P, F 1、F 2坐标分别为 Fl( 1,0)、
|PF i | 二
F2(1,O )
,动点P 满足1P F 21 2 动点P 的轨迹为曲线c ,曲线c 关于直线y x 的对 称曲线为曲线C',直
线y x m 3与曲线C'交于A 、B 两点,O 是坐标原点,△ ABO 勺面 积为加, (1)求曲线C 的方程；(2)求m 的值.
2 2
斗、1(a 0,b 0)
14.双曲线a b 的左右两个焦点分别为 ％、F 2,点P 在双曲线右支
上.
(3. 41 16)
(I)假设当点P 的坐标为
5 ' 5时,
PF 1 P F
2
,求双曲线的方程；
(H)假设严；| 3|PF ),求双曲线离心率 e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程
.
2
上1
b
的左右焦点,O 为坐标原点,P 在双曲线的左支上,点
(1)求该双曲线的离心率;
(2)假设该双曲线过 N (2, S),求双曲线的方程;
15.假设F 1、F 2为双曲线a
M 在右准线上,且满足; F I O
PM ,OP
(OF 1 OM
)( 0)
OF 1
0M l
'
(3)假设过N (2, J 3)的双曲线的虚轴端点分别为 在双曲线上,且B 2 A
B 2
B
,求B i A BB 时,直线AB 的方程.
坐标为(tQ) , t [3,),点G 的坐标为(x 0,y
.).
(1)求X 0关于t 的函数X 0
f(t)
的表达式,判断函数
f (t)
的单调性,并证实你的判断;
.37 t
6 ,假设以O 为中央,F 为焦点的椭圆经过点
最小值时椭圆的方程;
求实数的取值范围.
B 1、B 2 (B 1在y 轴正半轴上),点A 、B
UUU
16.以O 为原点,OF 所在直线为x 轴,建立如
uuur UUJT
所示的坐标系.设OF ?FG 1,点F 的
S (2)设AOFG 的面积 UUIT G,求当10Gl 取
(3)在(2)的条件下,假设点
P 的坐标为
,C 、D 是椭圆上的两点, UUU
T 且
UUi r PD(
1)
2 2
17.点C为圆(x 1) y 8的圆心,点A (1, 0), P是圆上的动点,点Q
在圆的
半径CP上,且MQ AP 0,AP 2AM .
(I)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程；
(n)假设直线y kx 7k 1与(i)中所求点Q 的轨迹交于不同两
点F, H, O是坐标原点,
2 3
18. 如下图,O是线段AB的中点,|AB| =2c,以点A为圆心,2a为半径作一圆, 其中a c.
一OF OH
且3 4 ,求^ FOH的面积的取值范围.
(1)假设圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离,建立适当坐标系,求动点P 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线；
(2)经过点O的直线l与直线AB成60°角,当c=2, a=1时,动点P的轨迹记为E,设过点B的直线m 交曲线E于M N两点,且点M在直线AB的上方,求点M到直线l的距离d 的取值范围.
2 2
19.设O 为坐标原点,曲线x y 2x 6y 1 0上有两点P 、Q 满足关于直线
X my 4 0
对称,又以PQ 为直径的圆过O 点.
(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程.
r _ r ,
a (x V3, y),
b (x 73, y),且
(1)求动点Q(x ,y)的轨迹C 的方程;
(2)定点P(t,0)(t 0),假设斜率为1的直线l 过点P 并与轨迹C 交于不同的两点A ,B uuuu uuu uuu 且对于轨迹c 上任意一点M ,者B 存在[0, 5 6 ],使得0M 87 OA sin OB 成立,
试求出满足条件的实数 t 的值.
b
(a>0,b>0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于两点 P 、Q, F
是双曲线的右焦点. (I )求证：PF, l ;
5
匕1 .......... l 上,一 ...................
(II )假设4PQF 为等边三角形,且直线 y=x+b 交双曲线于 A B 两点, 且1AB 、'30,求双 曲线的方程；
20.在平面直角坐标系中,假设
2
x
2
21.双曲线
a
(III )延长FP 交双曲线左准线11和左支分别为点 M N,假设M 为PN 的中点,求双曲线的离 心率e .
--= l(b > 0J
22.又曲线 'b
'在左右顶点分别是 A, B,点P 是其右准线上的一点,假设
点A 关于点P 的对称点是 M,点P 关于点B 的对称点是N,且M N 都在此双曲线上. (I )求此双曲线的方程； (II )求直线MN 的倾斜角.
点 A (-1,0), B (1,0), P (x,y)( y 0).设 AP 、OP 、BP
与x 轴正方向的夹角分别为 “、3、丫,假设
(I )求点P 的轨迹G 的方程；
(II )设过点C (0,-1)的直线l 与轨迹G 交于不同两点 M ■问在x 轴上是否存在 一点E X
,0 ,使^ MN 叨正三角形.假设存在求出
23.如图,在直角坐标系中, x 0
值；假设不存在说明理由.
O
A
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当过点P 4,1的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A 、B 时,在线段AB 上取点Q, uuu uuu uur umr … AP gQB AQ gPB 丁口口 上 Q M 心甘…士心 j 满足 ,证实：点Q 总在某定直线上.
25 .平面直角坐标系中, O 为坐标原点,给定两点
OC O A O B,其中、
R,且 2
(1)求点C 的轨迹方程;
2 2
2
y 2 1(a 0,b
(2)设点C 的轨迹与双曲线 a b 士」为定值
过原点,求证：a b
24.设椭圆 2 2
c x y
/
C: -2~ ~2
1 a
a b
b °过点M",1,且焦点为F50
A (1, 0)、
B (0, — 2),点
C 满足
1
0)
交于两点 M N,且以MN 为直径的圆
26 .设F(1,0) , M 、P 分别为X 轴、y 轴上的点,且PM ?PF 0 ,动点N 满足：
丽 2NP .
(1)求动点N 的轨迹E 的方程；
(2)过定点C( c ,0)(c 0)任意作一条直线I 与曲线E 交与不同的两点 A 、B,问在x 轴 上是否存在一定点 Q ,使得直线 AQ 、BQ 的倾斜角互补？假设存在,求出 Q 点的坐标；假设 不存在,请说明理由.
椭圆F 以A 、B 为焦点,且经过点 D,
(I)建立适当的直角坐标系,求椭圆
F 的方程;
(n)是否存在直线l 与椭圆F 交于M 、N 两点,且线段MN 的中点为点C ,假设存在,求直
线l 的方程；假设不存在,说明理由
27.如图,直角梯形 ABCD43, /
DAB
3
1
90
, AD// BC, AB=2, AD=2 , BC=2
(1)求ABC 的顶点C 的轨迹方程;
(2)过点 P (3,0)的直线l 与(1)中轨迹交于 巳F 两点,求PE PF 的取值范围
28.如下图,B ( - c, 0), C(c, 0), AH,BC,垂足为 H,且 B H 3HC
(1)假设AB AC = 0 ,求以B 、C 为焦点并且经过点 A 的椭圆的离心率； (2) D 分有向线段AB 的比为,A D 同在以B 、C 为焦点的椭圆上,
7
当一5W & 2时,求椭圆的离心率 e 的取值范围.
29.在直角坐标平面中,ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为A( 1,0), B (l0),平面内 两点G,M 同时满足以下条件:
① GA GB GC 0 ；②
MA MB MC
；③GM AB
答案：
1.解：(I )以A 点为坐标原点,l1为x 轴,建立如下图的坐标系, 那么D(1 , 0) , B(4 , 0),
设 M(x, y), 贝U N (x, 0). •. |BN|=2|DM| ,
.••|4 — x|=2 Y(x — 1)2+y2 , 整理得 3x2+4y2=12, ,动点M 的轨迹
•♦・线段EF 的垂直平分线为
y- y0 = — ― (x — x0),令 y=0 得, k 点G 的横坐标xG = ky0+x0 =
::: + 3+4k2
4(3+4k2)'
1
.••点G 的横坐标的取值范围为(0, 4 )
a 2b
方程为 x2 y2
3"
=1 . (n)
uuur ..AG
uuur
AD( R),
,A 、
uur a G 三点共线,即点 G 在x 轴上；又•「GE uuu uuur
GF 2G H ,,H 点为线段EF 的中点;
又「
uuur uuur GH EF
0,.・•点G 是线段EF 的垂直平分线 GH^ x 轴的交点.
设 l ： y=k(x -1)(k w0),代入 3x2+4y2=12 得
(3+4k2)x2 -8k2x+4k2-12=0,由于 l 过点 D(1 , 0)是椭圆的焦点, • .l 与椭圆必有两个交点,
设 E(x1 , y1) , F(x2 , y2) , EF 的中点 . x1+x2= ^8^ , x1x2= * 12 3+4k2 ' 3+4k2
H 的坐标为(x0, y0),
x0=—
x1+x2 4k2
374k2,y0=k(x0 T 尸
-3k 3+4k2 ,
4k2 3+4k2
k2 3+4k2
•・ kw0,
k2>0,
3+4k2>3, 0< ---------
(3+4k2)
1
< -- ------ 3 ------ <0 , 4 4(3+4k2)
••xG= 7 一
4 4(3+4k2)
1 (0,4
b 2
2
x
.•.设椭圆的方程为
4b 2
2
2
,2
即 x 4b
4
y ( b y b )
设M (x, v)是椭圆上任意一点,那么
_ 2 2 2
2 2 _
|PM | x (y 3) 3( y 1) 4b 12
假设b 1即b 1 b,那么当
y
由有4b 12 16 ,得b
假设0 b 1即1 b,那
么当y
由有b 6b 9
.
__ 7 . 7 1 时 |PM|max 4b 12
1；
b 时,|PM 着 b 2 6b 9
综上所述,b 1, a 2. 所以,椭圆的方程为 a 2 25 c 4
b 3 解之得 a 5
2
2
, 2
cab 3.解：(I )由 2 x
椭圆的方程为25 ,双曲线的方程25
____ 2/34 又C ‘25 9
"34 .•.双曲线的离心率
5
(n)由(I) A (―5, 0), B (5, 0)设 M (x 0, y
°)那么由 AM M^M 为 AP 的中点
2 x
25
(2x 0 2
V 0 9 5)
・•.P 点坐标为(2x
0 5,2y 0)
将M p 坐标代入c1、c2方程得
25
2
r i
o 1
b (b 0)
b
y b )
16,得b 7 (舍去)
2
消去y0 得2X0 5X0 25
X
解之得
5(舍)
由此可得P (10, 3 3)
当P为(10, 3J3)时PB 3 3 .
------ (X
10 5
5) (x 5)
代入25 15x 25 0 勺或5
〔舍〕
2
X N X N X M
MN "轴即MN AB
4,解: 由题意可
知1,那么
a2
,b2
c,
所以椭圆方程为
2
X
-2 c c A(X
i,y)B(X2,y2),将其代入椭圆方程相减,将
y〔y2 1与
k OM y〔y2
k
OM
1
-,tg
X1 X2 X i X2代入可化得1
I-
1
1
c 1
T-
c 1
J 3,
c 2,那
么e
6) (2)假设2<tan <3,
5,解：〔1〕直线AB方程
为:
bX-ay-
ab
ab 、3
依题意■ a2 b2 2
解得椭圆方程为3
〔2〕假假设存在这样的k 值, kX 2,
2
3y2 3 0得(1 3k2) 12kX 9
_ 2 _____ _ 2 (12k) 36(1 3k )
9
X Xc ----------
n
设 C(
x
i
Y i )
D (X
2
y 2)那么
13k
2
而 y i Y 2 (kx i 2)(kx 2 2) k X 1X 2 2k(x 〔 X 2) 4
Y I
E (-1 , 0),当且仅当CE! DE 时,那么
X i 1
Y i Y 2 (X i 1)(X 2
1) 0
X i X
2
12k
1 3k 2'
(k 2 1)x i X 2
2( k 1)(x i
X 2) 5
k 将②式代入③整理解得 k 经验证, k 综上可知,存在 6,使得以 CD 为直径的圆过点 6.解：(1)设 C(x, y) , G(X 0, y 0),
M (X M , y M ). MB
M 点在线段AB 的中垂线上 由 A( 1,0) , B(1,0) , X M °；又 GM // AB
Y M y 0
又GA GB GC
X 0, y .
1 X 0, y O
X 0, y y 0 0,0
X 0 y 0
y
M
MB MC
0 x 2 y
3 (2)设直线।方程为: k(x 2 y 3 3) 0
,
k(x
消去y 得:
顶点C 的轨迹方程为
2
2
y X - 3
3) E(X i ,y i ) F(X 2,y 2)
k 2 3 x 2 6k 2x 9k 2 3
丫2
x 2 1
要使以CD 为直径的圆过点
X i X2 6k2
k"3 X1X
2
9k2
PE 而
PF PE PF cos0 PE PF k2 3 X
1 3 X2
k2 3 X
i
k2
9k227 18k2 9k2 3
24 k2 1
k2 3 24 由方程①知
7.解:解：令X2 X1X
2
k2 3
48
I
6k2 0<k24 k2 3 9k2k2<
k2
27
3,万PE PF
88
8,7
M (X, y), F1 (0, 2), F2(0,2)
那么 a F1 M , b F2 M 即1 a| |b|| F1M | | F2M | 即|F〔M | | F2M |
2C c 2, a .2 _
4,b212
所求轨迹方程为2 y
16
2 X
12
(H)解：由条件( 2) 可知OA坏共线,故直线AB的斜率存在
设AB方程为kx 3, A(X1 ,y1
),B(X2,y2)
y1 y kx 3
2 y
16
2
X
12
(3k24)X2 18kx 21 0
X2
V2
18k
2
3k24
(kx13)( kx2
X
1
X2
21
2
3k24
3) k2x1X2 3k(x1X2)
2
3b 48k2
3k24
•. OAP斯矩形,OAL OB OA OB 0
k
.X1X2 y1 y2 0 得
8.解：(I)由题意,抛物线顶点为(一 n, 0),又,一焦点为原点,m>0
m x — n 准线方程 4 且有m=4n.
、八一±八।、上…片、上(m ,0)
•••准线与直线1交点在x 轴上,交点为 2 又1 与 x 轴交于(—2, 0) , 1. m=4 n=1 ,抛物线方程为y2=4 (x+1)
102
y 2k
0得k 2x 2 4(k 2 1)x 4(k 2 1) 0 (k 0) (II )由 y 4(x 1)
2
16(1 k
)
1vkv1 且 kw0
2
X I x 2
2(1 k 2
) ~2~
~k 1
y 〔 y 2
2
2 k
_
_
2
2 1 2(1 k )人
-八、仙,y T r [x —7一],令y 0
・••AB 的中垂线方程为 k k k
_
2
2(1 k ) k 2
pC ( 2, +8)
(III )二•抛物线焦点 F (0, 0),准线x=-2
,x=—2是Q 的左准线
设Q 的中央为O ( x, 0),那么短轴端点为(土 x, y)
假设F 为左焦点,那么 c=x>0, b=|y| •・a2=b2+c2=x2+y2
假设F 为右焦点,那么 x< 0,故c= —x, b=|y|
y
所求直线方程为
,5
——x 4
•・a2=b2+c2=x2+y2 依左准线方程有
2
a 一 c c
2 2
x y
——-(x)
即 x
2
化简得 2x2+2x+y2=0
2 k 2
依左准线方程有
2
即 y2=2x
(x>0)
1 2 2
4( X ) 2y 1
即2 (X<0, yw0) 9.解：建立如原题图所示的坐标系,那
么
的坐标为
2X、O
(x,20). S
3那么长方形面积
1--〜_
AB的方程为30 20 由于点p在AB上,可设P点
2X
(100 x)?[80 (20 —)](0 x 30).
,一S 化简得20
—X 6000(0 X 30).
易知,
X 5,y
当
年时,S maX 6017(m2).
3
(21)解：设A (-c,0 ) ,A1(c,0)
D( ,
那么
c.、八,c.、
—,h),
C(—,h),
2 2
(其中c为双曲线的半焦距,
D到x轴的距离) AE
EC
X
E
c
c
2
1
c( 2)
-——-,¥E
2( 1)
(
c( 2)
即E点坐标为2("
设双曲线的方程为2 X F a
c c( 叱,h F 2)
1) 消去
上得2
由于
e代入方程,得
2 2
e X
2- c
2
y
b2
代入①式, 整理得
h
2
b
7
1)2(—/I
1.
1 b 1,所以
2 e
~2
e
3
e2 2
10.解:
1)
设 B (X1
10
%) ,C
(
X2 V2
),BC 中点为
(X0,y°),F(2,0)
2
X1_
那么有
20
2
近
16
2
y2
16
两式作差有
(X1 X2 )(X1 X2) (y1 ¥2)(71 y2)
20 16
X y°k
F(2,0) 为三角形重心, 所以由X1 X2
3 得X0
y 1 J 0 3得y0
2,
k 6
代入〔1〕得5
直线BC的方程为6x5y 28 0
2)由ABJ_ AC得
X1x2
Y1Y2 14( y1 y) 16 0 ⑵设直线BC方程为y 2 2 _ _
kx b,代入4x 5y 80 得
(4 2 2
5k )X 10bkX 2 _
5b 80 0
X i X2
10kb
4 5k2
X1X2
5b280
4 5k2
y i
8k
y2K,y1y2
4b280k2
4 5k2代入(2)式得
9b232b 16
4 5k2
b 4(舍)或b
直线过定点〔0, 9〕,设
D (x,y )
4
y
9 y
那么X X
_ 2 . 2 一
即9y 9x 32 y
16
所以所求点D的轨迹方程
是/
16
、
(y
/ 20 2 /
(—)(y 4)
9 .
11.解：(1) 依题意,可设直线AB的方程为y kx 2
m,代入抛物线方程x
4y得
X24kX 4m 0.
设A,B两点的坐标分别是〔“,W〕d, y2〕,那么
X
x2是方程①的两根. 所以X1x2 4m.
由点P 〔0,m〕分有向线段
X1
AB所成的比为,得1
X1
X2
又点
Q与点P关于原点对称,故点Q的坐标是〔0,m),从而QP (0,2m)
QA QB (x i,y i m) (x2, V2 m) (x1 x2, V1 V2 (
1
)m). QP (QA QB) 2m[v1 V2 (1 )m]
X i
2 乂2
2m(x1 (2)由
X
2
x X、
(1 )m] 2m(x1 x2)
x2
x1 x2 4m
4x2
X2)
4y 所以抛物线
4m 4m
4x2
2y 12
4y,
0,
0. ■■.
所以QP (QA QB).
得点A,B的坐标分别是〔
4y在点A处切线的斜率为V
6, 9)、
2 ,
设圆c的圆心为〔a,b〕,方程是〔x a〕〔y
b)2
a 那么〔a 6
6)2
1
3,
(b 9)2 (a 4)2 (b 4)2
那么圆
C
的方程是
12.解: 〔i〕直
线
(x 2)2(y
23、2
T)
的方程
是:
.解得
2b23
2
125
2
125
2 2
(或x
P/ 、
-(x P)
3x 23y 72 0.)
,经过定点〔0,1〕;
2
P
又M ( p, 4消去p,得到的轨迹方程为:
2
x
4
卫x
2
2
x 2px 4 0,其中△ =4p2+16,所以l 经过一个定点而且与曲线C 定有两个公共点.
2
x 2P x 4 0 设 P , P 2 4, (P P 2 4)2
(P ,P 2 4)2 1
k AP 那么 又函数
4
的导函数为 2 ,故A 处的切线的斜率也是 ,从而AP 是曲
线C 的切线.对于另一个解同样可证 (3) 3A (
P P2 4, (P 、 P 2 4)2
)时, tan
tan P . P 2
4 2 1Pp 2
2 p 2
4
P
2
tan tan =1, 又易知与都是锐角, 所以
=90° ;
P 2 4
P . P 2
4,如 当A ( P P 2 4
tan 〕时,tan
4
,
tan tan
=-1 , 又易知 是钝角, 都是锐角,所以 =90
°
.总之
是定值.
13.解：〔1〕设P 点坐标为〔x,y 〕,那么 (x 1)2 y 2
(x 1)2 y 2 2\
2
,化简得
〔x 3〕
8,
所以曲线C 的方程为 (x o\2 2
3) y
8;
〔2〕曲线C 是以〔 3,0)
为圆心,
2
J2为半径的圆,曲线C'也应该是一个半径为 2、5的
x
的对称点的坐标为
〔0, 3〕
,所以曲线C'的方程为
2
2
x (y 3)
8
M’14.
2
c 2
5, c 5.由双曲线定义得：|PF 1 | |PF 2|
2
2
x y
所求双曲线的方程为：9
16
2a 2 x a, c
〔法二〕因PF 1 PF 2
,由斜率之积为
(n)设1PF
11 「1,严2|
「2
的坐标
为〔
x ,y 〕
公式得
r 1 | a ex | a ex ,
「2
| a ex | ex
「1 3r 2, a ex a
3(ex a),
2a 2 x ---
c
圆,点
〔3,0〕
关于直线y
该圆的圆心
〔0, 3〕
到直线
y x m 3
的距离d 为
|0 ( 3) m 3|
J 2
(1)2
| m | 2,
S A ABO
d |AB|
d 2 8 d 2
(8
2
:)
.7
所以, 14.解: 〔法一〕由题意知,PF 1 3,41 5 156) PF 2 (c 3x41 16
丁,石) PF I PF 2
PF 1 PF 2 0, ( c
3.41 341 「c
16 (
%)
(1分)
解得
2a (5 3 541)2 ( 5 )2
；(5 3.41 2 16.2 ------ ) (一) 5 5 .(41 3)2
.( .41 3)2
6
3,b 4
a, 2a
C,
c b , c2a2
2,- -----------------
e的最大值为2,无最小值.此时a a a
此时双曲线的渐进线方程为y 3x
〔法二〕设F1PF2 , 〔°,］
⑴当时,r i 上2c,且r i 3r2, 2c 4r2, 2a r1 「2 2r2
e空％2
此时2a 2r2.
(2)当(°,),由余弦定理得：2 2 2 2 2
(2c) 「I『2 2「I「2 cos 1°b 6r2 cos
2c r2 .1° 6cos ..10 6cos
e ---- -------------------------- -------------------
2a 2r2 2
cos 〔 " e 〔1,2〕,综上,e的最大值为2,但比最小值.〔以下法一〕
PF1 C, PM C, e2e 2 °,e 2
2
x
2〔2〕e 2 . . c 2a.•.双曲线的万程为a
2
4 1,其过点N 〔2,..3〕,
3a,所求双曲
2
x
线的方程为3
⑶依题意得B1(°,3),B2(°, 3), ...B2A B2B, A、B2、B共线,不妨设直线AB为:
y kx 3
2
x y=kx-3,A(x 1, y1), B(x2, 丫2),那么有3
2、 2
得(3 k )x 6k x 18 ° ,由于,e2 1 .,3
0P
15.解：〔1〕由F1O PM知四边形PF10M为平行四边形, (0F1
0F；
0M)
0M
°〕,0P平分/ F10M , ,平行四边形PFOM为菱形,又.• OF1
6k Q
X i
X 2
----------- 2,X i ? X 2 一
当 k
J3, .
3 k 2
3
又 B i A (X i,y i 3), B i B (X 2, y 2
3),
y . 5X 3, y 5X 3
■
UHT
UHT
i6.解：(i)由题意知 FG
(X .t,y o ),OF
k
忑所求的直线AB 的方程为
UUir UULT i
OF ?FG t (X 0 t) i,X 0 t - t
函数f(t)在［3,)是单调递增函数.(证实略)(4分)
,3i/ . 3i 1 y 0
6 3 ,
2
匕1
9
的渐进线为y
旧 时,AB 与双曲线只有一个交点, 不合题意,
(t 点G a 丁,
UULT |OG | ,
2
(t
A
3i
3,
f(t) 因 [3,)
上是增
函数,当t 3
时, UUUT 10G
1取最小值,
-io FGWG4, 依题意椭圆的中央在原点,一个焦点 F (3, 0),设椭圆方程为 2
X
G 点坐标代入与焦点 F (3, 0),可得椭圆方程为：i8
2 y 9 (9分)
(3)设 UULT C(x, y), D(m, n),那么 PC (x, y 9 UUIT 2)
,PD (m,n
UU IT PC 由 UUI T PD,
/ 9、 / (X , y -) (m,n 2 2) m, y 9 2,
D 在椭圆上,代入椭圆方程得,
2
m
i8
2 2
ig
9
9、2
)
2
-4 i i8
,消去m ,
i8
i8 2 y i y
2 -------------------------------- 2
, y i ? y 2 9
k 2
3 k 2
i UUIT 3|OF||y o |
13 5 c -------- Q 4 ,又
13 5
1n13, T 13
那么实数
的取值范围为 1 匕1)U(1,5]
5 o 17.解: (1)由题意MQ^线段AP 的垂直平分线, |CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2
♦2>|CA|=2 ,于是点 Q 的轨迹是以点 C, A 为焦点,半焦距
c=1,长半轴a —E 的椭圆, 短半轴b a 2
1
,
2 x
点Q 的轨迹E 方程是：2 y 2 1 (2)设F ( x1 , y1) H (x2, y2),那么由
kx 消去 y 得(2k 2 1)x 2 4kJk 2 仅 2k 0, 8k 2 0(
k 0)
X I x 2 4k ,k 2 2k 2 1 ,X I X 2 1 2k 2
2k 2 1 uur uuir OF OH x 1x 2 y 1y 2 x 1x 2
(k 2 1)x 1x 2 k 、k 2
1(x 1 (kx 1 , k 2
1)(kx 2 X 2) k 2 2
2
(k 2
1) 2k 2
2
2
4k 2
(k 2
1) 2k 2 1
Q| FH 2k 2 k 2
1 2k
2 1
k 2
k 2 1 k 2 1 2k 2 1
1, |
(1 k 2)[( X I
x 2)2 4x*2]
又点O 到直线FH 的距离d=1,
1 1d|FH | 2
,2k 2(k 2 1) 1 1 t,、(t 1)[2(t t 3,9
1 t 2
2k 2 1
令 t 2k 2
1) 1)
2代2
I )
.(1 k 2)
t [2,3], 2 2
1
t1
2 2k 2 2k 2
k 2
1),
&即/ 9 2
2.2 3
1 t 2
18.解：(1)以直线
0), B (c, 0)
AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,那么A(—c,依题意：1PA i 2a |PB|,1P A i |PB| 2a 2c
.••点P的轨迹为以A B为焦
点, 实半轴为a,虚半轴为
2 2
4c a的双曲线右支
2 X
-2 ・•・轨迹方程为：a
2
y
2 2
c a
1(x a)
o
(2)法一：设M ( Xi, yi), X2, y2)依题意知曲线E的方程为
2
X2— 1(x 1)
3,l的方程为
设直线m的方程为y k(x 2)
由方程组y
2
y
3
k(x
2),
消去y得
(k23)x24k2x 4k2
X i X2 4k2
k23,X i X2
4k23 2
「大(k 3 0) k 3
・•・
直线
y k(x 2)与双曲线右支交于不同的两点
X i X
2 0及X
1
X
2
0,从而k23
由①得
x 解得k2
3x
2
X
当x=2时,直线23
4x 4
3(x 2)
m垂直
于
x轴,
符合条件,,X i (4)
又设M到l的距离为d,那么
f
,| - 3x1 V1 | d
2
z/ \ [5,) •. d(x)在4 单调递减
lim x
d(x)
又「
法二：l:g ''3x 为一条渐近线
3(x 亡1 3
3、3
Q 5 33 3 -- --------
d —4-^
2
• • y 1 3 x
1
X i
3
2" 2
x 1
d(x) 设 ,..3 2
1 2
x vx 1
[f
由于函数
y x 与y vx 2 1均为区间
的增函数
•. d(x)的最大值=
d(5)
4
x 1
而M 的横坐标
(4
3
d (0
T
①m 位于 11
时,
m 在无穷远,此时d 0
②m 位
于
12
时,
(;
lim x
2)
2
X 6
y
1 0
表示以
(1,3)
为圆心,以3为半径的圆,圆上 两点P 、
Q 满足关于直线
X my 5 0
对称,那么圆心
(1,3)
在直线X my 4 0上,代
入解得 m 1.
(2)直线PQ 与直线y X 4垂直,所以设PQ 方程为 y x b P (X 1,y 1),Q (X 2,y 2)
由 Q 解得2 3五b 2 3^ 2.
b 2 6b 1
X 1 X 2 b 4, X 1X 2 ---------------
2
.
又以PQ 为直径的圆过O 点
OP OQ X 1X 2 y/2 0 解得 b 1 (2 3v12,2 3收).
故所求直线方程为x y 1 0.
2
2
消去 y 得 5x &x 4t
4 0,
_
2
8t 4t 4
2
X I X 2 , X 1X 2 ------------------ 由 0得t 2 5,且
5 5
t 2 4
. y 〔y 2 (X 1 t)(x 2 t) 5
...动点
Q(x , y)
到两个定点
F I (
g ,0), F 2(73,0)的距离的和为
・•・轨迹C 是以
F I (:0)
, F2(而0)为焦点的椭圆,方程为
r
20.解：(1) a (X
"y),b (X 石y),且
4,
⑵设 A(x 1,y 1), B(X 2, y 2),直线
AB 的方程为y x t,
代入
y 2 1
2 2
19.解：(1)曲线X y
将直线y
2
X b
与圆的方程联立得2X
2
2(4 b )X b 2 6b 1 0
uunn um unn
设点 M(x,y)由 OM cos OA sin OB 可得 ••点 M
〔x ,y 〕在 C 上,
2
2
2
2
,4 x 4y
(xi cos
x 2 sin )
4(y 1cos y 2sin )
,2
2、
2
,2
2、 • 2
(x i 4y i ) cos
(x 2
4y 2 )sin 2sin cos (x*2 4y 1y 2)
2
. 2
4(cos sin ) 2sin cos (x l x 2 4 y l y 2)
4 2sin cos (x l x 2 4y l y 2) ,2sin cos (x 1x 2 4 y l y 2) 0
又由于［
0,2 ］
的任意性,,x i x 2 4y i y 2 0, 4t 2 4 4(t 2 4) 0 50
・•. 5
F —,又t 0,得t 三, 10
10
代入t 2检验,满足条件,故t 的值是 2 .
1b 2 2
l : y x, c a b 21.解：(1)不妨设 a
.
2
2
,
a a ab
一,P.(一, )
c c c
, F.(c,0)
设l 的斜率为K ,PF 的斜率为k 2.
ab c ab
a
-2
-iT2
~,
a
b b
—— c k2= c
..k1k2= —1.
即 PF1 1 .
x x 1 cos
x 2 sin y y 1 cos
y 2 sin
⑵由题a
3
2
2
y d x
—— 1 . ..a=1, ••・双曲线方程为
3
e= 5.
22 .解：(I)点A 、B 的坐标为 A (-3, 0), B (3, 0),设点P 、M N 的坐标依次为
o ig □
②4-①得
.二二
1 故所求方程是
」1-
—=(2 - -)3 -1
(II )由②得,16
' -
所以,M N 的坐标为
y x b,
〞2
3 2
y_
b 2
x2
—bx 一 b2=0,
x 1 x 2
b
2
x 1x 2 b
AB
1-k 2 x 1 x 2
1 1 5b .30, b 3
-(x c)
⑶ l ： PF y= -b
M(
2
2
2
a a(a c ) c ' bc
x
P
x
N
x M
又N 在双曲线上.
_ 2
4 2
2 3a a (3a c )
,
・•・N (— c bc
).
c 2
2 o 2
2
9a a 3a c
2
c ~2~ ~2 (
~2
)
1
,e —, c c
b
a
,解得c=5
国MH =言=3=±2& 12 4
所以MN的倾斜角是•「：：「
23 .解：⑴由X 0,当X 1时,
, tan tan
tan tan tan tan tan tan
y y y y _y y
X 1 X X 1 X 1 X X 1
3x2y21(y 0) 1
当X 1时,P 1"2,也满足方程<1>
2 2
・•・所求轨迹G方程为3x y 1(y0, x 0)
2 2
设直线l方程：y kx 1代入3x y 1(x 0,y 0) /口3 k2x22kx 2 0
得：
4k2
2k
3 k2
2
3 k2
.3 k
(II )假设存在点EX0,0 ,使MNE为正△
F MIN^ 点3 k2
3
3 k2
| MN | 1 k2 x1 x22 4x1 x24k 2
3 k2 2 3 k2 k2
k 2 3与J3 k J6矛盾
・•・不存在这样的点 E X 0 ' 0使△ MN 助正△
(2)解：设过P 的直线方程为：
y 1kx
B
x ?,y 2
l EF :
3 4k
"V
EF
\3
9k 2 k 2 2
在正△ EM W,
k 3 k 2
9 k 2 2
EF
3
1-k 2
2
4k 2 3 k 2
8 k
2
k 2
4k 2
k 2
k 2
13
x
1
4,1
,y 1
.
设 Q
x °,y .
A x 1 , y 1
B x 2,y
kx 4k
2k 2 1
4k 16k 2
32k 2
16k 2 0
24.解:(1)由题意:
2 F a 2 c 1
了 2
a b 2
2
,
所求椭圆方程为
2
y _
2 x
2
2
16k 2
4k 32k 2
16k 2
8x 0
4 x o
2——2 ----------------- 2 -------------- 2k 1 2k 1
去分母展开得: 2
2
2 16k x 0
8x 0 64k
16k 16k x
又•: Q 在直线y 1 k x 4上,
y 1 2x 0
.
y 0 1 ------ 7 x 0
4
x 0 4
- y 0
1 1 2x
•・ , ・• 即 2x 0 y 0
2
一.Q 恒在直线2x y 2 0上.
x 2 1 x y 1
y 2
,
即点C 的轨迹方程为x+y=1
x y 1
⑵由x 2 y 2 a 2 b 2
16k 2 4k
32k 2 161 ( 2
X 1 X 2 _ 2 X 1 X 2
2
2k 1
, 2k 1
UU
uuu • • AP | |PB ,,
化简得: 8x 0 4 x 0 x 1 x 2
2x 1x 2
设M (x 1,y 1),N(x 2,y 2),那么：X I x ?
2a 2 b 2 a 2
,5x 2
o 2
o 2. 2
a a b
,2
2
b a
. _ . 2
__ _
4kx 0 64k
32k 4 0
化简彳导:2x0 4k kx 0 1 0,解得:
k - x 0 4
25.解：〔1〕解：设 C 〔x ,y 〕,由于0c
OA OB,那么(x,y) (1,0) (0, 2)
得：(b 2 a 2)x 2 1
2a 2x 2 a 2 a 2b 2 0由题意得 b 2 a 2
uumn uuur
由于以MN 为直径的圆过原点,OM ON 0,即x 1x 2 y 1y 2 0 x 1x 2 (1 X 2)(1 X 2) 1 (x 1 x 2
) 2x 1x 2
1 2a 2
2 2 a 2
2. 2、
2(a a b )
即b 2 _22 2a b 0, 3 2为定值 b 2
26.解: 设 N(x, y)
P(0,2、M( x,0)
PM
x, y 一
卜PF 2
(1
,
又 PM PF 0 ⑵设直线1的方程为：
y k(x c),
A(x1,y1)、
B(x 2,y 2)
假设存在点 Q(t,0)满足题意,那么k AQ k BQ 0 y 2
4x y k(x c)即 k 2x 2 2(ck 2 2)x k 2c 2 0,
X I x 2
2(ck 2 2)
2 x 〔x 2 c 0 k AQ
,又 k BQ 各 x 1 t y 2 x 2 t
y [(x 2 t) 丫2函 t) (X t)(x 2 t)
V1 (x 2 t) 丫2收 t) k(x 1 c)(x 2 t) k(x 2 c)(x 1 t)
k[2x 1x 2 (c t)(x 1
x 2) 2ct] 0, 由于k 2x 1x 2 0,那么
(c t)(x 1 X 2) 2ct
2c 2 2ct
对不同的 k 值恒成立,即 (c t)(c ck 2 I? 2
)
(c t) 0
对不同的k 值恒成立,
0,即t c,故存在点Q(c ,0)符合题意. 27.解：(I)以AB 中点为原点O, AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,如图
那么 A (-1,0) B(1,0) D(-1, 2)
(1)2 2
a 2
b 2 a 2 b 2 1
得 4a 4 17a 2 4 0
a 2 1 a 2 4
b 2 3
(n)解：假设存在这样的直线 1,依题意,1不垂直x 轴
1 y k(x 1)
设1方程 2
,I
9 9
1
1 9
得(3 4k 2)x 2 8k(- k)x 4(k -)2 12 0
2
2
1
8k(k -) --2- 2 得 3 4k
1
2
2
点C (1,—)在椭圆—y― 1
又
2
4 3 内部
3 「
y — x
2
故所求直线1方程 2
(n)解法2:假设存在这样的直线1,设.但,y 1)、N (x 2,y 2),
2 y
1
1 2 2 12 2
(x 1 x 2) 一(y -
y 2) 0
两式相减得4
6
y 〔 y 2
3
x 1 x 2 x 1 x 2
有 x 1
x
2
4
y 1 y 2
6
设椭圆F 的方程为a
2
2
y_
b 2
1 (a b 0)
所求椭圆F 方程 4
2 y_
3
设 M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)
x 〔 x 2
有 2
代入4
x 1 2 x
2
2 y 1
3
一 1 一
C(1,―)是MN 中点,有X i
X 2 2, y i y 2 1
2
y i
V2 3
3
得X i
x
2
2
即|斜率为 2
2
—1内部
3 ,故所求直线l 方程
y n
,又由于AHI BC 所以设A 2 ,由AB AC °得
29.解：(1)设 C(x, y) , G(x 0, y 0), M (X M , y M ).
又 GA GB GC 0
1 X 0, Y 0
1 X 0, Y 0 x
X 0,y Y 0
y M
2
点C 在椭圆— 4 28.解：(1)由于BH 3HC ,所以H 2
3c 2 3c 2
所以 |AB| = -
2
4
3c
,|AC | =
椭圆长轴 2a = |AB| + |AC| = (
3
+ 1)c ,
所以,
… 一, ,一,,一 ,一. -,X
(2)设D (x1 , y1),由于D 分有向线段AB 的比为,所以 c c 2 1
y 1
y ° 1
设椭圆方程为
e 2 (1 2 )2
2
X a 2
2 y 萨=1 (a > b > 0) ,将A 、D 点坐标代入椭圆方程得
2
为1
2
b
.①
4 (1
)2
y_ b 2 1 (1 )2
2 y
°
一
— .2
代入②并整理得
由于
e 2
3 2
,又 0 < e < 1 ,所以 3 < e< 2
|M A MB
由 A( 1,0) , B(1,0),
M 点在线段AB 的中垂线上
X M 0
；又 GM // AB
Y M y .
0,0
Y 0
i 2 I 2
MB MC 00 130J 0 x y y
3 3 3
2
2 y d
x —— 1
y 0 ,顶点C的轨迹方程为3 y 0
3 c 2
由方程①知6k2 4 k2 3 9k2 3>0 k2<8
2 k 0, 0<k <8 k2
3 3,
27
PE PF
2
2 y d
x — 1
3
(2)设直线।方程为：y k(x 3) E(X i,y i) F(x2,y2)
y
2 x 由k(x
2 y
3
3)
,2 - 2 2 2
消去y得：k 3x 6k x 9k 3 0①
x1 x26k2 k2
3 ,
x1x2
9k2
7r
PE PF PE PF cos0
而
PE PF V1 k2 3 x1 V1 k2 3 x2
/ - 2 . 八
1 k 9 3 x1 x
2 x1x2k2
2 _2 2
9k227 18k2 9k2 3
k1 ~~3
24 k2 1
k2 3 24
48 k2 3。